Este documento presenta 21 proyectos o problemas de matemáticas para un examen bimestral de segundo año de secundaria. Cada proyecto contiene un problema matemático y su solución correspondiente. Los problemas involucran operaciones como reducción, simplificación, cálculo de exponentes y grado de polinomios.

1. MATEMATICA
SEGUNDO AÑO DE SECUNDARIA _________________________________
FIRMA DEL PADRE O APODERADO
EXAMEN BIMESTRAL III
09 de Octubre del 2017 NOMBRE:………………………………………………
INSTRUCCIONES: El examen consta de 100 preguntas para desarrollar. El procedimiento que
realice tiene que ser lógico, LAS RESPUESTAS SIN PROCEDIMIENTO TIENEN PUNTOS EN
CONTRA. No habrá reclamos sobre escrituras hechas a lápiz ni borrones. Realiza el examen
con ORDEN Y LIMPIEZA. DEBERÁS ESCRIBIR LAS RESPUESTAS CON LAPICERO EN EL
CUADRILÁTERO INDICADO.
PROYECTO Nº 1. Reducir:
22
2
45.35
49.25.15
M 
Solución
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 4
15 . 25 . 49 3 . 5 . 5 . 7 1
35 . 45 5 . 7 . 5 . 3 9
M   
PROYECTO Nº 2. Simplificar: 4n
3n4n
2
22
N




Solución
 4 34 3
4 4
2 2 22 2 16 8 1
2 2 . 2 16 2
nn n
n n
N
 

 
   
PROYECTO Nº 3. Calcular:
13825
32F


Solución
1 113 38 8 2
1
25 25 25 5
32 32 32 32 2F
  
    
PROYECTO Nº 4. Efectuar:
37753
4010864
x.......x.x.x.x
x........x.x.x.x
M 
Solución
 
4 6 8 10 40 4 6 8 40
193 3 3 3 3 57
3 5 7 37 3 5 37
19
. . . ........
. . .... . . ...
. . . ....... veces
x x x x x x x x x
M x x x x x x
x x x x x x x x x
    
PROYECTO Nº 5. Reduce:
1
4
11
3
11
2
1
4
1
3
1
2
1
N











































Solución
1 1 1
1 1 1
2 3 4
2 3 41 1 1
2 3 4 4 27 256 287
2 3 4
N
  
     
       
          
              
     
1/9
Rpta:
1/2Rpta:
2Rpta:
x57Rpta:
287Rpta:

2. PROYECTO Nº 6. Halle el exponente final de “x”.
cba3
veces"b"
acacacabcbca
))x((
x......x.x.)x(.)x(
  
Solución
 
"
3 3 3
( ) . ( ) .( ) . ( ) . . ......
1
(( ) ) (( ) )
b veces
ba bc bc a aca bc bc a ac ac ac bc bca acb
a b c a b c abc
x x xx x x x x x
x x x
 
  
"
PROYECTO Nº 7. Si: 2x
xx
 . Calcular:
xxxx
xP


Solución
. 2
2 4
x xx x x x
x x x
P x x

   
PROYECTO Nº 8. Si:
2
1
a5b ba
 
. Calcular:
1ab
aR


Solución
 
1
. 5
2 32
a
a a bb b b b
R a a a

    
PROYECTO Nº 9. Calcular:









7
60
502
7
7
4249.7.7E
Solución
 
60
2 50 2 50 2 60 7 54 54 54 55
7
7
7 . 7 . 49 42 7 6. 7. 7 7 6. 7 7 1 6 7
7
E    
         
 
PROYECTO Nº 10. Si: 2n
= 3m
; reducir: 1m23m
n21nn2
3.23
2.322.5
L





Solución
 
 
2 22 1 2
3 2 1 3 2
2 5 2 35 . 2 2 3 . 2 25 2 9 18 6
3 2 . 3 27 12 15 53 3 2 . 3
nn n n
m m m
L L

 
    
     
 
PROYECTO Nº 11. Conociendo que:
EDABED
EC;AC


Reducir:
EDCB
AS 
Solución
     ;
E E A
E A E A E E A
EDC A
D D B
D B D B D D B
B B
C A C E C E C E A E
S A A E
 
       
  
1Rpta:
4Rpta:
32Rpta:
755Rpta:
6/5
Rpta:
ERpta:

3. PROYECTO Nº 12. Si: nn
= 1/9. Hallar:








n
2
5
nE
Solución
   
5 5 5
2 52 2 23 3 243
n
n
E n n
 
     
    
