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321
e.- f(B + C) = A-1
(B + C)A = A-1
(BA + CA) = A-1
BA + A-1
CA
= (A-1
BA) + (A-1
CA) = f(B) + f(C).
Por lo tanto f es transformación lineal.
f.- f(B + C) = (B + C)T
+ (B + C)+
= (B)T
+ (C)T
+ (B)+
+ (C)+
T T + +
T T + +
αB +βC + αB +βC α (B) +β (C), α, β C
=
αB +βC + αB +βC = α (B) +β (C), α, β R
f f
f f
.
Por lo tanto f es transformación lineal si , R.
g.- f(B + D) = (B + D)C + C(B + D) = BC + DC + CB + CD
= (BC + CB) + (DC + CD) = f(B) + f(D).
Por lo tanto f es transformación lineal.
EJEMPLO 7.1.9
Determinar cuál de las siguientes funciones define una transformación lineal en el
espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3:
a.- f(p(x)) = (p(x))2
; b.- f(p(x)) = p(x + 1) - p(x);
c.- f(p(x)) = p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x); d.- f(p(x)) = p(x + 1) – p´(0).
SOLUCION
Sean p(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, q(x) = ex3
+ fx2
+ gx + h dos polinomios del espacio
de salida P3 y sean , escalares, entonces:
q(x) + h(x) = (a + e)x3
+ (b + f)x2
+ (c + g)x + (d + h).
a.- f(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))2
= 2
p2
(x) + 2p(x)q(x) + 2
q2
(x)
f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f no es transformación lineal.
b.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)(x)
= p(x + 1) + q(x + 1) - p(x) - q(x)
= [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)]
= [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)]
= f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)´´(x) - 2(p + q)´(x) + 3(p + q)(x)
= p´´(x) + q´´(x) - 2p´(x) - 2q´(x) + 3p(x) + 3q(x)
= [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]
= [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]
= f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
d.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)´(0)
= p(x + 1) + q(x + 1) - p´(0) - q´(0)
= [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)]
= [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)]
= f(p(x)) + f(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
Considere la transformación lineal que aplica a todo vector de U sobre el vector cero
de V. Esta aplicación se llama aplicación cero. Si W es cualquier subespacio de V,
existe también una aplicación cero de U hacia W, y esta aplicación tiene el mismo
efecto sobre los elementos de U, como la aplicación cero de U hacia V. Sin embargo,
son transformaciones lineales diferentes, ya que tienen codominios diferentes.
Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las
operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a
cabo en espacios vectoriales diferentes. Además, la observación acerca de la
multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a
escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-9-320.jpg)
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325
y que transforma todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. Suponga que
la transformación buscada f existe. Tómese un vector arbitrario u de U y represéntelo
en forma de un desarrollo u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, entonces
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
= a1v1 + a2v2 + ... + anvn.
El segundo miembro de esta identidad se determina unívocamente por el vector u
y las imágenes de la base. Por esta razón, la igualdad obtenida demuestra la
unicidad de la transformación f, si éste existe. Por otra parte, podemos definir la
transformación f precisamente mediante esta igualdad, es decir, poner f(u) = a1v1
+ a2v2 + ... + anvn. La transformación obtenida, es una transformación lineal que
actúa de U en V y transforma, a la vez, todo vector de S1 en el vector
correspondiente de S2. El dominio de la transformación f coincide con el
subespacio generado por el sistema de vectores S2.
Ahora podemos enunciar el siguiente teorema:
TEOREMA 7.2.1
La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está
completamente definido mediante la totalidad de imágenes f(u1), f(u2), ...,
f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.
DEMOSTRACION
Fijemos en el espacio U la base S1 = {u1, u2, ..., un} y en el espacio V, la base
S2 = {v1, v2, ..., vm}. El vector u1 se transforma por la transformación f en cierto
vector f(u1) del espacio V, el cual, como todo vector de este espacio, puede ser
desarrollado por vectores básicos
f(u1) = a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm
f(u2) = a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm
. . .
f(un) = an1v1 + an2v2 + ... + anmvm
Los coeficientes aij de estas combinaciones lineales determinan una matriz A de m
filas y n columnas
11 21 1
12 22 2
1 2
A
m
m
n n mn
a a a
a a a
a a a
que se denomina matriz de la transformación f en bases elegidas. Como columnas de
la matriz de la transformación sirven los coeficientes de la cada combinación, en
otras palabras, las coordenadas de los vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) respecto de la base
S2. Con el fin de determinar el elemento aij de la matriz de la transformación f hace
falta aplicar la transformación al vector uj y tomar la i-ésima coordenada en la
imagen f(uj). En lo sucesivo haremos uso del método descrito para determinar los
elementos de la matriz de la transformación. Considere un vector arbitrario u de U y
su imagen v = f(u). Aclaremos de qué modo se expresar las coordenadas del vector v
en términos de las coordenadas del vector u y los elementos de la matriz de la
transformación. Sea
u = a1u1 + a2u2 + ... + anun
y
v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm
calculamos
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
= a1[a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm] + a2[a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm] + ... + an[an1v1 +
an2v2 + ... + anmvm]](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-13-320.jpg)
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326
= [a1a11 + a2a21 + ... + anan1]v1 + [a1a12 + a2a22 + ... + anan2]v2 + ... + [a1a1m +
a2a2m + ... + ananm]vm
Al comparar el segundo miembro de estas igualdades con el desarrollo de v,
concluimos que deben cumplirse las igualdades
a11a1 + a21a2 + ... + an1an = b1
a12a1 + a22a2 + ... + an2an = b2
. . .
a1ma1 + a2ma2 + ... + anman = bm
De esta manera, toda transformación lineal genera, cuando están definidas las
bases en los espacios U y V, las identidades antes mencionadas que relacionan
entre sí las coordenadas de la imagen y las de la preimagen. Con el fin de
determinar las coordenadas de la imagen según las coordenadas de la preimagen
basta calcular los primeros miembros de estas identidades.
Siendo determinadas las bases en los espacios U y V, la igualdad coordenada permite
investigar totalmente la acción de una transformación lineal. Evidentemente, cuanto
más simple es la forma de la matriz de una transformación, tanto más eficaz será la
realización de dicha investigación. Generalmente las matrices de las
transformaciones dependen de las bases y la tarea inmediata consiste en aclarar esta
dependencia.
Sean S1 = {u1, u2, ..., um} y S2 = {v1, v2, ..., vm} dos bases del espacio vectorial U. Los
vectores de S2 se definen unívocamente mediante sus descomposiciones
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
m m m mm m
v a u a u a u
v a u a u a u
v a u a u a u
(1)
según los vectores de S1. Los coeficientes aij determinan la matriz
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
P
... ... ...
...
m
m
m m mm
a a a
a a a
a a a
la cual se denomina matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base
S1 a la base S2.
Tómese un vector arbitrario u de U y descompóngase según los vectores de ambas
bases. Sea
u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm
De acuerdo con (1) tenemos
b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm
= c1(a11u1 + a12u2 + ... + a1mum) + c2(a21u1 + a22u2 + ... +
a2mum) + ... + cm(am1u1 + am2u2 + ... + ammum)
= (a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)u1 + (a12c1 + a22c2 + ... +
am2cm)u2 + ... + (a1mc1 + a2mc2 + ... + ammcm)um.
Comparando los coeficientes ui en el primero y segundo miembros de las
correlaciones, encontramos
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
m m m mm m
b a c a c a c
b a c a c a c
b a c a c a c
(2)
Estas fórmulas se denominan fórmulas de transformación de las coordenadas.](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-14-320.jpg)
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329
EJEMPLO 7.2.3
Considérese f la transformación lineal de P4 en P4 definida por f(p) = p'(x). Obtenga
[f]S en la base canónica de P4.
SOLUCION
La base canónica de P4 es S = {1, x, x2
, x3
, x4
}. A continuación determinamos las
imágenes con respecto a cada elemento de S, es decir:
[f(1)]S = [(1)']S = [0]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x)]S = [(x)']S = [1]S = 1(1) + 0(x) + 0(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x2
)]S = [(x2
)']S = [2x]S = 0(1) + 2(x) + 0(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x3
)]S = [(x3
)']S = [3x2
]S = 0(1) + 0(x) + 3(x2
) + 0(x3
) + 0(x4
);
[f(x4
)]S = [(x4
)']S = [4x3
]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2
) + 4(x3
) + 0(x4
).
Por lo tanto
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4
0 0 0 0 0
f
S .
Mediante esta matriz, podemos derivar p(x) = 5 + 8x - 10x2
+ 6x3
- 7x4
, es decir
0 1 0 0 0 5 8
0 0 2 0 0 8 20
( ) ' 0 0 0 3 0 10 18
0 0 0 0 4 6 28
0 0 0 0 0 7 0
f p p f p
S S S S .
Por lo tanto, p'(x) = 8 - 20x + 18x2
- 28x3
.
EJEMPLO 7.2.4
Sea f la transformación lineal de R3
en R4
definida por
f((a, b, c)) = (a + 3b – c, 2a + b + 3c, -3a - 14b + 8c, 3a + 4b + 2c)
Obtenga fS en las bases canónicas.
SOLUCION
Tómense las bases canónicas de R3
y R4
:
S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
y
S2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
A continuación, obtenemos las imágenes correspondientes
f((1, 0, 0)) = (1, 2, -3, 3), f((0, 1, 0)) = (3, 1, -14, 4), f((0, 0, 1)) = (-1, 3, 8, 2)
obtenemos la matriz
2
1
1 3 1
2 1 3
3 14 8
3 4 2
f
S
S .
EJEMPLO 7.2.5
Encuentre la matriz de la transformación lineal D definida en el conjunto de
polinomios en t sobre R de grado a lo sumo igual a 2 mediante D(p(t)) = p´(t), en
relación con la base.
a.- S1 = {1 + t, t, 1 + 2t + t2
}; b.- S2 = {1/2(1 - t), 1/2(1 + t), t2
}.
SOLUCION
a.- D(1 + t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2
)
D(t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2
)
D(1 + 2t + t2
) = 2 + 2t = 2(1 + t) + 0t + 0(1 + 2t + t2
)](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-17-320.jpg)
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333
7.2.10 Sea S = {1, x, x2
, x3
} una base de P3 y sea
f : P3 P4 la transformación lineal definida por
0
( )
xk k
f x t dt :
a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la
base canónica de P4.
b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x – 2x2
+ 5x3
.
7.2.11 Use la matriz de rotación en R2
en sentido
antihorario para rotar 90° alrededor del origen el
triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0).
Grafique los triángulos.
7.2.12 Sean
S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)}
bases de R2
, y sea
3 2
A
0 4
la matriz de f : R2
R2
con respecto a S1:
a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1.
b.- Aplique las matrices A y P para encontrar 1
[ ]v S y
1
[ ( )]f v S , donde 2
1
[ ]
2
v
S .
c.- Determine B, la matriz de f con respecto a S2, y P-1
.
d.- Encuentre 2
[ ( )]f v S de dos formas: primero como
1
1
P [ ( )]f v
S y luego como 2
B[ ]v S .
7.2.13 En R3
sean S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y
S2 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. Encuentre la matriz de
transición P de S1 hacia S2 y la matriz de transición P-1
de S2 hacia S1.
7.2.14 Sea S1, S2 y S3 tres base de V. Sea P la matriz de
transición de S1 hacia S2 y Q la matriz de transición de S2
hacia S3. ¿Es PQ o QP la matriz de transición de S1 hacia
S3? Compare el orden de multiplicación de las matrices
de transición y de las matrices que representan
transformaciones lineales.
7.2.15 Sea f una transformación lineal de R2
hacía si
mismo que aplica a (1, 0) sobre (3, -1) y a (0, 1) sobre (-
1, 2). Determine la matriz que representa a f con respecto
a las bases canónicas.
7.2.16 Sea S = {1, x, ex
, xex
} una base de un subespacio
U del espacio de funciones continuas y sea Dx el
operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para Dx
con respecto a la base S.
7.2.17 Sea S = {e2x
, xe2x
, x2
e2x
} una base de un
subespacio U del espacio de funciones continuas y sea Dx
el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para
Dx con respecto a la base S.
7.2.18 Sea u = (x, y), v = (-7, 4) y w = (3, -8), y sea
f : R2
R2
una transformación que transforma u en
v + w. Encuentre una matriz tal que f(u) sea Au para
cada u.
7.2.19 La transformación lineal definida por una matriz
diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son
positivos se denomina amplificación. Encontrar las
imágenes de (1, 0), (0, 1) y (2, 2) bajo la transformación
definida por
2 0
A
0 3
e interpretar gráficamente los
resultados.
7.2.20 Considere los números complejos de la forma
x + iy y represente tales números complejos por las
diadas (x, y) en R2
. Sea a + ib un número complejo fijo.
Considere la función f definida por la regla
f(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = u + iv:
a.- Demuestre que esta función es una transformación
lineal de R2
hacia sí mismo que aplica a (x, y) sobre
(u, v).
b.- Encuentre la matriz que representa a esta
transformación lineal con respecto a la base canónica.
c.- Encuentre la matriz que representa a la
transformación lineal que se obtiene usando c + id en
lugar de a + ib. Calcule el producto de estas dos
matrices. ¿Se pueden conmutar?
d.- Determine el número complejo que se pueda usar en
lugar de a + ib para obtener una transformación
representada por este producto de matrices. ¿Cómo está
relacionado este número complejo con a + ib y c + id?
7.2.21 En el espacio C0; 1, definamos T(f) como Mf,
donde Mf es la función de x definida de la manera
siguiente, Mf(x) = máximo de f en 0; x, 0 x 1. De
esto tenemos un ejemplo en un termómetro que registra
la temperatura máxima. Se puede demostrar que Mf(x)
es función continua en 0; 1 cuando f también lo es:
a.- Encuéntrese T(f) en
f(x) = x – x2
, f(x) = e-x
, f(x) = Sen3x, f(x) = x2
– x.
b.- ¿Es T transformación lineal?
c.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) es la
función cero.
d.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) = f.
7.2.22 Sea f : R3
R3
la transformación lineal
determinada por la matriz
0 0
A 0 0
0 0
a
b
c
donde a, b y c son números positivos. Sea S la esfera
unitaria, cuya superficie limitante tiene la ecuación
2 2 2
1 2 3 1x x x :](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-21-320.jpg)
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334
a.- Demuestre que f(S) está delimitada por el elipsoide
que tiene la ecuación
22 2
31 2
2 2 2
1
xx x
a b c
.
b.- Utilice el hecho de que el volumen de la esfera
unitaria es 4/3 para determinar el volumen de la región
acotada por el elipsoide de a).
7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
En esta sección se analizarán las operaciones que se pueden realizar entre transformaciones lineales.
Enunciaremos sus propiedades más importantes.
Comenzamos el estudio sistemático de las transformaciones lineales con la
descripción de varias maneras en que pueden formarse nuevas transformaciones
partiendo de otras. De entre ellas la más simple es la adición de dos
transformaciones lineales, cada una de las cuales aplica un espacio vectorial dado
U en el espacio V.
DEFINICION 7.3.1
Sean U y V espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K. La suma
f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V está dada
por (f + g)(u) = f(u) + g(u) para cada vector u de U.
Ciertamente f + g es función de U en V. No obstante, es natural preguntarse si f + g
es una transformación lineal.
TEOREMA 7.3.1
La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V,
es una transformación lineal.
DEMOSTRACION
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios de K. Para
demostrar que f + g sea una transformación lineal, debemos probar que
(f + g)(au + bv) = a(f + g)(u) + b(f + g)(v).
Es decir
(f + g)(au + bv) = f(au + bv) + g(au + vb)
= [af(u) + bf(v)) + (ag(u) + bg(v))]
= [af(u) + ag(u)) + (bf(v) + bg(v))]
= a[f(u) + g(u)] + b[f(v) + g(v)]
= a(f + g)(u) + b(f + g)(v).
La adición de transformaciones lineales tiene un gran número de propiedades
familiares y sugerentes. En primer lugar f + (g + h) = (f + g) + h y f + g = g + f,
siempre que f, g y h sean transformaciones lineales de U en V. En segundo lugar, la
transformación cero de U en V actúa como un cero para esta adición, ya que f + =
+ f = f para toda f de U en V. Finalmente, si f es cualquier transformación lineal de
U en V y si definimos –f por la ecuación (-f)(u) = - f(u), para toda u de U, obtenemos
una transformación lineal de U en V con la propiedad de que f + (-f) = (-f) + f = .
A continuación detallaremos la matriz asociada a la transformación lineal f + g. Sean
S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V
respectivamente, y sean
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
m m nm
a a a
a a a
a a a
y
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
B
... ... ..
...
n
n
g
m m nm
b b b
b b b
b b b
las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-22-320.jpg)
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336
= (3a + 6b + 9c, 12a + 15b + 18c, 21a + 24b) - (2a + 6b + 2c, 2a – 6b + 4c, 2a + 2c)
= (a + 7c, 10a + 21b + 14c, 19a + 24b – 2c).
Para completar lo que ahora debe ser una sucesión obvia de ideas, presentamos
una multiplicación escalar en el conjunto de las transformaciones lineales de U en
V.
DEFINICION 7.3.2
El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f
de U en V está dada por (af)(u) = af(u) para todo vector u de U.
En otras palabras, af es la función cuyo valor en u se calcula formando el producto
escalar de a y el vector f(u).
TEOREMA 7.3.2
El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de
U en V, es una transformación lineal.
DEMOSTRACION
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean k y r, escalares arbitrarios. Para
demostrar que af es una transformación lineal, debemos probar que
(af)(ku + rv) = k[(af)(u)] + r[(af)(v)].
Es decir
(af)(ku + rv) = a[f(ku + rv)]
= a[kf(u) + rf(v)]
= (ak)f(u) + (ar)f(v)
= k[af(u)] + r[af(v)]
= k[(af)(u)] + r[(af)(v)].
Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y
V respectivamente, y sea
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
m m nm
a a a
a a a
a a a
la matriz asociada a la transformación lineal f en las bases consideradas
anteriormente.
Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la
matriz asociada a la transformación af:
(af)(u1) = af(u1) = a(a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm)
= aa11v1 + aa12v2 + ... + aa1mvm
(af)(u2) = af(u2) = a(a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm)
= aa21v1 + aa22v2 + ... + aa2mvm
. . .
(af)(un) = af(un) = a(an1v1 + an2v2 + ... + anmvm)
= aan1v1 + aan2v2 + ... + aanmvm
por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
A
... ... ...
...
n
n
f
m m nm
aa aa aa
aa aa aa
a
aa aa aa
es decir, la matriz asociada a la transformación lineal af se obtiene multiplicando el
escalar a por todos los elementos de la matriz asociada a la transformación lineal f.](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-24-320.jpg)
![TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
337
Al conjunto de transformaciones lineales f de U en V, se designa por L(U, V). Si
U y V son ambos de dimensión finita, entonces L(U, V) es de dimensión finita, y de
hecho dimL(U, V) = dimUdimV.
TEOREMA 7.3.3
Con la adición y la multiplicación escalar como se definieron antes,
L(U, V) es un espacio vectorial sobre K.
DEMOSTRACION
Es necesario verificar, uno por uno, que los axiomas de la definición de espacio
vectorial son satisfechos. Para comprobar el primer axioma, debemos demostrar que
la suma f + g de las transformaciones lineales es una transformación lineal. Esto ya
se demostró antes. Para comprobar el axioma 6 se debe demostrar que el producto af
del escalar a y la transformación lineal f es una transformación lineal. Esto también
lo hicimos antes. La demostración se termina ahora con el siguiente razonamiento:
L(U, V) es un subconjunto de V(U), y las operaciones de adición y multiplicación
por escalares en L(U, V) y V(U), son las mismas. Como L(U, V) no es vacío y
satisface los dos axiomas 1 y 6, se desprende que L(U, V) es un espacio vectorial. El
espacio L(U, V) es un subespacio de V(U).
Para definir esta multiplicación, sean U, V y W espacios vectoriales, y
consideremos un par de transformaciones lineales f : U V y g : V W.
Entonces, para todo u de U, f(u) es un vector en V, y tiene por ello sentido hablar
de aplicar g a f(u) para obtener el vector g(f(u)) de W. Así, f y g pueden
combinarse, o multiplicarse, para producir una transformación de U en W, la que
denotaremos por gf, y llamaremos el producto de f y g en ese orden, es decir, primero
f, luego g.
DEFINICION 7.3.3
El producto, gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W
se define por (gf)(u) = g(f(u)) para todo vector u de U.
TEOREMA 7.3.4
El producto gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en
W es una transformación lineal.
DEMOSTRACION
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios. Para
demostrar que gf es una transformación lineal, debemos probar que
(gf)(au + bv) = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].
Es decir
(gf)(au + bv) = g[f(au + bv)]
= g[af(u) + bf(v)]
= ag[f(u)] + bg[f(v)]
= a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].
Antes de proseguir, es conveniente un comentario sobre la notación. A primera vista
parecería más razonable denotar la composición de f y g por fg en lugar de gf como
arriba aparece. La explicación de no adoptar esta notación es muy simple. Si se usara
gf tendría que cambiarse para que tuviéramos fg(u) = g(f(u)), y la escritura de
ecuaciones se convertiría en una clara invitación al error. Una vez que se ha
establecido la convención de que el símbolo gf es el que se emplea para la
composición de f y g, en ese orden, observamos que esta composición está definida
solamente cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. Así pues, una de
las composiciones fg ó gf puede existir y el otro no. Pero incluso cuando tanto f como
g transformen un espacio vectorial dado en sí mismo, en cuyo caso fg y gf son
transformaciones lineales en el mismo espacio, no es cierto en forma alguna que](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-25-320.jpg)
 = h[(f + g)(u)]
= h[f(u) + g(u)]
= h[f(u)] + h[g(u)]
= (hf)(u) + (hg)(u)
= (hf + hg)(u)
b.- Como h + t va de V en W y f va de U en V, entonces (h + t)f es una función de
U en W. Análogamente, hf va de U en W y tf va de U en W y así hf + tf es una
función de U en W. Por tanto, para demostrar que (h + t)f = hf + tf, debemos evaluar
cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son
siempre iguales. Es decir
[(h + t)f](u) = (h + t)[f(u)] = h[f(u)] + t[f(u)] = (hf)(u) + (tf)(u) = (hf + tf)(u).
Obsérvese que en el primer producto, h aparece a la izquierda, mientras que en el
segundo producto, f aparece a la derecha. Debido a que la multiplicación de las
transformaciones lineales no es conmutativa, las dos fórmulas no pueden
comprimirse en una sola ley distributiva. La primera fórmula se llama ley
distributiva a la izquierda y, la segunda fórmula, ley distributiva a la derecha. Sean
las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W, y a un escalar arbitrario.
Entonces
a(gf) = (ag)f = g(af).
Hemos presentado los resultados básicos referentes a las sumas, a los productos
escalares y a los productos de transformaciones lineales.
Consideremos ahora el caso especial de las transformaciones lineales de V en V; esto
es, estudiaremos ahora L(V, V).
TEOREMA 7.3.6
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces L(V, V) cumple lo
siguiente:
a.- L(V, V) es un espacio vectorial sobre K;
b.- L(V, V) es cerrado bajo la multiplicación;
c.- f(gh) = (fg)h para toda f, g y h de L(V, V);
d.- Para cualesquiera f, g y h de L(V, V) tenemos
f(g + h) = fg + fh y (g + h)f = gf + hf;
e.- Para un escalar a de K y cualesquiera f y g de L(V, V), tenemos que](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-27-320.jpg)
![TRANSFORMACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
354
7.4.14 Sean u y v vectores linealmente independientes
en R3
y sea el plano a través de u, v y . La ecuación
paramétrica de es x = su + tv. Demuestre que una
transformación lineal f : R3
R3
transforma sobre un
plano que pasa por o sobre una línea que pasa por o
sólo sobre el origen en R3
. ¿Qué se les tiene que pedir a
f(u) y f(v) para que la imagen del plano sea un plano?
7.4.15 En cada uno de los literales, la transformación f :
V V es la que se indica. Determinar, en cada caso, si f
es lineal. Si lo es, decir cuáles son el núcleo y la imagen
y calcular sus dimensiones cuando sean finitas:
a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios
reales p(x) de grado n. Si p V, q = f(p) significa que
q(x) = p(x + 1) para todo real de x.
b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones
reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f V,
g = f(f) significa que g(x) = xf ´(x) para todo x (-1; 1).
c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones
reales derivables dos veces en un intervalo abierto (a; b).
Si y V, definir f(y) = y´´ + Py´ + Qy siendo P y Q dos
constantes.
7.4.16 Sea V un espacio vectorial con producto interior.
Para un vector fijo u diferente de cero en V, sea f : V
R la transformación lineal f(v) = v u. Determinar el
núcleo y la imagen de f. Luego determinar la nulidad y
rango de f.
7.4.17 Sea f : R3
R2
una transformación lineal tal que
f((1, 1, 0)) = f((1, 1, 1)) = (0, 0), f((2, 3, -1)) .
Demuestre que el núcleo de f es un plano en R3
que pasa
por el origen. Halle su ecuación.
7.4.18 Sea f : V V la transformación lineal definida
así: Si f V, g = f(f) significa que
( ) [1 ( )] ( )g x Cos x t f t dt
:
a.- Demuestre que f(V), la imagen de f, es de dimensión
finita y hallar una base para f(V).
b.- Determinar el núcleo de f.
c.- Hallar todos los números reales c 0 y todas las
funciones f no nulas de V tales que f(f) = cf.
7.4.19 Sea f : R R una transformación lineal. Hallar
la nulidad y el rango de f y dé una descripción
geométrica del núcleo e imagen de f:
a.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario con
respecto al eje Z:
2 2 2 2
(( , , )) , ,
2 2 2 2
f x y z x y x y z
.
b.- f es la reflexión con respecto al plano de coordenadas
YZ:
f((x, y, z)) = (-x, y, z).
c.- f es la proyección sobre el vector v = (1, 2, 2):
2 2
(( , , )) (1, 2, 2).
9
x y z
f x y z
d.- f es la proyección sobre el plano de coordenadas
XY:
f((x, y, z)) = (x, y, 0).
7.4.20 Sea f : nxn nxn definida por f(A) = A – AT
.
Demuestre que el núcleo de f es el conjunto de las
matrices simétricas de n x n.
7.4.21 Sea u = (1, -1, 7) y sea
1 3 4 3
A 0 1 3 2
3 7 6 5
¿Está u en el rango de la transformación lineal?
7.4.22 Considere la transformación lineal gf : Rm
Rs
. Demuestre que
Nuc(f) Nuc(gf), Img(gf) = Img(g).
7.4.23 Determinar si las transformaciones f : V V son
lineales. Si lo son, decir cuáles son el núcleo y la imagen y
calcular sus dimensiones:
a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios
reales p(x) de grado menor o igual a n. Si p V, q = f(p)
significa que q(x) = p(x + 1), para toda x R;
b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones
reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f V,
g = f(f) significa que g(x) = xf '(x) para toda x (-1; 1);
c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales
continuas en [a; b]. Si f V, g = f(f) significa que
( ) ( ) ( )
b
a
g x f t Sen x t dt , para toda x [a; b].
