Este documento presenta definiciones básicas sobre la transformada de Laplace, incluyendo funciones continuas por tramos, funciones de orden exponencial y la definición formal de la transformada de Laplace. También incluye ejemplos para ilustrar estas definiciones y discute las condiciones suficientes pero no necesarias para que una función admita una transformada de Laplace.

1. 1
Puerto Ordaz 29 de Noviembre de 2011
MATEMATICA IV
TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICIONES BÁSICAS
Definición 1 Se dice que una función de valores reales g es continua por
tramos en un intervalo [ 𝑎, 𝑏] si se satisfacen las siguientes condiciones:
i.) g está definida y es continua en todos salvo un número finito de
puntos de [ 𝑎, 𝑏] y
Los límites
𝑔( 𝑥0
+) = lim
ℎ→0+
𝑔(𝑥0 + ℎ
𝑔( 𝑥0
−) = lim
ℎ→0+
𝑔(𝑥0 − ℎ)
Existen en cada punto 𝑥0 en [ 𝑎, 𝑏].
Observaciones:
1. La anotación ℎ → 0+
significa que ℎ tiende a cero, a través de valores
positivos.
2. Los límites en (1) se llaman respectivamente los límites por la derecha y por la
izquierda de 𝑔 en 𝑥0.
3. Si 𝑥0 es un punto de continuidad de 𝑔 , cada uno de estos límites es igual al
valor de 𝑔 en 𝑥0, entonces tenemos:
Universidad Nacional Experimental De Guayana
Vicerrectorado Académico
Proyecto de carrera: Ingeniería Industrial
Lic. en Matemática
Profesor: José R. Meneses

2. 2
𝑔( 𝑥0
+) = 𝑔( 𝑥0
−) = 𝑔(𝑥0)}
4. El valor de la función, en dichos puntos, experimenta saltos finitos como se
muestran en la Figura N° 1.
𝑔
𝑔(𝑥0
+
)
𝑔(𝑥0
+) − 𝑔(𝑥0
−
)
𝑔(𝑥0
−
)
𝑥0
Figura N° 1
5. El salto de la función 𝑔 en el punto 𝑥0, se define como
𝑔( 𝑥0
+) − 𝑔(𝑥0
−
)
Ejemplo
1. Veamos que la siguiente función es continua por tramos en intervalo [0,2]
𝑔( 𝑥) = { 𝑥2
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
2 − 2𝑥 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2
La gráfica de la función 𝑔 es :
x
.
10,)( 2
 xxxg
g
..
..
..
22
11
2211

3. 3
Figura N° 2
Se concluye que g es una función continua por tramos en el intervalo [0,2], por
cuanto presenta una única discontinuidad, la ocurre en 𝑥0 = 1. En efecto:
𝑔(1+) = lim
ℎ→0+
𝑔(1 + ℎ) = lim
ℎ→0+
[2 − 2(1 + ℎ)]
= lim
ℎ→0+
(2 − 2 − 2ℎ) = lim
ℎ→0+
(−2ℎ) = −2.0 = 0 (1)
𝑔(1−) = lim
ℎ→0+
𝑔(1 − ℎ) = lim
ℎ→0+
(1 − ℎ)2
= (1 − 0)2
= 1 (2)
De (1) y (2) se tiene 𝑔(1+) − 𝑔(1−) = 0 − 1 = −1
y la función 𝑔 tiene una discontinuidad de salto de magnitud de –1 en 𝑥0 = 1 ∈
[0,2].
2. La función 𝑔( 𝑥) =
1
𝑥−1
no es continua por tramos en ningún intervalo que
contenga 𝑥0 = 1, debido a su comportamiento cuando 𝑥0 → 1+
𝑔(1+) = lim
ℎ→0+
𝑔 (1 + ℎ) = lim
ℎ→0+
[
1
1 + ℎ − 1
] = lim
ℎ→0+
1
ℎ
= ∞
Un hecho familiar del cálculo integral es que si la función 𝑓 es continua por tramos
en intervalo [𝑎, 𝑏] , con discontinuidades 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥 𝑘 y posiblemente en
a y b, entonces la integral
21,22)(  xxxg

4. 4
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
existe se define y evalúa como
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
ℎ→0+
[ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑥1−ℎ
𝑎+ℎ
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑥2−ℎ
𝑥1+ℎ
… + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏−ℎ
𝑥 𝑘+ℎ
]
𝑏
𝑎
Este límite siempre existe, véase la Figura N° 3.
Figura N° 3
Ejemplo Hallar el valor numérico de
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
0
, 𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥 + [𝑥]
Donde [𝑥] denota la parte entera de 𝑥, es decir, [𝑥] = 𝑛 ⟺ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1
Solución
Por la definición de la función parte entera 𝑥, 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 [0,2] está dada por
g
xa 1X 2X 3X b
..
..
.. ..

5. 5
𝑓(𝑥) = 𝑥 + [𝑥] = {
𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
𝑥 + 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
La gráfica de la función f es dada en la Figura N° 4
Figura N ° 4
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2
0
= lim
ℎ→0+
[ ∫ 𝑥𝑑𝑥
1−ℎ
0+ℎ
+ ∫ (𝑥 + 1)
2−ℎ
1+ℎ
]
= lim
ℎ→0+
[
1
2
{𝑥2} ⌊
1 − ℎ
0 + ℎ
+
1
2
{(𝑥 + 1)2} |
2 − ℎ
1 + ℎ
]
= lim
ℎ→0+
[
1
2
(1 − ℎ)2
−
1
2
ℎ2
+
1
2
(2 − ℎ + 1)2
−
1
2
(1 + ℎ + 1)2
] =
1
2
+
9
2
− 2
= 3
Así el valor numérico de la integral es
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3
2
0
g
x
..
..
..
11 22
11
22
33

6. 6
“Definición 2 Se dice que la función 𝑓 es de orden exponencial cuando 𝑡 → ∞
si existen constantes no negativas 𝑀, 𝑐 𝑦 𝑇, tales que
| 𝑓(𝑡)| ≤ 𝑒 𝑐𝑡
, para 𝑡 ≥ 𝑇
Esta definición asegura que cuando 𝑡 → ∞, entonces 𝑓 crece más lentamente
que un múltiplo de alguna función exponencial con exponente lineal.
Ejemplos
1.- La función 𝑓(𝑡) = sin 𝑡, es de orden exponencial, ya que
|sin 𝑡| ≤ 1 ≤ 𝑒 𝑡
, para 𝑡 ≥ 0
3. La 𝑓( 𝑡) = 𝑒
−𝑡
2⁄
es de orden exponencial puesto que 𝑒
−𝑡
2⁄
≤ 1, cuando
𝑡 → ∞ o equivalentemente
𝑒
𝑡
2⁄
𝑒 𝑡 ≤ 1 de donde se obtiene 𝑒
𝑡
2⁄
≤ 𝑒 𝑡
4. Supóngase que la función 𝑓( 𝑡) = 𝑒 𝑡2
es de orden exponencial, entonces
|𝑒 𝑡2
| = 𝑒 𝑡2
≤ 𝑀𝑒 𝑐𝑡
, para 𝑡 ≥ 𝑇, o equivalentemente
𝑒 𝑡2
𝑒 𝑐 𝑡 ≤ 𝑀, aplicando
límite cuando 𝑡 → ∞, obtenemos lim
𝑡→∞
𝑒 𝑡2
𝑒 𝑐𝑡 = lim
𝑡→∞
𝑒 𝑡2−𝑐𝑡
= ∞ ≤ 𝑀 , lo cual
contradice el hecho de que M es un número real, por lo tanto 𝑓 no es de orden
exponencial.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición 3: Sea 𝑓(𝑡) una función definida para 𝑡 ≥ 0, entonces la integral