PROYECTO Nº 13. Si el monomio:
3 2m
2m
x
xx
P


 , es de tercer grado, entonces el valor de “m” es:
Solución
2
1 2 2 6 3 6 2 4 42 2 1
2 3 6 6
23 2
3
4
3 22
6
m
m m m m mm
mm
x x x
P x x x
x x
m
m

       
 

    

   
PROYECTO Nº 14. Si:
n2
4n32n
)x(
x)x( 
, es de 4to
Grado. Hallar: “n”
Solución
2 3 4
3 6 4 2 2 2
2
( )
2 2 4 3
( )
n n
n n n n
n
x x
x x n n
x
 
    
      
PROYECTO Nº 15. En el siguiente polinomio:P(x, y) = mx3m
+ x3m-1
y5m+2
+ y5m-6
Se cumple que: G.R.(y) = 2(G. R(x)) . Calcular el grado absoluto del polinomio.
Solución
 
 
 
( ) ( )
6 5 12 4
. . 2 .
5m 2 2 3 2
; 2 7. 1
y xG R G R
m m
P x y x x y Ay G

   
   
PROYECTO Nº 16. Del polinomio:P(x, y) = 35
xn+3
ym-2
z6-n
+ xn+2
ym-3
Se cumple: G.A. (P) = 11 ; G.R.(x) – G.R.(Y) = 5. Luego: “2m + n” es:
Solución
 
 
( ) ( ). . – . . 5
3 2 5 0
. . 11 ;
n 3 m 2 11 2n 10 n m 5
2m+n=15
x YG R G R
n m n m n m
G A P

        

        

243Rpta:
22Rpta:
3Rpta:
17
Rpta:
15Rpta:

4. PROYECTO Nº 17. Indicar el grado del polinomio: a11
1
4
a
4a
1
2
a
5a
)y,x( xyxyxP 





Solución
 
 
0
3 5 4 3 3
5 11; 4 8
;
. 8
a a a
P x y x y x y x
G A P
    
  
 
PROYECTO Nº 18. Dado el monomio M(x, y, z) = 5xa
yb
zc
Calcular abc, si al sumar los G.R. de 2 en 2 se obtiene 10, 7 y 11 respectivamente.
Solución
 
10
7
11
2 28 14
4; 7; 3 84
a b
b c
a c
a b c a b c
c a b abc
  
 
 
      
    
PROYECTO Nº 19. En el polinomio completo y ordenado en forma descendente:
P(x) = xa+b-6
+ (a - b) x + 3xa-b.
Calcular: “ab”
Solución
0
6 2 8
2 8 4 4 16
a b a b
a b a b
a a b ab
   
     
      
PROYECTO Nº 20. Si el polinomio: 822ab7ba
)z,y,x( )zy(yxxP  es homogéneo.
Calcular:
ba
6ba 22


Solución
5 2
7 2. 2. 8 32 2 7 25 7 5b a
a b        
Comparando, 2a  y 5b 
2 2
6 4 25 6
5
2 5
a b
a b
   
 
 
8Rpta:
84Rpta:
16Rpta:
5Rpta:

5. PROYECTO Nº 21. Si el polinomio:P(x) = (a-2b+3)x5
+ (b-2c-1)x4
+ (c-2a+2)x7
Se anula para cualquier valor de las variables. Calcular: (a + b + c)2
Solución
 
 
2
2 3 0
2 1 0
2 2 0
2 4 0
4
16
a b
b c
c a
a b c b c a
a b c
a b c
   
  
  
      
  
   
PROYECTO Nº 22. Si los polinomios: P(x, y) = xa
yb+1
+ xc
yd-3
; Q(x, y) = xa+1
yb
+ x4-a
y3-b
Son idénticos, calcular: (a + b + c + d)
Solución
Se debe cumplir que
4 2
1 3 1
1 3
3 4
10
a a a
b b b
c a c
d b d
a b c d
   
    
   
   
    
PROYECTO Nº 23. En el polinomio homogéneo: P(x, y, z) = 5xm+n
– 7xn
y2m-3
+ 8xm
y2n
zn-10
+ 11z3n-7
Calcular: (m - n)m
Solución
2 3 2 10 3 7m n n m m n n n         
Entonces,
2 3 3m n n m m     
Además,
2 3 2 10 2 7
3 2 7 5
n m m n n m n
n n
        