7.4.24 Sea S = {1, x, Senx, Cosx} una base de un
subespacio W del espacio de funciones continuas, y sea
Dx el operador diferencial sobre W. Encuentre la matriz
de Dx con respecto a la base S. Encuentre el núcleo e
imagen de Dx.
7.4.25 Sea u = (9, 5, 0, -9) y sea
1 2 7 5
0 1 4 0
A
1 0 1 6
2 1 6 8
¿Está u en el rango de la transformación lineal?
7.4.26 Si U = R3
, V = R3
y f(u) es el complemento
ortogonal de u respecto del plano representado
implícitamente por u + v + w = 0, mostrar que f es una
transformación lineal. Encontrar el núcleo y la imagen de
f.](https://image.slidesharecdn.com/transformaciones-lineales-150811013131-lva1-app6891/85/Transformaciones-lineales-42-320.jpg)
Subido porCindy Adriana Bohórquez Santana
Transformaciones lineales
Este documento describe transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Explica que una transformación lineal preserva las combinaciones lineales y puede representarse mediante una matriz. Analiza ejemplos de funciones que definen y no definen transformaciones lineales evaluando si se cumplen las propiedades de adición y multiplicación escalar.
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- 1. OBJETIVO Resolver problemas relacionadoscon transformaciones lineales, mediante la interpretación y representación en términos de matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería. CONTENIDO: 7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES 7.2 REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE 7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES 7.4 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL 7.5 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES 7.6 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R2 7.7 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R3 7.8 FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL 7.9 CUESTIONARIO 7.1 DEFINICIONES Y PROPIEDADES En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial U a un espacio vectorial V. Analizaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. La atención se centrará en una clase especial de tales funciones denominadas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen muchas aplicaciones importantes. En este capítulo, estudiaremos un tipo especial de función definida en un espacio vectorial U y que toma los valores que son vectores en el mismo o en otro espacio vectorial V, las cuales no alteran a las combinaciones lineales. Esta función se llama transformación lineal. Estas transformaciones se pueden representar por medio de matrices, en el mismo sentido que los vectores se representan por medio de n-adas. Esta representación requiere que se definan las operaciones de adición, multiplicación por escalares y multiplicación de matrices, de modo que correspondan a estas operaciones con las transformaciones lineales. La matriz que representa a una transformación lineal de U hacia V, depende de la elección de una base en U y una base en V. Nuestro primer problema, que se repite siempre que se usan matrices para representar cualquier cosa, es ver en qué forma un cambio en la elección de las bases determina un cambio correspondiente en la matriz que representa a la transformación lineal. Dos matrices que representan la misma transformación lineal con respecto a conjuntos diferentes de bases, deben tener algunas propiedades en común. Esto conduce a la idea de relaciones de equivalencia entre dos matrices. La naturaleza exacta de esta relación de equivalencia depende de
- 2. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 314 las bases que se permitan. En este capítulo no se imponen restricciones sobre las bases que se permiten y obtenemos la clase de equivalencia más amplia. DEFINICION 7.1.1 Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos definidos sobre el mismo cuerpo K. Una transformación lineal f de U hacia V es una aplicación uniforme de U en V que asocia a cada elemento u de U, un elemento único f(u) de V de tal forma que se cumplen los axiomas siguientes: 1.- Para todo u, v de U, entonces: f(u + v) = f(u) + f(v); 2.- Para todo u de U y para todo escalar , entonces: f(u) = f(u). Observe que en esta identidad, la adición y la multiplicación escalar del primer miembro, tienen lugar en U, mientras que las del segundo miembro tienen lugar en V. A f(u) se le da el nombre de imagen de u bajo la transformación lineal f. Además vemos que, para tener una transformación lineal, f(u + v) = f(u) + f(v) y f(u) = f(u). Hablando en términos generales, la imagen de la suma es la suma de las imágenes y la imagen del producto es el producto de las imágenes. Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios vectoriales diferentes. EJEMPLO 7.1.1 Determinar cuál de las siguientes funciones f : R3 R3 , define una transformación lineal: a.- f((a, b, c)) = (a + 2b – 3c, 3a - b + 5c, a – b – c); b.- f((a, b, c)) = (a + b + c, a + b + c, a + b + c); c.- f((a, b, c)) = (2a - 2b + 3c, a – b + c, 3a - 5b + 3c); d.- f((a, b, c)) = (3a - 5b, 2a - 2b, a + b2 ). SOLUCION Sean u = (m, n, p) y v = (r, s, t) dos vectores del espacio de salida R3 y sean , escalares, entonces: u + v = (m + r, n + s, p + t). a.- f(u + v) = (m + r + 2n + 2s - 3p - 3t, 3m + 3r - n - s + 5p + + 5t, m + r – n - s - p - t) = (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t, 3r - s + 5t, r - s - t) = (m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + (r + 2s - 3t, 3r - s + 5t, r - s - t) = f(u) + f(v). Por lo tanto f es transformación lineal. b.- f(u + v) = (m + r + n + s + p + t, m + r + n + s + p + t, m + r + n + s + p + t)
- 3. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 315 = (m + n + p, m + n + p, m + n + p) + (r + s + t, r + s + t, r + s + t) = (m + n + p, m + n + p, m + n + p) + (r + s + t, r + s + t, r + s + t) = f(u) + f(v). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- f(u + v) = (2m + 2r - 2n - 2s + 3p + 3t, m + r - n - s + p + t, 3m + 3r – 5n - 5s + 3p + 3t) = (2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + (2r - 2s + 3t, r - s + t, 3r - 5s + 3t) = (2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + (2r - 2s + 3t, r - s + t, 3r - 5s + 3t) = f(u) + f(v). Por lo tanto f es transformación lineal. d.- f(u + v) = (3m + 3r - 5n - 5s, 2m + 2r - 2n - 2s, m + r + (n + s)2 ) = (3m + 3r - 5n - 5s, 2m + 2r - 2n - 2s, m + r + 2 n2 + 2ns + 2 s2 ) = (3m - 5n, 2m - 2n, m + 2 n2 + 2ns) + (3r - 5s, 2r - 2s, r + 2 s2 ) f(u) + f(v). Por lo tanto f no es transformación lineal. EJEMPLO 7.1.2 Determinar cuál de las siguientes funciones f : P2 P2 define una transformación lineal: a.- f(p(x)) = p(x) – p(0); b.- f(p(x)) = p(x - 1) – p(1); c.- f(p(x)) = p(1 + x) – 2. SOLUCION Sean q(x) = d + ex + fx2 y h(x) = m + nx + kx2 dos polinomios del espacio de salida P2 y sean , escalares, entonces: q(x) + h(x) = (d + m) + (e + n)x + (f + k)x2 . a.- Como p(x) = a + bx + cx2 y p(0) = a, obtenemos p(x) - p(0) = bx + cx2 , entonces f(a + bx + cx2 ) = bx + cx2 . Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos: f(q(x) + h(x)) = (e + n)x + (f + k)x2 = (ex + fx2 ) + (nx + kx2 ) = (ex + fx2 ) + (nx + kx2 ) = f(q(x)) + h(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. b.- Como p(x - 1) = (a – b + c) + (b – 2c)x + cx2 y p(1) = a + b + c, obtenemos p(x - 1) - p(1) = -2b + (b – 2c)x + cx2 entonces f(a + bx + cx2 ) = -2b + (b – 2c)x + cx2 . Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos: f(q(x) + h(x)) = -2(e + n) + (e + n - 2f - 2k)x + (f + k)x2 = {-2e + (e - 2f )x + fx2 } + {-2n + (n - 2k)x + kx2 } = {-2e + (e - 2f )x + fx2 } + {-2n + (n - 2k)x + kx2 } = f(q(x)) + h(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- Como p(1 + x) = (a + b + c) + (b + 2c)x + cx2 , obtenemos p(x + 1) - 2 = (a + b + c – 2) + (b + 2c)x + cx2 , entonces f(a + bx + cx2 ) = (a + b + c – 2) + (b + 2c)x + cx2 . Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos: f(q(x) + h(x)) = (d + m + e + n + f + k – 2) + (e + n + 2f + 2k)x +
- 4. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 316 + (f + k)x2 = {(d + e + f - 2) + (e + 2f)x + fx2 } + {(m + n + k) + (n + 2k)x + kx2 } = {(d + e + f - 2) + (e + 2f)x + fx2 } + {(m + n + k) + (n + 2k)x + kx2 } f(q(x)) + h(x)). Por lo tanto f no es transformación lineal. La observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Al conjunto U sobre el cual está definida la transformación lineal f se le conoce como dominio de f. Decimos que V, el conjunto en el cual están definidas las imágenes de f, es el codominio de f. Hablando estrictamente, una transformación lineal debe especificar el dominio y el codominio así como la aplicación. Consideremos ahora las transformaciones lineales desde el punto de vista geométrico, tomando en cuenta situaciones en el espacio euclidiano tridimensional, para obtener una interpretación intuitiva de lo que significa una transformación lineal. Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f() = . Esta afirmación puede ser establecida haciendo a = 0 en f(au) = af(u). Si f es una transformación lineal, entonces f(au) = af(u), afirma que f aplica au sobre un vector f(au), cuya relación con f(u) en términos de magnitud y dirección es la misma relación de au con u. Como u y au son vectores paralelos, tenemos que f aplica vectores paralelos en vectores paralelos. La ecuación f(u + v) = f(u) + f(v) con u, v R2 afirma que f aplica un paralelogramo junto con sus diagonales sobre un paralelogramo junto con sus diagonales. El enfoque geométrico es útil para entender cómo es que una transformación lineal actúa. La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se denomina transformación cero, y se indica por el símbolo . La aplicación que envía cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U. EJEMPLO 7.1.3 Demuestre que la transformación identidad f : V V es una transformación lineal. SOLUCION Sea f : V V definida por f(v) = v. Entonces
- 5. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 317 f(u + v) = u + v = f(u) + f(v) y f(u) = u = f(u) lo cual implica que f es una transformación lineal. La transformación lineal f(u) = u se conoce como dilatación de u con factor si > 1, y como contracción de u con factor si 0 < < 1. Geométricamente, la dilatación estira a cada vector de u por un factor , y la contracción de u comprime a cada vector de u por un factor . EJEMPLO 7.1.4 Sea la transformación f : R2 R2 definida por: a.- f((a, b)) = (a, 5a + b); b.- f((a, b)) = (a + 5b, b). Verificar que f es lineal y dar su interpretación geométrica. SOLUCION a.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es decir f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d)) = f((ka + rc, kb + rd)) = (ka + rc, 5ka + 5rc + kb + rd) = (ka, 5ka + kb) + (rc, 5rc + rd) = k(a, 5a + b) + r(c, 5c + d) = kf(u) + rf(v). Obsérvese que, en esta transformación particular, la coordenada u permanece fija mientras que a la coordenada v se le suma cinco veces la coordenada u. La figura muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al eje v. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección v con factor 5. b.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es decir f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d)) = f((ka + rc, kb + rd)) = (ka + rc + 5kb + 5rd, kb + rd) = (ka + 5kb, kb) + (rc + 5rd, rd) = k(a + 5b, b) + r(c + 5d, d) = kf(u) + rf(v). Podemos observar que, en esta transformación, la coordenada v permanece fija mientras que a la coordenada u se le suma cinco veces la coordenada v. La figura muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al eje u. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección u con factor 5.
- 6. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 318 DEFINICION 7.1.2 Dos transformaciones lineales f : U V y g : U V son iguales, si ellas son iguales como transformaciones, esto es, f = g si y solamente si f(u) = g(u), para todo u de U. TEOREMA 7.1.1 Sea f una transformación lineal de U en V. Sean u1, u2, ..., un elementos de U y a1, a2, ..., an escalares. Entonces: f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un). DEMOSTRACION Utilizando la definición de transformación lineal, obtenemos f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un). TEOREMA 7.1.2 Si es el elemento neutro del espacio vectorial U, f() es el elemento neutro de V. DEMOSTRACION Como f(u + ) = f(u) + f() = f(u). Por lo tanto, f() es el elemento neutro de V. TEOREMA 7.1.3 Si - u es el elemento opuesto de u, entonces se verifica que f(-u) = - f(u). DEMOSTRACION Como f(u + (-u)) = f(u) + f(-u) = f(u) – f(u) = f(). Por lo tanto, f(-u) = - f(u); es decir, la imagen del opuesto de un vector es el opuesto de la imagen del vector. TEOREMA 7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales. Sea S = {u1, u2, ..., uk} una base cualquiera de U y sea S´ = {v1, v2, ..., vk} un conjunto cualquiera de k vectores en V, no necesariamente linealmente independientes. Entonces existe una transformación lineal determinada en forma única por f : U V tal que f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. DEMOSTRACION Demostremos primero que la transformación lineal f : U V está completamente determinada cuando se conocen los valores de f(u1), f(u2), ..., f(uk). Para esta demostración, supóngase que g : U V también es una transformación lineal y que f(u1) = g(u1), f(u2) = g(u2), ..., f(uk) = g(uk). Deseamos demostrar que f = g. Para ello, debemos demostrar que f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, sea u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk un vector arbitrario de U, donde ai K. Si aplicamos f a cada miembro y
- 7. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 319 utilizamos f(ui) = g(ui) para todo i N, obtenemos f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + akuk) = f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + akuk) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + akf(uk) = a1g(u1) + a2g(u2) + ... + akg(uk) = g(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) = g(u). En consecuencia, f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, f = g. Hemos demostrado así que los vi son vectores dados de V, hay a lo más una transformación lineal f : U V tal que f(ui) = vi. Demostraremos ahora que siempre hay una transformación lineal f : U V con f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. Para demostrar la existencia de f, presentamos primero una función f : U V. Más adelante demostraremos que nuestra f es una transformación lineal. A continuación se dará una definición de f : U V. Sea u un vector arbitrario de U, entonces u puede expresarse en función de la base S, como u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk, los escalares ai K se determinan en forma única por u. Definimos una función f : U V especificando que f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk. Esta función f : U V queda ahora definida completamente puesto que todos los valores f(u), u U, se han determinado. Para demostrar que f es una transformación lineal, sea v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk, otro vector de U. Sean a y b escalares arbitrarios. Deseamos demostrar que f(au + bv) = af(u) + bf(v). De v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk y nuestra definición de f, tenemos f(v) = b1v1 + b2v2 + ... + bkvk. Multiplicando cada miembro de u por a y cada miembro de v por b, y sumando luego, obtenemos au + bv = a(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) + b(b1u1 + b2u2 + ... + bkuk) = (aa1 + bb1)u1 + (aa2 + bb2)u2 + ... + (aak + bbk)uk. Por la definición de f, vemos que f(au + bv) = (aa1 + bb1)f(u1) + (aa2 + bb2)f(u2) + ... + (aak + bbk)f(uk) = aa1v1 + aa2v2 + ... + aakvk + bb1v1 + bb2v2 + ... + bbkvk = a(a1v1 + a2v2 + ... + akvk) + b(b1v1 + b2v2 + ... + bkvk) = af(u) + bf(v). Por lo tanto f(au + bv) = af(u) + bf(v). En consecuencia, la función f : U V es una transformación lineal. Es fácil observar, por f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + akvk, que f(ui) = vi. EJEMPLO 7.1.5 Sea f una transformación lineal de R3 en R3 , suponga que f((1, 0, 1)) = (1, -1, 3), f((2, 1, 0)) = (0, 2, 1), f((1, -1, 1)) = (3, -1 2) Determine f((-1, -2, 3)). SOLUCION Hacemos la combinación lineal con el vector (-1, -2, 3): (-1, -2, 3) = a(1, 0, 1) + b(2, 1, 0) resolvemos el sistema generado: 2 1 3 2 a b a b 3 2 a b . Encontramos la imagen pedida: f((-1, -2, 3)) = 3f((1, 0, 1)) – 2f((2, 1, 0)) = 3(1, -1, 3) – 2(0, 2, 1) = (3, -7, 7). EJEMPLO 7.1.6 Sea f una transformación lineal de R3 en P2 tal que f((1, 1, 1)) = 1 – 2x + x2 , f((2, 0, 0)) = 3 + x – x2 , f((0, 4, 5)) = 2 + 3x + 3x2 Determine f((2, -3, 1)).
- 8. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 320 SOLUCION Hacemos la combinación lineal con el vector (2, -3, 1): (2, -3, 1) = a(1, 1, 1) + b(2, 0, 0) + c(0, 4, 5) resolvemos el sistema generado: 2 2 4 3 5 1 a b a c a c 1 2 0 2 1 0 4 3 1 0 5 1 1 2 0 2 0 2 4 5 0 2 5 1 1 0 4 3 0 2 4 5 0 0 1 4 1 0 0 19 0 2 0 21 0 0 1 4 . Encontramos la imagen pedida: 21 ((2, 3,1)) 19 ((1,1,1)) ((2, 0, 0)) 4 ((0, 4, 5)) 2 f f f f 2 2 221 19(1 2 ) (3 ) 4(2 3 3 ) 2 x x x x x x 241 121 35 2 2 2 x x . EJEMPLO 7.1.7 Sea S = {u1, u2, u3}, un conjunto de vectores linealmente independientes en R3 . Determine una transformación lineal f de R3 en R3 tal que el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} sea linealmente dependiente. SOLUCION Sea f : R3 R3 definida por f((x, y, z)) = (0, 0, 0). Entonces si {u1, u2, u3} es cualquier conjunto de vectores en R3 , el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} = {, , } sea linealmente dependiente. La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se denomina transformación cero, y se indica por el símbolo . La aplicación que envía cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U. EJEMPLO 7.1.8 Determinar cuál de las siguientes funciones f : (n, n) (n, n) define una transformación lineal: a.- f(A) = AT A; b.- f(A) = AB + AT ; c.- f(A) = Det(A); d.- f(A) = PAP-1 ; e.- f(B) = A-1 BA; f.- f(A) = AT + A+ ; g.- f(A) = AC + CA. SOLUCION Sean B y C dos matrices del espacio de salida (n, n) y sean , escalares, entonces: a.- f(B + C) = (B + C)T (B + C) = (BT + CT )(B + C) = 2 BT B + BT C + CT B + 2 CT C BT B + CT C. Por lo tanto f no es transformación lineal. b.- f(C + D) = (C + D)B + (C + D)T = CB + DB + CT + DT = (CB + CT ) + (DB + DT ) = f(C) + f(D). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- f(C + D) = det(C + D) det(C) + det(D). Por lo tanto f no es transformación lineal. d.- f(C + D) = (C + D)E + E(C + D) = CE + DE + EC + ED = (CE + EC) + (DE + ED) = f(C) + f(D). Por lo tanto f es transformación lineal.
- 9. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 321 e.- f(B + C) = A-1 (B + C)A = A-1 (BA + CA) = A-1 BA + A-1 CA = (A-1 BA) + (A-1 CA) = f(B) + f(C). Por lo tanto f es transformación lineal. f.- f(B + C) = (B + C)T + (B + C)+ = (B)T + (C)T + (B)+ + (C)+ T T + + T T + + αB +βC + αB +βC α (B) +β (C), α, β C = αB +βC + αB +βC = α (B) +β (C), α, β R f f f f . Por lo tanto f es transformación lineal si , R. g.- f(B + D) = (B + D)C + C(B + D) = BC + DC + CB + CD = (BC + CB) + (DC + CD) = f(B) + f(D). Por lo tanto f es transformación lineal. EJEMPLO 7.1.9 Determinar cuál de las siguientes funciones define una transformación lineal en el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3: a.- f(p(x)) = (p(x))2 ; b.- f(p(x)) = p(x + 1) - p(x); c.- f(p(x)) = p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x); d.- f(p(x)) = p(x + 1) – p´(0). SOLUCION Sean p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, q(x) = ex3 + fx2 + gx + h dos polinomios del espacio de salida P3 y sean , escalares, entonces: q(x) + h(x) = (a + e)x3 + (b + f)x2 + (c + g)x + (d + h). a.- f(p(x) + q(x)) = (p(x) + q(x))2 = 2 p2 (x) + 2p(x)q(x) + 2 q2 (x) f(p(x)) + f(q(x)). Por lo tanto f no es transformación lineal. b.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)(x) = p(x + 1) + q(x + 1) - p(x) - q(x) = [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)] = [p(x + 1) + p(x)] + [q(x + 1) + q(x)] = f(p(x)) + f(q(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. c.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)´´(x) - 2(p + q)´(x) + 3(p + q)(x) = p´´(x) + q´´(x) - 2p´(x) - 2q´(x) + 3p(x) + 3q(x) = [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)] = [p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + [q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)] = f(p(x)) + f(q(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. d.- f(p(x) + q(x)) = (p + q)(x + 1) - (p + q)´(0) = p(x + 1) + q(x + 1) - p´(0) - q´(0) = [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)] = [p(x + 1) + p´(0)] + [q(x + 1) + q´(0)] = f(p(x)) + f(q(x)). Por lo tanto f es transformación lineal. Considere la transformación lineal que aplica a todo vector de U sobre el vector cero de V. Esta aplicación se llama aplicación cero. Si W es cualquier subespacio de V, existe también una aplicación cero de U hacia W, y esta aplicación tiene el mismo efecto sobre los elementos de U, como la aplicación cero de U hacia V. Sin embargo, son transformaciones lineales diferentes, ya que tienen codominios diferentes. Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios vectoriales diferentes. Además, la observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún
- 10. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 322 así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f() = . Esta afirmación puede ser establecida haciendo a = 0 en f(au) = af(u). EJEMPLO 7.1.10 Considérese ahora C como un espacio vectorial sobre C. Defínase una función f de C en C por ( )f z z . ¿Es f una transformación lineal? SOLUCION Sean u = a + ib y v = c + id dos vectores del espacio de salida C y sean , escalares, entonces: f(u + v) = f((a + c) + i(b + d)) ( ) ( )a c i b d = (r + x) - i(b + d) = (a - ib) + (c - id) f(u) + f(v). Por lo tanto f no es transformación lineal. EJEMPLO 7.1.11 Considere el espacio vectorial de los números complejos C sobre R. Sea a un número complejo fijo. Defínase f una aplicación de C en C por f(z) = (3 - 2i)z + a. Determine el valor de a para que f sea transformación lineal. SOLUCION Tomamos el número complejo nulo y luego encontramos su imagen: f(0 + i0) = (3 – 2i)(0 + i0) + a = 0 + i0 + a = a. Para que f sea transformación lineal, debe cumplirse que f(0 + i0) = 0 + i0, de donde a = 0. EJEMPLO 7.1.12 ¿Es la multiplicación de cada vector geométrico por su longitud una transformación lineal? SOLUCION En este caso tenemos que ( )f u u u . Sean v y w dos vectores del espacio de salida y sean , escalares, entonces: ( ) ( ) ( ) ( )( )f v w v w v w v w v w Por lo tanto f no es transformación lineal. EJEMPLO 7.1.13 a.- Muestre que la línea que pasa por los vectores u y v en Rn puede escribirse en la forma paramétrica x = (1 – t)u + tv. b.- El segmento de línea de u a v es el conjunto de los puntos de la forma (1 – t)u + tv para 0 t 1. Muestre que una transformación lineal f transforma este segmento de línea sobre un segmento de línea o sobre un punto. SOLUCION a.- La línea que pasa por u y v es paralela al vector v – u. Puesto que la línea pasa a través de u, una ecuación paramétrica de la línea es x = u + t(v – u) = u – tu + tv = (1 – t)u + tv. b.- Por la linealidad de f: f((1 – t)u + tv) = (1 – t)f(u) + tf(v) para 0 t 1. Si f(u) y f(v) son distintos, las imágenes forman el segmento de línea entre f(u) y f(v). De otro modo, todas las imágenes coinciden con un punto, f(u).
- 11. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 323 PROBLEMAS 7.1.1 Verifíquese que cada uno de los siguientes es transformación lineal de U en V: a.- U = C0; 1, V = V1, T(f) = f(0). b.- U = C0; 1, V = V1, T(f) = f(0) + f(1). c.- U = C0; 1, V = V2, T(f) = (f(0) + f(1)). d.- U = V2, V = Ca; b, T(x1, x2) = x1ex + x2e2x . e.- U = C0; 1, V = C0; 1, T(f) = f(x)Cosx. f.- U = C(1) a; b, V = Ca; b, T(f) = f ´(x)Senx. g.- U = C(2) a; b, V = Ca; b, T(f) = xf ´´ - f ´ + ex f. h.- U = C(3) a; b, V = Ca; b, T(f) = f ´´´ + f ´´ + f ´ + f. i.- U = Ca; b, V = Ca; b, 0 ( ) ( ) x t T f e f t dt . j.- U = C(1) a; b, V = Ca; b, 0 ( ) ( ) 3 ´( ) x T f f t dt f x . 7.1.2 Demuestre que la transformación f definida por f((x, y)) = (4x – 2y, 3y) no es lineal. 7.1.3 Suponga que f : R2 R2 tal que f((1, 0)) = (1, 0) y f((0, 1)) = (0, 0). Determine f((x, y)) en R2 y dé una interpretación geométrica de f. 7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales sobre K, siendo U bidimensional. Sean S = {u1, u2} una base de U, y v1 y v2 dos vectores cualesquiera de V. Defínase f de U en V de la siguiente manera: Si u U, entonces u = au1 + bu2 para los únicos escalares a y b. Hágase f(u) = av1 + bv2. Demuestre que f es transformación lineal. 7.1.5 Sea f : R2 R2 una transformación lineal que transforma u = (1, 5) en (2, 0) y transforma v = (3, 1) en (1, -4). Use el hecho de que f es lineal para encontrar las imágenes bajo f de 2u y 3u + 5v. 7.1.6 Sea V un espacio con producto interior con un subespacio que tiene a S = {w1, w2, ..., wk} como una base ortonormal. Demuestre que la función f : V V dada por f(u) = v w1w1 + v w2w2 + ... + v wkwk es una transformación lineal. 7.1.7 Se da el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son todos los números reales posibles. Sea k un número real fijo. ¿Es lineal la transformación f definida por la igualdad f(u) = ae1 + be2 + ce3 + de4? 7.1.8 Verifíquese que si a1, b1, a2, b2 son números reales, entonces T(x1, x2) = (a1x1 + a2x2, b1x1 + b2x2) Es transformación lineal de R2 en R2 . 7.1.9 Sea f : (n, n) R definida por Tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Demuestre que f es una transformación lineal. 7.1.10 Sea V un espacio con producto interior. Para un vector fijo w en V, se define f : V R por f(v) = v w. Demuestre que f es una transformación lineal. 7.1.11 Para cada uno de los conjuntos de condiciones que se enuncian, determínese si existe una transformación lineal T de U en V que cumpla con las condiciones dadas: a.- U = V2, V = V2, T(1, 1) = (1, 2), T(1, -1) = (0, 3). b.- U = V2, V = V2, T(1, 1) = (1, 0), T(1, -1) = (3, 0), T(2, 3) = (1, 0). c.- U = V2, V = V2, T(1, 2) = (1, 3), T(2, 1) = (2, 0), T(1, 1) = (1, 1). d.- U = P, V = P, T(1) = 0, T(xn ) = xn+1 para n 1. e.- U = P, V = P, T(1) = x, T(x + 1) = x2 , T(x2 - 1) = x3 . f.- U = P, V = P, T(1) = x2 , T(x - 1) = x, T(x2 + x) = x, T(x2 ) = x2 . 7.1.12 Sea f una transformación lineal de P2 en P2 tal que f(1) = x, f(x) = 1 + x y f(x2 ) = 1 + x + x2 . Determine f(2 – 6x + x2 ). 7.1.13 Suponga que f : R2 R2 tal que f((1, 0)) = (0, 1) y f((0, 1)) = (1, 0). Determine f((x, y)) en R2 y dé una interpretación geométrica de f. 7.1.14 Sea f : R R tal que ( ) vf u proy u , donde v = (1, 1): a.- Determine f((x, y)). b.- Determine f((3, 4)) y f(f((3, 4))) y dé una interpretación geométrica del resultado. 7.1.15 Trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) bajo la transformación lineal dada: a.- f es una reflexión en el eje x. b.- f es una reflexión en la recta y = x. c.- f es la contracción f((x, y)) = (x/2, y). 7.1.16 Sea f la transformación lineal de R2 en R2 definida por f((a, b)) = (aCos - bSen, aSen + bCos). Determine: a.- f((4, 4)) para = 45°; b.- f((2, -1)) para = 30°; c.- f((5, -1)) para = 120°.
