calculo

1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
La variable x se llama variable independiente y la variable
y es la variable dependiente.

2. Matemáticamente definiendo:
Una función real de variable real f:
A → R es una correspondencia de A ⊂ R en R
que asigne a todo x ∈ A a lo más un número real y
= f(x).
Notación de funciones:

4. Ejemplos de funciones reales de una variable:
Formas de representar funciones
FÒRMULAS

5. Criterio de la recta vertical para determinar una función
En una gráfica corresponde a una función y = f(x) , ninguna recta vertical la debe cortar en
más de un punto.

7. Las funciones reales de variable real se clasifican en:

8. TIPOS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.
Función implícita y explicita
Funciones algebraicas
Función polinómica
 Función Racional
Función Radical
Funcion Transcendente
Función exponencial
Función logarítmica
Función Trigonométrica
Función a trozos


9. FUNCION IMPLICITA Y EXPLICITA
 1)La función y=7x-3 esta expresada en forma
explicita
 La función y--7x+3=0 Estaría expresada en forma
implícita
 2) La función y+3x^2+8x+5=0 esta expresada en
forma implícita.
 Es decir y=-3x^2+8x -5 esta expresada en forma
explicita

10. FUNCIONES ALGEBRAICAS.

11. FUNCIÓN POLINÓMICA

12. FUNCIONES RACIONALES

13. FUNCIONES RADICALES.

14. FUNCIONES TRANSCENDENTES

15. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

16. FUNCION EXPONENCIAL

17. FUNCIÓN LOGARÍTMICA

18. FUNCIÓN A TROZOS

19. REPRESENTACION GRAFICA
x y
-2 f(x)=2(-2)+1=-3
-1 f(x)=2(-1)+1=-1
0 f(x)=2(0)-+1=1
1 f(x)=2(1)+1=3
2 f(x)=2(2)+1=5

20. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES DE 1 VARIABLE
Ejemplo 1:
Considere la función mostrada en el diagrama.

21. Ejemplo 2:
Hallar el dominio y rango de la siguiente función
f(x)=
𝑋2+2
𝑋−1
DETERMINACIÓN DEL DOMINIO
 Dom f(x)
f(x)= 𝑋2+2
𝑋−1

22. DETERMINACIÓN DEL RANGO
 Cambiar f(x) por ‘‘y’’
y =
x2+2
x−1

24. GRÁFICA

25. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES
DEFINICIÓN: DENOTEMOS POR ℝ2 = {(X, Y) : X, Y ∈ ℝ}, Y SEA D ⊂ ℝ2. UNA APLICACIÓN
F : D → ℝ
(X, Y) → Z = F(X, Y)
SE DENOMINA UNA FUNCIÓN VALUADA REAL DE DOS VARIABLES REALES. ES USUAL DENOTAR POR Z = F(X, Y)
A ESTAS FUNCIONES.
EJEMPLO:

26. PROPIEDADES
LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SE PUEDEN COMBINAR IGUAL QUE LAS DE UNA VARIABLE:

27. Definición de grafica
Un ejemplo de como se ve una función de
tres variables:
La función

28. Finalmente, se completa la superficie uniendo
las curvas trazadas

29. DOMINIO Y RECORRIDO

30. Proceso.
El dominio depende de como interactuan estas variables.
El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas variables pueden tomar
cualquier valor de los números reales
El rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en realidad son
todos los reales, pues nunca se indefine

31. EJEMPLO
Términos de una sola variable se identifica, los valores de la independiente (x).
f(x,y)= 4x² + y²
Dom: 𝑹𝟐
Z= f(x,y) Z= 4x² + y²
Z= 4x² + y²
x² ≥ 0 y² ≥ 0
z ≥ 0
Ran: {Z€R/Z ≥0}
Ran: {Z€R/[0,∞]}

32. GRÁFICA Z=4X² + Y²
x=0 y=0
Z=y² plano yz Z= 4x² plano xz
Z=0
0= 4x² + y² (x,y)= (0,0)
(x,y,z)= (0,0,0)

33. Z>0 Z=4
4x² + y²=0 Plano xy
4𝑥2
4
+
𝑦2
4
=
4
4
𝑥2+
𝑦2
4
= 1
Elipse vertical

34. CONJUNTOS DE NIVEL

35. Las curvas de nivel de una función f (x, y) son los
puntos (x, y) del dominio de f, tales que f (x, y) = k,
donde k es una constante