   
Finalmente,    
3
3 5 8
m
m n    
PROYECTO Nº 24. En el polinomio completo y ordenado en forma creciente. Calcular la suma de
coeficientes. P(x) = mxm+n
+ nxm-1
– pxp-t
+ txt
Solución
3
2 5
1 1 2
0 2
t
p t p
m m
m n n

   
   
    
La suma de coeficientes es 2 2 5 3 2m n p t        
16
Rpta:
10Rpta:
-8Rpta:
-2Rpta:

6. PROYECTO Nº 25. Hallar: (a + b)c
en :
2
5 3 5 33
( 2) ( 3) 6 4
2
a b
a x b x c x x  
        
 
Solución
2
5 3 5 3
2
2
3
( 2) ( 3) 6 4
2
6 4 10
3 1 4 2 2
9 1
2 2 2
4 4
a b
b b
a a
a x b x c x x
c c
b b b
a a a

  
 
        
 
    
       
       
Luego,    
10 20
2 2 2
c
a b   
PROYECTO Nº 26. Hallar el grado de homogeneidad de : P(x, y) = 8xa+b
yb
+ 3b
xa
yb+4
Si: GR(x) es menor en 2 unidades que G.R.(y)
Solución
4
4 2 2
x
y
GR a b
GR b
b a b a
 
 
      
Como es homogéneo, 4 4a b b a b b      
Por tanto, su grado de homogeneidad es 4 2 4 4 10a b     
PROYECTO Nº 27. En un polinomio completo y ordenado de grado 4n y de una sola variable se
suprimen los términos que contienen exponentes impares. ¿Cuál es el número de términos que
tiene el polinomio resultante?
Solución
El polinomio tiene 4 1n  términos. Los exponentes impares van desde 1 hasta 4 1n  de dos
en dos; luego se van a quitar
4 1 1
1 2
2
n
n
 
  términos quedando 2 1n  términos
PROYECTO Nº 28. Efectuar: E = (x + 2y)2
– (x – 2y)2
– 4xy
Solución
     
2 2
2 – – 2 – 4 4 2 4 4E x y x y xy x y xy xy    
PROYECTO Nº 29. Reducir: R = (a + b)2
– (b - a)2
+ (a – 2b)2
– a2
– 4b2
Solución
      22 2 22 2 2 22
– – 2 – – 4 4 4 4 4 0R a b b a a b a b ab a ab b a b        
220Rpta:
10Rpta:
0
Rpta:
4xy
Rpta:
2n+1
Rpta:

7. PROYECTO Nº 30. El valor de: 2
)245245(N 
Solución
  
2
( 5 24 5 24 )
5 24 2 5 24 5 24 5 24
10 2 25 24 12
N    
      
   
PROYECTO Nº 31. Efectuar:
)12)(12(
)13)(13()15)(15(
P



Solución
( 5 1)( 5 1) ( 3 1)( 3 1) 5 1 3 1
6
2 1( 2 1)( 2 1)
P
       
  
 
PROYECTO Nº 32. Efectuar: R = (x + n)(x - n)(x2
+ n2
)(x4
+ n4
)(x8
+ n8
) + n16
Solución
          
   
  
2 2 4 4 8 8 16 2 2 2 2 4 4 8 8 16
4 4 8 8 16
8 8 16
16
4 4
8 8
116 16 6
-
R x n x n x n x n x n n x n x n x n x n n
x n x n x n n
x n x n n
x n n x
           
   
  

 

 
PROYECTO Nº 33. Si:
yx
4
y
1
x
1

 . Calcular:
2 2 2
2 2 2
( )x y xy x y
E
xy x y x
 
  

Solución
   
2 2
1 1 4 4
4 0
x y
x y x y xy x y
x y xy x y x y

   
 
       
Luego,
 
22 2 2 2
2 2 2 2
2( ) 1 1 9
4
. 2 2 2
xx x x x x
E E
x x x x x x
 
        

PROYECTO Nº 34. Luego de efectuar: E =(x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x + 5)
Se obtiene:
Solución
       
2 2 2
1 2 3 4 – 2
3 2 7 12 2 10
5
14
x x x x x
E x x x x x x
x   
     
 

 

9/2
Rpta:
14Rpta:
x16Rpta:
6
Rpta:
12
Rpta:

8. PROYECTO Nº 35. Luego de efectuar: A =(x2
+ x + 4)(x2
+ x + 5) – (x2
+ x + 3)(x2
+ x + 6)
Indicar lo correcto:
a) 31A 
b) A2
+ 1 = 5
c) 1A0 
d) A es impar
e) 37A
3