- 12. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 324 7.1.17 Determinar la imagen del cubo unitario cuyos vértices son (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) y (0, 1, 1) cuando es rotado 45° alrededor del eje Z, y cuando es rotado 90° alrededor del eje X. 7.1.18 Demuéstrese que, si ninguno de los espacios U y V es el espacio cero y si uno de ellos es de dimensión infinita, entonces el conjunto de las transformaciones lineales de U en V es un espacio vectorial de dimensión infinita. 7.1.19 Una traslación es una función de la forma f((x, y)) = (x – h, y – k), donde por lo menos una de las constantes h o k es diferente de cero: a.- Demuestre que una traslación en el plano no es una transformación lineal. b.- Para la traslación f((x, y)) = (x – 2, y + 1), determine las imágenes de (0, 0), (2, -1) y (5, 4). c.- Demuestre que una traslación en el plano no tiene puntos fijos. 7.1.20 Sean u, v vectores en Rn . Puede demostrarse que el conjunto S de todos los puntos del paralelogramo determinado por u y v tiene la forma u + v, para 0 1, 0 1. Sea f : Rn Rn una transformación lineal. Explique por qué la imagen de un punto en S bajo la transformación f yace en el paralelogramo determinado por f(u) y f(v). 7.1.21 Un vector u es un punto fijo de una transformación lineal f : V V si f(u) = u: a.- Demuestre que es un punto fijo de cualquier transformación lineal f : V V. b.- Demuestre que el conjunto de puntos fijos de una transformación lineal f : V V es un subespacio de V. c.- Determine todos los puntos fijos de la transformación lineal f : R2 R2 dada por f((x, y)) = (x, 2y). d.- f es la dilatación definida por f((x, y)) = (x, 3y). e.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por f((x, y)) = (x + 2y, y). f.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por f((x, y)) = (x, 3x + y). 7.1.22 Dado v y u en Rn , la línea que pasa por u en la dirección de v, tiene la ecuación paramétrica w = u + tv. Demuestre que una transformación lineal f : Rn Rn transforma esta línea sobre otra línea o sobre un único punto. 7.1.23 Si S es transformación lineal de R3 en R2 y si S(1, 0, 0) = (a1, b1), S(0, 1, 0) = (a2, b2), S(0, 0, 1) = (a3, b3), entonces T y S son la misma transformación. 7.1.24 Sean e1, e2, u = (3, -5) y v = (-2, 7), y sea f : R2 R2 una transformación lineal que transforma e1 en u y e2 en v. Encuentre las imágenes de (7, 6) y de (x, y). 7.2 REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE En esta sección se demostrará que si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas, entonces con un poco de ingenio cualquier transformación lineal f de U en V se puede expresar en forma matricial como f(u) = Au, en cualesquiera bases. Se pueden usar las matrices para representar una gran variedad de diferentes conceptos matemáticos. La forma en que se manejan las matrices, depende de los objetivos que representen. Considerando la amplia variedad de situaciones en las cuales las matrices tienen aplicación, existe una notable semejanza en las operaciones que se efectúan con las matrices en estas situaciones. Sin embargo, también existen diferencias y, para entenderlas, debemos entender el objeto representado y qué información se puede esperar trabajando con las matrices. Las matrices no solamente nos proporcionan un medio conveniente para realizar todo cálculo necesario con las transformaciones lineales, sino que la teoría de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales también demuestra ser una herramienta poderosa en el desarrollo de las propiedades de las matrices. A continuación damos a conocer un método general para construir la matriz de la transformación lineal que actúa del espacio vectorial U en el espacio vectorial V. Suponga que a los vectores de la base S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio vectorial U les están asignados unos vectores y S2 = {v1, v2, ..., vn} del espacio vectorial V. En este caso existe una transformación lineal f y es, además, única, que actúa de U en V
- 13. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 325 y que transforma todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. Suponga que la transformación buscada f existe. Tómese un vector arbitrario u de U y represéntelo en forma de un desarrollo u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, entonces f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. El segundo miembro de esta identidad se determina unívocamente por el vector u y las imágenes de la base. Por esta razón, la igualdad obtenida demuestra la unicidad de la transformación f, si éste existe. Por otra parte, podemos definir la transformación f precisamente mediante esta igualdad, es decir, poner f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. La transformación obtenida, es una transformación lineal que actúa de U en V y transforma, a la vez, todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. El dominio de la transformación f coincide con el subespacio generado por el sistema de vectores S2. Ahora podemos enunciar el siguiente teorema: TEOREMA 7.2.1 La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U. DEMOSTRACION Fijemos en el espacio U la base S1 = {u1, u2, ..., un} y en el espacio V, la base S2 = {v1, v2, ..., vm}. El vector u1 se transforma por la transformación f en cierto vector f(u1) del espacio V, el cual, como todo vector de este espacio, puede ser desarrollado por vectores básicos f(u1) = a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm f(u2) = a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm . . . f(un) = an1v1 + an2v2 + ... + anmvm Los coeficientes aij de estas combinaciones lineales determinan una matriz A de m filas y n columnas 11 21 1 12 22 2 1 2 A m m n n mn a a a a a a a a a que se denomina matriz de la transformación f en bases elegidas. Como columnas de la matriz de la transformación sirven los coeficientes de la cada combinación, en otras palabras, las coordenadas de los vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) respecto de la base S2. Con el fin de determinar el elemento aij de la matriz de la transformación f hace falta aplicar la transformación al vector uj y tomar la i-ésima coordenada en la imagen f(uj). En lo sucesivo haremos uso del método descrito para determinar los elementos de la matriz de la transformación. Considere un vector arbitrario u de U y su imagen v = f(u). Aclaremos de qué modo se expresar las coordenadas del vector v en términos de las coordenadas del vector u y los elementos de la matriz de la transformación. Sea u = a1u1 + a2u2 + ... + anun y v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm calculamos f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un) = a1[a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm] + a2[a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm] + ... + an[an1v1 + an2v2 + ... + anmvm]
- 14. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 326 = [a1a11 + a2a21 + ... + anan1]v1 + [a1a12 + a2a22 + ... + anan2]v2 + ... + [a1a1m + a2a2m + ... + ananm]vm Al comparar el segundo miembro de estas igualdades con el desarrollo de v, concluimos que deben cumplirse las igualdades a11a1 + a21a2 + ... + an1an = b1 a12a1 + a22a2 + ... + an2an = b2 . . . a1ma1 + a2ma2 + ... + anman = bm De esta manera, toda transformación lineal genera, cuando están definidas las bases en los espacios U y V, las identidades antes mencionadas que relacionan entre sí las coordenadas de la imagen y las de la preimagen. Con el fin de determinar las coordenadas de la imagen según las coordenadas de la preimagen basta calcular los primeros miembros de estas identidades. Siendo determinadas las bases en los espacios U y V, la igualdad coordenada permite investigar totalmente la acción de una transformación lineal. Evidentemente, cuanto más simple es la forma de la matriz de una transformación, tanto más eficaz será la realización de dicha investigación. Generalmente las matrices de las transformaciones dependen de las bases y la tarea inmediata consiste en aclarar esta dependencia. Sean S1 = {u1, u2, ..., um} y S2 = {v1, v2, ..., vm} dos bases del espacio vectorial U. Los vectores de S2 se definen unívocamente mediante sus descomposiciones 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... m m m m m m m mm m v a u a u a u v a u a u a u v a u a u a u (1) según los vectores de S1. Los coeficientes aij determinan la matriz 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... P ... ... ... ... m m m m mm a a a a a a a a a la cual se denomina matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2. Tómese un vector arbitrario u de U y descompóngase según los vectores de ambas bases. Sea u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm De acuerdo con (1) tenemos b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm = c1(a11u1 + a12u2 + ... + a1mum) + c2(a21u1 + a22u2 + ... + a2mum) + ... + cm(am1u1 + am2u2 + ... + ammum) = (a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)u1 + (a12c1 + a22c2 + ... + am2cm)u2 + ... + (a1mc1 + a2mc2 + ... + ammcm)um. Comparando los coeficientes ui en el primero y segundo miembros de las correlaciones, encontramos 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... m m m m m m m mm m b a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c (2) Estas fórmulas se denominan fórmulas de transformación de las coordenadas.
- 15. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 327 Designemos, como hasta ahora, mediante 1 XS y 2 XS las matrices de dimensiones m x 1, formadas por las coordenadas del vector u en las bases correspondientes. Las fórmulas (2) muestran que 1 2S SX = PX . La matriz de la transformación de coordenadas debe ser no singular, puesto que en el caso contrario tendrá lugar la dependencia lineal entre sus columnas y, por tanto, entre los vectores de S2. Por supuesto, cualquier matriz no singular es una matriz de cierta transformación de coordenadas definida mediante 1 2S SX = PX . Al multiplicar a la izquierda de la igualdad por la matriz P-1 , obtendremos 1 2 -1 -1 S SP X = P PX 2 1 -1 S SX = P X . Supongamos ahora que en el espacio vectorial U vienen dadas tres bases S1, S2 y S3. El paso de la primera base a la tercera puede realizarse con ayuda de dos procedimientos: o bien directamente de la primera a la tercera o bien primero de la primera a la segunda, y después de la segunda a la tercera. No es difícil establecer la conexión entre las matrices correspondientes de la transformación de coordenadas. De acuerdo con 1 2S SX = PX , tenemos: 1 2S SX = PX 2 3S SX = RX 1 3S SX = QX . De las primeras dos correlaciones se desprende 1 2 3 3 3S S S S SX = PX = P(RX ) = (PR)X = QX . De este modo, cuando las coordenadas se transforman de manera consecutiva, la matriz de la transformación resultante será igual al producto de matrices de las transformaciones intermedias. Examinemos otra vez la transformación lineal f que actúa de U en V. Elijamos en el espacio U dos bases S1 y S2, y en el espacio V otras dos bases S3 y S4. En las primeras dos bases, a una misma transformación f le corresponde la igualdad coordenada 1 3 13 S S SSY = A X (3) y en las otras dos bases, la igualdad 2 4 24 S S SSY = A X (4) En concordancia con estos pares de bases, para una misma transformación f tenemos dos matrices 1 3 S SA y 2 4 S SA . Designemos con P la matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2 y con Q, la matriz de la transformación de coordenadas al pasar de S3 a S4.Se tiene 1 2S SX = PX , 3 4S SY = QY . Sustituyendo estas expresiones para 1SX y 3SY en (3), obtenemos 1 4 23 S S SSQY = A PX De donde se deduce que 1 4 23 S-1 S SSY = Q A P X . Al comparar la igualdad obtenida con (4), concluimos que 2 1 4 3 S S-1 S SA = Q A P . Esto es precisamente la correlación buscada que liga las matrices de una misma transformación en diferentes bases. La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes
- 16. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 328 f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U. EJEMPLO 7.2.1 En un espacio vectorial de dimensión 4, se examina una transformación lineal f. Escribir esta transformación en la forma de coordenadas si f(e1) = e3 + e4, f(e2) = e1 + e4, f(e3) = e1 + e2, f(e4) = e2 + e3. SOLUCION f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 1, 1), f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 1), f((0, 0, 1, 0)) = (1, 1, 0, 0), f((0, 0, 0, 1)) = (0, 1, 1, 0). La matriz de la transformación f es 0 1 1 0 0 0 1 1 A 1 0 0 1 1 1 0 0 . Por lo tanto, la transformación f se escribe en forma de coordenadas de la siguiente manera: f((a, b, c, d)) = (b + c, c + d, a + d, a + b). EJEMPLO 7.2.2 Sea f la transformación lineal de (2, 2) en (3, 1) definida por 2 3 2 2 3 4 a b c a b f a b c d c d a b c d . Encuentre la representación matricial de f. SOLUCION Tómese las bases canónicas de (2, 2) y (3, 1), es decir 1 1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 S y 2 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1 S obtenga la matriz 2 1 f S S . Primeramente, determinaremos cuáles son las imágenes de los vectores de la base S1 de (2, 2): 2 1 0 1 0 0 1 f ; 3 0 1 2 0 0 1 f ; 1 0 0 1 1 0 3 f ; 0 0 0 2 0 1 4 f . Obsérvese que en este caso, como se está tomando la base canónica S2 de (3, 1), se tiene lo siguiente: 21 S 2 (E ) 1 1 f ; 22 S 3 (E ) 2 1 f ; 23 S 1 (E ) 1 3 f ; 24 S 0 (E ) 2 4 f , de modo que 2 1 2 3 1 0 1 2 1 2 1 1 3 4 f S S .
- 17. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 329 EJEMPLO 7.2.3 Considérese f la transformación lineal de P4 en P4 definida por f(p) = p'(x). Obtenga [f]S en la base canónica de P4. SOLUCION La base canónica de P4 es S = {1, x, x2 , x3 , x4 }. A continuación determinamos las imágenes con respecto a cada elemento de S, es decir: [f(1)]S = [(1)']S = [0]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2 ) + 0(x3 ) + 0(x4 ); [f(x)]S = [(x)']S = [1]S = 1(1) + 0(x) + 0(x2 ) + 0(x3 ) + 0(x4 ); [f(x2 )]S = [(x2 )']S = [2x]S = 0(1) + 2(x) + 0(x2 ) + 0(x3 ) + 0(x4 ); [f(x3 )]S = [(x3 )']S = [3x2 ]S = 0(1) + 0(x) + 3(x2 ) + 0(x3 ) + 0(x4 ); [f(x4 )]S = [(x4 )']S = [4x3 ]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2 ) + 4(x3 ) + 0(x4 ). Por lo tanto 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 f S . Mediante esta matriz, podemos derivar p(x) = 5 + 8x - 10x2 + 6x3 - 7x4 , es decir 0 1 0 0 0 5 8 0 0 2 0 0 8 20 ( ) ' 0 0 0 3 0 10 18 0 0 0 0 4 6 28 0 0 0 0 0 7 0 f p p f p S S S S . Por lo tanto, p'(x) = 8 - 20x + 18x2 - 28x3 . EJEMPLO 7.2.4 Sea f la transformación lineal de R3 en R4 definida por f((a, b, c)) = (a + 3b – c, 2a + b + 3c, -3a - 14b + 8c, 3a + 4b + 2c) Obtenga fS en las bases canónicas. SOLUCION Tómense las bases canónicas de R3 y R4 : S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y S2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} A continuación, obtenemos las imágenes correspondientes f((1, 0, 0)) = (1, 2, -3, 3), f((0, 1, 0)) = (3, 1, -14, 4), f((0, 0, 1)) = (-1, 3, 8, 2) obtenemos la matriz 2 1 1 3 1 2 1 3 3 14 8 3 4 2 f S S . EJEMPLO 7.2.5 Encuentre la matriz de la transformación lineal D definida en el conjunto de polinomios en t sobre R de grado a lo sumo igual a 2 mediante D(p(t)) = p´(t), en relación con la base. a.- S1 = {1 + t, t, 1 + 2t + t2 }; b.- S2 = {1/2(1 - t), 1/2(1 + t), t2 }. SOLUCION a.- D(1 + t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2 ) D(t) = 1 = 1(1 + t) + (-1)t + 0(1 + 2t + t2 ) D(1 + 2t + t2 ) = 2 + 2t = 2(1 + t) + 0t + 0(1 + 2t + t2 )
- 18. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 330 1 1 2 D 1 1 0 0 0 0 . b.- D(1/2(1 - t)) = - 1/2 = (-1/2)1/2(1 - t) + (-1/2)1/2(1 + t) + 0t2 D(1/2(1 + t)) = 1/2 = 1/21/2(1 - t) + 1/21/2(1 + t) + 0.t2 D(t2 ) = 2t = (-2)1/2(1 - t) + 21/2(1 + t) + 0t2 1/ 2 1/ 2 2 D 1/ 2 1/ 2 2 0 0 0 . EJEMPLO 7.2.6 Sea V el espacio de todas las funciones de la forma aet + be2t + ce3t . Si se define D : V V mediante D(f(t)) = f ´(t), obtenga: a.- La matriz de D con respecto a la base 1 = {et , e2t , e3t }; b.- La matriz de D con respecto a la base 2 = {et + e2t , e2t + e3t , et + e3t }. SOLUCION a.- D(et ) = et = 1et + 0e2t + 0e3t ; D(e2t ) = 2e2t = 0et + 2e2t + 0e3t D(e3t ) = 3e3t = 0et + 0e2t + 3e3t 1 0 0 D 0 2 0 0 0 3 b.- D(et + e2t ) = et + 2e2t = 3/2(et + e2t ) + 1/2(e2t + e3t ) + (-1/2)(et + e3t ) D(e2t + e3t ) = 2e2t + 3e3t = (-1/2)(et + e2t ) + 5/2(e2t + e3t ) + 1/2(et + e3t ) D(et + e3t ) = et + 3e3t = (-1)(et + e2t ) + 1(e2t + e3t ) + 2(et + e3t ) 3 1 1 2 2 1 5 D 1 2 2 1 1 2 2 2 . EJEMPLO 7.2.7 Se examina el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son escalares reales. Demostrar que la transformación f definida por f(u) = be1 + ce2 + de3 + ae4 es lineal, y hallar su representación matricial. SOLUCION Sabemos que f(u) = f((a, b, c, d)) = (b, c, d, a). Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de R4 : f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 0, 1); f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 0); f((0, 0, 1, 0)) = (0, 1, 0, 0); f((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 1, 0) Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: 0 1 0 0 0 0 1 0 A 0 0 0 1 1 0 0 0 f . EJEMPLO 7.2.8 Sea V = P4 el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 4, en la indeterminada t y defínase f de P4 en P4 por ( ( )) ´´( ) 2 ´( ) ( )f p t p t p t p t . Representar a f mediante una matriz respecto a la base canónica de P4.
- 19. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 331 SOLUCION Sabemos que p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 , p´(t) = b + 2ct + 3dt2 + 4et3 , p´´(t) = 2c + 6dt + 12et2 . De donde: f(a + bt + ct2 + dt3 + et4 ) = (a + 2b + 2c) + (b + 4c + 6d)t + (c + 6d + 12e)t2 + + (d + 8e)t3 + et4 . Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P4: f(1) = 1 + 0t + 0t2 + 0t3 + 0t4 ; f(t) = 2 + t + 0t2 + 0t3 + 0t4 ; f(t2 ) = 2 + 4t + t2 + 0t3 + 0t4 ; f(t3 ) = 0 + 6t + 6t2 + t3 + 0t4 ; f(t4 ) = 0 + 0t + 12t2 + 8t3 + t4 . Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: 1 2 2 0 0 0 1 4 6 0 A 0 0 1 6 12 0 0 0 1 8 0 0 0 0 1 f . EJEMPLO 7.2.9 Considérese la transformación lineal f : P3 P2 definida por f(at3 + bt2 + ct + d) = (a + b + c)t2 + (2b – c + 4d). Determine la matriz de f en las bases canónicas. SOLUCION Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P3 y luego cada una de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de P2: f(t3 ) = t2 + 0t + 0; f(t2 ) = t2 + 0t + 2; f(t) = t2 + 0t – 1; f(1) = 0t2 + 0t + 4. Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: 1 1 1 0 A 0 0 0 0 0 2 1 4 f . EJEMPLO 7.2.10 Considérese la transformación lineal f : C2 C2 definida por f((a, b)) = (a + b, ib). Determine la matriz de f en las bases canónicas. SOLUCION Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de C2 y luego cada una de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de C2 : f((1, 0)) = (1, 0), f((0, i)) = (i, -1). Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma: 1 A 0 1 f i . PROBLEMAS 7.2.1 La transformación lineal definida en el ejemplo anterior es uno a uno, es decir, f no aplica a dos vectores diferentes sobre el mismo vector. Por tanto, existe una transformación lineal que aplica a (3, -1) sobre (1, 0) y a (-1, 2) sobre (0, 1). Esta transformación lineal invierte la aplicación dada por f. Determine la matriz que la representa con respecto a las bases canónicas. 7.2.2 Encuentre la representación matricial A de la transformación lineal f, use A para encontrar la imagen del vector v y trace la gráfica de v y su imagen: a.- f es la reflexión a través del origen en R2 : f((x, y)) = (-x, -y), v = (3, 4). b.- f es la reflexión en la recta y = x en R2 : f((x, y)) = (y, x), v = (3, 4).
- 20. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 332 c.- f es la rotación de 135° en sentido antihorario en R2 , v = (4, 4). d.- f es la rotación de 60° en sentido horario en R2 , v = (1, 2). e.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas XY en R3 : f((x, y, z)) = (x, y, -z), v = (3, 2, 2). f.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas YZ en R3 : f((x, y, z)) = (-x, y, z), v = (2, 3, 4). g.- f es la rotación de 180° en sentido antihorario en R2 , v = (1, 2). h.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario en R2 , v = (2, 2). i.- f es la proyección sobre el vector w = (3, 1) en R2 : ( ) proywf v v , v = (1, 4). j.- f es la proyección sobre el vector w = (-1, 5) en R2 : ( ) proywf u u , u = (2, -3). k.- f es la reflexión con respecto al vector w = (3, 1) en R2 , v = (1, 4). (La reflexión de un vector v a través de w está definida por ( ) 2proywf v v v ). 7.2.3 Rote 90° alrededor del punto (5, 3) en sentido antihorario el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0). Graficar los triángulos. Encuentre las matrices que representan a esta transformación lineal con respecto a las bases canónicas de R2 y {(1, 1), (1, -2)}. 7.2.4 Sea la transformación lineal f : R2 R3 que aplica a (1, 1) sobre (0, 1, 2) y a (-1, 1) sobre (2, 1, 0). Determine la matriz que representa a f con respecto a las bases S1 = {(1, 0), (0, 1)} en R2 y S2 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} en R3 . 7.2.5 Sea 1 0 A 0 1 , u = (5, 2) y v = (3, -1). Sea f(w) = Aw para w en R2 : a.- En un sistema de coordenadas rectangulares, grafique los vectores u, v, f(u) y f(v). b.- Dé una interpretación geométrica de lo que f hace a un vector w en R2 . 7.2.6 Sea f una transformación lineal tal que f(u) = u para u en Rn . Encuentre la matriz A para f. 7.2.7 Sea f una transformación lineal de R2 hacia sí mismo que aplica a (1, 1) sobre (2, -3) y a (1, -1) sobre (4, -7). Determine la matriz que representa a f con respecto a las bases canónicas. 7.2.8 Una transformación afín f : Rn Rm tiene la forma f(u) = Au + b, siendo A una matriz de m x n y con b en Rm . Demuestre que f no es una transformación lineal cuando b . 7.2.9 Decimos que una recta se aplica sobre sí misma, si cada punto de la recta se aplica sobre un punto de la recta, pero no todos sobre el mismo punto, aún considerando que los puntos en la recta se pueden mover de un lado a otro: a.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (-1, 0) y a (0, 1) sobre (0, -1). Demuestre que cada recta que pasa por el origen se aplica sobre sí misma. Demuestre que cada una de esas rectas se aplica sobre sí misma con el sentido de la dirección invertido. Esta transformación lineal se llama inversión con respecto al origen. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R2 . b.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre (-1, -1) y deja fijo a (1, -1). Demuestre que toda recta perpendicular a la recta x1 + x2 = 0 se aplica sobre sí misma, con el sentido de la dirección invertido. Pruebe que cada punto sobre la recta x1 + x2 = 0 se deja fijo. ¿Cuáles rectas de las que pasan por el origen se aplican sobre sí mismas?. Esta transformación lineal se llama reflexión alrededor de la línea x1 + x2 = 0. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica en R2 . Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base {(1, 1), (1, -1)}. c.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre (2, 2) y a (1, -1) sobre (3, -3). Demuestre que las rectas que pasan por el origen y por los puntos (1, 1) y (1, -1) se aplican sobre sí mismas y que ningunas otras rectas se aplican sobre sí mismas. Encuentre las matrices que representan a esta transformación lineal con respecto a las bases, canónicas en R2 y {(1, 1), (1, -1)}. d.- Una transformación lineal deja fijo a (1, 0) y aplica (0, 1) sobre (1, 1). Demuestre que cada recta de la forma x2 = c se aplica sobre sí misma y se traslada dentro de sí misma una distancia igual a c. Esta transformación lineal se llama deslizamiento. ¿Cuáles rectas que pasan por el origen se aplican sobre sí mismas? Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R2 . e.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (5/13, 12/13) y a (0, 1) sobre (-12/13, 5/13). Demuestre que toda recta que pasa por el origen se hace girar en un ángulo = ArcCos(5/13), en sentido antihorario. Esta transformación lineal se llama rotación. Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica de R2 . f.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre (2/3, 2/3) y a (0, 1) sobre (1/3, 1/3). Demuestre que cada punto sobre la recta 2x1 + x2 = 3c se aplica sobre el único punto (c, c). La recta x1 – x2 = 0 se deja fija. La única otra recta que pasa por el origen y se aplica sobre sí misma, es la recta 2x1 + x2 = 0. Esta transformación lineal se llama proyección sobre la recta x1 – x2 = 0 paralela a la recta 2x1 + x2 = 0.