7. 7
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑏
0
∞
0
Se llama Transformada de Laplace de 𝑓, siempre que el límite exista”. La
Transformada de Laplace de 𝑓 se denota ℓ { 𝑓( 𝑡)}, y puesto que el resultado
depende de 𝑠 escribimos ℓ { 𝑓( 𝑡)} = 𝐹(𝑠).
Ejemplo
1.- Use la definición (3) para encontrar ℓ{ 𝑒 𝑡+7}
Solución
De acuerdo con la definición (3) se tiene
ℓ{𝑒 𝑡+7} = ∫ 𝑒−𝑠 𝑡
𝑒 𝑡+7
𝑑𝑡
∞
0
= lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠 𝑡
𝑒 𝑡+7
𝑑𝑡
𝑏
0
= lim
𝑏→∞
∫ 𝑒7
𝑒−(𝑠−1)𝑡
𝑑𝑡
𝑏
0
ℓ{ 𝑒 𝑡+7} = 𝑒7
lim
𝑏→∞
[−
𝑒− (𝑠−1) 𝑡
𝑠−1
] | 𝑏
0
= −𝑒7
[ lim
𝑏→∞
(−
𝑒− (𝑠−1) 𝑏
𝑠−1
) +
1
𝑠−1
]
Obsérvese que si 𝑠 > 1, entonces 𝑒− (𝑠−1)𝑡
→ 0 cuando 𝑏 → ∞, así
obtenemos ℓ{ 𝑒 𝑡+7} =
𝑒7
𝑠−1
.
Ahora nos preguntamos ¿Cualquier función de valores reales admite
Transformada de Laplace?, la respuesta es no, por ejemplo la función 𝑓( 𝑡) =
1
𝑡2
no tiene Transformada de Laplace. En efecto por definición se tiene.
ℓ {
1
𝑡2
} = ∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
= ∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 + ∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
1
1
0

8. 8
Obsérvese que en el intervalo 𝑡 ∈ [0,1] 𝑒−𝑠 𝑡
≥ 𝑒−𝑠
para 𝑠 > 0 , por lo
tanto
∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 ≥ ∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠 𝑑𝑡 = 𝑒−𝑠 ∫
1
𝑡2
𝑑𝑡
1
0
= 𝑒−𝑠 lim
𝑘→0
+
∫
1
𝑡2
𝑑𝑡
1
𝑘
1
0
1
0
Donde
∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 ≥ 𝑒−𝑠
1
0
lim
𝑘→0
+
[−
1
𝑡
]
1
𝑘
= 𝑒−𝑠 lim
𝑘→0
+
[−
1
1
+
1
𝑘
]
= 𝑒−𝑠 [−1 + lim
𝑘→0
+
1
𝑘
] = 𝑒−𝑠[−1 + ∞] = ∞
Entonces la integral
∫
1
𝑡2
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
1
0
Diverge y, por el criterio de comparación la integral
∫
1
𝑡2
𝑒− 𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
0
Diverge y así, se tiene que la función 𝑓( 𝑡) =
1
𝑡2 no admite Transformada de
Laplace
Teorema 1 Existencia de la Transformada de Laplace.
“Si 𝑓(𝑡) es continua por tramos y de orden exponencial en [0, ∞), de manera que
|𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒 𝑐 𝑡
, entonces ℓ { 𝑓( 𝑡)} existe y está definida para 𝑠 > 𝑐
(Campbell, 1998, p. 229).

9. 9
Conclusión del teorema 1
Las hipótesis del teorema 1 son condiciones suficientes, pero no necesarias para
garantizar la existencia de la Transformada de Laplace. Es decir, si una función
no cumple las hipótesis del teorema 1, su Transformada de Laplace puede o no
existir, así, por ejemplo, la función 𝑓( 𝑡) = 𝑡−
1
2, no es continua por tramos para
𝑡 ≥ 0 y su Transformada de Laplace existe. En efecto, por definición tenemos
ℓ { 𝑡−
1
2} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑡−
1
2 𝑑𝑡
∞
0
Para resolver esta integración se introduce el cambio de variable
𝑡 =
𝑤2
𝑠
⟹ 𝑑𝑡 =
2𝑤𝑑𝑤
𝑠
, 𝑡 → ∞ ⟹ 𝑤 → ∞ 𝑦 𝑡 → 0 ⟹ 𝑤 → 0
concluyendo que
ℓ { 𝑡−
1
2} = ∫ 𝑒− 𝑠
𝑤2
𝑠 (
𝑤2
𝑠
)
−
1
2 2𝑤𝑑𝑤
𝑠
∞
0
=
2
√ 𝑠
∫ 𝑒− 𝑤2
𝑑𝑤
∞
0
(2)
Para resolver la integral de lado derecho de (2) sea
𝐼 = ∫ 𝑒− 𝑤2
𝑑𝑤
∞
0
y obsérvese que,
𝐼 = ∫ 𝑒− 𝑤2
𝑑𝑤
∞
0
= ∫ 𝑒− 𝑥2
𝑑𝑥
∞
0
= ∫ 𝑒− 𝑦2
𝑑𝑦
∞
0
Luego
𝐼2
= (∫ 𝑒− 𝑥2
𝑑𝑥
∞
0
) (∫ 𝑒− 𝑦2
𝑑𝑦
∞
0
) = ∫ ∫ 𝑒− 𝑥2− 𝑦2
∞
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
∞
0