Solución
     
     
2 2
2 2
2 2 2
;
4 5 3 6 9 2
4 5 – 3
0 9 1 2
6
8
A x a x x
A a a
x x x x x x x
a a a a a a
 
          
      




PROYECTO Nº 36. Si: m = 2a + 2b + 2c. Calcular: 2222
2222
cbam
)cm()bm()am(m
E



Solución
 
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 .
m m am a m bm b m cm c
E
m a b c
m m am a m bm b m cm c
m a b c
m cm am bm a b c
m a b c
m m a b c a b c
m a b c
m m m a b c
m a b c
m
        

  
        

  
      

  
      

  
    

  


2 2 2
2 2 2 2
1
a b c
m a b c
  
  
 
PROYECTO Nº 37. Hallar el valor numérico de: 1)2x)(4x(E 
Para: x = 2 000
Solución
2
( 4)( 2) 1 6 9 3 2003E x x x x x         
PROYECTO Nº 38. Si: (x + y)2
= 4xy . Calcular el valor de: 2000 2000
2 2
xy
N x y
x y
  

Solución
 
 
2 2 2
22 2
4 2 4
2 0 0
x y xy x xy y xy
x xy y x y x y
     
        
Luego,
2
2000 2000
2 2 2
. 1
2 2
x x x
N x x
x x x
    

bRpta:
-1Rpta:
2003Rpta:
1/2
Rpta:

9. PROYECTO Nº 39. Reducir: (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x2
+ 4x)2
– 9x(x + 4)]
Solución
        
        
      
       
22
22 2
22 2 2 2
22 2 2 22
1 2 3 6 – 4 – 9 4
1 3 2 6 – 4 – 9 4
4 3 + 4
9
3
12 – 4 9 4
4 + 4 – 36 – 4 9 4
6
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
 
  
 
 
     
     
    

 
  
 

PROYECTO Nº 40. Efectuar:
3
63
3
63
nmmm.nmmmP 
Solución
  
   
3 33 6 3 6 3 6 3 63
22 33 6 3 3 6 23
.P m m m n m m m n m m m n m m m n
m m m n m m n n
         
      
PROYECTO Nº 41. Si: (a + b + c + d)2
= 4(a + b)(c + d)
Calcular:
)ba(3 dc
27S
 

Solución
    
         
      
 
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4
0
0
a b c d a b c d
aa b a b c d c d
a b a b c
b c d
a b c d a b c
c
d
d d
     
 
   
      
  








Luego,
3( ) 3
27 27 3
a b c d
S
 
  
PROYECTO Nº 42. Si: 10x+y
+ 10x-y
= m; 102x
= n
Calcular: T = 100x+y
+ 100x-y
Solución
 
2 2
2
2 2 2
100 2.10 .10
10 10
100
2.10 2
x y x y x y x
y
x
x y
y
x
m
m
T m T m n

 

 

  
    

-36Rpta:
n2Rpta:
3Rpta:
m2
-2nRpta:

10. PROYECTO Nº 43. El residuo de dividir: (8x5
+ 5x2
+ 6x + 5) entre (4x2
– 2x + 1)
Solución
4 8 0 0 5 6 5
2 4 2
1 2 1
0 0
2 1
2 1 0 1 8 4

 

  8 4R x x 
PROYECTO Nº 44. Calcular el resto al dividir:
2
2)7()3( 827


x
xxxx
Solución
(i)
2 0
2
x
x
 
 
(ii)
7 8
( 2 3) (4 2 7) 2 2
1 1 2
R        
  
PROYECTO Nº 45. Calcular “m” si la división:
2
26233222 3456


x
mxxxxx
Es exacta:
Solución
1 2 2 2 3 3 2 0 6 2
2 2 2 0 3 2 0 0 6 2
2 0 3 0 0 6 2 6 2
m
m
 
 
 
Luego, 6m 
PROYECTO Nº 46. Indicar el término independiente del cociente luego de dividir:
23
243 234


x
xxxx
Solución
3 3 1 4 1 2
2 2 2 4 2
1 1 2 1 4

  3 2
2 1Q x x x x   
Luego, el término independiente es 1
PROYECTO Nº 47. Efectuar:
2
5323 346


x
xxx
Dar como respuesta el término independiente de
cociente.
Solución
1 3 0 2 3 0 0 5
2 6 12 28 50 100 200
3 6 14 25 50 100 205