- 21. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 333 7.2.10 Sea S = {1, x, x2 , x3 } una base de P3 y sea f : P3 P4 la transformación lineal definida por 0 ( ) xk k f x t dt : a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la base canónica de P4. b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x – 2x2 + 5x3 . 7.2.11 Use la matriz de rotación en R2 en sentido antihorario para rotar 90° alrededor del origen el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0). Grafique los triángulos. 7.2.12 Sean S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)} bases de R2 , y sea 3 2 A 0 4 la matriz de f : R2 R2 con respecto a S1: a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1. b.- Aplique las matrices A y P para encontrar 1 [ ]v S y 1 [ ( )]f v S , donde 2 1 [ ] 2 v S . c.- Determine B, la matriz de f con respecto a S2, y P-1 . d.- Encuentre 2 [ ( )]f v S de dos formas: primero como 1 1 P [ ( )]f v S y luego como 2 B[ ]v S . 7.2.13 En R3 sean S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y S2 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. Encuentre la matriz de transición P de S1 hacia S2 y la matriz de transición P-1 de S2 hacia S1. 7.2.14 Sea S1, S2 y S3 tres base de V. Sea P la matriz de transición de S1 hacia S2 y Q la matriz de transición de S2 hacia S3. ¿Es PQ o QP la matriz de transición de S1 hacia S3? Compare el orden de multiplicación de las matrices de transición y de las matrices que representan transformaciones lineales. 7.2.15 Sea f una transformación lineal de R2 hacía si mismo que aplica a (1, 0) sobre (3, -1) y a (0, 1) sobre (- 1, 2). Determine la matriz que representa a f con respecto a las bases canónicas. 7.2.16 Sea S = {1, x, ex , xex } una base de un subespacio U del espacio de funciones continuas y sea Dx el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para Dx con respecto a la base S. 7.2.17 Sea S = {e2x , xe2x , x2 e2x } una base de un subespacio U del espacio de funciones continuas y sea Dx el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para Dx con respecto a la base S. 7.2.18 Sea u = (x, y), v = (-7, 4) y w = (3, -8), y sea f : R2 R2 una transformación que transforma u en v + w. Encuentre una matriz tal que f(u) sea Au para cada u. 7.2.19 La transformación lineal definida por una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son positivos se denomina amplificación. Encontrar las imágenes de (1, 0), (0, 1) y (2, 2) bajo la transformación definida por 2 0 A 0 3 e interpretar gráficamente los resultados. 7.2.20 Considere los números complejos de la forma x + iy y represente tales números complejos por las diadas (x, y) en R2 . Sea a + ib un número complejo fijo. Considere la función f definida por la regla f(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = u + iv: a.- Demuestre que esta función es una transformación lineal de R2 hacia sí mismo que aplica a (x, y) sobre (u, v). b.- Encuentre la matriz que representa a esta transformación lineal con respecto a la base canónica. c.- Encuentre la matriz que representa a la transformación lineal que se obtiene usando c + id en lugar de a + ib. Calcule el producto de estas dos matrices. ¿Se pueden conmutar? d.- Determine el número complejo que se pueda usar en lugar de a + ib para obtener una transformación representada por este producto de matrices. ¿Cómo está relacionado este número complejo con a + ib y c + id? 7.2.21 En el espacio C0; 1, definamos T(f) como Mf, donde Mf es la función de x definida de la manera siguiente, Mf(x) = máximo de f en 0; x, 0 x 1. De esto tenemos un ejemplo en un termómetro que registra la temperatura máxima. Se puede demostrar que Mf(x) es función continua en 0; 1 cuando f también lo es: a.- Encuéntrese T(f) en f(x) = x – x2 , f(x) = e-x , f(x) = Sen3x, f(x) = x2 – x. b.- ¿Es T transformación lineal? c.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) es la función cero. d.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) = f. 7.2.22 Sea f : R3 R3 la transformación lineal determinada por la matriz 0 0 A 0 0 0 0 a b c donde a, b y c son números positivos. Sea S la esfera unitaria, cuya superficie limitante tiene la ecuación 2 2 2 1 2 3 1x x x :
- 22. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 334 a.- Demuestre que f(S) está delimitada por el elipsoide que tiene la ecuación 22 2 31 2 2 2 2 1 xx x a b c . b.- Utilice el hecho de que el volumen de la esfera unitaria es 4/3 para determinar el volumen de la región acotada por el elipsoide de a). 7.3 ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES En esta sección se analizarán las operaciones que se pueden realizar entre transformaciones lineales. Enunciaremos sus propiedades más importantes. Comenzamos el estudio sistemático de las transformaciones lineales con la descripción de varias maneras en que pueden formarse nuevas transformaciones partiendo de otras. De entre ellas la más simple es la adición de dos transformaciones lineales, cada una de las cuales aplica un espacio vectorial dado U en el espacio V. DEFINICION 7.3.1 Sean U y V espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K. La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V está dada por (f + g)(u) = f(u) + g(u) para cada vector u de U. Ciertamente f + g es función de U en V. No obstante, es natural preguntarse si f + g es una transformación lineal. TEOREMA 7.3.1 La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V, es una transformación lineal. DEMOSTRACION Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios de K. Para demostrar que f + g sea una transformación lineal, debemos probar que (f + g)(au + bv) = a(f + g)(u) + b(f + g)(v). Es decir (f + g)(au + bv) = f(au + bv) + g(au + vb) = [af(u) + bf(v)) + (ag(u) + bg(v))] = [af(u) + ag(u)) + (bf(v) + bg(v))] = a[f(u) + g(u)] + b[f(v) + g(v)] = a(f + g)(u) + b(f + g)(v). La adición de transformaciones lineales tiene un gran número de propiedades familiares y sugerentes. En primer lugar f + (g + h) = (f + g) + h y f + g = g + f, siempre que f, g y h sean transformaciones lineales de U en V. En segundo lugar, la transformación cero de U en V actúa como un cero para esta adición, ya que f + = + f = f para toda f de U en V. Finalmente, si f es cualquier transformación lineal de U en V y si definimos –f por la ecuación (-f)(u) = - f(u), para toda u de U, obtenemos una transformación lineal de U en V con la propiedad de que f + (-f) = (-f) + f = . A continuación detallaremos la matriz asociada a la transformación lineal f + g. Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V respectivamente, y sean 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... A ... ... ... ... n n f m m nm a a a a a a a a a y 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... B ... ... .. ... n n g m m nm b b b b b b b b b las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases
- 23. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 335 consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación f + g: (f + g)(u1) = f(u1) + g(u1) = (a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) + (b11v1 + b12v2 + ... + b1mvm) = (a11 + b11)v1 + (a12 + b12)v2 + … + (a1m + b1m)vm (f + g)(u2) = f(u2) + g(u2) = (a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) + (b21v1 + b22v2 + ... + b2mvm) = (a21 + b21)v1 + (a22 + b22)v2 + … + (a2m + b2m)vm . . . (f + g)(un) = f(un) + g(un) = (an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) + (bn1v1 + bn2v2 + ... + bnmvm) = (an1 + bn1)v1 + (an2 + bn2)v2 + … + (anm + bnm)vm Por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por 11 11 21 21 1 1 12 12 22 22 2 2 1 1 2 2 ... ... A B ... ... ... ... n n n n f g m m m m nm nm a b a b a b a b a b a b a b a b a b es decir, la matriz asociada a la transformación lineal f + g se obtiene sumando término a término los elementos de las matrices asociadas a la transformaciones lineales f y g. EJEMPLO 7.3.1 La transformación lineal f consiste en que cada vector del plano está vuelto en el ángulo = /4. Hallar en la forma de coordenada la transformación lineal f + i. SOLUCION Tenemos que 2 2 ( ) 4 4 2 2 f i iCos jSen i j ; 3 3 2 2 ( ) 4 4 2 2 f j iCos jSen i j Por consiguiente 2 2 2 2A 2 2 2 2 f . Como Ii es la matriz identidad de 2 x 2, entonces 2 2 2 2 1 1 02 2 2 2A I 0 12 2 2 2 1 2 2 2 2 f i . La transformación lineal Af + Ii se puede escribir como 2 2 2 2 ( )(( , )) 1 , 1 2 2 2 2 f i a b a b a b . EJEMPLO 7.3.2 Se dan dos transformaciones lineales f((a, b, c)) = (a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) g((a, b, c)) = (a + 3b + c, a – 3b + 2c, a + c). Hallar 3f – 2g. SOLUCION Como 3f – 2g : R3 R3 , entonces: 3f((a, b, c)) – 2g((a, b, c)) = 3(a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) - 2(a + 3b + c, a – 3b + 2c, a + c)
- 24. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 336 = (3a + 6b + 9c, 12a + 15b + 18c, 21a + 24b) - (2a + 6b + 2c, 2a – 6b + 4c, 2a + 2c) = (a + 7c, 10a + 21b + 14c, 19a + 24b – 2c). Para completar lo que ahora debe ser una sucesión obvia de ideas, presentamos una multiplicación escalar en el conjunto de las transformaciones lineales de U en V. DEFINICION 7.3.2 El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de U en V está dada por (af)(u) = af(u) para todo vector u de U. En otras palabras, af es la función cuyo valor en u se calcula formando el producto escalar de a y el vector f(u). TEOREMA 7.3.2 El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de U en V, es una transformación lineal. DEMOSTRACION Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean k y r, escalares arbitrarios. Para demostrar que af es una transformación lineal, debemos probar que (af)(ku + rv) = k[(af)(u)] + r[(af)(v)]. Es decir (af)(ku + rv) = a[f(ku + rv)] = a[kf(u) + rf(v)] = (ak)f(u) + (ar)f(v) = k[af(u)] + r[af(v)] = k[(af)(u)] + r[(af)(v)]. Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V respectivamente, y sea 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... A ... ... ... ... n n f m m nm a a a a a a a a a la matriz asociada a la transformación lineal f en las bases consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación af: (af)(u1) = af(u1) = a(a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) = aa11v1 + aa12v2 + ... + aa1mvm (af)(u2) = af(u2) = a(a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) = aa21v1 + aa22v2 + ... + aa2mvm . . . (af)(un) = af(un) = a(an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) = aan1v1 + aan2v2 + ... + aanmvm por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... A ... ... ... ... n n f m m nm aa aa aa aa aa aa a aa aa aa es decir, la matriz asociada a la transformación lineal af se obtiene multiplicando el escalar a por todos los elementos de la matriz asociada a la transformación lineal f.
- 25. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 337 Al conjunto de transformaciones lineales f de U en V, se designa por L(U, V). Si U y V son ambos de dimensión finita, entonces L(U, V) es de dimensión finita, y de hecho dimL(U, V) = dimUdimV. TEOREMA 7.3.3 Con la adición y la multiplicación escalar como se definieron antes, L(U, V) es un espacio vectorial sobre K. DEMOSTRACION Es necesario verificar, uno por uno, que los axiomas de la definición de espacio vectorial son satisfechos. Para comprobar el primer axioma, debemos demostrar que la suma f + g de las transformaciones lineales es una transformación lineal. Esto ya se demostró antes. Para comprobar el axioma 6 se debe demostrar que el producto af del escalar a y la transformación lineal f es una transformación lineal. Esto también lo hicimos antes. La demostración se termina ahora con el siguiente razonamiento: L(U, V) es un subconjunto de V(U), y las operaciones de adición y multiplicación por escalares en L(U, V) y V(U), son las mismas. Como L(U, V) no es vacío y satisface los dos axiomas 1 y 6, se desprende que L(U, V) es un espacio vectorial. El espacio L(U, V) es un subespacio de V(U). Para definir esta multiplicación, sean U, V y W espacios vectoriales, y consideremos un par de transformaciones lineales f : U V y g : V W. Entonces, para todo u de U, f(u) es un vector en V, y tiene por ello sentido hablar de aplicar g a f(u) para obtener el vector g(f(u)) de W. Así, f y g pueden combinarse, o multiplicarse, para producir una transformación de U en W, la que denotaremos por gf, y llamaremos el producto de f y g en ese orden, es decir, primero f, luego g. DEFINICION 7.3.3 El producto, gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W se define por (gf)(u) = g(f(u)) para todo vector u de U. TEOREMA 7.3.4 El producto gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W es una transformación lineal. DEMOSTRACION Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios. Para demostrar que gf es una transformación lineal, debemos probar que (gf)(au + bv) = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)]. Es decir (gf)(au + bv) = g[f(au + bv)] = g[af(u) + bf(v)] = ag[f(u)] + bg[f(v)] = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)]. Antes de proseguir, es conveniente un comentario sobre la notación. A primera vista parecería más razonable denotar la composición de f y g por fg en lugar de gf como arriba aparece. La explicación de no adoptar esta notación es muy simple. Si se usara gf tendría que cambiarse para que tuviéramos fg(u) = g(f(u)), y la escritura de ecuaciones se convertiría en una clara invitación al error. Una vez que se ha establecido la convención de que el símbolo gf es el que se emplea para la composición de f y g, en ese orden, observamos que esta composición está definida solamente cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. Así pues, una de las composiciones fg ó gf puede existir y el otro no. Pero incluso cuando tanto f como g transformen un espacio vectorial dado en sí mismo, en cuyo caso fg y gf son transformaciones lineales en el mismo espacio, no es cierto en forma alguna que
- 26. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 338 deban ser iguales. En resumen la composición de transformaciones lineales es anticonmutativa. A continuación damos la representación matricial de la transformación lineal gf. Sean S1 = {u1, u2, ..., un}, S2 = {v1, v2, ..., vr} y S3 = {w1, w2, ..., wm} bases de los espacios vectoriales U, V y W respectivamente, y sean 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... A ... ... ... ... n n f r r nr a a a a a a a a a y 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... B ... ... ... ... r r g m m rm b b b b b b b b b las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación gf: (gf)(u1) = g(f(u1)) = g(a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr) = a11g(v1) + a12g(v2) + … + a1rg(vr) = a11(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a12(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … + a1r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm) = c11w1 + c12w2 + ... + c1mwm (gf)(u2) = g(f(u2)) = g(a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr) = a21g(v1) + a22g(v2) + … + a2rg(vr) = a21(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a22(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … + a2r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm) = c21w1 + c22w2 + ... + c2mwm . . . (gf)(un) = g(f(un)) = g(an1v1 + an2v2 + ... + anrvr) = an1g(v1) + an2g(v2) + … + anrg(vr) = an1(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + an2(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm) + … + anr(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm) = cn1w1 + cn2w2 + ... + cnmwm donde c11 = a11b11 + a12b21 + ... + a1rbr1 c21 = a11b12 + a12b22 + ... + a1rbr2 . . . cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + airbrj . . . cnm = an1b1m + an2b2m + ... + an rbr m y la matriz asociada a la transformación lineal gf respecto de las bases consideradas, será: 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... B A ... ... ... ... n n g f m m nm c c c c c c c c c esto es, los elementos cij de la matriz asociada a la transformación lineal gf se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila que ocupa el lugar j en la matriz Bg por los elementos de la columna que ocupa el lugar i de la matriz A. Relacionando las operaciones de adición y multiplicación de transformaciones lineales, tenemos dos leyes distributivas.
- 27. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 339 TEOREMA 7.3.5 Sean f y g transformaciones lineales de U en V y h y t transformaciones lineales de V en W. Entonces tenemos: a.- h(f + g) = hf + hg; b.- (h + t)f = hf + tf. DEMOSTRACION a.- Como f + g va de U en V y h va de V en W, entonces h(f + g) es una función de U en W. Análogamente, hf va de U en W y hg va de U en W y así hf + hg es una función de U en W. Por tanto, para demostrar que h(f + g) = hf + hg, debemos evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son siempre iguales. Es decir [h(f + g)](u) = h[(f + g)(u)] = h[f(u) + g(u)] = h[f(u)] + h[g(u)] = (hf)(u) + (hg)(u) = (hf + hg)(u) b.- Como h + t va de V en W y f va de U en V, entonces (h + t)f es una función de U en W. Análogamente, hf va de U en W y tf va de U en W y así hf + tf es una función de U en W. Por tanto, para demostrar que (h + t)f = hf + tf, debemos evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son siempre iguales. Es decir [(h + t)f](u) = (h + t)[f(u)] = h[f(u)] + t[f(u)] = (hf)(u) + (tf)(u) = (hf + tf)(u). Obsérvese que en el primer producto, h aparece a la izquierda, mientras que en el segundo producto, f aparece a la derecha. Debido a que la multiplicación de las transformaciones lineales no es conmutativa, las dos fórmulas no pueden comprimirse en una sola ley distributiva. La primera fórmula se llama ley distributiva a la izquierda y, la segunda fórmula, ley distributiva a la derecha. Sean las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W, y a un escalar arbitrario. Entonces a(gf) = (ag)f = g(af). Hemos presentado los resultados básicos referentes a las sumas, a los productos escalares y a los productos de transformaciones lineales. Consideremos ahora el caso especial de las transformaciones lineales de V en V; esto es, estudiaremos ahora L(V, V). TEOREMA 7.3.6 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces L(V, V) cumple lo siguiente: a.- L(V, V) es un espacio vectorial sobre K; b.- L(V, V) es cerrado bajo la multiplicación; c.- f(gh) = (fg)h para toda f, g y h de L(V, V); d.- Para cualesquiera f, g y h de L(V, V) tenemos f(g + h) = fg + fh y (g + h)f = gf + hf; e.- Para un escalar a de K y cualesquiera f y g de L(V, V), tenemos que
- 28. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 340 a(fg) = (af)g = f(ag); f.- i(f) = f para toda f de L(V, V). EJEMPLO 7.3.3 Se dan dos transformaciones lineales: f((a, b, c)) = (a + b, b + c, c + a) y g((a, b, c)) = (b + c, a + c, a + b). Hallar las transformaciones fg y gf. SOLUCION Las matrices de las transformaciones dadas tienen la forma 1 1 0 A 0 1 1 1 0 1 f , 0 1 1 B 1 0 1 1 1 0 g . Hallamos los productos de estas matrices: 1 1 0 0 1 1 1 1 2 A B 0 1 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 1 f g , 0 1 1 1 1 0 1 1 2 B A 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 1 g f . En este caso AfBg = BgAf, por eso las transformaciones fg y gf coinciden. La forma de coordenadas de la transformación fg se escribe de la forma siguiente: gf((a, b, c)) = fg((a, b, c) = (a + b + 2c, 2a + b + c, a + 2b + c). EJEMPLO 7.3.4 Demuestre que si f : U V, g : V W y h : W X son tres transformaciones, tenemos entonces que h(gf) = (hg)f. SOLUCION Las transformaciones h(gf) y (hg)f tienen ambas dominio U y valores en X. Para cada u de V, tenemos (h(gf))(u) = h((gf)(u)) = h(g(f(u))) y ((hg)f)(u) = (hg)(f(u)) = h(g(f(u))) lo que demuestra que h(gf) y (hg)f. EJEMPLO 7.3.5 Sea V = R2 . Sea S = {e1, e2} la base canónica de R2 . Defínanse f y g en L(V, V) tales que cumplan f(e1) = e2, f(e2) = , g(e1) = e1 + e2, g(e2) = . Demuestre que aunque fg y gf están ambas en L(V, V), fg gf. SOLUCION Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b): (a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) a b . f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(0, 1) + b(0, 0) = (0, a) (a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) a b . g((a, b)) = ag((1, 0)) + bg((0, 1)) = a(1, 1) + b(0, 0) = (a, a) (fg)(a, b) = (0, a), (gf)(a, b) = (0, 0) fg gf. Otra forma de resolver este problema, es el siguiente: Sabemos que S = {(1, 0), (0,1)}, entonces: f((1, 0)) = (0, 1), f((0, 1)) = (0, 0) 0 0 A 1 0 f ;
- 29. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 341 g((1, 0)) = (1, 1), g((0, 1)) = (0, 0) 1 0 A 1 0 g . 0 0 1 0 0 0 A A 1 0 1 0 1 0 f g , 1 0 0 0 0 0 A A 1 0 1 0 0 0 g f Por tanto f g g f . EJEMPLO 7.3.6 Sea V un espacio vectorial. Sean f, g de L(V, V). Demuestre que (f + g)2 = f2 + 2fg + g2 si y sólo si fg = gf. SOLUCION Como f : V V, g : V V, entonces por definición f + g : V V y (f + g)2 : V V. Por lo tanto (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2 . Como fg = gf, entonces (f + g)2 = f2 + 2fg + g2 . EJEMPLO 7.3.7 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). ¿Implica siempre f2 = , que f = ? ¿Por qué? SOLUCION Como f : V V, entonces f2 : V V. Por lo tanto f2 = ff es la composición de f consigo mismo, entonces la transformación lineal f es nula, para que f2 = . EJEMPLO 7.3.8 Sean f : V V y g : V V transformaciones lineales. Si f y g conmutan, demostrar que (fg)n = fn gn , para todo n 0. SOLUCION Como f : V V, g : V V, entonces por definición fg : V V y (fg)n : V V. Por lo tanto ( ) ( )( ) ( )n n veces fg fg fg fg Como por hipótesis tenemos que fg = gf, entonces (fg)n = fn gn . EJEMPLO 7.3.9 Sea V un espacio vectorial. Si f y g conmutan, demostrar que (f + g)2 = f2 + 2fg + g2 y (f + g)3 = f3 + 3f2 g + 3fg2 + g3 . Indicar cómo deben modificarse esas fórmulas si fg gf. SOLUCION Como f : V V, g : V V, entonces por definición f + g : V V y (f + g)2 : V V. Por lo tanto (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2 , (f + g)3 = (f + g)2 (f + g) = (f2 + fg + gf + g2 )(f + g) = f3 + f2 g + fgf + fg2 + gf2 + gfg + g2 f + g3 . Como por hipótesis tenemos fg = gf, entonces (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + 2fg + g2 , (f + g)3 = (f + g)2 (f + g) = (f2 + fg + gf + g2 )(f + g) = f3 + 3f2 g + 3fg2 + g3 . Si fg gf, es decir las transformaciones lineales f y g no son conmutativas, entonces (f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2 , (f + g)3 = (f + g)2 (f + g) = (f2 + fg + gf + g2 )(f + g)
- 30. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 342 = f3 + f2 g + fgf + fg2 + gf2 + gfg + g2 f + g3 . EJEMPLO 7.3.10 Dadas las transformaciones lineales f : R3 R3 y g : R3 R3 , definidas por f((a, b, c)) = (a + b, b – c, 2c) y g((a, b, c)) = (a, 2a + 3b, 4a + c), describir las transformaciones lineales indicadas a continuación: a.- 2f - g; b.- f2 + g2 ; c.- 3f + 5g; d.- fg - gf; e.- f2 + 2f + g. SOLUCION a.- Como 2f – g : R3 R3 , entonces: 2f((a, b, c)) – g((a, b, c)) = 2(a + b, b – c, 2c) – (a, 2a + 3b, 4a + c) = (a + 2b, - 2a – b – 2c, - 4a + 3c); b.- Como f2 + g2 : R3 R3 , entonces: f2 ((a, b, c)) – g2 ((a, b, c)) = (a + 2b – c, b – 3c, 4c) - (a, 8a + 9b, 8a + c) = (2b – c, - 8a – 8b – 3c, - 8a + 3c); c.- Como 3f + 5g : R3 R3 , entonces: 3f((a, b, c)) + 5g((a, b, c)) = 3(a + b, b – c, 2c) + 5(a, 2a + 3b, 4a + c) = (8a + 3b, 10a + 18b – 3c, 20a + 11c); d.- Como fg – gf : R3 R3 , entonces: fg((a, b, c)) – gf((a, b, c)) = (3a + 3b, - 2a + 3b – c, 8a + 2c) – (a + b, 2a + 5b – 3c, 4a + 4b + 2c) = (2a + 2b, - 4a – 2b + 2c, 4a – 4b) e.- Como f2 + 2f + g : R3 R3 , entonces: f2 ((a, b, c)) + 2f((a, b, c)) + g((a, b, c)) = (a + 2b – c, b – 3c, 4c) + 2(a + b, b – c, 2c) + (a, 2a + 3b, 4a + c) = (4a + 4b – c, 2a + 6b – 5c, 4a + 9c). PROBLEMAS 7.3.1 Si P es el conjunto de los polinomios en x sobre R, sean f : P P, definida por f(p(x)) = p´(x) y g : P P, definida por 0 ( ( )) ( ) x g p x p t dt . Pruebe lo siguiente: a.- fg = i; b.- gf i. 7.3.2 En el espacio vectorial de todas las funciones reales, cada uno de los siguientes conjuntos es independiente y genera un subespacio V de dimensión finita. Utilizar el conjunto dado como base para V y sea D : V V el operador derivación. En cada caso, hallar la matriz D y la de D2 relativa a la base que se elige: a.- {Senx, Cosx}; b.- {x, x + ex , x + ex + xex }; c.- {x, xex , x2 ex }; d.- {e2x Sen3x, e2x Cos3x}; e.- {ex , xex , x2 ex }; f.- {ex Senx, ex Cosx}. 7.3.3 Encuéntrense ejemplos de transformaciones lineales S, T tales que TS está definido, T O, S O y TS = O. 7.3.4 Una transformación lineal f : R2 R2 aplica los vectores base e1 y e2 como sigue: f(e1) = 3e1 + 5e2 y f(e2) = 2e1 – 3e2: a.- Calcular f(9e1 – 7e2) y f2 (9e1 – 7e2) en función de e1 y e2. b.- Determinar la matriz de f y de f2 . c.- Resolver la parte b) si la base canónica se reemplaza por {2e1 – e2, e1 + 4e2}. 7.3.5 Una transformación lineal f : R2 R2 se define de la siguiente manera: cada vector u R2 se transforma en su simétrico respecto al eje Y y luego se duplica su longitud para obtener f(u). Determine la matriz de f y la de f2 . 7.3.6 Encontrar la potencia indicada de A, la matriz de la transformación lineal f: a.- f : R3 R3 , reflexión en el plano XY. Encontrar A2 . b.- f : R3 R3 , proyección sobre el plano XY. Encuentre A2 . c.- f : R2 R2 , rotación de un ángulo en sentido antihorario. Encontrar A3 . d.- f : P3 P3, operador diferencial. Encontrar A2 . 7.3.7 Sea f : R3 R3 la proyección ortogonal de R3 sobre el plano XY. Demuestre que ff = f. 7.3.8 Sean f : Rn Rm , g : Rm Rs , h : Rm Rs transformaciones lineales. Demuestre la propiedad distributiva de la composición respecto de la suma: f(g + h) = fg + fh. ¿Es esta propiedad válida para funciones en general?
