El documento trata sobre transformaciones lineales. Explica la definición formal de una transformación lineal y que debe cumplir dos condiciones: 1) ser aditiva y 2) ser homogénea. Luego, presenta ejemplos para verificar si ciertas aplicaciones cumplen con las condiciones y por lo tanto son transformaciones lineales. Finalmente, enlista algunas propiedades importantes de las transformaciones lineales.
2. Al finalizar la sesión de aprendizaje, el
estudiante resuelve problemas sobre
transformaciones lineales haciendo uso de
la definición y propiedades.
Logro de sesión:
3. Si una de las
condiciones
falla, la
aplicación T ya
no sería una T.L.
DEFINICIÓN
Sean 𝕍 y 𝕎 espacios vectoriales reales. Una transformación lineal 𝑇 de 𝕍
en 𝕎 es una función que asigna a cada vector Ԧ
𝑣 ∈ 𝕍 un vector único
𝑇 Ԧ
𝑣 ∈ 𝕎 y que satisface, para cada 𝑢 y Ԧ
𝑣 en 𝕍 y cada escalar 𝛼:
𝟏°
𝟐°
𝑻 𝒖 + 𝒗 = 𝑻 𝒖 + 𝑻(𝒗), donde 𝒖, 𝒗 ∈ 𝕍.
𝑻(𝜶𝒗) = 𝜶𝑻 𝒗 donde 𝒗 ∈ 𝕍, 𝜶 ∈ ℝ.
TRANSFORMACIÓN
LINEAL
4. Sea la aplicación 𝑻: ℝ → ℝ tal que 𝑻 𝒙 = 𝟑𝒙. Verifique si 𝑻 es una
transformación lineal .
Solución
Se verifica las dos condiciones, por tanto:
𝑻 𝒙 + 𝒚 = 𝟑 𝒙 + 𝒚
= 𝟑𝒙 + 𝟑𝒚
= 𝑻 𝒙 + 𝑻(𝒚)
𝑻 𝜶𝒙 = 𝟑 𝜶𝒙
= 𝜶 𝟑𝒙
= 𝜶𝑻 𝒙
𝑻 𝒙 + 𝒚 = 𝑻 𝒙 + 𝑻(𝒚)
𝟏°
𝟐°
𝑻 𝜶𝒙 = 𝜶𝑻 𝒙
𝑻 𝒙 = 𝟑𝒙 , así definida es una transformación lineal.
EJEMPLO 1
5. Sea la aplicación 𝑻: ℝ → ℝ tal que 𝑻 𝒙 = 𝟕𝒙 − 𝟒. Verifique si 𝑻 es
una transformación lineal .
Solución
𝑻 𝒙 + 𝒚 =
𝑻 𝜶𝒙 =
𝟕 𝒙 + 𝒚 − 𝟒
= 𝟕𝒙 + 𝟕𝒚 − 𝟒
≠ 𝑻 𝒙 + 𝑻(𝒚)
7 𝜶𝒙 − 𝟒
≠ 𝜶𝑻 𝒙
Logramos ver que, NO se verifica las condiciones, por tanto:
𝑻 𝒙 + 𝒚 ≠ 𝑻 𝒙 + 𝑻(𝒚)
𝟏°
𝟐°
𝑻 𝜶𝒙 ≠ 𝜶𝑻 𝒙
𝑻 𝒙 = 𝟕𝒙 − 𝟒 no es una transformación lineal.
EJEMPLO 2
8. Álgebralineal
243
Ejemplo 4
Consideremos la transformación T: R2
R3
definida por T
x
y
x y
x y
y
=
+
−
3
Probaremos que T es una transformación lineal y después que satisface las
propiedades mencionadas en el teorema 7.1.
1) Sean u =
u
u
1
2
y v =
v
v
1
2
en R2
, entonces u + v =
u v
u v
1 1
2 2
+
+
T( u + v) = T
u v
u v
u v u v
u v u v
u v
1 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
3
+
+
=
+ + +
+ − +
+
( ) ( )
( ) ( )
( )
=
( ) ( )
( ) ( )
u u v v
u u v v
u v
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
3 3
+ + +
− + −
+
T(u) = T
u
u
u u
u u
u
1
2
1 2
1 2
2
3
=
+
−
y T(v) = T
v
v
v v
v v
v
1
2
1 2
1 2
2
3
=
+
−
T(u) + T(v) = T T
u
u
v
v
u u
u u
u
1
2
1
2
1 2
1 2
2
3
+
=
+
−
+
v v
v v
v
u u v v
u u v v
u
1 2
1 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
3 3
+
−
=
+ + +
− + −
+
( ) ( )
( ) ( )
3
3 2
v
De donde T(u + v) = T(u) + T(v)
2) Sea c un escalar, T(cu) = T
cu
cu
cu cu
cu cu
cu
1
2
1 2
1 2
2
3
=
+
−
cT(u) = c T
u
u
c
u u
u u
u
cu cu
cu cu
cu
1
2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
2
3 3
=
+
−
=
+
−
= T(cu)
por 1) y 2) T es una transformación lineal.
Probemos ahora las propiedades del teorema 7.1.
i) Sea 0 en R2
, entonces 0 =
0
0
y T(0) = T
0
0
0 0
0 0
3 0
0
0
0
=
+
−
=
( )
= 0 en R3
9. 244
Unidad 7
ii) T(–u) = T
−
−
=
− + −
− − −
−
=
− −
−
u
u
u u
u u
u
u u
u
1
2
1 2
1 2
2
1 2
1
3
( )
( )
( )
+
+
−
u
u
2
2
3
–T(u) = – T
u
u
u u
u u
u
u u
u u
u
1
2
1 2
1 2
2
1 2
1 2
2
3 3
= −
+
−
=
− −
− +
−
de donde T(–u) = –T(u)
iii) T(u – v) = T[u + (–v)] = T(u) + T(–v) = T(u) + [–T(v)] = T(u) – T(v)
iv) Sea v = c1
v1
+ c2
v2
+ ... + cn
vn
, una combinación lineal de vectores de
R2
, entonces por ser T una transformación lineal tenemos que
T(v) = T(c1
v1
+ c2
v2
+ ... + cn
vn
) = c1
T(v1
) + c2
T(v2
) + ... + cn
T(vn
)
Esta propiedad siempre se va a satisfacer por el simple hecho de ser una
transformación lineal si tomamos en cuenta la propiedad asociativa de los
reales.
La propiedad iv) es una propiedad muy importante ya que establece que
una transformación lineal T: V W está determinada por sus efectos sobre
los elementos de una base de V; ya que si {v1
, v2
, ..., vn
} es una base de V de
modo que T(v1
), T(v2
), ..., T(vn
) estén definidos, entonces T(v) está definida para
cualquier v en V.
Ejemplo 5
Sea B = {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)} la base canónica de R3
y sea
T: R3
R3
una transformación lineal tal que T(1, 0, 0) = (2, –1, 4) ; T(0, 1, 0)
= (1, 5, –2) y T(0, 0, 1) = (0, 3, 1)
Encontrar la imagen T(2, 3, –2).
Como (2, 3, –2) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) –2(0, 0, 1), entonces, por la
propiedad iv) del teorema 7.2 tenemos que
T(2, 3, –2) = 2 T(1, 0, 0) + 3 T(0, 1, 0) –2 T(0, 0, 1 )
= 2(2, –1, 4) + 3(1, 5, –2) –2(0, 3, 1) = (7, 7, 0)