Luego, el término pedido es 100
8x+4
Rpta:
2Rpta:
6Rpta:
1Rpta:
100Rpta:

11. PROYECTO Nº 48. Calcular (a – b) si la división:
532
131212
2
234


xx
baxxxx
deja como resto: 4x + 5
Solución
2 12 12 13
3 18 30
5 9 15
12 20
6 3 4 27 20
a b
a b
 

 

  
Luego,
27 4 31
20 5 15
31 15 16
a a
b b
a b
   
   
    
PROYECTO Nº 49. Hallar m + n + p si la división es exacta:
32 23
2345


xxx
pnxmxxxx
Solución
1 1 1 1
2 2 1 3
1 2 1 3
3 8 4 12
1 1 4 12 7 12
m n p
m n p
  

  
   
Luego, 12; 7; 12m n p    . Por tanto, 17m n p  
PROYECTO Nº 50. Calcular (A + B) si la división es exacta:
322
32
2
24


xx
BAxxx
Solución
2 2 0 3
2 2 3
3 2 3
2 3
1 1 1 1 3
A B
A B
  

 
  
Luego, 1 3 2A B A B      
PROYECTO Nº 51. Indicar el término independiente del cociente de dividir:
(2x4
– 7x3
+ 10x2
– 4x - 3) entre (2x2
– x + 3)
Solución
2 2 7 10 4 3
1 1 3
3 3 9
2 6
1 3 2 7 9
  

 

 
  2
3 2Q x x x  
El término independiente es 2
16Rpta:
17
Rpta:
2Rpta:
2Rpta:

12. PROYECTO Nº 52. Halla el residuo de:
12
661144 234


x
xxxx
Solución
2 4 4 11 6 6
1 2 3 4 5
2 3 4 5 11
  
 
  
El resto es – 11
PROYECTO Nº 53. Hallar el residuo en:
1
72353
5
515304560


x
xxxxx
Solución
(iii)
5
5
1 0
1
x
x
 
 
(iv)
       
     
12 9 6 35 5 5 5 5
9 6 312
3 5 3 2 7
3( 1) 5 1 3 1 2 1 1 7
3 5 3 2 6 19
R x x x x x
R
     
         
     
PROYECTO Nº 54. Si: R(x) es el resto de dividir:
3
)1()2()3(
2
3224282


x
xxxx
Hallar: R(-1)
Solución
(i)
2
2
3 0
3
x
x
 

(ii)
8 4 2 2
(3 3) (3 2) (3 1) 3 1 2 3
3 5
R x x
x
         
 
Luego,  1 2R  
PROYECTO Nº 55. Calcula los valores que deben tomar L+u para que la división sea exacta
(x4 – 2x3 + 2x2 – Lx + u) : (x2 – 2x + 1)
Solución
1 1 2 2
2 2 1
1 0 0
2 1
1 0 1 2 1
L u
L u
 



 
Luego, 2L  y 1u  . Por tanto, 3L u 
PROYECTO Nº 56. Utiliza Ruffini para hallar el residuo de: (x3 – 6x2 + 12x – 8) : (x – 2)
Solución
1 1 6 12 8
2 2 8
8
1 4 4 0
 


El resto es 0
-11Rpta:
19Rpta:
2Rpta:
3
Rpta:
0Rpta:

13. PROYECTO Nº 57. Calcular el término central del siguiente CN:
2
1287


a
a
Solución
   
4 1 4 17 4 3
4 1 2 8ct t a a
 
    
PROYECTO Nº 58. Hallar el tercer término de:
2
2568


x
x
Solución
 
3 18 3 5
3 2 4t x x

 
PROYECTO Nº 59. Hallar el término de lugar 61 en el desarrollo de: 35
303505
yx
yx


Solución
       
101 61 61 1 40 605 3 5 3 200 180
61
505
101
5
n
t x y x y x y
 
 
  
PROYECTO Nº 60. Desarrollar:
 
x
x 11 3

Solución
   
 
   
3 3
2 2 21 1 1 1
1 1 1 2 1 2 3 3
1 1
x x
x x x x x x x
x x
   
             
 
PROYECTO Nº 61. Hallar el cociente notable que dio origen al siguiente desarrollo:
1...... 510125130135
 xxxxx
Solución
       
 
285 140
27 26 25 25 5 5 5 5
5 5
1 1
...... 1
1 1
x x
x x x x x
x x
 
       
 
PROYECTO Nº 62. Cuántos términos posee el cociente notable originado por:
yx
yx nn