- 31. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 343 7.3.9 Sea f : Rn Rm , g : Rm Rs , h : Rs Rt transformaciones lineales. Demuestre la propiedad asociativa de su composición. Es decir, demuestre que las transformaciones lineales h(gf), (hg)f son iguales. ¿Es esta propiedad válida para funciones en general? 7.3.10 Sea f : R R definida por ( ) proyuf v v , en donde u = (4, 3): a.- Determinar A, y demuestre que A2 = A. b.- Demuestre que (I – A)2 = I – A. c.- Encuentre Av y (I – A)v para v = (5, 0). d.- Trazar la gráfica de u, v, Av y (I – A)v. 7.3.11 Considere las transformaciones lineales f : R3 R2 , f((a, b, c)) = (a - b, a + b), g : R2 R3 , g((a, b)) = (b, a, a – b). Determine expresiones explícitas para las transformaciones lineales fg : R2 R2 y gf : R3 R3 . Verifique en cada caso que la matriz que representa a la composición de transformaciones es el producto de las matrices que representan a cada una de las transformaciones lineales que se componen. 7.3.12 Usando multiplicación matricial encuentre la imagen del vector (3, -1, 2) cuando se hace girar: a.- 30º en sentido antihorario con respecto al eje X; b.- 45º en sentido antihorario con respecto al eje Y; c.- 90º en sentido antihorario con respecto al eje Z. 7.3.13 Usando multiplicación matricial encuentre la proyección ortogonal de (3, -4) sobre: a.- El eje X; b.- El eje Y. 7.3.14 Usando multiplicación matricial encuentre la proyección ortogonal de (-1, 3, -2) sobre: a.- El plano XY; b.- El plano XZ; c.- El plano YZ. 7.3.15 Usando multiplicación matricial encuentre la imagen del vector (-1, 4, 7) cuando se hace girar: a.- -30º en sentido horario con respecto al eje X; b.- -45º en sentido horario con respecto al eje Y; c.- -90º en sentido horario con respecto al eje Z. 7.3.16 Determine si fg = gf: a.- f : R2 R2 es la proyección ortogonal sobre el eje X y g : R2 R2 es la proyección ortogonal sobre el eje Y. b.- f : R2 R2 es la rotación en sentido antihorario hasta describir un ángulo 1 y g : R2 R2 es la rotación en sentido antihorario hasta describir un ángulo 2. c.- f : R2 R2 es la reflexión respecto al eje X y g : R2 R2 es la reflexión respecto al eje Y; 7.3.17 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R2 que se indica: a.- Una rotación de 90º en sentido antihorario b.- Una proyección ortogonal sobre el eje Y, seguida de una contracción con factor k = ½; c.- Una reflexión con respecto al eje X, seguida de una dilatación con factor k = 3. 7.3.18 Sea T una transformación lineal de R2 con la propiedad de que T(e1) = (1, 1), T(e2) = (0, 1), de manera que T(x, y) = (x, x + y): a.- Encuéntrense T2 (e1) y T2 (e2) y, en consecuencia, obténgase T2 (x, y). A continuación, demuéstrese que T2 - 2T + I = O y que (T – I)2 = O, aunque T – I O. b.- A partir de los resultados de a), verifíquese que (T – I)4 = O y que T4 = 4T2 - 4T + I. c.- A partir de los resultados de las partes a) y b), dedúzcase que T4 = 4T - 3I y encuéntrense T4 (4, -2) y T4 (1, 4). d.- De los resultados anteriores, demuéstrese que T3 = 3T - 2I y evalúense T3 (5, 7) y T3 (1, 4). 7.3.19 Sean f : U V y g : U V transformaciones lineales. Las funciones (f + g) : U V y (f - g) : U V se definen como (f + g)(u) = f(u) + g(u) y (f - g)(u) = f(u) - g(u). Demuestre que f + g y f – g son transformaciones lineales. Encontrar (f + g)(a, b) y (f – g)(a, b) si f : R2 R2 y g : R2 R2 están definidas por las fórmulas f(a, b) = (-5b, 2a) y g(a, b) = (2b, 3a). a.- Una reflexión respecto al plano YZ, seguida de una proyección ortogonal sobre el plano XZ; b.- Una rotación de 45º en sentido antihorario respecto al eje Y, seguida de una dilatación con factor k = 3/2; c.- Una proyección ortogonal sobre el plano XY, seguida de una reflexión con respecto al plano YZ. 7.3.20 Sea U un espacio vectorial complejo y unidimensional, de manera que se pueden representar los vectores de U como números complejos z, Sean S, T transformaciones lineales de U, definidas por 4( ) i z e z S , T(z) = iz. Demuéstrese que: a.- T2 = -I; b.- T4 = I; c.- S2 = T; d.- S4 = -I; e.- STST = -T; f.- S8 = I; g.- ST = TS = S3 . d.- f : R2 R2 es la proyección ortogonal sobre el eje X y g : R2 R2 es la rotación en sentido antihorario hasta describir un ángulo . 7.3.21 Sean f : U V una transformación lineal y un escalar. La función f : U V se define como seguida de una reflexión con respecto a la recta y = x; (f)(u) = (f(u)). Demuestre que f es una transformación lineal. Encontrar (5f)(a, b) si f : R2 R2 está expresada por la fórmula f(a, b) = (3a - b, 2b + a).
- 32. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 344 7.3.22 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R3 que se indica: a.- f : R3 R3 es una dilatación con factor k y g : R3 R3 es la rotación en sentido antihorario con respecto al eje Z hasta describir un ángulo ; b.- f : R3 R3 es la rotación con respecto al eje X hasta describir un ángulo 1 y g : R3 R3 es la rotación con respecto al eje Z hasta describir un ángulo 2. 7.3.23 Determínese si las transformaciones lineales siguientes son nilpotentes, idempotentes o ninguna de las dos cosas: a.- T(x, y) = (-x, -y); b.- T(x, y, z) = (y + z, z, 0); c.- T(x, y) = (0, x); d.- T(x, y, z) = (z, x, y); e.- T(x, y) = (x, 0); f.- T(x, y, z) = (x, 0, z). 7.3.24 Sea T una transformación lineal de R2 con la propiedad de que T(e1) = (1, 2), T(e2) = (3, 1), de manera que T(x, y) = (x + 3y, 2x + y): a.- Encuéntrense T2 (e1) y T2 (e2) y, en consecuencia, obténgase T2 (x, y); entonces, demuéstrese que T2 = 2T + 5I. b.- A partir del resultado de a), verifíquese que T4 = 4T2 + 20T + 25I. c.- De los resultados de las partes a) y b), dedúzcase que T4 = 28T + 45I y, en consecuencia, encuéntrense T4 (3, 2) y T4 (-1, 7). d.- A partir de los resultados anteriores, demuéstrese que T3 = 9T + 10I y, en consecuencia, encuéntrense T3 (5, 1) y T3 (0, 6). 7.3.25 Usando multiplicación matricial encuentre la imagen del vector (5, -2) cuando se hace girar un ángulo de: a.- = 30º; b.- = -60º; c.- = 45º; d.- = 90º. 7.3.26 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R2 que se indica: a.- Una rotación de 60º en sentido antihorario seguida de una proyección ortogonal sobre el eje X, seguida de una reflexión con respecto a la recta y = x; b.- Una dilatación con factor k = 2, seguida de una rotación de 45º en sentido antihorario, seguida de una reflexión con respecto al eje Y; c.- Una rotación de 15º en sentido antihorario, seguida de una rotación de 105º en sentido antihorario, seguida de una rotación de 60º en sentido antihorario. 7.3.27 Encuentre la matriz estándar para la composición de operadores lineales sobre R3 que se indica: a.- Una reflexión respecto al plano XY, seguida de una reflexión respecto al plano XZ, seguida de una proyección ortogonal sobre el plano YZ; b.- Una rotación de 30º en sentido antihorario respecto al eje X, seguida de una rotación de 30º en sentido antihorario respecto al eje Z, seguida por una contracción con factor k = ½; c.- Una rotación de 270º en sentido antihorario respecto al eje X, seguida de una rotación de 90º en sentido antihorario respecto al eje Y, seguida de una rotación de 180º respecto al eje Z. 7.4 NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL En esta sección se estudiarán el núcleo e imagen de una transformación lineal. Se enunciaran las propiedades más importantes. Desde el punto de vista de las transformaciones matriciales, el espacio nulo de A consta de todos los vectores u en Rn que la multiplicación por A aplica o transforma en 0, y el espacio columna consta de todos los vectores en Rm que son imágenes de por lo menos un vector en Rn bajo la multiplicación por A. DEFINICION 7.4.1 Sea f una transformación de U en V. El núcleo de la transformación lineal f, es el conjunto de todos los vectores u de U tales que f(u) = , es decir: Nuc(f) = {u / u U y f(u) = , V} Entonces como ya hemos hecho notar, Nuc(f) siempre contiene al vector cero de U. De hecho, podemos decir mucho más que esto, pues si f(u) = f(v) = , entonces: f(au + bv) = af(u) + bf(v) = , para todo a, b K, y de ello se sigue que Nuc(f) es un subespacio de U. A este subespacio le llamamos el espacio nulo o núcleo de f, y es de fundamental importancia en el estudio del comportamiento de f en U. TEOREMA 7.4.1 Sea f una transformación lineal de U en V. El núcleo o espacio nulo de una transformación lineal f es un subespacio del dominio U.
- 33. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 345 DEMOSTRACION Observe que f() = . Puesto que f() = f( + ) = f() + f(). Sumando –f() a cada miembro, obtenemos = f(). Por tanto, siempre hay un vector, es decir, el vector cero de U en el núcleo de f. Para demostrar que el núcleo de f es un subespacio, admitamos que los vectores u y v de U están en el núcleo de f y sean a y b escalares arbitrarios. Entonces f(u) = y f(v) = . Por tanto, f(au + bv) = af(u) + bf(v) = a + b = . Por consiguiente, au + bv está en el núcleo de f. En consecuencia, el núcleo de f es un subespacio de U. EJEMPLO 7.4.1 Sea f : R2 R2 una transformación lineal tal que f((3, 2)) = (0, 0) y f((1, 3)) = u , demuestre que el núcleo de f es una recta en el plano XY que pasa por el origen. Encuentre su ecuación. SOLUCION Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): (a, b) = (3, 2) + (1, 3) 3 2 3 a b 1 (3 ) 7 1 (2 3 ) 7 a b a b De donde 1 1 (( , )) ((3, 2)) ((1, 3)) (3 )(0, 0) (2 3 )( , ) 7 7 f a b f f a b a b x y 1 (2 3 , 2 3 ) 7 xa xb ya yb . Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera: 2 3 0 2 3 0 xa xb ya yb 2 3 0 2 3 0 a b a b 2a – 3b = 0 En este caso podemos darnos cuenta que el núcleo de f es una recta en el plano XY que además pasa por el origen. EJEMPLO 7.4.2 Sea (2, 2) el espacio vectorial de matrices 2 x 2 sobre R y 1 1 2 2 M . Sea f : (2, 2) (2, 2) la transformación lineal definida por f(A) = MA. Hallar una base y la dimensión del Nuc(f). SOLUCION Aplicando la definición de núcleo, tenemos que Nuc(f) = {A (2, 2) / f(A) = , (2, 2)} 1 1 0 0 2 2 0 0 a b a b c d c d . Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos Nuc( ) a b a c f c d b d 1 0 0 1 BaseNuc( ) , 1 0 0 1 f por lo tanto Dim Nuc(f) = 2. EJEMPLO 7.4.3 Encuentre una transformación lineal f de R2 en R2 cuyo núcleo sea la recta 2x + 5y = 0.
- 34. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 346 SOLUCION Sabemos que Nuc(f) = {(x , y) / 2x + 5y = 0}, entonces la transformación lineal f : R2 R2 puede ser: f((x, y)) = (2x + 5y, 2kx + 5ky), k 0. De igual importancia que el espacio nulo de f es su imagen, Img(f), la cual definimos a continuación. DEFINICION 7.4.2 Sea f una transformación lineal de U en V. La imagen de U bajo f, es el conjunto de todos los vectores v de V tales que v = f(u) para cierto u de U. Es decir: Img(f) = {v V / u U y v = f(u)}. La imagen de f no es solamente el conjunto f(u), sino que a él se le considera con la estructura de espacio vectorial, subespacio de V, ya que si v1 y v2 pertenecen a la Img(f) con v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces: f(au1 + bu2) = af(u1) + bf(u2) = av1 + bv2 de donde av1 + bv2 está también en la imagen de f. TEOREMA 7.4.2 Sea f una transformación lineal de U en V. El conjunto imagen de f es un subespacio de V. DEMOSTRACION Considere que los vectores v y w de V están en el conjunto imagen de f. Entonces v = f(u1) y w = f(u2) para ciertos vectores u1 y u2 de U. Sean a y b escalares arbitrarios. Entonces av + bw = af(u1) + bf(u2) = f(au1 + bu2). Por tanto, av + bw es un valor funcional bajo la función f y, en consecuencia, av + bw está en el conjunto imagen de f. En consecuencia el conjunto imagen de f es un subespacio de V. TEOREMA 7.4.3 Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces Dim Img(f) + Dim Nuc(f) = DimU. DEMOSTRACION Como la imagen de f es un subespacio del espacio V de dimensión finita, la imagen de f es también de dimensión finita. Por esta razón, podemos hallar una base para la imagen de f. Sea esta base S1 = {v1, v2, ..., vm} donde m = Dim Img(f). Como los elementos de S1 están todos en la imagen de f hay vectores S = {u1, u2, ..., um} de U tales que f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm. Afirmamos que los elementos de S son vectores linealmente independientes de U. Pues sean a1, a2, ..., am escalares arbitrarios y consideremos que la ecuación a1u1 + a2u2 + ... + amum = . Aplicando la transformación f a cada miembro y utilizando f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(um) = vm, obtenemos a1v1 + a2v2 + ... + amvm = . Como los elementos de S1 son vectores linealmente independientes de V, tenemos que a1 = a2 = ... = am = 0. Por tanto, en la ecuación, todos los escalares a1, a2, ..., am deben ser cero. En consecuencia, los elementos de S son linealmente independientes. Como el núcleo de f es un subespacio de U, podemos hallar una base S2 = {w1, w2, ..., wk} del núcleo de f. Aquí, k = DimNuc(f). Afirmamos que S3 = {w1, w2, ..., wk, u1, u2, ..., um} es una base de U. Demostremos que los elementos de S3 generan U. Sea u de U. Entonces f(u) está en la imagen de f, y así f(u) = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm para ciertos escalares arbitrarios b1, b2, ..., bm. Entonces f(u – b1u1 - b2u2 - ... - bmum) = f(u) – b1v1 - b2v2 - ... - bmvm = . Por tanto, u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum está en el núcleo de f y, en consecuencia, es igual a la combinación lineal c1w1 + c2w2 + ... + ckwk de los vectores de la base S2 del
- 35. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 347 núcleo de f. De manera que u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1w1 + c2w2 + ... + ckwk. Consiguientemente, los elementos de S1 generan U. Demostremos a continuación estos generadores para la independencia lineal. Escribimos la ecuación b1u1 + b2u2 + ... + bmum + c1w1 + c2w2 + ... + ckwk = donde b1, b2, ..., bm, c1, c2, ..., ck son escalares. Aplicando la transformación f a cada miembro de esta ecuación, y utilizando f(w1) = f(w2) = ... = f(wk) = , obtenemos b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = . En vista de la independencia lineal de S1, podemos ver ahora que b1 = b2 = ... = bm = 0. Por tanto la ecuación se reduce a c1w1 + c2w2 + ... + ckwk = y, debido a la independencia lineal de S2, tenemos c1 = c2 = ... = ck = 0. Por consiguiente, vemos que todos los escalares son cero. De esta manera, hemos demostrado que S3 es base de U. En consecuencia DimU = m + k = DimImg(f) + DimNuc(f). Sea f una transformación lineal de U en V. La dimensión del núcleo de f se llama nulidad de f. La dimensión de la imagen de f se llama rango de f. Para expresarlo más detalladamente, a continuación damos las definiciones. DEFINICION 7.4.3 Dada una transformación lineal f de U en V, donde U es un espacio vectorial de tipo finito, se denomina rango de f, y se representa por Rang(f) a la dimensión del subespacio vectorial imagen. La nulidad de una transformación lineal f es la dimensión del núcleo de dicha transformación, en el caso de que sea finita dicha dimensión. Según la definición, el rango de la transformación lineal f no puede exceder a la dimensión de U, es decir: Rang(f) DimU, es también evidente que si V es de tipo finito, también se satisface la desigualdad Rang(f) DimV. El resultado anterior, con la definición de rango de una transformación lineal, puede expresarse en los términos siguientes: Rang(f) = DimU – Dim Nuc(f). EJEMPLO 7.4.4 Sea f : R2 R3 tal que f(u1) = 2v1 + v2 – v3, f(u2) = - v1 – 3v2 + 2v3, donde {u1, u2} forman una base para el conjunto R2 y {v1, v2, v3} una base para el conjunto R3 . Hallar la imagen del vector u = (2, 1). SOLUCION f(u) = f(2u1 + u2) = 2f(u1) + f(u2) = 2(2v1 + v2 – v3) + (- v1 – 3v2 + 2v3) = 3v1 – v2. La imagen del vector u es el vector f(u) de coordenadas (3, -1, 0). EJEMPLO 7.4.5 Demuestre que si f y g son transformaciones lineales de U hacia V (DimU = n y DimV = m), entonces Rang(f + g) mín{m, n, Rang(f) + Rang(g)}. SOLUCION Si f y g son transformaciones lineales de U hacia V, entonces: Rang(f + g) = Dim(f + g)(U) Dim{f(U) + g(U)} = Dimf(U) + Dimg(U) – Dim{f(U) g(U)} Rang(f) + Rang(g). EJEMPLO 7.4.6 Demuestre que Rang(f) – Rang(g) Rang(f + g). SOLUCION Como Rang(g) = Rang(-g), el ejemplo anterior también dice que Rang(f – g) Rang(f) + Rang(g). Entonces Rang(f) = Rang(g – (f + g)) Rang(g) + Ran(f + g).
- 36. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 348 Por simetría, Rang(g) Rang(f) + Rang(f + g). EJEMPLO 7.4.7 Si U = R2 , V = R2 y f(u) es el complemento ortogonal de u respecto a la recta y = x, es decir, si w es un vector unitario sobre la recta dada, entonces u ww es la proyección sobre la recta y u - u ww es el complemento ortogonal, mostrar que f es una transformación lineal. Encontrar núcleo y la imagen de f. SOLUCION Sabemos que f(u) = u - u ww, escogemos un vector unitario que está en la recta dada y = x, 1 (1,1) 2 w . Reemplazando este vector en la definición, obtenemos 1 1 ( ) (1,1) (1,1) 2 2 f u u u . Para demostrar que f(u) es una transformación lineal, aplicamos la definición general: 1 1 ( ) ( ) ( ) (1,1) (1,1) 2 2 f u v u v u v 1 1 1 1 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 2 2 2 2 u v u v 1 1 1 1 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 2 2 2 2 u u v u ( ) ( )f u f v Por tanto f(u) es transformación lineal. Siendo u = (a, b), entonces 1 1 (( , )) ( , ) ( , ) (1,1) (1,1) , 2 22 2 a b b a f a b a b a b . Para calcular el núcleo y la imagen, hacemos uso de la definición correspondiente: 0 2 0 2 a b b a 0 0 a b b a 0 0 a b . Por tanto el núcleo de f es: Nuc(f) = {(a, b) / a = b = 0} 2 2 a b r b a s 2 2 a b r b a s . Por tanto la imagen de f es: Img(f) = {(r, s) / a – b = 2r, b – a = 2s}. EJEMPLO 7.4.8 Sea f : R2 R2 una transformación lineal tal que f((1, 1)) = (0, 0) y f((0, 1)) = (1, 1), demuestre que tanto el núcleo como la imagen de f son rectas en el plano XY que pasan por el origen. Encuentre las ecuaciones de estas rectas. SOLUCION Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): (a, b) = (1, 1) + (0, 1) 1 a b De donde f((a, b)) = f((1, 1)) + f((0, 1)) f((a, b)) = a(0, 0) + (b – a)(1, 1) = (b – a, b – a).
- 37. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 349 Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera: 0 0 b a b a a – b = 0 Para encontrar la imagen de f, lo hacemos como sigue: b a r b a s r – s = 0 En ambos casos podemos darnos cuenta que el núcleo y la imagen de f son rectas en el plano XY que además pasan por el origen. EJEMPLO 7.4.9 Una transformación lineal f : R2 R3 aplica los vectores base de la siguiente manera: f(i) = (1, 0, 1), f(j) = (-1, 0, 1). a.- Calcular f(2i - 3j) y determinar la dimensión del núcleo e imagen de f; b.- Determinar la matriz de f. SOLUCION a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): (a, b) = (1, 0) + (0, 1) a b De donde f((a, b)) = f((1, 0)) + f((0, 1)) = a(1, 0, 1) + b(-1, 0, 1) = (a - b, 0, a + b). Por tanto encontramos el núcleo de la siguiente manera: 0 0 0 0 a b a b a = b = 0 Nuc(f) = {(a, b) / a = b = 0} BaseNuc(f) = {} DimNuc(f) = 0. Para encontrar la imagen de f, lo hacemos como sigue: 0 a b r s a b t Img(f) = {(r, s, t) / r = a – b, s = 0, t = a + b} BaseImg(f) = {(1, 0, 1), (-1, 0, 1)} DimImg(f) = 2. b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R2 : f((1, 0)) = (1, 0, 1) y f((0, 1)) = (-1, 0, 1) Por tanto la matriz de f es: 1 1 A 0 0 1 1 f . EJEMPLO 7.4.10 Defínase f : (3, 3) (3, 3) mediante f(A) = A - AT . Muéstrese que f es lineal. Descríbase el núcleo e imagen de f. SOLUCION Para demostrar que f es una transformación lineal, aplicamos la definición general: f(A + B) = (A + B) – (A + B)T = A + B – AT - BT = (A – AT ) + (B – BT ) = (A – AT ) + (B – BT ) = f(A) + f(B). Por tanto f(A) es transformación lineal. Para determinar el núcleo y la imagen de f, aplicamos la definición correspondiente: A – AT = O A = AT Nuc(f) = {A (3 x 3) / A = AT }.
- 38. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 350 A – AT = B Img(f) = {B (3 x 3) / A - AT = B}. EJEMPLO 7.4.11 Sea V el espacio vectorial real de las funciones reales de una variable real, con las operaciones usuales. Si f : R3 V es la transformación que a cada terna de R3 le asocia la función u aSen2 u + bCos2 u + c. Es decir, f((a, b, c)) = aSen2 u + bCos2 u + c. a.- Pruébese que f es lineal; b.- Hállese el núcleo y la imagen de f. SOLUCION a.- Para demostrar que f es una transformación lineal, aplicamos la definición general: f((a + d, b + e, c + f)) = (a + d)Sen2 u + (b + e)Cos2 u + (c + f) = (aSen2 u + bCos2 u + c) + (dSen2 u + eCos2 u + f) = (aSen2 u + bCos2 u + c) + (dSen2 u + eCos2 u + f) = f(A) + f(B). Por tanto f(A) es transformación lineal. b.- Para determinar el núcleo y la imagen de f, aplicamos la definición correspondiente: aSen2 u + bCos2 u + c = 0 Nuc(f) = {(a, b, c) R3 / aSen2 u + bCos2 u + c = 0}. aSen2 u + bCos2 u + c = r Img(f) = {r V / aSen2 u + bCos2 u + c = r}. EJEMPLO 7.4.12 Sea f : R3 R3 una transformación lineal tal que f(k) = 2i + 3j + 5k, f(j + k) = i, f(i + j + k) = j - k. a.- Calcular f(i + 2j + 3k) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f; b.- Determinar la matriz de f. SOLUCION a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b, c): (a, b, c) = (0, 0, 1) + (0, 1, 1) + (1, 1, 1) a b c b c a b a De donde f((a, b, c)) = f((0, 0, 1)) + f((0, 1, 1)) + f((1, 1, 1)) = - (b - c)(2, 3, 5) – (a – b)(1, 0, 0) + a(0, 1, -1) = (- a – b + 2c, a – 3b + 3c, - a – 5b + 5c) Por tanto f(i + 2j + 3k) es: f((1, 2, 3)) = (3, 4, 4). b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R3 : f((1, 0, 0)) = (-1, 0, 0), f((0, 1, 0)) = (-1, -3, -5) y f((0, 0, 1)) = (2, 3, 5). Por tanto la matriz de f es: 1 1 2 A 0 3 3 0 5 5 f . EJEMPLO 7.4.13 Sean A y B vectores no nulos en el plano tales que no existe constante alguna k 0 tal que B = kA. Sea f una transformación lineal del plano en sí misma de tal manera que f(e1) = A y f(e2) = B. Describir la imagen bajo f del rectángulo cuyos vértices son (0, 1), (3, 0), (0, 0), (3, 1). SOLUCION Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): (a, b) = (1, 0) + (0, 1) a b
- 39. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 351 De donde f((a, b)) = f((1, 0)) + f((0, 1)) = aA + bkA = (a + bk)A. Por tanto: f((0, 1) = kA, f((3, 0)) = 3A, f((0, 0)) = y f((3, 1)) = (3 + k)A. EJEMPLO 7.4.14 Una transformación lineal f : R3 R2 aplica los vectores base como sigue: f(i) = (0, 0), f(j) = (1, 1), f(k) = (1, -1). a.- Calcular f(4i - j + k) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f: b.- Determinar la matriz de f; c.- Utilizando la base estándar en R3 y la base {(1, 1), (1, 2)} en R2 , determinar la matriz de f relativa a esas bases. SOLUCION a.- Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b, c): (a, b, c) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1) a b c De donde f((a, b, c)) = f((1, 0, 0)) + f((0, 1, 0)) + f((0, 0, 1)) = a(0, 0) + b(1, 1) + c(1, -1) = (b + c, b – c). Por tanto f(4i - j + k) es: f((4, -1, 1)) = (0, -2). b.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R3 : f((1, 0, 0)) = (0, 0), f((0, 1, 0)) = (1, 1) y f((0, 0, 1)) = (1, -1). Por tanto la matriz de f es: 0 1 1 A 0 1 1 f . c.- Calculamos la imagen de cada uno de los elementos de la base canónica de R3 , y luego éste elemento lo expresamos como combinación lineal de los elementos de la base de llegada: f((1, 0, 0)) = (0, 0) = 1(1, 1) + 2(1, 2) 1 2 1 2 0 2 0 , f((0, 1, 0)) = (1, 1) = 1(1, 1) + 2(1, 2) 1 2 1 2 1 2 1 , f((0, 0, 1)) = (1, -1) = 1(1, 1) + 2(1, 2) 1 2 1 2 0 2 0 . Resolvemos estos tres sistemas de ecuaciones y obtenemos la matriz de f: 1 1 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 3 0 1 0 0 2 0 1 3 A 0 0 2 f . EJEMPLO 7.4.15 Sea f una transformación lineal de R2 en sí misma, tal que f(e1) = (1, 1) y f(e2) = (-1, 2). Sea S el cuadrado cuyos vértices están en (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Demostrar que la imagen bajo f de este cuadrado es un paralelogramo. SOLUCION La representación matricial de la transformación lineal f en la base canónica de R2 es 1 1 A 1 2 f . Encontramos las imágenes de cada uno de los puntos del cuadrado:
- 40. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 352 1 1 0 0 ((0, 0)) 1 2 0 0 f , 1 1 1 1 ((1, 0)) 1 2 0 1 f , 1 1 1 0 ((1,1)) 1 2 1 3 f , 1 1 0 1 ((0,1)) 1 2 1 2 f . Graficando ambas figuras, demostramos que la imagen bajo f de este cuadrado, es un paralelogramo. EJEMPLO 7.4.16 Sea (n, n) el espacio de todas las matrices de n x n. Sea la transformación lineal f(A) = ½(A - AT ). Describir el núcleo e imagen de f y determine sus correspondientes dimensiones. SOLUCION Como T1 (A) (A - A ) 2 f , entonces: T T1 Nuc( ) A / (A - A ) = O {A / A = A } 2 f . Para encontrar la dimensión del núcleo de f, hacemos lo siguiente: n = 1 DimNuc(f) = 1 n = 2 DimNuc(f) = 3 n = 3 DimNuc(f) = 6 n = 4 DimNuc(f) = 10 . . . n = k DimNuc( ) ( 1) 2 k f k . La imagen de f es: T T1 Img( ) B / (A - A ) = B ={B / A - A = 2B} 2 f . La dimensión de la imagen de f, la calculamos de la siguiente manera: DimU = DimNuc(f) + DimImg(f) 2 ( 1) DimImg( ) 2 n n n f 2 DimIm ( ) ( 1) ( 1) 2 2 n n g f n n n . EJEMPLO 7.4.17 Considérense los números complejos C como un espacio vectorial sobre R. Defínase la función ( )f z z , donde z es el complejo conjugado del número complejo z. Demuestre que f es una transformación lineal. Hállese una base para el núcleo de f y una base para la imagen de f. SOLUCION Si z = x + iy, entonces la transformación tiene la forma: f(x + iy) = x – iy. A continuación demostramos que f es lineal: f((a + c) + i(b + d)) = (a + c) - i(b + d) = (a - ib) + (c - id) = (a - ib) + (c - id) = f(z1) + f(z2) Lo cual queda demostrado. El núcleo de f es: Nuc(f) = {x + iy / x – iy = 0 + i0} Nuc(f) = {x + iy / x = y = 0} BaseNuc(f) = {0 + i0} DimNuc(f) = 0.