10. 10
Introduciendo Coordenadas Polares 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, con
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
, 0 ≤ 𝑟 < ∞ 𝑦 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
Luego
𝐼2
= ∫ ∫ 𝑒−𝑟2
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
∞
0
=
𝜋
2
0
∫ [ lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑟2
𝑟𝑑𝑟
𝑏
0
]
𝜋
2
0
𝑑𝜃
𝐼2
= ∫ [ lim
𝑏→∞
(−
1
2
𝑒− 𝑟2
)]
𝜋
2
0
𝑏
0
𝑑𝜃 = ∫ lim
𝑏→∞
(−
1
2
𝑒− 𝑏2
+
1
2
𝑒− 02
)
𝜋
2
0
𝑑𝜃
𝐼2
= ∫ [−
1
2
lim
𝑏→∞
𝑒− 𝑏
2
+
1
2
]
𝜋
2
0
𝑑𝜃
Es claro que 𝑒− 𝑏2
→ 0 cuando 𝑏 → ∞, entonces
𝐼2
= ∫
1
2
𝜋
2
0
𝑑𝜃 =
1
2
(
𝜋
2
− 0) =
𝜋
4
⟹ 𝐼 = √
𝜋
4
=
√ 𝜋
2
Sustituimos este resultado en (2), y obtenemos
ℓ { 𝑡−
1
2} =
2
√ 𝑆
√ 𝜋
2
= √
𝜋
𝑆
.
Es así como una función que no satisface las hipótesis del Teorema 1 , admite la
Transformada de Laplace, también por otro lado, ya hemos visto que la función
𝑓( 𝑡) =
1
𝑡2 tampoco satisface la hipótesis del Teorema 1, pero su Transformada

11. 11
de Laplace no existe, el resultado garantizado es que “toda función continua por
tramos y de orden exponencial admite Transformada de Laplace.”
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES
Ahora se procederá al cálculo de la Transformada de Laplace de algunas
funciones elementales mediante la aplicación de la siguiente tabla
TABLA N° I
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) = ℓ{ 𝑓(𝑡)}
1 𝑐 𝑐
𝑠
, (𝑠 > 0)
2 1 1
𝑠
, (𝑠 > 0)

12. 12
3 𝑡 𝑐
𝑠2
, (𝑠 > 0)
4 𝑡 𝑛 𝑛1!
𝑠 𝑛+1
, (𝑠 > 0)
5 𝑒 𝑎 𝑡 1
𝑠 − 𝑎
, (𝑠 > 𝑎)
6 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎
𝑠2 + 𝑎2
, (𝑠 > 0)
7 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑡 𝑠
𝑠2 + 𝑎2
, (𝑠 > 0)
8 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑎𝑡 𝑎
𝑠2 − 𝑎2
, (𝑠 > |𝑎|)
9 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑎𝑡 𝑠
𝑠2 − 𝑎2
, (𝑠 > |𝑎|)
Ahora veremos algunas propiedades que, junto a los resultados establecidos en la
Tabla N° I, facilitan el cálculo de la Transformada de Laplace de combinaciones
de funciones elementales.
Teorema 2 Linealidad de la Transformada de Laplace.
“Si 𝑐1 y 𝑐2 y son constantes, entonces
ℓ{ 𝑐1 𝑓1( 𝑡) + 𝑐2 𝑓2( 𝑡)} = 𝑐1ℓ{ 𝑓1( 𝑡)} + 𝑐2ℓ{ 𝑓2( 𝑡)}
Para toda 𝑠 tal que, las Transformada de Laplace de las funciones 𝑓1 𝑦 𝑓2
existan ambas a la vez”.
Teorema 3 Generalización de la Linealidad de la Transformada de Laplace.
Si 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … . 𝑐 𝑛 son constantes, entonces

13. 13
ℓ{ 𝑐1 𝑓1( 𝑡) + 𝑐2 𝑓2( 𝑡) + 𝑐3 𝑓3( 𝑡) + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑓𝑛(𝑡)}
= 𝑐1ℓ{ 𝑓1( 𝑡)} + 𝑐2ℓ{ 𝑓2( 𝑡)} + 𝑐3ℓ{ 𝑓3( 𝑡)} + ⋯
+ 𝑐 𝑛ℓ{ 𝑓𝑛(𝑡)}
Para toda 𝑠, tal que la Transformada de Laplace de las funciones
𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, , … , 𝑓𝑛 , existen todas a la vez.
Ejemplos Use la propiedad de linealidad de la Transformada de Laplace para
calcular:
1. − ℓ { 3𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
2
𝑡) − 2𝑒−2𝑡
+ 3}
Solución
ℓ { 3𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
2
𝑡) − 2𝑒−2𝑡
+ 3} = 3ℓ {𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
2
𝑡)} − 2ℓ{𝑒−2𝑡} + 3ℓ{1}
Reemplazamos cada término por su correspondiente Transformada expresada en
la Tabla N° I obteniéndose:

14. 14
ℓ { 3𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
2
𝑡) − 2𝑒−2𝑡
+ 3} = 3
𝑠
𝑠2 − (
1
2
)
2 − 2
1
𝑠 − (−2)
+ 3
1
𝑠
=
3𝑠
𝑠2 −
1
4
−
2
𝑠 + 2
+
3
𝑠
=
12𝑠
4𝑠2 − 1
−
2
𝑠 + 2
+
3
𝑠
=
12𝑠( 𝑠 + 2) 𝑠 − 2𝑠(4𝑠2
− 1) + 3(4𝑠2
− 1)( 𝑠 + 2)
(4𝑠2 − 1)( 𝑠 + 2) 𝑠
=
12𝑠3
+ 24𝑠2
− 8𝑠3
+ 2𝑠 + 12𝑠3
+ 24𝑠2
− 3𝑠 − 6
(4𝑠2 − 1)( 𝑠 + 2) 𝑠
=
16𝑠3
+ 48𝑠2
− 𝑠 − 6
(4𝑠2 − 1)( 𝑠 + 2) 𝑠
2. − ℓ{ 𝑠𝑒𝑛3
𝑡}
Solución
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛3
𝑡} = ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡. 𝑠𝑒𝑛2
𝑡} = ℓ {𝑠𝑒𝑛𝑡.
1
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡)}
=
1
2
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡} −
1
2
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡. 𝑐𝑜𝑠2𝑡}
Donde
𝑠𝑒𝑛𝑡. 𝑐𝑜𝑠2𝑡 =
1
2
[ 𝑠𝑒𝑛( 𝑡 + 2𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 2𝑡)] =
1
2
[ 𝑠𝑒𝑛3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡]
Luego

15. 15
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛3
𝑡} =
1
2
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡} −
1
2
ℓ {
1
2
[ 𝑠𝑒𝑛3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡]}
=
1
2
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡} −
1
4
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛3𝑡} +
1
4
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡}
=
3
4
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡} −
1
4
ℓ{ 𝑠𝑒𝑛3𝑡} =
3
4
1
𝑠2 + 12
−
1
4
3
𝑠2 + 32
=
3
4
[
1
𝑠2 + 1
−
1
𝑠2 + 9
] =
3
4
[
𝑠2
+ 9 − 𝑠2
− 1
( 𝑠2 + 1)( 𝑠2 + 9)
]
=
3
4
[
8
( 𝑠2 + 1)( 𝑠2 + 9)
] =
6
( 𝑠2 + 1)( 𝑠2 + 9)
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Ya hemos visto cómo se calcula la Transformada de Laplace una función 𝑓(𝑡).
Ahora estamos interesados en aprender el proceso inverso; es decir, dada la
función F(s) queremos encontrar la función )(tf , que corresponde a esta
Transformada.
Definición 4 Si 𝐹( 𝑠) = ℓ{ 𝑓(𝑡)}, entonces )(tf se llama la Transformada
Inversa de Laplace de 𝐹( 𝑠) y la denotaremos por 𝑓( 𝑡) = ℓ−1{ 𝐹(𝑠)}
Ejemplos
De la Tabla I, sabemos que:
1. − ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡} =
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
⟹ ℓ−1
{
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
} = 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡

16. 16
2. − ℓ{ 𝑡2} =
2
𝑠3
⟹ ℓ−1
{
2
𝑠3
} = 𝑡2
3. − ℓ{ 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} =
𝑠
𝑠2 − 22
=
𝑠
𝑠2 − 4
⟹ ℓ−1
{
𝑠
𝑠2 − 4
} = 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡
4. − ℓ{ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)} =
𝑎
𝑠2 − 𝑎2
⟹ ℓ−1
{
𝑎
𝑠2 − 𝑎2
} = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)
Al igual que la Transformada de Laplace, la Transformada Inversa también
satisface la propiedad de linealidad.
Teorema 4 Linealidad de la Transformada Inversa de Laplace.
Si 𝑐1 y 𝑐2 son constantes, entonces
ℓ −1{ 𝑐1 𝐹1( 𝑠) + 𝑐2 𝐹1(𝑠)} = 𝑐1ℓ −1{ 𝐹1(𝑠)} + 𝐶2ℓ −1{ 𝐹2(𝑠)}, para
toda 𝑡, tal que 𝐹1( 𝑠) y 𝐹2(𝑠) son las Transformadas de ciertas funciones
𝑓1( 𝑡) y 𝑓2(𝑡).
Teorema 5 Generalización de la Linealidad de la Transformada Inversa de
Laplace.
Si 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐 𝑛 son constantes, entonces
ℓ −1{ 𝑐1 𝐹1( 𝑠) + 𝑐2 𝐹1( 𝑠) + 𝑐3 𝐹3( 𝑠)+, … , 𝑐 𝑛 𝐹𝑛( 𝑠)}
= 𝑐1ℓ −1{ 𝐹1( 𝑠)} + 𝑐2ℓ −1{ 𝐹2( 𝑠)} + 𝑐3ℓ −1{ 𝐹3( 𝑠)} + ⋯
+ 𝑐 𝑛ℓ −1{ 𝐹𝑛( 𝑠)}
Para toda 𝑡 , tal que 𝐹1( 𝑠), 𝐹2( 𝑠), 𝐹3( 𝑠), … , 𝐹𝑛( 𝑠) son las Transformadas de
ciertas funciones 𝑓1( 𝑡), 𝑓2( 𝑡), 𝑓3( 𝑡), … , 𝑓𝑛( 𝑡).

17. 17
Ejemplo
1. − ℓ −1
{
1
𝑠3
−
2
𝑠
+
1
𝑠 + 2
}
Solución por la linealidad de la Transformada Inversa se tiene
ℓ −1
{
1
𝑠3
−
2
𝑠
+
1
𝑠 + 2
} = ℓ −1
{
1
𝑠3
} − 2 ℓ −1
{
1
𝑆
} + ℓ −1
{
1
𝑠 + 2
}
=
1
2
ℓ −1
{
2!
𝑠2+1
} − 2 ℓ −1
{
1
𝑆
} + ℓ −1
{
1
𝑠 − (−2)
}
=
1
2
𝑡2
− 2.1 + 𝑒−2𝑡
=
1
2
𝑡2
− 2 + 𝑒−2𝑡
Observación
La Transformada Inversa de Laplace, de una función 𝐹(𝑠) es posible que no sea
única. Por ejemplo, las funciones:
𝑓 1( 𝑡) = 𝑒−3𝑡
, y 𝑓2( 𝑡) = {
0 𝑠𝑖 𝑡 = 1
𝑒−3𝑡
𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0
Tienen la misma transformada de Laplace
1
𝑠+3
. En efecto
𝑎) ℓ{ 𝑓 1( 𝑡)} = ℓ{ 𝑒−3𝑡} =
1
𝑠 − (−3)
=
1
𝑠 + 3
𝑏) ℓ{ 𝑓 2( 𝑡)}, con 𝑓2( 𝑡) = {
0 𝑠𝑖 𝑡 = 1
𝑒−3𝑡
𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0
Vea la gráfica de 𝑓2( 𝑡) en la figura Nª 5

18. 18
Figura N° 5
ℓ{ 𝑓 2( 𝑡)} = ∫ 𝑓 2( 𝑡)
∞
0
𝑑𝑡
= lim
ℎ→0+
[ ∫ 𝑒−3𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 + ∫ 𝑜. 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
1+ℎ
1−ℎ
1−ℎ
0+ℎ
+ ∫ 𝑒−3𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
∞
1+ℎ
]
= lim
ℎ→0+
[ ∫ 𝑒− (𝑠+3)𝑡
𝑑𝑡 +
1−ℎ
0+ℎ
lim
𝑏→∞
∫ 𝑒− (𝑠+3)𝑡
𝑑𝑡
𝑏
1+ℎ
]
= lim
ℎ→0+
[
𝑒−(𝑠+3)𝑡
−( 𝑠 + 3)
|
1 − ℎ
0 + ℎ
+ lim
𝑏→∞
𝑒−(𝑠+3)𝑡
−( 𝑠 + 3)
|
𝑏
1 + ℎ
]
= lim
ℎ→0+
[
𝑒− (𝑠+3)(1−ℎ)
−( 𝑠 + 3)
−
𝑒− (𝑠+3)ℎ
−( 𝑠 + 3)
+ lim
𝑏→∞
(
𝑒− (𝑠+3)𝑏
−( 𝑠 + 3)
−
𝑒− (𝑠+3)(1+ℎ)
−( 𝑠 + 3)
)]
1
t
1