 
2
68
Solución
8
6 8 2 12 20
2
n
n n n n

       
Luego, el número de términos es
20 8
14
2


-8a3Rpta:
4x5Rpta:
200 180
x yRpta:
2
3 3x x Rpta:
140
5
1
1
x
x


Rpta:
14Rpta:

14. PROYECTO Nº 63. Hallar b en el siguiente cociente notable:
 
2
423
yx
yx
b


Solución
42
3 7
2
b b  
PROYECTO Nº 64. En el siguiente cociente notable
2
2
3
40120


x
x
hallar el término que lleva x54
.
Solución
     40 1 3 403 54
2 40 18 22
k k k
kt x x x k k
  
       
Luego, 21 54
22 2t x
PROYECTO Nº 65. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable: 93
604
yx
yx pp

 
Solución
4 60
3 4 60 60
3 9
p p
p p p

     
Luego, el número de términos es
60
20
3

PROYECTO Nº 66. Factorizar y dar como respuesta el factor primo de segundo grado:
G(a, b) = a (1 – b2
) + b (1 – a2
)
Solución
            2 2 22
, 1 – 1 – 1G a b a ab b baa b b a b ab b a a aa b b           
El factor de segundo grado es 1 ab
De la factorización del polinomio F(x) = 2x(x2
+ 1)2
(3x - 2) (9 - x2
)3
responde:
(De la pregunta 67 a la 70)
PROYECTO Nº 67. ¿Cuántos factores primos tiene? Hallar su suma.
Solución
5 factores primos: 2
; 1; 3 2; 3x x x x   y 3 x
Suma: 2
4 5x x 
PROYECTO Nº 68. ¿Cuántos factores primos lineales tiene? Hallar su suma.
Solución
4 factores primos lineales: ; 3 2; 3x x x  y 3 x
Suma: 4 4x 
7Rpta:
21 54
2 xRpta:
20Rpta:
1-abRpta:
5;
2
4 5x x Rpta:
4; 4x+4
Rpta:

15. PROYECTO Nº 69. ¿Cuántos factores primos cuadráticos tiene? Hallar su suma.
Solución
1 factor cuadrático primo: 2
1x 
PROYECTO Nº 70. ¿Cuántos factores tiene? (considerar factores aritméticos y algebraicos)
Solución
         
             
2 1 32 31 1
2 1 3 2 3
#fa 1ctores 1 1 1 1 1 1 2 2 31 2 1 3
3
4 843 2 4 3
xF x x x x x   
         

PROYECTO Nº 71. Factorizar: M(x, y) = x4
+ 14x2
+ 49 - y4
; indique la suma de sus factores
primos.
Solución
      4 2 4 22 4 2 2 2 2
, 14 49 77 7x y x y x yM x y x x y         
La suma pedida es 2
2 14x 
PROYECTO Nº 72. Factorizar: 6a(a + b + c) – 3a – 3b – 3c dar como respuesta la suma de sus
factores primos.
Solución
      6 – 3 3 2 1a a b c a b c a b c a       
La suma es 3 1a b c  
PROYECTO Nº 73. Factoriza: Q (x) = x4
+ 4x3
– 7x2
– 34x – 24
Solución
 
       
4 3 2
2
2
2
2 2
2
4 – 7 – 34 – 24
5
6
5 4
2
6 5 4 3 2 4 1
Q x x x x x
x x
x x
x
x x x x x x x x
x
 
 
 

         

PROYECTO Nº 74. Calcula la suma de los factores primos de: P(x) = x3
+ 5x2
– 33x + 27
Solución
       
         
      
3 2 2
2
2
5 – 27 27 1 5 1 27 1
1 1 5 1 27 1 1 5 27
1 6 27 1 9 3
5P x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x
x
x x x
x        
           
     

 

La suma pedida es 1 9 3 3 5x x x x      
1; x2
+1Rpta:
384Rpta:
2
2 14x Rpta:
3a+b+c-1Rpta:
    3 2 4 1x x x x   Rpta:
3x+5Rpta:

16. PROYECTO Nº 75. Factorizar: 4xy + 4y + 1 + x Dar como respuesta la suma de los factores
primos.
Solución
      4 4 1 4 1 1 1 4 1xy y x y x x x y         
La suma es 4 2x y 
PROYECTO Nº 76. Señale la suma de los factores primos de: E = x2
– y2
+ 6x + 9
Solución
    22 22
6 3 339 xE x x yy x y x y        
La suma pedida es 2 6x 
PROYECTO Nº 77. Factorizar: M = 2x2
– 3xy + y2
+ x – y
Solución
  