- 41. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 353 La imagen de f es: Img(f) = {r + is / x – iy = r + is} Img(f) = {r + is / r = x, s = -y} BaseImg(f) = {(1, 0), (0, i)} DimImg(f) = 2. PROBLEMAS 7.4.1 Sea f : Rn Rm una transformación lineal. Demuestre que si f transforma dos vectores linealmente independientes sobre un conjunto linealmente dependiente, entonces la ecuación f(u) = tiene una solución no trivial. 7.4.2 Sea f : R2 R2 un operador lineal cuyo núcleo es Nuc(f) = {(x, y) / x = y}. Demuestre que f no es sobreyectiva. Más aún, pruebe que Img(f) es una recta que pasa por el origen. 7.4.3 Sea f : R3 R3 una transformación lineal tal que f(e3) = 2e1 + 3e2 + 7e3, f(2e2 + 3e3) = 2e1, f(e1 – e2 + e3) = 2e2 – 3e3: a.- Calcular f(2e1 – 3e2 + 5e3) y determine la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determine la matriz de f. 7.4.4 Sea f : R3 R3 un operador lineal cuya imagen es Img(f) = {(x, y) / x = y = z}. Demuestre que el núcleo de f es un plano en R3 que pasa por el origen. 7.4.5 Sea V un espacio vectorial sobre R que consiste en todas las funciones f tres veces derivables que satisfacen la ecuación diferencial f ´´´ + f ´ = 0. En este espacio V, defínase la función g : V V por g(f) = f ´, la derivada de f. Demuéstrese que g es una transformación lineal. Hállese una base tanto para el núcleo de g como para la imagen de g. ¿Cuál es el rango y la nulidad de g? 7.4.6 Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios reales p(x). Sean f el operador derivación y g la transformación lineal que aplica p(x) en xp´(x). a.- Poner p(x) = 2 + 3x - x2 – 4x3 y determinar el núcleo e imagen de p a través de cada una de las transformaciones siguientes: f, g, fg, gf, fg - gf, g2 f2 - f2 g2 ; b.- Determinar los polinomios p de V para los cuales g(p) = p; c.- Determinar los polinomios p de V para los cuales (fg – 2f)(p) = . 7.4.7 Sea f : R3 R3 definida por ( ) proyuf v v , en donde u = (0, 1, 2): a.- Determinar A, la matriz de f. b.- Sea g la transformación lineal representada por I – A. Demuestre que g es de la forma 1 2 ( ) proy proyw wg v v v , en donde w1 y w2 son vectores fijos en R3 . c.- Demostrar que el núcleo de f es la imagen de g. 7.4.8 Si f no es la transformación cero, entonces Rang(f) = 1 si, y sólo si, existen números reales, t, que no son ambos cero, tales que sa1 – tb1 = sa2 – tb2 = sa3 – tb3 = 0. En este caso, Img(f) = Span(t, s) y, si además a1 0, entonces Nuc(f) = Span{(a3, 0, -a1), (a2, -a1, 0)}. 7.4.9 Sea f : R3 R3 la transformación lineal que proyecta u sobre v = (2, -1, 1). Determine la nulidad y el rango de f. 7.4.10 Sea S una transformación lineal de U en V, y sea T una transformación lineal de V en W. Demuéstrese que: a.- Si S es sobre, entonces Rang(TS) = Rang(T); b.- Si T es uno a uno, entonces Rang(TS) = Rang(S); c.- Si TS es uno a uno, entonces S es uno a uno; d.- Si TS es sobre, entonces T es sobre. 7.4.11 Sea la transformación lineal f : R3 R3 , definida por f((a, b, c)) = ((k – 2)a + 2b – c, 2a + kb + 2c, 2ka + + 2(1 + k)b + (1 + k)c) Hállese, según los valores de k, el núcleo y su imagen. 7.4.12 En cada uno de los literales, se define una transformación lineal f : V V mediante la fórmula dada para f((x, y)), donde (x, y) es un punto cualquiera de V. Determinar en cada caso si f es lineal. Si f es lineal, decir cuáles son el núcleo y la imagen, y calcular sus correspondientes dimensiones: a.- f hace girar cualquier punto el mismo ángulo alrededor del origen. Esto es, f aplica un punto de coordenadas polares (r, ) en el punto de coordenadas polares (r, + ), donde es fijo. Además, f aplica en sí mismo. b.- f aplica cada punto en su simétrico respecto a una recta fija que pasa por el origen. c.- f aplica cada punto de coordenadas polares (r, ) en el punto de coordenadas (2r, ). Además, f aplica en sí mismo. d.- f aplica cada punto de coordenadas polares (r, ) en el punto de coordenadas (r, 2). Además, f aplica en sí mismo. 7.4.13 Verifíquese que la función de V2 en V2 definida por f0(x1, x2) = (x1 – 3x2, x2) es transformación lineal. Determínese su rango y su nulidad. Determínese la preimagen en f0 de (a, b).
- 42. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 354 7.4.14 Sean u y v vectores linealmente independientes en R3 y sea el plano a través de u, v y . La ecuación paramétrica de es x = su + tv. Demuestre que una transformación lineal f : R3 R3 transforma sobre un plano que pasa por o sobre una línea que pasa por o sólo sobre el origen en R3 . ¿Qué se les tiene que pedir a f(u) y f(v) para que la imagen del plano sea un plano? 7.4.15 En cada uno de los literales, la transformación f : V V es la que se indica. Determinar, en cada caso, si f es lineal. Si lo es, decir cuáles son el núcleo y la imagen y calcular sus dimensiones cuando sean finitas: a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios reales p(x) de grado n. Si p V, q = f(p) significa que q(x) = p(x + 1) para todo real de x. b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f V, g = f(f) significa que g(x) = xf ´(x) para todo x (-1; 1). c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales derivables dos veces en un intervalo abierto (a; b). Si y V, definir f(y) = y´´ + Py´ + Qy siendo P y Q dos constantes. 7.4.16 Sea V un espacio vectorial con producto interior. Para un vector fijo u diferente de cero en V, sea f : V R la transformación lineal f(v) = v u. Determinar el núcleo y la imagen de f. Luego determinar la nulidad y rango de f. 7.4.17 Sea f : R3 R2 una transformación lineal tal que f((1, 1, 0)) = f((1, 1, 1)) = (0, 0), f((2, 3, -1)) . Demuestre que el núcleo de f es un plano en R3 que pasa por el origen. Halle su ecuación. 7.4.18 Sea f : V V la transformación lineal definida así: Si f V, g = f(f) significa que ( ) [1 ( )] ( )g x Cos x t f t dt : a.- Demuestre que f(V), la imagen de f, es de dimensión finita y hallar una base para f(V). b.- Determinar el núcleo de f. c.- Hallar todos los números reales c 0 y todas las funciones f no nulas de V tales que f(f) = cf. 7.4.19 Sea f : R R una transformación lineal. Hallar la nulidad y el rango de f y dé una descripción geométrica del núcleo e imagen de f: a.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario con respecto al eje Z: 2 2 2 2 (( , , )) , , 2 2 2 2 f x y z x y x y z . b.- f es la reflexión con respecto al plano de coordenadas YZ: f((x, y, z)) = (-x, y, z). c.- f es la proyección sobre el vector v = (1, 2, 2): 2 2 (( , , )) (1, 2, 2). 9 x y z f x y z d.- f es la proyección sobre el plano de coordenadas XY: f((x, y, z)) = (x, y, 0). 7.4.20 Sea f : nxn nxn definida por f(A) = A – AT . Demuestre que el núcleo de f es el conjunto de las matrices simétricas de n x n. 7.4.21 Sea u = (1, -1, 7) y sea 1 3 4 3 A 0 1 3 2 3 7 6 5 ¿Está u en el rango de la transformación lineal? 7.4.22 Considere la transformación lineal gf : Rm Rs . Demuestre que Nuc(f) Nuc(gf), Img(gf) = Img(g). 7.4.23 Determinar si las transformaciones f : V V son lineales. Si lo son, decir cuáles son el núcleo y la imagen y calcular sus dimensiones: a.- Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios reales p(x) de grado menor o igual a n. Si p V, q = f(p) significa que q(x) = p(x + 1), para toda x R; b.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales derivables en el intervalo abierto (-1; 1). Si f V, g = f(f) significa que g(x) = xf '(x) para toda x (-1; 1); c.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas en [a; b]. Si f V, g = f(f) significa que ( ) ( ) ( ) b a g x f t Sen x t dt , para toda x [a; b]. 7.4.24 Sea S = {1, x, Senx, Cosx} una base de un subespacio W del espacio de funciones continuas, y sea Dx el operador diferencial sobre W. Encuentre la matriz de Dx con respecto a la base S. Encuentre el núcleo e imagen de Dx. 7.4.25 Sea u = (9, 5, 0, -9) y sea 1 2 7 5 0 1 4 0 A 1 0 1 6 2 1 6 8 ¿Está u en el rango de la transformación lineal? 7.4.26 Si U = R3 , V = R3 y f(u) es el complemento ortogonal de u respecto del plano representado implícitamente por u + v + w = 0, mostrar que f es una transformación lineal. Encontrar el núcleo y la imagen de f.
- 43. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 355 7.4.27 Sea f : Rn Rm una transformación lineal. Demuestre que si n < m, f no puede ser sobreyectiva. ¿Puede ser inyectiva? 7.4.28 Una transformación lineal f : R3 R2 aplica los vectores base de la siguiente manera: f(e1) = , f(e2) = (1, -1), f(e3) = (-1,1): a.- Calcular f(2e1 – 5e2 + 3e3) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determine la matriz de f. c.- Utilizando la base canónica de R3 y la base {(1, -1), (-1, -1)} en R2 , determine la matriz de f relativa a esas bases. d.- Hallar las bases {u1, u2, u3} para R3 y {v1, v2} para R2 para las cuales la matriz de f tenga la forma diagonal. 7.4.29 Demuéstrese que la derivada es una transformación lineal de P en sí mismo, que no es uno a uno, aunque sí es sobre. 7.4.30 Sean S, T transformaciones lineales de U en V: a.- Verifíquese que Nuc(S + T) Nuc(S) Nuc(T). b.- Póngase un ejemplo en el cual Nuc(S + T) = Nuc(S)Nuc(T). c.- Póngase un ejemplo en el cual no se verifique la igualdad de la relación de la parte b). d.- Verifíquese que existen S, T, con Rang(S) = Rang(T) = mín(DimU, DimV), tales que Rang(S + T) puede tener cualquier valor desde 0 hasta mín(DimU, DimV). 7.4.31 Sean S, T, M, N transformaciones lineales de R3 en R4 que se describen en la tabla siguiente: e1 e2 e3 S e1 – e2 e2 - 5e3 e1–e2+e3 T 4e1–2e2+e3 e1–2e2+5e3 3e1 - 4e3 M e2 + e3 3e3 0 N e1+e2+3e3 – 2e2 + 6e3 4e3 a.- Determínese el rango y núcleo de S, T, M y N. b.- Descríbanse las transformaciones lineales S + T, S + M, S + N, T + M, M + T + S y N - S al dar sus valores en una base de R3 . Además, determínense el rango y núcleo de cada uno. c.- Encuéntrense transformaciones lineales A y B de rango 3 de R3 en R3 tales que Rang(A + B) = 2. d.- Encuéntrense transformaciones lineales A y B de rango 3 de R3 en R3 tales que Rang(A + B) = 1. 7.4.32 Sea f : Rn Rm una transformación lineal. Demuestre que si n > m, f no puede ser inyectiva. ¿Puede ser sobreyectiva? 7.4.33 Demuéstrese que la derivada es una transformación lineal de Pm en sí mismo, que no es uno a uno ni es sobre. 7.4.34 Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos de dimensión 2 y con la misma base {u, v}. Sea f : U V una transformación lineal tal que f(2u – v) = 2u + v y f(2u + 5v) = 2u – 3v: a.- Calcular f(u – v) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determine la matriz de f relativa a la base dada. c.- Utilizar para V la base {u, v} y hallar una nueva base de la forma {2u + v, 3u + v} para V, para la cual la matriz de f tenga la forma diagonal. 7.4.35 Una transformación lineal f : R2 R3 aplica los vectores base de la siguiente forma: f(e1) = (-1, 2, 1), f(e2) = (1, -1, -1): a.- Calcular f(5e1–2e2) y determinar la dimensión del núcleo y el rango de f. b.- Determinar la matriz de f. c.- Hallar bases {u1, u2} para R2 y {v1, v2, v3} para R3 , para las cuales la matriz de f tiene forma diagonal. 7.4.36 Demuéstrese que, si f es transformación lineal uno a uno de U en W y si u1, …, un es base de U, entonces f(u1), …, f(un) es base de Img(f). 7.4.37 Sea f la transformación lineal de R4 en R3 con la propiedad de que f(1, 0, 0, 0) = (2, 3, 6), f(0, 1, 0, 0) = (1, 2, 0), f(0, 0, 1, 0) = (-1, 2, -3), f(0, 0, 0, 1) = (0, 2, -1). a.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 es la base canónica de R4 y si S2 es la base canónica de R3 . b.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1) es la base R4 y si S2 es la base canónica de R3 . c.- Encuéntrese la matriz que corresponde a f si S1 = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1) es la base de R4 y si S2 = (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) es la base de R3 . d.- Encuéntrese el núcleo e imagen de f. e.- Sea u1, u2, u3 una base del núcleo de f y extiéndase esta base a una base de R4 . 7.4.38 Sean f : V U y g : U W transformaciones lineales: a.- Demostrar que si ambas g y f son uno a uno, entonces también lo es gf . b.- Demostrar que el núcleo de f está contenido en el núcleo de gf . c.- Demostrar que si gf es sobreyectiva, entonces también lo es g. 7.4.39 En cada una de las transformaciones lineales de Vn en V2, determínense la imagen, el núcleo y la preimagen de (0, 1); además, determínese si la transformación lineal es uno a uno y si es sobre: a.- f(x1, x2, x3) = (x1 – x2, x2 + x3);
- 44. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 356 b.- f(x1, x2, x3) = (x1, x2 - x3); c.- f(x1, x2) = (x1 – x2, x1 + x2); d.- f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x4, x2 + x3). 7.4.40 Sean f : Rn Rs y g : Rn Rs dos operadores lineales. Demuestre que si g es inyectiva, entonces Nuc(f) = Nuc(gf), y si f es inyectiva, entonces Img(g) = Img(gf). 7.5 TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES En esta sección se analizarán las transformaciones lineales uno a uno y sobreyectivas. Demostraremos que una transformación lineal inversible es también una transformación lineal. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. Ahora que hemos presentado el espacio nulo y la imagen de una transformación lineal nos proponemos examinar más de cerca aquellas transformaciones lineales f : U V para las cuales Nuc(f) = {} o Img(f) = V, o ambas. La segunda de estas ecuaciones nos dice que f aplica U sobre V, e implica que para cada v V existe al menos un u U tal que v = f(u). La primera, dice que el espacio nulo de f contiene solamente al vector nulo, resulta ser equivalente a la afirmación de que f es inyectiva en el sentido de la siguiente definición. DEFINICION 7.5.1 Una transformación lineal f de U en V se dice que es inyectiva, si y sólo si f(u) = f(v) donde u = v. En otras palabras, f es inyectiva si, y sólo si f aplica vectores distintos en U sobre vectores distintos en V; de aquí el nombre. DEFINICION 7.5.2 Se dice que una transformación lineal f de U en V, es un isomorfismo si es inyectiva. Se dice entonces que los espacios vectoriales U y V son isomorfos si existe un isomorfismo de U sobre V. TEOREMA 7.5.1 Sea f una transformación lineal de U en V. Entonces f es inyectiva, si y solamente si, Nuc(f) = . DEMOSTRACION Primero considere que Nuc(f) = . Suponga que f(u) = f(v). Debemos demostrar que u = v. De f(u) = f(v), obtenemos f(u – v) = . Por tanto, u – v está en Nuc(f) y, en consecuencia tenemos que u – v = . Por consiguiente, u = v. Ahora considere que f es inyectiva. Suponga que el vector u está en Nuc(f). En consecuencia, f(u) = y, por supuesto, f() = . Debido a que f es inyectiva, debemos tener u = . Por consiguiente, f() = . DEFINICION 7.5.3 Sea f una transformación lineal de U en V. Diremos que f es sobreyectiva si la imagen de la transformación f es todo U. TEOREMA 7.5.2 Sea f una transformación lineal de U en V. Si U es un espacio vectorial de tipo finito, una transformación lineal f es sobreyectiva si, y sólo si, Img(f) = U. DEMOSTRACION Esta afirmación, no es más que la definición de sobreyectividad, puesto que Img(f) es el valor de los valores funcionales bajo f, y f es sobreyectiva, si y sólo si este conjunto de valores funcionales coincide con U. Es decir:
- 45. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 357 a.- En el supuesto de ser f una transformación lineal inyectiva, todo sistema independiente de V se transforma en sistema independiente de f(U); por tanto, una base de U se transforma en un sistema generador e independiente de f(U), es decir, en una base del espacio imagen; en consecuencia, las bases de U e Img(f) tienen igual número de elementos, luego, Dim(U) = DimImg(f). b.- Suponiendo ahora que Dim(U) = DimImg(f), hay que demostrar que f es inyectiva, es decir, que Nuc(f) ={}. Si no fuese así, al Nuc(f) pertenecería al menos un vector u1 ; en este supuesto {u1} es sistema independiente, que puede ser ampliado adecuadamente con unos vectores u2, u3, ..., un hasta construir una base de U y, entonces, {f(u2), f(u3), ..., f(un)}, que es un sistema generador de f(U), sería tal que f(u1) = y, por tanto, sistema dependiente de generadores de Img(f), lo que trae consigo que DimImg(f) < n = Dim(U), contra la hipótesis. TEOREMA 7.5.3 Sea f una transformación lineal de U en V y sea DimU = DimV. Entonces f es biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. DEMOSTRACION Tenemos que DimImg(f) = DimU – DimNuc(f). Supóngase que f es inyectiva. Entonces tenemos que Nuc(f) = y, por tanto, DimNuc(f) = 0. Por consiguiente, DimImg(f) = DimU y vemos que, DimImg(f) = DimV, puesto que DimU = DimV. Pero la imagen de f es un subespacio de V, de manera que DimImg(f) = DimV obliga a que Img(f) = V. Así pues, como f es sobreyectiva, además de ser inyectiva, f es biyectiva. Suponga ahora que f es sobreyectiva. Entonces Img(f) = V. Por tanto, DimImg(f) = DimV, y DimImg(f) = DimU. Pero DimU = DimImg(f) + DimNuc(f) y, por consiguiente, DimNuc(f) = 0. El único subespacio de U con dimensión cero es el subespacio cero. En consecuencia, Nuc(f) = , y así, f es inyectiva. De manera que f es inyectiva y también es sobreyectiva. Consecuentemente, f es biyectiva. DEFINICION 7.5.4 Las transformaciones lineales que son a la vez inyectivas y sobreyectivas, se llaman isomorfismos, y se dice que son inversibles. Empleamos f -1 para designar la inversa de una transformación lineal. Así pues, si f tiene una inversa, decimos que f es inversible. En este caso, si f se define sobre U y toma valores en V, entonces f -1 se define en V y toma valores en U. TEOREMA 7.5.4 Sea f una transformación lineal de U en V, y supóngase que esta transformación tiene una transformación inversa f -1 de V en U. Entonces, f -1 es una transformación lineal. DEMOSTRACION Sean v1, v2 V. Debemos demostrar primero que f -1 (v1 + v2) = f -1 (v1) + f -1 (v2). Sean v1 = f(u1) y v2 = f(u2), entonces f(au + bv) = af(u) + bf(v) = av1 + bv2. Si u = f -1 (v), donde f(u) = v, implica que f -1 (av1 + bv2) = au1 + bu2 = af -1 (v1) + bf -1 (v2) con lo que concluimos que f -1 es una transformación lineal. Es evidente que recurriendo al rango de una transformación lineal, los homomorfismos inyectivos y sobreyectivos, f : U V, entre espacios de tipo finito, pueden caracterizarse de la manera siguiente: f es inyectiva si, y sólo si Rang(f) = DimU y f es sobreyectiva si, y sólo si Rang(f) = DimV.
- 46. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 358 TEOREMA 7.5.5 Sean U y V espacios vectoriales de dimensión finita con DimU = DimV y sea f una transformación lineal de U en V. Entonces: a.- Cualquier inversa a la izquierda de f es una inversa bilateral; b.- Cualquier inversa a la derecha de f es una inversa bilateral. DEMOSTRACION Si f : U V tiene una inversa a la izquierda f -1 : V U, entonces, sabemos que f es inyectiva y f también es sobreyectiva. Por tanto, f es biyectiva y, en consecuencia, f tiene una inversa bilateral que es igual a f -1 . Esto demuestra la primera parte. Si ahora f -1 : V U es una inversa a la derecha de f, entonces f es sobreyectiva. Por consiguiente, f es biyectiva y, en consecuencia f tiene una inversa bilateral que es igual a f -1 . Hemos completado la demostración de la segunda parte. EJEMPLO 7.5.1 Determine todos los valores del número real k tales que la transformación lineal f : R2 R2 , definida por f(e1) = e1 + ke2, f(e2) = e1 – ke2, no sea inversible. Aquí S = {e1, e2} es la base canónica de R2 . Cuando f sea inversible, hállese f -1 (e1) y f -1 (e2). Cuando f no sea inversible, hállense la nulidad de f y el rango de f. SOLUCION Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b): (a, b) = (1, 0) + (0, 1) = (, ) a b . f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(1, k) + b(1, -k) = (a + b, ka - kb). Esta transformación lineal, tiene como representación matricial la matriz: 1 1 k k Para que esta transformación lineal no sea inversible, entonces el determinante de la representación matricial debe ser cero. Es decir: 1 1 0 k k k = 0. Para encontrar la transformación lineal inversa, hacemos f((a, b)) = (r, s) y luego resolvemos el sistema que genera: a b r ka kb s 1 1 r k k s 1 1 0 2 r k kr s 2 0 0 2 k kr s k kr s Y obtenemos 2 2 kr s a k kr s b k 1 (( , )) , 2 2 kr s kr s f r s k k , 1 1 1 ((1, 0)) , 2 2 f , 1 1 1 ((0,1)) , 2 2 f k k , k 0. Si f no es inversible, entonces k = 0 y f((a, b)) = (a + b, 0), entonces: a + b = 0 a = -b Nuc(f) = {(a, b) / a = -b}; BaseNuc(f) = {(-1, 1)} Nul(f) = 1. 0 a b r s Img(f) = {(r, s) / r = a + b, s = 0}; BaseImg(f) = {(1, 0)} Rang(f) = 1. Por supuesto, con las transformaciones lineales f de U en V, donde DimU = DimV y no infinita, no tenemos que preocuparnos acerca de las inversas a la izquierda o a la derecha, puesto que hemos demostrado que una inversa a la izquierda o a la derecha
- 47. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 359 es siempre una inversa bilateral. Además, sabemos que dicha inversa es siempre una transformación lineal. TEOREMA 7.5.6 Sean U, V y W espacios vectoriales sobre K de dimensión finita con DimU = DimV = DimW. Sean las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W. Entonces: a.- gf es inversible si y sólo si tanto f como g son inversibles; b.- Si f y g son inversibles, tenemos que (gf)-1 = f -1 g –1 ; c.- Si f es inversible, entonces también lo es f -1 y (f -1 )-1 = f. DEMOSTRACION Suponga que gf es inversible. Sea h de W en U la inversa de gf. Entonces h(gf) = i(U) y (gf)h = i(W). Por tanto, (hg)f = i(U) lo que implica que f tiene una inversa a la izquierda hg. Además, g(fh) = i(W) lo que implica que g tiene una inversa a la derecha fh. Por consiguiente, si gf tiene una inversa, entonces tanto g como f tienen inversas. Suponga ahora que g y f tienen inversas. Entonces g y f son biyectivas, de modo que gf es biyectiva y, en consecuencia, tiene una inversa; además, (gf)-1 = f -1 g -1 . Si f tiene inversa entonces f es biyectiva, como demostramos anteriormente f -1 es una transformación lineal de V en U y si f -1 es biyectiva, entonces (f -1 )-1 también es una transformación lineal y (f -1 )-1 = f, que es la transformación lineal original. EJEMPLO 7.5.2 Verificar que la transformación lineal f : R3 R3 definida por f((a, b, c)) = (2a + c, 2c + a, 2a + b) es inyectiva. SOLUCION Nuc(f) = {u R3 / f(u) = , R3 } = {(a, b, c) / (2a + c, 2c + a, 2a + b) = (0, 0, 0)} Resolviendo el sistema de ecuaciones 2 0 2 0 2 0 a c a c a b obtenemos Nuc(f) = {(a, b, c) / a = b = c = 0} Dim Nuc(f) = 0. Por lo tanto f es inyectiva. EJEMPLO 7.5.3 En un espacio vectorial con base {e1, e2} se da la transformación lineal f. Hallar la matriz de la transformación inversa si f(e1) = e2, f(e2) = e1. SOLUCION Hacemos la combinación lineal con un vector (a, b): (a, b) = (1, 0) + (0, 1) a b De donde f((a, b)) = f((1, 0)) + f((0, 1)) = a(0, 1) + b(1, 0) = (b, a). Por tanto: f -1 ((r, s) = (s, r) 1 0 1 A 1 0f . EJEMPLO 7.5.4 Encuentre la transformación lineal f –1 de la transformación f : R3 R3 definida por f((a, b, c)) = (2b + c, 2c + a, 2a + b).