19. 19
= −
𝑒− (𝑠+3)
(𝑠 + 3)
+
1
(𝑠 + 3)
+lim
𝑒− (𝑠+3)𝑏
−(𝑠 + 3)
𝑏→∞⏟
=0,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠>−3
+
𝑒−(𝑠+3)
(𝑠 + 3)
=
1
(𝑠 + 3)
Luego se concluye que
ℓ{ 𝑓 2( 𝑡)} =
1
(𝑠 + 3)
Luego de (a) y (b) se tiene lo siguiente
ℓ{ 𝑓 1( 𝑡)} = ℓ{ 𝑒−3𝑡} =
1
𝑠 + 3
⟹ 𝑓1( 𝑡) = ℓ −1
{
1
𝑠 + 3
}
y
ℓ{ 𝑓 2( 𝑡)} = ℓ {{
0 𝑠𝑖 𝑡 = 0
𝑒−3𝑡
𝑠𝑖 𝑡 > 0
} =
1
𝑠 + 3
⟹ 𝑓2( 𝑡) = {
0 𝑠𝑖 𝑡 = 0
𝑒−3𝑡
𝑠𝑖 𝑡 > 0
= ℓ −1
{
1
𝑠 + 3
}
Este ejemplo nos dice que la Transformada Inversa de una función no es única. El
siguiente teorema se demuestra en el Capítulo 6, de Operationational Mathematics
de Churchill (3ª ed.) (New York: Mc Graw Hill, 1972) establece las condiciones
bajo las cuales la Transformada Inversa de Laplace es única.
Teorema 5 Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace.
Supóngase que las funciones 𝑓(𝑡) y 𝑔(𝑡) satisfacen la hipótesis del teorema 1,
de modo que sus Transformadas 𝐹(𝑠) y 𝐺(𝑠), existan. Si 𝐹( 𝑠) = 𝐺(𝑠) para
toda 𝑠 > 𝑐 (para alguna c), entonces 𝑓( 𝑡) = 𝑔(𝑡) siempre que 𝑓( 𝑡) y 𝑔(𝑡)
sean continuas. (Edwards, 1993, p. 300).

20. 20
Es importante destacar que si una función 𝐹( 𝑠) es la Transformada de una
función 𝑓( 𝑡) , entonces es necesario que la primera satisfaga ciertas condiciones.
El siguiente Corolario establece cuando una función 𝐹( 𝑠) es la transformada de
Laplace de una función 𝑓( 𝑡) .
Corolario 1 F(s) para s relativamente grande
“Si 𝑓( 𝑡) satisface la hipótesis del teorema 1, entonces
lim
𝑠→∞
𝐹(𝑠) = 0
(Edwards, 1993, p. 299).
Conclusión del Corolario 1
El Corolario 1 limita a las funciones 𝐹(𝑠) que puedan ser la Transformada de
Laplace de alguna función 𝑓( 𝑡). Así por ejemplo, la función
𝐹(𝑠) =
𝑠2
2𝑠2 + 4
No puede ser la Transformada de Laplace de ninguna función 𝑓(𝑡) puesto que
lim
𝑠→∞
𝑠2
2𝑠2 + 4
=
1
2
≠ 0
lim
.
Un método de gran importancia en la búsqueda de Transformadas Inversas de
Laplace es el de las fracciones parciales, es decir, si se quiere hallar la
Transformada Inversa, de cualquier función racional
𝐹(𝑠)
𝐺(𝑠)
donde 𝐹(𝑠) y 𝐺(𝑠)
son polinomios tal que el grado de 𝐹(𝑠) es estrictamente menor que el grado de

21. 21
𝐺(𝑠), entonces
𝐹(𝑠)
𝐺(𝑠)
puede escribirse como una suma de fracciones parciales y
así la suma de las Transformadas Inversas de cada fracción parcial representa el
valor de ℓ −1
{
𝐹(𝑠)
𝐺(𝑠)
}
Ejemplo Halle
ℓ −1
{
𝑠
( 𝑠2 + 4)( 𝑠 + 2)
}
Solución aplicando fracciones parciales tenemos
𝑠
(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)
=
(𝐴𝑠 + 𝐵)
𝑠2 + 4
+
𝐶
𝑠 + 2
=
(𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 + 2) + 𝐶(𝑠2
+ 4)
(𝑠2 + 4)(𝑠 + 2)
s = ( 𝐴𝑠 + 𝐵)( 𝑠 + 2) + 𝐶( 𝑠2
+ 4), dándole valores a 𝑠, es decir,
𝑠 = −2 ⟹ −2 = 𝐶((−2)2
+ 4) = 8𝐶 ⟹ 𝐶 = −
1
4
𝑠 = 0 ⟹ 0 = ( 𝐴. 0 + 𝐵)(0 + 2) + 𝐶(02
+ 4) ⟹ 0 = 2𝐵 + 4𝐶
0 = 2𝐵 + 4 (−
1
4
) = 2𝐵 − 1 ⟹ 𝐵 =
1
2
𝑠 = 1 ⟹ 1 = ( 𝐴. 1 + 𝐵)(1 + 2) + 𝐶(12
+ 4)
⟹ 1 = 3𝐴 + 3𝐵 + 5𝐶 ⟹ 1 = 3𝐴 + 3.
1
2
+ 5 (−
1
4
)
⟹ 1 = 3𝐴 +
3
2
−
5
4
⟹ 1 = 3𝐴 +
1
4
⟹ 3𝐴 = 1 −
1
4
=
3
4
⟹ 𝐴 =
1
4
𝑠
( 𝑠2 + 4)( 𝑠 + 2)
=
1
4
𝑠 +
1
2
𝑠2 + 4
−
1
4
𝑠 + 2

22. 22
ℓ −1
{
𝑠
( 𝑠2 + 4)( 𝑠 + 2)
} = ℓ−1
{
1
4
𝑠 +
1
2
𝑠2 + 4
−
1
4
𝑠 + 2
}
=
1
4
ℓ −1
{
𝑠 + 2
𝑠2 + 4
} −
1
4
ℓ −1
{
1
𝑠 + 2
}
=
1
4
[ ℓ −1
{
𝑠
𝑠2 + 4
} + 2 ℓ−1
{
1
𝑠2 + 4
} − ℓ −1
{
1
𝑠 − (−2)
}]
=
1
4
[ ℓ −1
{
𝑠
𝑠2 + 22
} + ℓ −1
{
2
𝑠2 + 22
}
− ℓ −1
{
1
𝑠 − (−2)
}] =
1
4
[ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 𝑒−2𝑡]
TEOREMAS DE TRASLACIÓN Y DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
Aparte del método de las fracciones parciales hay otros métodos que nos permiten
calcular la Transformada Inversa de funciones 𝐹(𝑠) tales como 𝐿𝑛 [
𝑠+1
𝑠+2
] , para
ello se requiere los teoremas de traslación y derivada, los cuales además facilitan
el cálculo de la Transformada Laplace del producto de dos o más funciones, tales
como 𝑡3
𝑒 𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑡 ya que la integral involucrada en su cálculo es
extremadamente tediosa.
Teorema 6 Traslación del eje s.
𝑆𝑖 𝐹( 𝑠) = ℓ{ 𝑓( 𝑡)} 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 𝑐 ⟹ ℓ{ 𝑒 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡)}, existe para
𝑠 > 𝑎 + 𝑐 y
ℓ { 𝑒 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡) } = 𝐹( 𝑠 − 𝑎) ⟹ ℓ −1{ 𝐹( 𝑠 − 𝑎) } = 𝑒 𝑎𝑡
ℓ −1{ 𝐹(𝑠)}
= 𝑒 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡)

23. 23
Así pues, la traslación ass  , de la Transformada, corresponde a la
multiplicación de la función original de 𝑡 por 𝑒 𝑎𝑡
.
(Edwards, 1993, p. 313)
Ejemplos
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 ℓ { 𝑒−
1
2
𝑡
𝑡2
}
Solución
Primero calculamos ℓ { 𝑡2} y luego aplicamos el teorema de traslación del eje
𝑠, de la Tabla I, se tiene
ℓ{ 𝑡2} =
2!
𝑠2+1
=
2
𝑠3
⟹ ℓ { 𝑒−
1
2
𝑡
𝑡2
} = ℓ{ 𝑡2} =
2
𝑠3
|
𝑠→𝑠 −(−
1
2)
=
2
(𝑠 +
1
2
)
3
2. −𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 ℓ−1
{
𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝑠 + 2
}
Solución
Completando cuadrado obtenemos 𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = ( 𝑠 + 1)2
+ 1, entonces
ℓ−1
{
𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝑠 + 2
} = ℓ−1
{
𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2 + 1
} = ℓ−1
{
𝑠 − (−1)
(𝑠 − (−1))2 + 1
} (1)

24. 24
Por el teorema de traslación del eje 𝑠 (1) es equivalente a
ℓ−1
{
𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝑠 + 2
} = 𝑒 − 𝑡
ℓ−1
{
𝑠
𝑠2 + 1
} = 𝑒 − 𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡
El teorema de traslación del eje 𝑠 y la Tabla I, facilitan el cálculo de la
Transformada de Laplace y de la Transformada Inversa de las siguientes
funciones:
1. ℓ{ 𝑡𝑒 𝑎𝑡} =
1
( 𝑠 − 𝑎)2
⟹ ℓ−1
{
1
( 𝑠 − 𝑎)2
} = 𝑡𝑒 𝑎𝑡
2. ℓ{ 𝑡 𝑛
𝑒 𝑎𝑡} =
𝑛!
( 𝑠 − 𝑎) 𝑛+1
⟹ ℓ−1
{
𝑛!
( 𝑠 − 𝑎) 𝑛+1
} = 𝑡 𝑛
𝑒 𝑎𝑡
3. ℓ{𝑒 𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡} =
𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2
⟹ ℓ−1
{
𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
4. ℓ{𝑒 𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡} =
𝑠 − 𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2
⟹ ℓ−1
{
𝑠 − 𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡
5. ℓ{𝑒 𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑏𝑡} =
𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑏2
⟹ ℓ−1
{
𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑏2
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑏𝑡
6. ℓ{𝑒 𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑏𝑡} =
𝑠 − 𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑏2
⟹ ℓ−1
{
𝑠 − 𝑏
(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑏2
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑏𝑡
Antes de referirnos al teorema de traslación del eje 𝑡, definiremos a una función
especial llamada función escalón unitario, ya que la misma describe en problemas
de aplicación la súbita aparición o desaparición de fuerzas y voltajes en problemas
de física e ingeniería.
Definición 4 La función 𝑢(𝑡 − 𝑎) se define como

25. 25
𝑢( 𝑡 − 𝑎) = {
0 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 < 𝑎
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑎
Ver la gráfica de la función 𝑢(𝑡 − 𝑎) en la figura 6
𝑢(𝑡 − 𝑎)
𝒂
FIGURA N° 6
Esta función es continua por tramos para 0t y obviamente de orden exponencial
y, por lo tanto, su Transformada de Laplace está bien definida, en efecto
ℓ{ 𝑢( 𝑡 − 𝑎)} = ∫ 0. 𝑒−𝑠𝑡
𝑎
0
𝑑𝑡 + ∫ 1. 𝑒−𝑠𝑡
∞
𝑎
𝑑𝑡 = lim
𝑏→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑏
𝑎
𝑑𝑡
= lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
]
𝑏
𝑎
ℓ{ 𝑢( 𝑡 − 𝑎)} = lim
𝑏→∞
[−
𝑒−𝑠𝑏
𝑠
+
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
] = −
1
𝑠
lim
𝑏→∞
𝑒−𝑠𝑏
⏟
=0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠>0
+
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
=
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
ℓ{ 𝑢( 𝑡 − 𝑎)} =
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
1
𝑡

26. 26
Una vez conocida la definición de la función de escalón unitario, procedemos a
enunciar el teorema de traslación del eje 𝑡.
Teorema 7 Traslación del eje 𝒕.
Si ℓ{ 𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) existe para 𝑠 > 𝑐, entonces
ℓ{ 𝑢( 𝑡 − 𝑎) 𝑓( 𝑡 − 𝑎)} = 𝑒− 𝑎𝑠
ℓ{ 𝑓(𝑡)} = 𝑒− 𝑎𝑠
𝐹(𝑠)
⟹ ℓ−1{ 𝑒− 𝑎𝑠
𝐹( 𝑠)} = 𝑢(𝑡 − 𝑎)𝑓(𝑡 − 𝑎)
cuando 𝑠 > 𝑐 + 𝑎. (Edwards, 1993, p. 329)
Ejemplo
1. − 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑒 ℓ{ 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋}
Solución
𝑓( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡, usando identidades trigonométricas veamos que pasa
1 0
cos(2𝑡 − 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠2𝑡. 𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 𝑠𝑒𝑛2𝑡. 𝑠𝑒𝑛2𝜋 = 𝑐𝑜𝑠2𝑡.
Así se obtiene
ℓ{ 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋} = ℓ{ 𝑐𝑜𝑠2(𝑡 − 𝜋)𝑢(𝑡 − 𝜋}
= 𝑒− 𝜋𝑠
ℓ{ 𝑐𝑜𝑠2𝑡}
ℓ{ 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑢(𝑡 − 𝜋} = 𝑒− 𝜋𝑠
𝑠
𝑠2 + 22
=
𝑠 𝑒− 𝜋𝑠
𝑠2 + 4
El teorema 7 también es de gran utilidad a la hora de calcular Transformada
Inversa.
2. −Halle ℓ−1
{
e−2s
s2(s + 1)
}

27. 27
Solución por el teorema de traslación del eje 𝑡 tenemos
ℓ−𝟏
{
𝒆−𝟐𝒔
𝒔 𝟐( 𝒔 + 𝟏)
} = ℓ−1
{
1
s2(s + 1)
}
t → t −2
u(t − 2)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 ℓ
−1
{
1
s2(s + 1)
}
Para ello aplicamos fracciones parciales
1
s2(s + 1)
=
A
s
+
B
s2
+
C
s + 1
=
As(s + 1) + B(s + 1) + Cs2
s2(s + 1)
⟹ 1 = As(s + 1) + B(s + 1) + Cs2
s = 0 ⟹ 1 = 𝐵(0 + 1) = 𝐵 ⟹ 𝐵 = 1
𝑠 = −1 ⟹ 1 = 𝐶(−1)2
= 𝐶 ⟹ 𝐶 = 1
𝑠 = 1 ⟹ 1 = 𝐴(1 + 1) + 𝐵(1 + 1) + 𝐶(1)2
⟹ 1 = 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 ⟹ 1 = 2𝐴 + 2 + 1 ⟹ 2𝐴 = 1 − 3 = −2
⟹ 𝐴 = −1
1
s2(s + 1)
= −
1
s
+
1
s2
+
1
s + 1
ℓ−𝟏
{
𝒆−𝟐𝒔
𝒔 𝟐( 𝒔 + 𝟏)
} = ℓ−1
{−
1
s
+
1
s2
+
1
s + 1
}
t → t −2
u(t − 2)
= [−ℓ−1
{
1
s
} + ℓ−1
{
1
s2
} + ℓ−1
{
1
s + 1
}]
t → t − 2
u(t − 2)
= [−1 + t + e− t]t → t − 2 u(t − 2)

28. 28
ℓ−𝟏
{
𝒆−𝟐𝒔
𝒔 𝟐( 𝒔 + 𝟏)
} = [−1 + t − 2 + et−2]u(t − 2)
Teorema 8 Derivada de una transformada
Si 𝑓(𝑡) es continua por tramo para 𝑡 ≥ 0 y | 𝑓( 𝑡)| ≤ 𝑀𝑒 𝑐𝑡
cuando 𝑡 → ∞,
entonces ℓ{−𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹´( 𝑠) =
𝑑𝐹(𝑠)
𝑑𝑠
, para 𝑠 > 𝑐 (1)
En forma equivalente, 𝑓( 𝑡) = ℓ−1{ 𝐹(𝑠)} = −
1
𝑡
ℓ−1{ 𝐹´(𝑠)}
Repetidas aplicaciones de la formula (1) producen
ℓ{ 𝑡 𝑛
𝑓(𝑡)} = (−1) 𝑛
𝐹( 𝑛)
(𝑠), para 𝑛 = 1,2,3, ….
Ejemplo
1. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 ℓ − 1
{Ln (
s2
+ 1
s2 + 4
)}
Solución por el teorema 8 tenemos que
ℓ−1
{Ln (
s2
+ 1
s2 + 4
)} = −
1
t
ℓ−1
{
d
ds
Ln (
s2
+ 1
s2 + 4
)}
= −
1
t
ℓ−1
{
1
s2 + 1
s2 + 4
d
ds
(
s2
+ 1
s2 + 4
)}
= −
1
t
ℓ−1
{
s2
+ 4
s2 + 1
. (
2s(s2
+ 4) − (s2
+ 1)2s
(s2 + 4)2
)}

29. 29
= −
1
t
ℓ−1
{
s2
+ 4
s2 + 1
. (
2s3
+ 8s − 2s3
− 2s
(s2 + 4)2
)}
= −
1
t
ℓ−1
{
s2
+ 4
s2 + 1
. (
6s
(s2 + 4)2
)} = −
1
t
ℓ−1
{
6s
(s2 + 1)(s2 + 4)
}
Aplicando fracciones parciales a
6s
(s2 + 1)(s2 + 4)
=
As + B
S2 + 1
+
𝐶𝑠 + 𝐷
s2 + 4
=
(As + B)(s2
+ 4) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(S2
+ 1)
(s2 + 1)(s2 + 4)
⟹ 6𝑠 = (As + B)(s2
+ 4) + (𝐶𝑠 + 𝐷)(S2
+ 1)
6𝑠 = 𝐴𝑠3
+ 4𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2
+ 4𝐵 + 𝐶𝑠3
+ 𝐶𝑠 + 𝐷𝑠2
+ 𝐷
= (𝐴 + 𝐶)𝑠3
+ (𝐵 + 𝐷)𝑠2
+ (4𝐴 + 𝐶)𝑠 + 4𝐵 + 𝐷
{
𝐴 + 𝐶 = 0
𝐵 + 𝐷 = 0
4𝐴 + 𝐶 = 6
4𝐵 + 𝐷 = 0
⟹ 𝐴 = −𝐶, 𝐵 = −𝐷 ⟹ −4𝐶 + 𝐶 = 6 ⟹ −3𝐶 = 6 ⟹ 𝐶 = −2
⟹ 𝐴 = 2 y −4𝐷 + 𝐷 = 0 ⟹ −3𝐷 = 0 ⟹ 𝐷 = 0 ⟹ 𝐵 = 0
6s
(s2 + 1)(s2 + 4)
=
2s + 0
S2 + 1
+
−2𝑠 + 0
s2 + 4
= 2 (
s
S2 + 1
−
𝑠
s2 + 4
)
ℓ−1
{Ln (
s2
+ 1
s2 + 4
)} = −
1
t
ℓ−1
{2 (
s
S2 + 1
−
𝑠
s2 + 4
)}
= −
2
t
[ ℓ−1
{
s
S2 + 12
} − ℓ−1
{
𝑠
s2 + 22
}]

30. 30
ℓ−1
{Ln (
s2
+ 1
s2 + 4
)} = −
2
t
[cost − cos2t]
Pero el teorema 8 no sólo nos facilita cálculos de transformada de funciones
multiplicadas por potencia de 𝑡, también nos facilita el cálculo de integrales
impropias de la forma
∫
𝑓(𝑡)
𝑡
𝑑𝑡
∞
0
,
que en muchos casos son integrales difíciles de calcular por las técnicas de
integración convencionales.
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∫
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
∞
0
𝑑𝑡
Solución
𝑆𝑒𝑎 ℎ(𝑡) =
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
⟹ 𝑡ℎ(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡
Tomando transformada ha ambos lados
ℓ{ 𝑡ℎ( 𝑡)} = ℓ{ 𝑠𝑒𝑛𝑡} ⟹ −
𝑑
𝑑𝑥
ℓ{ℎ(𝑡)} = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐻( 𝑠) =
1
𝑠2+1
Integramos ha ambos lado desde ∞ hasta 𝑠
− ∫
𝑑
𝑑𝑢
𝐻(𝑢)
∞
𝑠
𝑑𝑢 = ∫
1
𝑢2 + 1
∞
𝑠
𝑑𝑢 ⟹ − lim
𝑏→∞
∫ 𝑑𝐻(𝑢)𝑑𝑢
𝑏
𝑠
= lim
𝑏→∞
∫
1
𝑢2 + 1
𝑏
𝑠
𝑑𝑢
− lim
𝑏→∞
[ 𝐻( 𝑏) − 𝐻( 𝑠)] = lim
𝑏→∞
[ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔( 𝑏) − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔( 𝑠)]
⟹ 𝐻(𝑠) = lim
𝑏→∞
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑏)
⏟
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠) ⟹ 𝐻(𝑠) =
𝜋
2
− arctan(𝑠)

31. 31
ℓ{ℎ(𝑡)} =
𝜋
2
− arctan( 𝑠) ⟹ ∫ ℎ( 𝑡) 𝑒− 𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑡 =
𝜋
2
− arctan( 𝑠)
Tomamos límite cuando 𝑠 → 0
lim
𝑠→0
∫ ℎ( 𝑡) 𝑒− 𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑡 = lim
𝑠→0
(
𝜋
2
− arctan( 𝑠)) ⟹ ∫ lim
𝑠→0
ℎ( 𝑡) 𝑒− 𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑡
=
𝜋
2
− lim
𝑠→0
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠))
⏟
=0
=
𝜋
2
⟹ ∫ ℎ( 𝑡)
∞
0
𝑑𝑡 =
𝜋
2
− lim
𝑠→0
( 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔(𝑠))
⏟
=0
=
𝜋
2
⟹ ∫
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
∞
0
𝑑𝑡 =
𝜋
2
TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALES
Nuestro objetivo principal es aplicar la transformada de Laplace, para
resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iníciales, por tal motivo se
requiere calcular expresiones como
ℓ{ 𝑓´(𝑡)}, ℓ{ 𝑓´´(𝑡)}, ℓ{ 𝑓´´´(𝑡)}, … , ℓ{𝑓(𝑛)
(𝑡)}
Teorema 9 Transformada de Laplace de derivadas.
Suponga que
𝑓( 𝑡), 𝑓´( 𝑡), 𝑓´´ ( 𝑡), 𝑓´´´( 𝑡), … , 𝑓(𝑛−1)
(𝑡)
Son continuas por y de orden exponencial para 𝑡 ≥ 0 y que 𝑓(𝑛)
(𝑡) es continua
por tramo para 𝑡 ≥ 0. Entonces
ℓ{𝑓(𝑛)
(𝑡)} = 𝑠 𝑛
ℓ{ 𝑓(𝑡)} − 𝑠 𝑛−1
𝑓(0) − 𝑠 𝑛−2
𝑓´(0) − ⋯ − 𝑓(𝑛−1)
(0)
. (Campbell, 1998, p. 254).

32. 32
Una de las aplicaciones que tiene este teorema es la resolución de ecuaciones
diferenciales con condiciones iníciales.
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial
𝑡𝑦´´ + (1 − 2𝑡) 𝑦´ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = 2.
Solución
𝑡𝑦´´ + (1 − 2𝑡) 𝑦´ − 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = 2.
Tomando transformada a ambos lados tenemos
ℓ{ 𝑡𝑦´´ + (1 − 2𝑡) 𝑦´ − 2𝑦} = ℓ{0}
⟹ ℓ{ 𝑡𝑦´´} + ℓ{ 𝑦´} − 2ℓ{ 𝑡𝑦´} − 2ℓ{ 𝑦} = −
𝑑
𝑑𝑠
ℓ{ 𝑦´´}
= −
𝑑
𝑑𝑠
[ 𝑠2
ℓ{ 𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0)] + 𝑠ℓ{ 𝑦} − 𝑦(0)
+ 2
𝑑
𝑑𝑠
[ 𝑠ℓ{ 𝑦} − 𝑦(0)] − 2ℓ{ 𝑦} = 0
−2𝑠𝑌( 𝑠) − 𝑠2
𝑌´( 𝑠) + 𝑦(0) + 𝑠𝑌( 𝑠) − 𝑦(0) + 2𝑌( 𝑠) + 2𝑠𝑌´( 𝑠)
− 2𝑌( 𝑠) = 0 ⟹ (−𝑠2
+ 2𝑠) 𝑌´ − 𝑠𝑌 = 0
⟹ (−𝑠2
+ 2𝑠)
𝑑𝑌
𝑑𝑠
= 𝑠𝑌 ⟹
𝑑𝑌
𝑌
=
𝑠𝑑𝑠
−𝑠2 + 2𝑠
⟹
𝑑𝑌
𝑌
=
𝑠𝑑𝑠
𝑠(−𝑠 + 2)
= −
𝑑𝑠
𝑠 − 2
⟹ ∫
𝑑𝑌
𝑌
= − ∫
𝑑𝑠
𝑠 − 2
𝐿𝑛𝑌 = −𝐿𝑛( 𝑠 − 2) + 𝐿𝑛𝑐 = 𝐿𝑛 (
𝑐
𝑠 − 2
) ⟹ 𝑌 =
𝑐
𝑠 − 2
⟹ ℓ{ 𝑦(𝑡)} =
𝑐
𝑠 − 2
⟹ 𝑦( 𝑡) = ℓ−1
{
𝑐
𝑠 − 2
} = 𝑐𝑒2𝑡
⟹ 𝑦 = 𝑐𝑒2𝑡
𝑦(0) = 1 ⟹ 1 = 𝑐 ⟹ 𝑦 = 𝑒2𝑡

33. 33
I) Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.) 𝑦´´ − 5𝑦´ + 4𝑦 = 0, 𝑦´(0) = 0, 𝑦(0) = 1
2.) 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = 0, 𝑦´(0) = 1, 𝑦(0) = 0
3.) 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥
, 𝑦(0) = 𝑦´(0) = 0
4.) 𝑦´´ + 2𝑦´ + 5𝑦 = 3𝑒−𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑦(0) = 0, 𝑦´(0) = 1
5.) 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 2𝑒3𝑡
, 𝑦´(0) = 1, 𝑦(0) = 0
6.) 𝑡𝑦´´ + 4𝑦´ + 9𝑡𝑦 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑡 > 0, 𝑦´(0) =
1
4
, 𝑦(0) = 0
II) Calcule:
1. ) ℒ{ 𝑡(3𝑠𝑒𝑛2𝑡 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑡)}, 2. ) ℒ{ 𝑒−𝑡
𝑠𝑒𝑛2
𝑡}
3. ) ℒ{ 𝑡2
𝑠𝑒𝑛𝑡}, 4. ) ℒ{(1 + 𝑡𝑒− 𝑡)3} , 5. ) ℒ{ 𝑡3
𝑐𝑜𝑠𝑡}
6. ) ℒ{(𝑡 + 2)2
𝑒 𝑡}, 7. ) ℒ{𝑡3
𝑒−2𝑡}, 8. ) ℒ−1
{
3𝑠 + 1
(𝑠 + 1)(𝑠2 + 1)
} ,
9. ) ∫
𝑒−𝑡
− 𝑒−3𝑡
𝑡
∞
0
𝑑𝑡, 10. ) ℒ−1
{
2𝑠 + 1
𝑠2 − 4𝑠 + 13
}
11. ) ℒ−1
{
2𝑠2
− 4
𝑠3 − 4𝑠2 + 𝑠 + 6
} , 12. ) ℒ−1
{
1
( 𝑠 − 1)3
}

34. 34
13. ) ℒ−1
{
𝑠 − 2
𝑠(𝑠 + 1)3
} , 13. )ℒ{𝑐𝑜𝑠3
2𝑡}, 14. ) ℒ−1
{𝐿𝑛 (
𝑠
𝑠 + 1
)}