2 2
2 – 3 – 0
2 1
0
2 1
M x xy y x y
x y
x y
x y x y
   
 
 
   
PROYECTO Nº 78. Los factores de: Q = 2xy2
z – xyz2
+ 2y3
z – y2
z2
; suman:
Solución
         2 2 22 3 2 2
2 22 – 2 – 2 2xyzQ xy y z y z y z xyz y z y z yz x yz xyz y yz y z z         
La suma es 2 4y z x y y z x y      
PROYECTO Nº 79. Factorizar: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) – 15
Solución
       
      
2
2 222
2
2
5 51 4 2 3 – 15 4 6 15
105 5 9 5 15 9
x x x x x x
x x x x
P
x
x
x x x
x         


      
PROYECTO Nº 80. Factorizar: F(x; y) = x3
y2
+ x2
y + x2
y3
+ xy2
El factor primo de 2do grado es:
Solución
           2 23 2 3 2 2 22 2
; 1 11 1F x y x y x y x y xy x xyy x y xy xy xxy x y xyy x y           
El factor cuadrático es 1xy 
x+4y+2
Rpta:
2x+6Rpta:
  2 1x y x y  Rpta:
4x yRpta:
  2 2
5 9 5 1x x x x   Rpta:
xy+1Rpta:

17. PROYECTO Nº 81. Factorizar: F(x; y) = x4
y – x2
y3
– x3
y2
+ xy4
El número de factores primos binomios es:
Solución
     
      
   
4 2 3 3 2 4 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
; – – – –F x y x y x y x y xy x x y xy x y
x y xy x y xy x y x y x y
xy x y x
y
y
  
    
 

 

Luego, hay dos factores primos binomios: x y e x y
PROYECTO Nº 82. Factorizar: Q(x, y) = x3
+ 2x2
y + 4xy2
+ 8y3
Solución
        3 2 2 3 2 2 2 2
, 2 4 8 2 4 2 4 2Q x y x x y xy y x x y y x y x y x y         
PROYECTO Nº 83. Factorizar:P(a; b; c) = ab2
+ ac2
+ bc2
+ a2
b + a2
c + b2
c + 3abc
Dar como respuesta el factor de mayor grado.
Solución
 
     
  
2 2 2 2 2 2
; ;P a b c ab b c abc ac bc a b a c abc
b ab bc ac c ac bc ab a ab ac bc
b c a ab b
a
c
bc
c a
      
        
    
 
El factor de mayor grado es ab ac bc 
PROYECTO Nº 84. Factoriza: 2x2
– 0,2x – 0,12 y encuentra la suma algebraica de los términos
independientes de sus dos factores.
Solución
  
2 – 0,2 – 0,12
2 0,4
0,3
2 0,2 0,3
x x
x
x
x x


  
2
La suma pedida es 0,2 – 0,3 = - 0,1
2
Rpta:
  2 2
4 2x y x y 
Rpta:
ab+ac+bcRpta:
-0.1Rpta:

18. PROYECTO Nº 85. Indicar un producto de los coeficientes de uno de los factores de:
(4x + 1)(12x + 1)(3x + 1)(2x + 1) – 36
Solución
    
    
  
    
   
 
 
  
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
12 7 12 7
12 7 12 7
12 7
1
4 1 12 1 3 1 2 1 – 36
4 1 3 1 12 1 2 1 – 36
12 7 1 24 14 1 – 36
1 2 1 – 36
2 3 35
2 7
5
24 14 7 12
7
7
2
5
x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x
   
    
    
  
  

  
 






El producto puede ser 24 14 7 2 352    o 12 7 5 420  
PROYECTO Nº 86. Factorizar: F(x, y) = 3x2
+ 7xy + 2y2
+ 11x + 7y + 6
Hallar la suma de sus factores primos.
Hallar la suma de sus factores primos
Solución
 
  
2 2
, 3 7 2 11 7 6
3 2
2 3
3 2 2 3
F x y x xy y x y
x y
x y
x y x y
     
 
 
    
La suma es 4 3 5x y 
PROYECTO Nº 87. ¿Cuál es el factor primo que se repite en:
(x2
- 1)(x + 2)(x + 3) + (x2
- 1)(x + 4) + 1 – x2
?
Solución
      
    
 