- 48. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 360 SOLUCION Por definición, tenemos que 2 2 2 b c r a c s a b t Resolvemos este sistema de ecuaciones 0 2 1 1 0 2 2 1 0 r s t 0 2 1 1 0 2 0 1 4 2 r s s t 0 2 1 1 0 2 0 0 9 4 2 r s r s t 0 9 0 4 2 9 0 0 2 4 0 0 9 4 2 r s t r s t r s t La solución del sistema es 2 4 9 4 2 9 4 2 9 r s t a r s t b r s t c La transformación lineal inversa es 1 2 4 4 2 4 2 (( , , )) , , 9 9 9 r s t r s t r s t f r s t . EJEMPLO 7.5.5 La transformación lineal f consiste en girar cada vector del plano X0Y un ángulo /4. Hallar la matriz de g = f + f -1 . SOLUCION La transformación lineal f está dada por las ecuaciones: f((e1)) = e1Cos(/4) + e2Sen(/4) y f((e2)) = e1Cos(3/4) + e2Sen(3/4) Lo que es lo mismo: 2 (( , )) ( , ) 2 f a b a b a b 1 12 A 1 12 f Por consiguiente, la transformación lineal inversa es: 1 1 (( , )) ( , ) 2 f r s r s r s 1 1 11 A 1 12f La matriz de la transformación lineal g = f + f –1 , está dada por: 1 1 1 1 1 2 02 1 A A A 1 1 1 12 2 0 2 g f f . EJEMPLO 7.5.6 La transformación lineal f consiste en girar cada vector del plano X0Y en el ángulo /4. Hallar la representación matricial f -2 . SOLUCION La transformación lineal f está dada por las ecuaciones: f((e1)) = e1Cos(/4) + e2Sen(/4) y f((e2)) = e1Cos(3/4) + e2Sen(3/4) Lo que es lo mismo: 2 (( , )) ( , ) 2 f a b a b a b
- 49. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 361 Por consiguiente, la transformación lineal inversa es: 1 1 (( , )) ( , ) 2 f r s r s r s 1 1 11 A 1 12f La matriz de la transformación lineal f –2 , está dada por: 2 1 1 1 1 1 1 0 12 2 2 2 A A A 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 f f f . PROBLEMAS 7.5.1 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). Demuestre que si f es inversible, entonces f2 = f implica siempre que f = i. ¿Es esto necesariamente cierto para f no inversible? 7.5.2 Demuéstrese que cada uno de las transformaciones lineales siguientes es no singular, y encuéntrese la transformación lineal inversa que le corresponde: a.- f(x, y) = (x, 2y); b.- f(x, y) = (3x + y, 5x + 2y); c.- f(x, y, z) = (x + y, y + z, z); d.- f(x, y, z) = (x, x – y, y – z); e.- f(x, y, z) = (y, x + z, y – z); f.- f(x, y, z) = (x + y, y + 2z, x + y + z). 7.5.3 Sea B una matriz no singular de n x n. Demuestre que la transformación lineal f : definida por f(A) = AB es un isomorfismo. 7.5.4 Sean a, b, c, d números dados y considere la función ( ) ax b f x cx d . Sea g otra función de la misma forma. Demuestre que gf donde gf(x) = g(f(x)) es una función que también se puede escribir en la misma forma. Demuestre que cada una de estas funciones se puede representar por una matriz, de tal modo que la matriz que representa a gf es el producto de las matrices que representan a g y f. Demuestre que la función inversa existe sí y sólo si ad - bc 0. ¿A qué se reduce la función si ad – bc = 0? 7.5.5 Una transformación lineal f de V en V es nilpotente si para algún entero positivo k, fk = . Demuestre: a.- Si f es inversible, entonces f no es nilpotente. ¿Es cierta la recíproca de esta afirmación? b.- Si f es nilpotente, entonces i + f es inversible. Demuestre que (i + f)-1 = i – f + f2 – f3 + ... + (-1)k-1 fk-1 . 7.5.6 Suponga que U = SpanSenx, Cosx, Sen2x, Cos2x, …: a.- Verifíquese que D es transformación lineal no singular de U. b.- Determínese la inversa de D. c.- Verifíquese que I + D, I – D e I – D2 son transformaciones lineales no singulares de U. d.- Demuéstrese que I + D2 es transformación lineal singular de U. e.- Examínese la singularidad o no singularidad de I + aD, donde a es entero. f.- Examínese la singularidad o no singularidad de I + aD2 , donde a es entero. 7.5.7 Sea V el espacio vectorial de todos los polinomios p(x). Sean f, g y h funciones que aplican un polinomio cualquiera p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn de V en los polinomios r(x), s(x) y t(x) respectivamente, siendo r(x) = p(0), 1 1 ( ) n k k k s x a x , 1 0 ( ) n k k k t x a x a.- Poner p(x) = 2 + 3x – x2 + x3 y determinar la imagen de p a través de cada una de las transformaciones siguientes: f, g, h, gh, hg, (hg)2 , h2 g2 , g2 h2 , hfg, fgh. b.- Demuestre que f, g y h son lineales y determinar el núcleo y la imagen de cada una. c.- Demuestre que f es uno a uno en V y determine su inversa. d.- Si n 1, expresar (hg)n y gn hn en función de I y f. 7.5.8 Sea f(x, y, z, u) = (0, x, y + 2x, z + 2y + 3x). Demuéstrese que: a.- f4 = O; b.- I – f es no singular; c.- I + f + f2 + f3 = (I – f)-1 ; d.- I + f es no singular; e.- I + 2f es no singular; f.- Si a es no negativo, I – af es no singular. 7.5.9 Suponga que U = Spanex , e2x , …, enx , …. Demuéstrese la validez de los enunciados siguientes: a.- La derivada D es transformación lineal no singular de U y su inversa es la integral ( ) x f t dt . b.- I + D es transformación lineal no singular de U;
- 50. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 362 c.- I – D es transformación lineal singular en U. d.- Si a es un entero no negativo, aI – D es singular. e.- Si a es entero no negativo mayor que 1, I – aD es no singular. 7.5.10 Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). Suponga que para algunos escalares a1, a2, ..., an de K, y algún entero positivo n, tenemos que fn + a1fn-1 + a2fn-2 + ... + an-1f + ani = . Demuestre que si an 0, entonces f es inversible. Hállese f -1 en función de f en este caso. 7.5.11 Sea f : 2x3 3x2 definida por f(A) = AT . Demuestre que f es un isomorfismo y determine la matriz para la inversa de f. 7.5.12 Demuestre que una transformación lineal f : Rn Rm con n m, no puede ser inversible. 7.5.13 Sea f una transformación lineal de R3 con la propiedad de que f(e1) = e2 + e3, f(e2) = e3 + e1, f(e3) = e1 + e2: a.- Encuéntrense f2 (ei) y f3 (ei) para i = 1, 2, 3, y, en consecuencia, verifíquese que f3 = 3f + 2I. b.- Verifíquese que 1 21 ( 3 ) 2 f f I . 7.5.14 Sean f : Rn Rm , g : Rm Rn transformaciones lineales. Demuestre que si n > m, el operador lineal gf : Rn Rn no puede ser inversible. ¿Puede ser inversible el operador fg : Rm Rm ? Explique. 7.5.15 Sea f una transformación lineal de R3 con la propiedad de que f(e1) = e2, f(e2) = e3, f(e3) = e1: a.- Encuéntrense f2 (ei) y f3 (ei) para i = 1, 2, 3, y, en consecuencia, verifíquese que f3 = I. b.- Verifíquese que f -1 = f2 . c.- Dé una interpretación geométrica de f. 7.5.16 Sea V = {0, 1}. Describir todas las funciones f : V V. En total son cuatro. Desígnense con g, h, r, s y construir una tabla de multiplicación que muestre la composición de cada par. Indicar cuáles son uno a uno en V y dar sus inversas. 7.5.17 Sea V = {0, 1, 2}. Describir todas las funciones f : V V para las cuales f(V) = V. En total son seis. Desígnense con f1, f2, f3, f4, f5, f6 y construir una tabla de multiplicación que muestre la composición de cada par. Indicar cuáles son uno a uno en V, y dar sus inversas. 7.6 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R2 Es fundamental para todos los sistemas de gráficas por computadora la capacidad de simular tanto el movimiento como el manejo de objetos. Estos procesos se describen en términos de traslaciones, rotaciones, puestas en escala y reflexiones. El objetivo aquí es explicar estas operaciones en una forma matemática adecuada para su procesamiento por computadora, y mostrar la forma en que se emplean para lograr los fines del manejo y movimiento de objetos. Existen dos puntos de vista complementarios para describir el movimiento de objetos. El primero es que el objeto mismo se mueve en relación con un sistema coordenado estacionario o fondo. El planteamiento matemático de tal punto de vista se explica mediante transformaciones geométricas aplicadas a cada punto del objeto. El segundo punto de vista sostiene que el objeto se mantiene estacionario mientras que el sistema coordenado se mueve con relación a dicho objeto. Este efecto se obtiene a través de la aplicación de transformación de coordenadas. Un ejemplo incluye el movimiento de un automóvil relacionado con un fondo escénico. Es posible simular esto trasladando el automóvil mientras se mantiene el fondo fijo (transformación geométrica). También se puede conservar fijo el automóvil mientras se mueve el escenario del fondo (transformación de coordenadas). En algunas situaciones, se emplean ambos métodos. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Considérese un sistema coordenado sobre un plano. Un objeto en el plano puede considerarse como un conjunto de puntos. Cada punto objeto P tiene coordenadas (x, y), de manera que el objeto es la suma total de todos sus puntos coordenados. Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerarse como un nuevo objeto ´, cuyos puntos coordenados P´ pueden obtenerse a partir de los puntos
- 51. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 363 originales P mediante la aplicación de una transformación geométrica. En la traslación, un objeto se desplaza una distancia y dirección determinadas a partir de su posición original. Si el desplazamiento está dado por el vector v = txi + tyj, el nuevo punto objeto P´(x´, y´) puede obtenerse al aplicar la transformación Tv a P(x, y) P´ = Tv(P) donde x´ = x + tx y y´ = y + ty. En la rotación, el objeto se rota º con respecto al origen. La convención es que la dirección de rotación es antihoraria si es un ángulo positivo, y en el sentido horario si es un ángulo negativo. La transformación de rotación R es P´ = R(P) donde x´ = xCos - ySen y y´ = xSen + yCos. La puesta en escala, es el proceso de expandir o comprimir las dimensiones de un objeto. Se utilizan constantes positivas de puesta en escala sx y sy para describir los cambios en longitud con respecto a las direcciones x y y, respectivamente. Una constante de prueba en escala mayor de uno indica una expansión de longitud, y menos de uno, compresión de longitud. La transformación de escala s ,sS x y está dada por s ,sP´ S (P)x y en donde x´ = sxx y y´ = syy. Obsérvese que después de efectuar una transformación de escala, el nuevo objeto está localizado en una posición diferente con relación al origen. En realidad, en una transformación de escala el único punto que permanece fijo es el origen. Si ambas constantes de puesta en escala tienen el mismo valor S, la transformación de escala se dice que es homogénea. Además, si s > 1, es una amplificación y para s < 1, una reducción. Si el eje X o Y se considera como un objeto, el objeto tiene una imagen de espejo o reflexión. Ya que la reflexión P´ de un punto objeto P está localizada a la misma distancia del espejo que P. La transformación de reflejo de espejo Mx con
- 52. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 364 respecto al eje x está dada por P´ = Mx(P) donde x´ = x y y´ = -y. De manera semejante, la reflexión de espejo en relación con el eje Y es P´ = My(P) donde x´ = -x y y´ = y. Toda transformación geométrica tiene una inversa, descrita con la operación contraria efectuada por la transformación: Traslación: 1 T Tv v , o traslación en la dirección opuesta. Rotación: 1 R R , o rotación en la dirección opuesta. Puesta en escala: 1 s ,s 1 1 , s s S Sx y x y Reflexión de espejo: 1 M Mx x y 1 M My y TRANSFORMACION DE COORDENADAS Supóngase que se tienen dos sistemas coordenados en el plano. El primer sistema está localizado en un origen O y tiene ejes coordenados XY. El segundo sistema coordenado se ubica en el origen O´ y tiene ejes coordenados X´Y´. Ahora cada punto del plano tiene dos descripciones coordenadas: (x, y) o (x´, y´), dependiendo del sistema coordenado empleado. Si se considera que el segundo sistema X´Y´ surge de una transformación aplicada al primer sistema XY, se dice que se ha aplicado una transformación de coordenadas. Es posible describir esta transformación determinando cómo están relacionadas las coordenadas (x´, y´) de un punto P con las coordenadas (x, y) del mismo punto. Si el sistema coordenado XY se desplaza a una nueva posición en donde la dirección y distancia del desplazamiento están dadas por el vector v = txi + tyj, las coordenadas de un punto en ambos sistemas están relacionados por la transformación de traslación Tv : ( ´, ´) T ( , )vx y x y donde x´ = x – tx y y´ = y – ty. El sistema XY se rota º con respecto al origen. Entonces, las coordenadas de un punto en ambos sistemas están relacionadas por la transformación de rotación R : ( ´, ´) R ( , )x y x y donde
- 53. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 365 x´ = xCos + ySen y y´ = -xSen + yCos. Supóngase que se forma un nuevo sistema coordenado sin modificar el origen, ni los ejes coordenados, pero introduciendo distintas unidades de medición a lo largo de los ejes X y Y. Si se obtienen nuevas unidades a partir de las unidades anteriores con una escala de sx unidades a lo largo del eje X y sy unidades a lo largo del eje Y, las coordenadas en el nuevo sistema están relacionadas con las coordenadas en el sistema anterior a través de la transformación de escala s ,sS x y : s ,s( ´, ´) S ( , )x y x y x y donde 1 ´ x x x s y 1 ´ y y y s Si en el nuevo sistema coordenado se obtiene por reflexión del sistema anterior con respecto al eje X o eje Y, la relación entre coordenadas está dada por las transformaciones coordenadas Mx y My : ( ´, ´) M ( , )xx y x y donde x´ = x y y´ = -y. Para la reflexión con respecto al eje Y ( ´, ´) M ( , )yx y x y donde x´ = -x y y´ = y. Cada transformación de coordenadas tiene una inversa, que puede obtenerse al aplicar la transformación opuesta: Traslación: 1 T Tv v , o traslación en la dirección opuesta. Rotación: 1 R R , o rotación en la dirección opuesta. Puesta en escala: 1 1 1 s ,s , s s S Sx y x y Reflexión de espejo: 1 M Mx x y 1 M My y TRANSFORMACIONES COMPUESTAS Es posible construir transformaciones geométricas y de coordenadas más complejas a partir de las transformaciones básicas descritas cuando se estudió el proceso de composición de funciones. Operaciones tales como la rotación con respecto a un punto distinto del origen o la reflexión con relación a líneas que no sean los ejes pueden construirse a partir de las transformaciones básicas. DESCRIPCION MATRICIAL DE LAS TRANSFORMACIONES BASICAS Las transformaciones de rotación, puesta en escala y reflexión, pueden representarse como funciones matriciales: Transformaciones geométricas Transformaciones de coordenadas R Cos Sen Sen Cos R Cos Sen Sen Cos s ,s s 0 S 0 sx y x y s ,s 1 0 s S 1 0 s x y x y
- 54. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 366 1 0 M 0 1 x 1 0 M 0 1 x 1 0 M 1 1 y 1 0 M 0 1 y La transformación de traslación no puede expresarse como una función matricial de 2 x 2. Sin embargo, cierto artificio permite introducir una función matricial de 3 x 3 que efectúa la transformación de traslación. Se representa el par ordenado (x, y) de un punto P por medio de la tríada (x, y, 1). Esta es simplemente la representación homogénea de P. Entonces, la traslación en la dirección v = txi + tyj puede expresarse por medio de la función matricial 1 0 T 0 1 0 0 1 x v y t t Entonces 1 0 0 1 10 0 1 1 x x y y t x x t t y y t A partir de esto se extrae el par coordenado(x + tx, y + ty). La ventaja de introducir una forma matricial para la traslación es que ahora es posible construir transformaciones complejas al multiplicar las transformaciones matriciales básicas. En ocasiones, este proceso recibe el nombre de concatenación de matrices. Aquí se está empleando el hecho de que la composición de funciones matriciales es equivalente a la multiplicación de matrices. Debe ser posible representar las transformaciones básicas como matrices coordenadas homogéneas de 3 x 3 para que sean compatibles (desde el punto de vista de multiplicación matricial) con la matriz de traslación. Esto se logra aumentando las matrices de 2 x 2 con una tercera columna y una tercera fila. Esto es 0 0 0 0 1 a b c d . EJEMPLO 7.6.1 Encuentre la transformación que gira un punto objeto con respecto al origen. Escríbase la representación matricial para esta rotación. SOLUCION La definición de las funciones trigonométricas nos da ´ ( ) ´ ( ) x rCos y rSen y x rCos y rSen Mediante identidades trigonométricas, se obtiene ( ) ( ) ( ) ( ) rCos r Cos Cos Sen Sen xCos ySen rSen r Sen Cos Cos Sen xSen yCos ó ´ ´ x xCos ySen y xSen yCos Escribiendo ´ P´ ´ x y , P x y , y R Cos Sen Sen Cos
- 55. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 367 ahora puede escribirse P´ R P . EJEMPLO 7.6.2 Encuentre la matriz que representa la rotación de un objeto 30º con respecto al origen. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del punto P(3, -5) después de la rotación? SOLUCION Tomando la matriz del ejemplo anterior, tenemos que 30º 3 1 30º 30º 2 2R 30º 30º 1 3 2 2 Cos Sen Sen Cos Las nuevas coordenadas pueden obtenerse al multiplicar 3 1 5 3 3 32 2 2 51 3 3 5 3 2 2 2 . EJEMPLO 7.6.3 Describa la transformación que gira un punto objeto Q(x, y), grados con respecto a un centro fijo de rotación P(h, k). SOLUCION Se determina la transformación R,P en tres pasos: 1. Trasladar de manera que el centro de rotación P se encuentre en el origen. 2. Efectuar una rotación de grados con respecto al origen. 3. Trasladar de nuevo el origen a P. Utilizando v = -hi – kj como vector de traslación, se construye R,P por la composición de transformaciones ,O´R T R Tv v . EJEMPLO 7.6.4 Descríbase la forma general de la matriz para la rotación con respecto a un punto P(h, k). SOLUCION Por el ejemplo anterior tenemos ,P´R T R Tv v , donde v = -hi – kj. Mediante la forma coordenada homogénea de 3 x 3 para las matrices de rotación y traslación, se tiene , 1 0 0 1 0 R 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 P h Cos Sen h k Sen Cos k 0 0 1 Cos Sen hCos kSen h Sen Cos hSen kCos k . EJEMPLO 7.6.5 Efectúe una rotación de 45º del triángulo con vértices en los puntos A(0, 0), B(1, 1), C(5, 2): a.- Con respecto al origen; b.- Con respecto al punto P(-1, -1). SOLUCION Se representa el triángulo por medio de una matriz formada a partir de las coordenadas homogéneas de los vértices
- 56. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 368 A B C 0 1 5 0 1 2 1 1 1 a.- La matriz de rotación es 45º 2 2 0 2 2 45º 45º 0 2 2 R 45º 45º 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 Cos Sen Sen Cos De manera que las coordenadas A´B´C´ del triángulo girado ABC se obtienen como 45º 2 2 3 2 0 0 0 2 2 2 0 1 5 2 2 7 2 A´B´C´ R ABC 0 0 1 2 0 2 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 1 1 De esta manera, obtenemos los nuevos vértices del triángulo rotado: A´(0, 0), B´(0, 2), 3 2 7 2 C´ , 2 2 . b.- La matriz de rotación está dada por 45º,P´ 45ºR T R Tv v , en donde v = i + j. De modo que ,P 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 2 2 2 2 R 0 1 1 0 0 1 1 2 1 2 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Ahora 45º 2 2 1 2 2 0 1 5 2 2 A´B´C´ R ABC 2 1 0 1 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 1 3 2 1 9 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 De esta manera, obtenemos los nuevos vértices del triángulo rotado: A´( 1, 2 1) , B´( 1, 2 2 1) , 3 2 7 2 C´ , 2 2 .
- 57. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 369 EJEMPLO 7.6.6 Determine la transformación que pone en escala (respecto al origen) en: a.- a unidades en la dirección X; b.- b unidades en la dirección Y; c.- en forma simultánea a unidades en dirección X y b unidades en dirección Y. SOLUCION a.- La transformación de escala aplicada a un punto P(x, y) produce el punto (ax, y). Esto puede escribirse en forma matricial como ,1S Pa ó 0 0 1 a x ax y y b.- Como en el literal anterior, la transformación requerida puede escribirse en forma matricial como 1,S Pb ó 1 0 0 x x b y by c.- La puesta en escala en ambas direcciones está descrita por la transformación x´ = ax y y´ = by. Al escribir esto en forma matricial como ,S Pa b ó 0 0 a x ax b y by . EJEMPLO 7.6.7 Escriba la forma general de una matriz de puesta en escala con respecto a un punto fijo P(h, k). SOLUCION Siguiendo el mismo procedimiento general, se escribe la transformación requerida con v = -hi – kj como , ,P , 1 0 0 0 1 0 0 S T S T 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 a b v a b v h a h a ah h k b k b bk k . EJEMPLO 7.6.8 Amplifíquese el triángulo con vértices A(0, 0), B(1, 1) y C(5, 2) al doble de su tamaño manteniendo fijo el vértice C(5, 2). SOLUCION Es posible escribir la transformación requerida con v = -5i – 2j como 2,2,C 2,2 1 0 5 2 0 0 1 0 5 2 0 5 S T S T 0 1 2 0 2 0 0 1 2 0 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 v v Representando un punto P con coordenadas (x, y) por medio del vector columna 1 x y , se tiene 2,2,C 2 0 5 0 5 S A 0 2 2 0 2 0 0 1 1 1 ; 2,2,C 2 0 5 1 3 S B 0 2 2 1 0 0 0 1 1 1 ; 2,2,C 2 0 5 5 5 S C 0 2 2 2 2 0 0 1 1 1 De manera que A´(-5, -2), B´(-3, 0) y C´(5, 2). Obsérvese que ya que el triángulo ABC está completamente determinado por sus vértices, podría haberse ahorrado mucha escritura al representar los vértices con una matriz de 3 x 3
- 58. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 370 0 1 5 ABC 0 1 2 1 1 1 y aplicando 2,2,CS a esto. Entonces 2,2,C 2 0 5 0 1 5 5 3 5 S ABC 0 2 2 0 1 2 2 0 2 A´B´C´ 0 0 1 1 1 1 1 1 1 . EJEMPLO 7.6.9 Descríbase la transformación ML que refleja un objeto con respecto a una recta L. SOLUCION Considere que la línea L de la figura tiene una intersección con el eje Y en (0, b) y un ángulo de inclinación de grados (respecto al eje X). Se reduce la descripción a transformaciones conocidas: 1. Trasladar (0, b) al origen. 2. Rotar - grados de manera que la recta L se alinee con el eje X. 3. Efectuar una reflexión de espejo con respecto al eje X. 4. Girar de nuevo grados. 5. Trasladar el origen de nuevo al punto (0, b). En notación de transformación, se tiene L θ θM T R M R Tv x v en donde v = -bj. EJEMPLO 7.6.10 Obténgase la forma de la matriz para realizar reflexión con respecto a una recta L de pendiente m e intersección con el eje Y en el punto (0, b). SOLUCION Aplicando el hecho de que el ángulo de inclinación de una recta está relacionado con su pendiente m por la ecuación Tan = m, se tiene con v = -bj L θ θM T R M R Tv x v 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Cos Sen Cos Sen b Sen Cos Sen Cos b . Ahora, si Tan = m, la trigonometría elemental da 2 2 1 1 1 m Sen m Cos m Sustituyendo estos valores en vez de Sen y Cos después de la multiplicación de matrices, se tiene 2 2 2 2 2 L 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 M 1 1 1 0 0 1 m m bm m m m m m b m m m .
- 59. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 371 EJEMPLO 7.6.11 Realice la reflexión del polígono en forma de diamante cuyos vértices están en A(-1, 0), B(0, -2), C(1, 0) y D(0, 2) con respecto: a.- La recta horizontal y = 1; b.- La recta vertical x = 2; c.- La recta y = x + 2. SOLUCION Se representan los vértices del polígono por medio de la matriz coordenada homogénea 1 0 1 0 V 0 2 0 2 1 1 1 1 La matriz de reflexión puede escribirse como L θ θM T R M R Tv x v a.- La recta y = 2 tiene intersección con el eje Y en el punto (0, 2) y forma un ángulo de 0º con el eje X. De manera que con = 0 y v = -2j, la matriz de transformación es L 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 M 0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Esta misma matriz podría haberse obtenido directamente utilizando los resultados del ejemplo anterior con pendiente m = 0 e intersección con el eje Y en b = 0. Para reflejar el polígono, se iguala L 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 M V 0 1 4 0 2 0 2 4 6 4 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Convirtiendo de coordenadas homogéneas A´(-1, 4), B´(0, 6), C´(1, 4), D´(0, 2). b.- La recta vertical x = 2 carece de intersección con el eje Y y tiene pendiente infinita. Puede utilizarse My, reflexión con respecto al eje Y, para escribir la reflexión deseada: 1. Trasladando la recta dada dos unidades hacia arriba al eje Y; 2. Realizando reflexión con respecto al eje Y; 3. Trasladando hacia atrás dos unidades. De manera que con v = -2i L y 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 4 M T M T 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 v v Por último L 1 0 4 1 0 1 0 5 4 3 4 M V 0 1 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Convirtiendo de coordenadas homogéneas A´(5, 0), B´(4, -2), C´(3, 0), D´(4, 2). c.- La recta y = x + 2 tiene pendiente 1 e intersección con el eje Y en el punto (0, 2). A partir del ejemplo anterior, con m = 1 y b = 2, se tiene L 0 1 2 M 1 0 2 0 0 1 Ahora es posible determinar las coordenadas necesarias A´, B´, C´ y D´
- 60. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 372 L 0 1 2 1 0 1 0 2 4 2 0 M V 1 0 2 0 2 0 2 1 2 3 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 De manera que A´(-2, 1), B´(-4, 2), C´(-2, 3) y D´(0, 2). EJEMPLO 7.6.12 Un observador que se encuentra en el origen ve un punto P(1, 1). Si el punto se traslada una unidad en la dirección v = i, su nueva posición coordenada es P´(2, 1). Supóngase que, en vez de esto, el observador retrocede una unidad sobre el eje X. ¿Cuáles serían las coordenadas aparentes de P con respecto al observador? SOLUCION El problema puede plantearse como una transformación de sistemas coordenadas. Si se traslada el origen O en la dirección v = -i (a una nueva posición en O´), las coordenadas P en este sistema pueden obtenerse por medio de la traslación Tv : 1 0 1 1 2 T P 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 v De manera que las nuevas coordenadas son (2, 1)´. Esto tiene la interpretación que sigue: un desplazamiento de una unidad en una dirección dada puede lograrse ya sea trasladando el objeto hacia delante o alejándose de él. EJEMPLO 7.6.13 Un objeto está definido con respecto a un sistema coordenado cuyas unidades están mediadas en pies. Si el sistema coordenado de un observador utiliza pulgadas como unidad básica, ¿cuál es la transformación de coordenadas empleada para describir las coordenadas del objeto en el sistema coordenado del observador? SOLUCION Ya que hay 12 pulgadas en un pie, la transformación requerida puede describirse por medio de una transformación de escala coordenada con 1 2 s o 1/12 1 0 12 01/12 S 1 0 12 0 1/12 y así 1/12 12 0 12 S 0 12 12 x x x y y y . EJEMPLO 7.6.14 Obténgase la ecuación del círculo (x´)2 + (y´)2 = 1 en términos de coordenadas XY, considerando que el sistema coordenado X´Y´ es el resultado de una puesta en escala a unidades en la dirección X y b unidades en la dirección Y. SOLUCION A partir de las ecuaciones para una transformación de escala coordenada, se obtiene 1 ´x x a y 1 ´y y b Sustituyendo, se tiene
- 61. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 373 2 2 1 x y a b Obsérvese que, como resultado de la puesta en escala, la ecuación del círculo se transforma en la ecuación de una elipse en el sistema coordenado XY. EJEMPLO 7.6.15 Obténgase la ecuación de la recta y´ = mx´ + b en las coordenadas XY si el sistema coordenado X´Y´ es el resultado de una rotación de 90º del sistema coordenado XY. SOLUCION Las ecuaciones de transformación de coordenadas de una rotación pueden escribirse como ´ 90º 90º ´ 90º 90º x xCos ySen y y xSen yCos x Sustituyendo, se tiene –x = my + b. Resolviendo para y, se tiene 1 b y x m m . A continuación y de forma general, enumeramos los operadores en R2 que transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta y se denominan operadores reflexión. Así mismo, encontramos los operadores proyección ortogonal y rotación: Reflexión respecto al eje Y: ´ ´ x x y y 1 0 0 1 Reflexión respecto al eje X: ´ ´ x x y y 1 0 0 1 Reflexión respecto a la recta y = x: ´ ´ x y y x 0 1 1 0 Proyección ortogonal sobre el eje X: ´ ´ 0 x x y 1 0 0 0
- 62. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 374 Proyección ortogonal sobre el eje Y: ´ 0 ´ x y y 0 0 0 1 Rotación a través de un ángulo : ´ ´ x xCos ySen y xSen yCos Cos Sen Sen Cos 7.7 TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R3 El manejo, visión y construcción de imágenes gráficas tridimensionales requiere el empleo de geometría y transformaciones coordenadas tridimensionales. Estas transformaciones están constituidas por la composición de las transformaciones básicas de traslación, puesta en escala y rotación. Cada una de estas transformaciones puede representarse como una transformación matricial. Lo cual permite construir transformaciones más complejas al utilizar multiplicación o concatenación matriciales. Como en las transformaciones bidimensionales, se adoptan dos puntos de vista complementarios: el objeto o imagen se maneja directamente mediante el uso de transformaciones geométricas, o el objeto permanece estacionario y el sistema coordenado del observador se modifica al utilizar transformaciones coordenadas. Además, la construcción de objetos e imágenes complejas se facilita al emplear transformaciones de instancia, que combinan ambos puntos de vista. Las transformaciones y los conceptos aquí presentados son generalizaciones directas de as demostradas para transformaciones bidimensionales. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS Con respecto a algunos sistemas coordenados tridimensionales, un objeto se considera como un conjunto de puntos = {P(x, y, z)}. Si el objeto se traslada a una nueva posición, puede considerársele como un nuevo objeto ´, del que todos los puntos coordenados P´(x´, y´, z´) pueden obtenerse a partir de los puntos coordenados originales P(x, y, z) de aplicando una transformación geométrica. Un objeto es desplazado ciertas distancias y dirección a partir de su posición original. La dirección y el desplazamiento de la traslación están prescritos por un vector v = ai + bj + ck. Las nuevas coordenadas de un punto trasladado pueden calcularse al utilizar la transformación ´ T : ´ ´ v x x a y y b z z c . A fin de representar esta transformación como matricial, es necesario utilizar coordenadas homogéneas. Entonces, la transformación matricial homogénea
- 63. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 375 requerida puede expresarse como ´ 1 0 0 ´ 0 1 0 ´ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 x a x y b y z c z El proceso de puesta en escala modifica las dimensiones de un objeto. El factor de escala s determina si la escala es una amplificación, s > 1, o una reducción, s < 1. En la puesta en escala con respecto al origen, donde dicho origen permanece fijo, se efectúa por la transformación , , ´ S : ´ ´ x y z x s s s y z x s x y s y z s z En forma matricial, tenemos , , 0 0 S 0 0 0 0 x y z x s s s y z s s s La rotación en tres dimensiones es mucho más compleja que la rotación en dos dimensiones. En dos dimensiones, una rotación está prescrita por un ángulo de rotación y un centro de rotación P. Las rotaciones tridimensionales requieren la prescripción de un ángulo de rotación y de un eje de rotación. Las rotaciones canónicas están definidas cuando se elige uno de los ejes coordenados positivos X, Y o Z como eje de rotación. Entonces la construcción de la transformación de rotación procede igual que la de una rotación en dos dimensiones, con respecto al origen. Rotación con respecto al eje Z , ´ R : ´ ´ k x xCos ySen y xSen yCos z z Rotación con respecto al eje Y , ´ R : ´ ´ j x xCos zSen y y z xSen zCos Rotación con respecto al eje X , ´ R : ´ ´ i x x y yCos zSen z ySen zCos Obsérvese que la dirección de un ángulo positivo de rotación se elige de acuerdo con la regla de la mano derecha respecto al eje de rotación. Las transformaciones matriciales correspondientes son , 0 R 0 0 0 1 k Cos Sen Sen Cos ; , 0 R 0 1 0 0 j Cos Sen Sen Cos ;
- 64. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 376 , 1 0 0 R 0 0 i Cos Sen Sen Cos . El caso general de rotación en relación con un eje L puede construirse a partir de estas rotaciones canónicas mediante la multiplicación de matrices. TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS También es posible lograr los efectos de traslación, puesta en escala y rotación al mover al observador que ve el objeto y manteniendo estacionario el objeto. Este tipo de transformación se denomina transformación de coordenadas. Primero se fija un sistema coordenado al observador y después se le traslada junto con el sistema coordenado agregado. A continuación, se vuelven a calcular las coordenadas del objeto observado respecto al nuevo sistema coordenado del observador. Los nuevos valores coordenados serán exactamente los mismos que si el observador hubiera permanecido estacionario y el objeto se hubiera movido, correspondiendo a una transformación geométrica. Si el desplazamiento del sistema coordenado del observador hacia una nueva posición está prescrito por un vector v = ai + bj + ck, un punto P(x, y, z), en el sistema coordenado original tiene coordenadas P(x´, y´, z´) en el nuevo sistema coordenado, y ´ T : ´ ´ v x x a y y b z z c La obtención de esta transformación es completamente análoga a la de la transformación bidimensional. Obtenciones semejantes se cumplen para transformaciones de puesta en escala de coordenadas y rotación de coordenadas. Como en el caso bidimensional, se resumen las relaciones entre las formas matricules de las transformaciones de coordenadas y las transformaciones geométricas: Transf. de coord. Transf. Geom. Traslación Tv T v Rotación R R Puesta en escala , ,S x y zs s s 1 1 1 , , S x y zs s s Las transformaciones geométricas y de coordenadas inversas se construyen al efectuar la operación inversa. En esta forma, para transformaciones de coordenadas (y, de manera semejante, para transformaciones geométricas): 1 T Tv v ; 1 R R ; 1 1 1 , , , ,S Sx y z s s sx y z s s s TRANSFORMACIONES COMPUESTAS Y CONCATENACION DE MATRICES Transformaciones geométricas y coordenadas más complejas se forman a través
- 65. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 377 del proceso de composición de funciones. Sin embargo, para las funciones matriciales el proceso de composición equivale a la multiplicación o concatenación de matrices. 1. Av, u = alinear un vector v con un vector u. 2. R, L = rotación respecto a un eje L. El eje se prescribe dando un vector de dirección v y un punto P a través del cual pasa el eje. 3. , ,S x y zs s s = puesta en escala con respecto a un punto arbitrario P. A fin de construir estas transformaciones más complejas mediante concatenación de matrices, es necesario poder multiplicar matrices de traslación con matrices de rotación y puesta en escala. Esto requiere el empleo de coordenadas homogéneas y matrices de 4 x 4. Las matrices estándar de rotación y puesta en escala de 3 x 3 pueden representarse como matrices homogéneas 4 x 4 al agregar una fila y columna extra, como sigue: 0 0 0 0 0 0 1 a b c d e f g h i Estas transformaciones se aplican después a los puntos P(x, y, z) que tienen la forma homogénea: 1 x y z . EJEMPLO 7.7.1 Se define inclinación como una rotación con respecto al eje X seguida por una rotación con respecto al eje Y: a.- Obténgase la matriz de inclinación; b.- ¿Importa el orden que se efectúe la rotación? SOLUCION a.- Es posible obtener la transformación requerida T al componer (concatenar) dos matrices de rotación: , , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 T = R R 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 y x y y x x j i y y x x Cos Sen Cos Sen Sen Cos Sen Cos 0 0 0 0 0 0 0 1 y y x y x x x y y x y x Cos Sen Sen Sen Cos Cos Sen Sen Cos Sen Cos Cos b.- Se multiplican , ,R Rx yi j para obtener la matriz 0 0 0 0 0 0 0 1 y y x y x x y x y x x y Cos Sen Sen Sen Cos Sen Cos Cos Sen Sen Cos Cos Esta no es la misma matriz que en la parte a); por tanto, sí importa el orden de la rotación.
- 66. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 378 EJEMPLO 7.7.2 Obténgase una transformación Av que alinea un vector dado v con el vector k a lo largo del eje Z positivo. SOLUCION Según la figura a). Sea v = ai + bj + ck. Se realiza el alineamiento a través de la secuencia siguiente de transformaciones, figura b) y c): 1. Se gira con respecto al eje X en un ángulo 1 de manera que v gira en la mitad superior del plano XZ (como vector v1). 2. Se gira el vector v1 con respecto al eje Y en un ángulo -2 de manera que v1 gira al eje positivo Z (como vector v2). Al poner en práctica el paso 1 a partir de la figura b), se observa que el ángulo requerido de rotación 1 puede obtenerse al observar la proyección de v sobre el plano YZ. (Se considera que b y c no son ambas cero). A partir del triángulo OP´B: 1 2 2 1 2 2 b Sen b c c Cos b c La rotación requerida es 1 2 2 2 2 , 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 1 i c b b c b c b c b c b c Al aplicar esta rotación a v se produce el vector v1 con componentes 2 2 ( , 0, )a b c . Al realizar el paso 2 partiendo de la figura c), se ve que se necesita una rotación de -2 y también a partir del triángulo OQQ´: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a Sen Sen a b c b c Cos Cos a b c Entonces 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 0 0 R 0 0 0 0 0 1 j b c a a b c a b c a b c a b c a b c Ya que 2 2 2 v a b c , introduciendo la notación 2 2 b c , se obtiene
- 67. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 379 2 1, , 0 0 0 A R R 0 0 0 0 1 v j i ab ac v v v c b a b c v v v Si tanto b como c son cero, entonces v = ai, por lo que = 0. En este caso, sólo se requiere una rotación de 90º con respecto al eje Y, de manera que si = 0, se tiene que 2 , 0 0 0 0 1 0 0 A R 0 0 0 0 0 0 1 v j a a a a En la misma forma se calcula la transformación inversa que alinea al vector k con el vector v. 2 1 -1 -1 , ,A (R R )v j i 1 2 -1 -1 , - ,R Ri j 1 2, ,R Ri j 0 0 0 0 0 0 0 1 a v v ab c b v v ac b c v v . EJEMPLO 7.7.3 Sea un eje de rotación L especificado por un vector v y un punto de localización P. Obténgase la transformación para una rotación de con respecto a L. SOLUCION Es posible obtener la transformación requerida siguiendo los siguientes pasos: 1. Trasladar P al origen. 2. Alinear v con el vector k. 3. Girar con respecto a k. 4. Invertir los pasos 2 y 1. De manera que 1 1 θ,L P , PR T A R A Tv k v En este caso, Av es la transformación descrita en el ejemplo anterior. EJEMPLO 7.7.4 La pirámide definida por las coordenadas A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1) se gira 45º respecto a la recta L que tiene la dirección v = j + k y pasa a través del punto C(0, 1, 0). Obtenga las coordenadas de la figura girada. SOLUCION
- 68. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 380 Tomando de referencia el ejemplo anterior, la matriz de rotación R,L puede encontrarse al concatenar las matrices 1 1 θ,L P , PR T A R A Tv k v Con P(0, 1, 0) entonces P 1 0 0 0 0 1 0 1 T 0 0 1 0 0 0 0 1 Ahora v = j + k. Así que a partir del segundo ejemplo, con a = 0, b = 1, c = 1, se obtienen 2 , 2v , y 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 A 1 1 0 0 2 2 0 0 0 1 v y -1 1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 A 1 1 0 0 2 2 0 0 0 1 v También 45º, 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0R 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 k y -1 P 1 0 0 0 0 1 0 1 T 0 0 1 0 0 0 0 1 - Entonces ,L 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 R 2 4 4 4 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 0 0 0 1 Para obtener las coordenadas de la figura girada, se aplica la matriz de rotación R,L a la matriz de coordenadas homogéneas de los vértices A, B, C y D. 0 1 0 0 0 0 1 0 C (ABCD) 0 0 0 1 1 1 1 1 De manera que ,L 1 1 2 0 1 2 2 2 2 4 2 2 2 1 R C 4 4 2 2 2 2 4 2 0 4 4 2 1 1 1 1 Las coordenadas giradas son
- 69. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 381 1 2 2 2 2 A´ , , 2 4 4 , 1 2 4 2 2 4 B´ , , 2 4 4 , C´ = (0, 1, 0), 2 2 2 D´ 1, , 2 2 . EJEMPLO 7.7.5 Obtenga la transformación para reflejo de espejo con relación a un plano dado. SOLUCION Sea el plano de reflexión especificado por un vector normal N y un punto de referencia P0(x0, y0, z0), para reducir la reflexión a una reflexión de espejo con respecto al plano XY: 1. Se traslada P0 al origen. 2. Se alinea el vector normal N con el vector k normal al plano XY. 3. Se efectúa la reflexión de espejo en el plano XY. 4. Se invierten los pasos 1 y 2. De manera que, con el vector de traslación v = -x0i – y0j – z0k 0 1 1 N,P N NM T A M A Tv v Aquí, AN es la matriz de alineamiento definida en el segundo ejemplo. Por tanto, si el vector N = n1i + n2j + n3k, entonces a partir del segundo ejemplo, con 2 2 2 1 2 3N n n n y 2 2 2 3n n , se obtiene 1 31 2 3 2 N 31 2 0 N N N 0 0 A 0 N N N 0 0 0 1 n nn n n n nn n y 1 31 2 2 -1 N 1 3 32 0 0 N N 0 N NA 0 N N 0 0 0 1 n nn n n n n nn Además 0 0 0 1 0 0 0 1 0 T 0 0 1 0 0 0 1 v x y z y 0 01 0 1 0 0 0 1 0 T 0 0 1 0 0 0 1 - v x y z Por último, la forma homogénea de M es 1 0 0 0 0 1 0 0 M 0 0 1 0 0 0 0 1 . EJEMPLO 7.7.6 Obténgase la matriz para la reflexión de espejo respecto al plano que pasa a través del origen y tiene un vector normal cuya dirección es N = i + j + k. SOLUCION Basándose en el ejemplo anterior, con P0(0, 0, 0) y N = i + j + k, se obtienen N 3 y 2 . Entonces
- 70. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 382 1 0 0 0 0 1 0 0 T 0 0 1 0 0 0 0 1 v y 1 1 0 0 0 0 1 0 0 T 0 0 1 0 0 0 0 1 - v N 2 1 1 0 3 2 3 2 3 1 1 0 0 A 2 2 1 1 1 0 3 3 3 0 0 0 1 , -1 N 2 1 0 0 3 3 1 1 1 0 A 2 3 2 3 1 1 1 0 2 3 2 3 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 1 0 0 M 0 0 1 0 0 0 0 1 La matriz de reflexión es 1 1 N,O N N 1 2 2 0 3 3 3 2 1 2 0 M T A M A T 3 3 3 2 2 1 0 3 3 3 0 0 0 1 v v . A continuación y de forma general, enumeramos los operadores en R3 que transforman cada vector en su imagen simétrica con respecto a alguna recta y se denominan operadores reflexión. Así mismo, encontramos los operadores proyección ortogonal y rotación: Reflexión respecto al plano XY: ´ ´ ´ x x y y z z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Reflexión respecto al plano XZ: ´ ´ ´ x x y y z z 1 0 0 0 1 0 0 0 1
- 71. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 383 Reflexión respecto al plano YZ: ´ ´ ´ x x y y z z 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Proyección ortogonal sobre el plano XY: ´ ´ ´ 0 x x y y z 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Proyección ortogonal sobre el plano XZ: ´ ´ 0 ´ x x y z z 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Rotación ortogonal sobre el plano YZ: ´ 0 ´ ´ x y y z z 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje X positivo: ´ ´ ´ x x y yCos zSen z ySen zCos 1 0 0 0 0 Cos Sen Sen Cos
- 72. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 384 Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje Y positivo: ´ ´ ´ x xCos zSen y y z xSen zCos 0 0 1 0 0 Cos Sen Sen Cos Rotación en sentido antihorario a través de un ángulo respecto al eje Z positivo: ´ ´ ´ x xCos ySen y xSen yCos z z 0 0 0 0 1 Cos Sen Sen Cos Por completitud, se puede ver que la matriz estándar para una rotación en sentido horario alrededor de un eje en R3 (determinado por un vector unitario arbitrario u = (a, b, c) cuyo punto inicial está en el origen) por un ángulo , es 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) a Cos Cos ab Cos cSen ac Cos bSen ab Cos cSen b Cos Cos bc Cos aSen ac Cos bSen bc Cos aSen c Cos Cos . 7.8 FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL En esta sección estudiaremos las transformaciones lineales que van de un espacio vectorial U en un espacio unidimensional. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades. Las formas lineales son transformaciones lineales de un espacio vectorial en un espacio vectorial de dimensión 1. Como tales, no son nuevas para nosotros. Pero, debido a su gran importancia, han sido objeto de mucha investigación y se les ha acumulado una gran cantidad de terminología especial. DEFINICION 7.8.1 Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K, una forma lineal en V es toda transformación f : V K, que satisfaga el axioma siguiente: u, v V y a, b K, entonces f(au + bv) = af(u) + bf(v). Cualquier cuerpo se puede considerar como un espacio vectorial de dimensión 1 sobre sí mismo. Por tanto, el concepto de forma lineal en realidad no es algo nuevo. Es la conocida transformación lineal, restringida a un caso especial. Las operaciones que figuran en el primer miembro son las del espacio vectorial V y las del segundo miembro son la adición y producto del cuerpo K. Considerando, entonces, el cuerpo K como espacio vectorial sobre sí mismo, puede decirse que las formas lineales en el espacio vectorial V son las transformaciones lineales de V en su cuerpo base K, es decir; f : V K. Como las funciones lineales son un caso especial de las transformaciones lineales, los conceptos y resultados obtenidos anteriormente permanecen válidos y pueden aplicarse a las funciones lineales.
- 73. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 385 TEOREMA 7.8.1 Si V es un espacio vectorial sobre K, de dimensión n, el conjunto de todas las formas lineales sobre V es un espacio vectorial de dimensión n. DEMOSTRACION Para demostrar este teorema, probaremos en primer lugar que toda transformación lineal f : V kV es una transformación lineal a la cual designaremos por kf. En efecto, como (kf)(au) = f(kau) = af(ku) = a(kf)(u), para todo k K. (af)(u + v) = f(a(u + v)) = f(au) + f(av) = (af)(u) + (af)(v), para todo u, v V y a K. En segundo lugar, también debemos probar que la transformación f de V en la suma de las dos formas lineales g(u) + h(u) es también otra forma lineal, que designaremos por (g + h)(u). En efecto, como f(u) = g(u) + h(u) = (g + h)(u). f(u) K, ya que g(u), h(u) K y, además, se cumplen las condiciones siguientes: a.- f(u + v) = g(u + v) + h(u + v) = g(u) + g(v) + h(u) + h(v) = g(u) + h(u) + g(v) + h(v) = (g + h)(u) + (g + h)(v) = f(u) + f(v) b.- f(ku) = g(ku) + h(ku) = kf(u) + kh(u) = k(g(u) + h(u)) = k(g + h)(u) = kf(u) Por tanto, el conjunto de las formas lineales cumple las condiciones necesarias y suficientes para ser un espacio vectorial. Por ser las formas lineales, en un espacio vectorial, unos homomorfismos especiales entre espacios vectoriales, son válidas para ellas todos los resultados obtenidos para éstos. En particular, dado un espacio vectorial V, la adición de dos formas lineales en V es también una forma lineal en V, al multiplicar por un escalar una forma lineal en V, se obtiene una nueva forma lineal en V; es también, entonces cierto que el conjunto L(V, K), de las formas lineales en V, tiene, respecto de las mencionadas operaciones, estructura de espacio vectorial. A este espacio vectorial, de las formas lineales en V, se le da el nombre de espacio dual de V y se le representa por V*. DEFINICION 7.8.2 Siendo V un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K, se llama dual de V al espacio vectorial sobre K de todas las formas lineales sobre V. La base del espacio dual V* de V guarda una relación especial con la base de V. Sea S = {u1, u2, ..., un} la base de V. Se define el funcional lineal fi(u) por u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, donde fi(u) = ai K. A fi se le llamara la función coordenada i-ésima. Se puede demostrar que fi es un funcional lineal. TEOREMA 7.8.2 Si V es un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K, V* es también de dimensión n. DEMOSTRACION Sea S = {u1, u2, ..., un} una base de V; si u V, tenemos, de modo único u = a1u1 + a2u2 + ... + anun. Sea fi la forma lineal sobre V definida por fi : V ai. Esta transformación fi es una forma lineal, pues fi(u + v) = ai + bi = fi(u) + fi(v); fi(ku) = kai = kfi(u). Si f es una forma lineal cualquiera sobre V, es decir un elemento de V*, f(u) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
- 74. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 386 por tanto, f está determinada por los valores ci = fi(u) que toma para los elementos de la base de V. Como el cuerpo es conmutativo f(u) = a1f1(u) + a2f2(u) + ... + anfn(u) es decir f = a1f1 + a2f2 + ... + anfn Ahora bien, en V* las formas fi son linealmente independientes, pues si se pudiera escribir d1f1(u) + d2f2(u) + ... + dnfn(u) = V* para valores di K no todos iguales a cero, tendríamos para todo u V d1f1(u) + d2f2(u) + ... + dnfn(u) = 0 K es decir d1a1 + d2a2 + ... + dnan = 0. Ahora bien, esto es imposible, pues si, por ejemplo, dn 0, basta tomar a1 = a2 = ... = an-1 = 0 y an 0 K. Por tanto, toda forma f puede escribirse como f = a1f1 + a2f2 + ... + anfn y los fi son linealmente independientes. Esto significa que {f1, f2, ..., fn} es base de V* y que V* es, por tanto, de dimensión n. 7.9 CUESTIONARIO Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 7.9.1 Las matrices de una misma transformación lineal en dos bases coinciden cuando, y sólo cuando, la matriz del cambio de una de esas bases por otra es conmutativa con la matriz de dicha transformación lineal en una de las bases dadas. 7.9.2 La proyección de un espacio tridimensional sobre el eje de coordenadas del vector e1 paralelamente al plano de coordenadas de los vectores e2 y e3 no es una transformación lineal. 7.9.3 Las transformaciones lineales de un espacio n- dimensional con respecto a la adición y multiplicación por un número forman de por sí un espacio vectorial. 7.9.4 Cualquier transformación lineal f de un espacio unidimensional se reduce a la multiplicación de todos los vectores por un mismo número. 7.9.5 Si f es una transformación lineal del espacio de dimensión finita U a W, entonces la dimensión de W es igual a la suma de la nulidad y el rango. 7.9.6 Si f es una transformación lineal de U en W, siendo ambos de dimensión k, entonces el núcleo de f es igual a si y sólo si la imagen de f es igual a U. 7.9.7 Si f es una transformación lineal de U en W, siendo ambos de dimensión k, entonces f -1 existe si y sólo si el núcleo de f es igual a W. 7.9.8 Si f es una transformación lineal sobreyectiva de U en U, y U es n-dimensional, entonces f es inyectiva. 7.9.9 El giro de un espacio tridimensional en un ángulo 2/3 alrededor de una recta, prefijada en un sistema rectangular de coordenadas mediante las ecuaciones x1 = x2 = x3, es una transformación lineal. 7.9.10 El giro del plano en un ángulo alrededor del origen de coordenadas es una transformación lineal. 7.9.11 Si f es una transformación lineal inyectiva de U en U, y U es n-dimensional, entonces f es biyectiva. 7.9.12 Sea U un espacio vectorial de dimensión finita y sea f una transformación lineal sobre U. Supóngase que el rango de f2 es igual al rango de f. Entonces la imagen y el núcleo de f son disjuntos. 7.9.13 Una matriz B de orden n es semejante a una matriz A de orden n si y sólo si existe una matriz C singular tal que B = C-1 AC. 7.9.14 Si f es una transformación lineal de U en U y si A y B son representaciones matriciales de f pero respecto posiblemente a bases distintas, entonces B es semejante a A. 7.9.15 Sean U y W dos espacios vectoriales y sea f una transformación lineal de U en W. Si f es singular, entonces f -1 es una transformación lineal de U en W. 7.9.16 Si f es una transformación lineal de U en W. Entonces f es no singular si, y sólo si, f aplica cada subconjunto linealmente independiente de U sobre un subconjunto linealmente independiente de W.
- 75. TRANSFORMACIONES LINEALES JOE GARCIAARCOS 387 7.9.17 Sea f una transformación lineal de U en W y sea W n-dimensional. Entonces f es inyectiva si y sólo si el rango de f es n. 7.9.18 Sea f una transformación lineal de R3 en R2 y sea g una transformación lineal de R2 en R3 . Entonces que la transformación lineal gf es no singular. 7.9.19 Si U un espacio vectorial de dimensión finita n, f una transformación lineal de U en W. Entonces f es no singular si y sólo si es inyectiva. 7.9.20 Si U y W son espacios de dimensión finita. Entonces U es isomorfo a W si y sólo si la dimensión de U es igual a la dimensión de W.