37. Vamos a igualar a una constante f (x,y) = k
K = 6 - 3x - 2y se lo ordena
3x + 2y = 6 - k
Expresión que va a
determinar todas las
curvas de nivel
Para k = 0
3x + 2y = 6 -0
3x + 2y = 6
2y = 6 - 3x
y= -3/2x + 3
X y
0 3
-1 4.5
Para k = 6
3x + 2y = 6 – 6
2y = -3x
y = -3/2x
X y
0 0
-1 1.5
3x + 2y = 0
f ( x, y)= 6 - 3x- 2y para k = 0 y k = 6

38. CURVAS DE NIVEL

39. 1.-COSTRUIR LAS CURVAS DE NIVEL DE LA
FUNCIÓN
𝒇(𝒙, 𝒚) =
𝑥2+𝑦2
2𝑥

40.  𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌, es una curva de nivel para cada 𝒌 ∈ 𝒁.
 Luego 𝒌 =
𝑥2+𝑦2
2𝑥
 𝟐𝒙𝒌 = 𝑥2 + 𝑦2
 (𝑥2
− 𝟐𝒙𝒌 + 𝑘2
) + 𝑦2
= 𝑘2
→ COMPLETACION DEL
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
 (𝒙 − 𝒌)2 + 𝑦2 = 𝑘2 → Representa una familia de
circuferencias que son las curvas de nivel con centro en (𝒌
,0).
 Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟏)2
+ 𝑦2
= 𝟏
 Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟐)2
+ 𝑦2
= 𝟒
 Para 𝒌 = 𝟑 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟑)2+ 𝑦2 = 𝟗
 Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación (𝒙 − 𝟒)2+ 𝑦2 = 𝟏𝟔

42. 2.-CONSTRUIR LAS CURVAS DE NIVEL DE
LA FUNCIÓN
𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒚 − 𝟏)2
− (𝒙 − 𝟏)2

43.  𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒌, es una curva de nivel para cada 𝒌 ∈ 𝒁.
 Luego 𝒌 = (𝒚 − 𝟏)2
−(𝒙 − 𝟏)2
→ representan una familia de
hipérbolas que son las curvas de nivel con centro en (𝟏, 𝟏) con
su eje mayor en el eje y.
 Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación 𝟏 = (𝒚 − 𝟏)2
− (𝒙 − 𝟏
)2
 Para 𝒌 = 𝟓 entonces tenemos la ecuación 𝟓 = (𝒚 − 𝟏)2− (𝒙 − 𝟏
)2
 Para 𝒌 = 𝟗 entonces tenemos la ecuación 𝟗 = (𝒚 − 𝟏)2− (𝒙 − 𝟏
)2
 Para 𝒌 = 𝟏𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝟏𝟒 = (𝒚 − 𝟏)2
− (𝒙 −
𝟏)2

45. SUPERFICIE DE NIVEL

46. • LA FUNCIÓN 𝒇 ESTÁ DEFINIDA POR:
𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛.
DIBUJE LAS SUPERFICIES DE NIVEL 𝒇
PARA LOS SIGUIENTES VALORES DE
𝒌: 𝟏𝟔, 𝟏𝟐, 𝟖, 𝟒 𝒚 𝟐

47.  Una ecuación de la superficie de nivel de 𝒇 en 𝒌 es
 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝒌 → Cuya gráfica es un plano. Para los
valores dados de 𝑘 se tienen los planos paralelos
siguientes.
 Para 𝒌 = 𝟏𝟔 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏
𝟔
 Para 𝒌 = 𝟏𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏
𝟐
 Para 𝒌 = 𝟖 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖
 Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟒
 Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟐

49.  Describir las superficies de nivel para la
función 𝒇(𝒙, 𝒚,z ) =
2𝑥2+𝑦2
𝑧
 Para 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒

50.  La superficie de nivel de 𝒇 en el número 𝒌 tiene la
ecuación k=
2𝑥2+𝑦2
𝑧
 entonces 𝒛𝒌 = 2𝑥2 + 𝑦2 que representa una familia de
paraboloides elípticos cuyo vértice es el punto (𝟎, 𝟎, 𝟎).
 Para 𝒌 = 𝟏 entonces tenemos la ecuación 𝒛 = 2𝑥2 + 𝑦2
 Para 𝒌 = 𝟐 entonces tenemos la ecuación 𝟐𝒛 = 2𝑥2 + 𝑦2
 Para 𝒌 = 𝟑 entonces tenemos la ecuación 𝟑𝒌 = 2𝑥2
+ 𝑦2
 Para 𝒌 = 𝟒 entonces tenemos la ecuación 𝟒𝒌 = 2𝑥2 + 𝑦2

52. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Una idea intuitiva de función continua se tiene al
considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se
puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

53. CONTINUIDAD EN UN PUNTO

54. CONTINUIDAD LATERAL

55. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

56. CONTINUIDAD DE FUNCIONES POR PARTES

57. Ejemplo