    
2
2 2
22 2
2 2
2
2
1 2 3 4
1 2 3 1 4
1
1 5 6
1 –
3
1 6 9 1 3
x x x
x x x
x
x x x x
x
x
x x
x
x x
x
         
       
      
     
 

El factor que se repite es 3x 
-2 352 o 420Rpta:
4x+3y+5Rpta:
x+3
Rpta:

19. PROYECTO Nº 88. Factorizar: L(x) = (x2
+ 5)2
+ 13x(x2
+ 5) + 42x2
Solución
     
      
2
2
2 2
22 2 2
2
5 13 5
5 6
5 7
6 5 7 5 5
42
1 7 5
x x
x x
x x x x
L x x x
x x x
x x
x
 
 
      




 


PROYECTO Nº 89. La suma de los coeficientes de uno de los factores de U(x)= x4
+ x3
– x – 1 es:
Solución
            3 3 2
– – 1 1 1 1 1 1 1 1U x x x x x x x x x x x x x             4 3
La suma de los coeficientes de los factores puede ser 2, 0 o 3
PROYECTO Nº 90. Factorizar: I(x) = (x + 1)4
– (x - 1)4
el factor primo cuadrático es:
Solución
               
    
2 2 2 24 4
2 2
1 1 1 1
2 1 4 8 1
1 – 1 x x x x
x x
I x
x x
x x       
  
 


El factor cuadrático es
2
1x 
PROYECTO Nº 91. Factorizar: S(x) = (x2
+ 2)2
– (2x - 1)2
El factor que más se repite es:
Solución
        
      
2 22 2 2
22 2 2
2 2 1 22 – 2 1
2 1 2 3 1
1
2 3
2S x x x x
x x x x x
x
x x
x x       
       
 


El factor que más se repite es 1x 
PROYECTO Nº 92. Factorizar: A(a; b; c) = a2
– abc – ac – ab + b2
c + bc Indicar el número de
factores primos.
Solución
        ; ; – –A a b c a a bc c b a bc c a bc c a b       
Hay dos factores primos
   2
5 1 7 5x x x x   
Rpta:
0; 2 o 3Rpta:
x2
+1Rpta:
x+1Rpta:
2Rpta:

20. PROYECTO Nº 93. Factoriza: 4 4 4 4
x a x y z a z y  
Solución
           4 4 4 4 4 4 4 4 2 2
x a x y z a z y x a y z a y a y x z a y x z x z x z              
PROYECTO Nº 94. Factoriza 3 2 2 2
x xz x y y z  
Solución
      3 2 2 2 2 2 2 2 2
x xz x y y z x x z y x z x z x y         
PROYECTO Nº 95. Factoriza 4
4a  , proporcionar luego la suma de los coeficientes de un factor
primo
Solución
    
24 2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 4 2 2 2 2a a a a a a a a a          
La suma de coeficientes es 5 o 1
PROYECTO Nº 96. Factoriza  
22 2 2 2 2
4a b a b c   .
Solución
          
    
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2a b a b c ab a b c ab a b c c a b a b c
c a b c a b a b c a b c
              
        
    2 2
a y x z x z x z   
Rpta:
  2 2
x z x y 
Rpta:
1 o 5Rpta:
    c a b c a b a b c a b c       Rpta:

21. PROYECTO Nº 97. Factoriza  
24 3 2 4
1F x x x x x      ; Indicar la suma de coeficientes de uno
de sus factores primos.
Solución
    
               
          
24 3 2 4 4 3 2 4 3
24 2 3 4 3 2 2 3
22 2 3 2 2 2
1 2 1 1
2 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
F x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
             
                           
            
Los factores primos son        2 2 2
1 ; 1 ; 1 ; 1x x x x x x      ; siendo la suma de sus coeficientes:1; 2 o 3
PROYECTO Nº 98. Factoriza 4 4
4x y
Solución
    
24 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 4 2 2 2 2x x y y x y x y x y x xy y x xy y          
PROYECTO Nº 99. Factoriza 2 2
2a ab b ac bc   
Solución
      
22 2
2a ab b ac bc a b c a b a b a b c           
PROYECTO Nº 100. Factoriza: 2 3
2 50 2 50H n an a n     y da como respuesta el número de
factores primos.
Solución
          
2 3
2 2
2 50 2 50
50 2 2 25 1 2 5 1 5 1
H n an a n
n a n a n a n n a n n n
    
           
1; 2 o 3Rpta:
  2 2 2 2
2 2 2 2x xy y x xy y   
Rpta:
(a-b)(a-b-c)Rpta:
3Rpta: