i. El documento introduce conceptos básicos de funciones y funciones lineales. ii. Explica que una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que preserva suma y producto por escalar. iii. Presenta definiciones y teoremas clave sobre núcleo, recorrido, nulidad y rango de una transformación lineal.

1. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Álgebra Lineal – Parte 2
19 de julio de 2014
De nuestros estudios previos a este curso, conocemos la teoría básica de funciones. Esto es, un
conjunto de pares ordenados, que relacionan cada elemento de un conjunto de partida 𝐴 con los de
un conjunto de llegada 𝐵. Dichas funciones se suelen representar con la letra 𝑓 y exigen que todo
el conjunto de partida tenga uno de sus elementos como primera componente de cada par ordenado;
así, este conjunto 𝐴 pasa a llamarse el “dominio” de la función. También es necesario que para
cada elemento del dominio, exista un único elemento del conjunto 𝐵 como segunda componente
del par ordenado, de forma que los elementos de 𝐵 que cumplan con esto pasan a formar un
conjunto llamado “rango” o “codominio” de la función.
Por lo general se estudia estas funciones de forma que su dominio y su codominio son subconjuntos
de ℝ. A estas se las llama “funciones de variable real” y se las puede graficar en un plano
cartesiano. Las funciones de variable real se dividen en muchos tipos, entre ellos están las
funciones “lineales” que son del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, tal que la gráfica de estas funciones es
siempre una recta de pendiente 𝑚 y que interseca al eje vertical en 𝑦 = 𝑏. Si la función es del tipo
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 se dice que la función es una recta de pendiente 𝑚 y que pasa por el origen. Este último
tipo de funciones lineales (las que pasan por el origen) cumplen propiedades interesantes, pues
resulta que preservan la suma y el producto por constantes. Es decir, si tenemos un punto con
abscisa 𝑥 = 𝑎, ordenada 𝑦 = 𝑓(𝑎) y otro con abscisa 𝑥 = 𝑏, ordenada 𝑦 = 𝑓(𝑏); entonces, de
seguro que habrá un punto con abscisa 𝑥 = 𝑎 + 𝑏, y su ordenada no será otra cosa que:
𝑦 = 𝑓(𝑎 + 𝑏)
𝑦 = 𝑚(𝑎 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
Asimismo, podemos encontrar un punto cuya abscisa sea 𝑥 = 𝑐𝑎 y su ordenada será 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑎),
que es igual a 𝑚𝑐𝑎, y se cumplirá que 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑎).
Esto no es muy interesante en cursos que estudien funciones de variable real como tema central,
por ejemplo cursos de cálculo, trigonometría o análisis numérico, donde se analizan funciones del
tipo 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
+ 5𝑥2
; sin embargo serán funciones muy importantes para efectos
de álgebra lineal, pues sólo en base a sus propiedades básicas se puede obtener bastante
información, la cual puede ser generalizada. Las funciones lineales están definidas en sí en
espacios vectoriales, un caso particular es el espacio 𝑉 = ℝ, que es el que mencionamos y el que
se puede graficar en un plano cartesiano, pero nosotros vamos a generalizar esto y diremos que se
definen en diferentes espacios vectoriales cualesquiera. Así, diremos que son 𝑓: 𝑉 → 𝑊. A estas
funciones lineales entre espacios vectoriales las llamaremos “Transformaciones Lineales”.

2. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Transformación Lineal – Definición y Propiedades
Definición: Transformación Lineal: Sean las ternas (𝑉, ⨁, ⊙) y (𝑊,⊞,⊡) dos 𝐾-espacios
vectoriales. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una función que asigna a cada 𝑣 ∈ 𝑉 un único vector 𝑇(𝑣) ∈ 𝑊. Si 𝑇
satisface las propiedades:
i. ∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 𝑇(𝑣1⨁𝑣2) = 𝑇(𝑣1) ⊞ 𝑇(𝑣2) - Linealidad para la suma
ii. ∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(𝛼 ⊙ 𝑣) = 𝛼 ⊡ 𝑇(𝑣) - Linealidad para la multiplicación por escalar
Se dice que 𝑇 es una “transformación lineal” (si 𝑉 = 𝑊, se llama “operador lineal”).
Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Entonces:
i. 𝑇(0 𝑉) = 0 𝑊
ii. ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(𝑣̃) = 𝑇(𝑣)̃
iii. 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
Teorema: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea
𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉. Sean 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑛 𝑛 vectores cualesquiera de 𝑊. Entonces
existe una única transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Corolario: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea
𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉. Si 𝑇1, 𝑇2 son dos transformaciones lineales de 𝑉 en 𝑊 tales que
𝑇1(𝑣𝑖) = 𝑇2(𝑣𝑖) ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, entonces 𝑇1 = 𝑇2
Núcleo y Recorrido de una Transformación Lineal
Definición: Núcleo y Recorrido de una Transformación Lineal: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación
lineal. El núcleo o Kernel de 𝑇, denotado 𝑁𝑢(𝑇) o 𝐾𝑒𝑟(𝑇), se define como:
𝑁𝑢(𝑇) = 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑣) = 0 𝑊}
El recorrido o imagen de 𝑇, denotado 𝑅𝑒(𝑇) o 𝐼𝑚(𝑇), se define como:
𝑅𝑒(𝑇) = 𝐼𝑚(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑊 | 𝑤 = 𝑇(𝑣); 𝑣 ∈ 𝑉}
Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. 𝑁𝑢(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑉,
mientras que 𝑅𝑒(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑊.
Definición: Nulidad y Rango de una Transformación Lineal: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación
lineal. La nulidad de 𝑇, denotada 𝜈(𝑇), se define como la dimensión del núcleo de 𝑇. Es decir:
𝜈(𝑇) = dim 𝑁𝑢(𝑇)

3. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
El rango de 𝑇, denotado 𝜌(𝑇), se define como la dimensión del recorrido de 𝑇. Es decir:
𝜌(𝑇) = dim 𝑅𝑒(𝑇)
Teorema: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal.
Se cumple entonces que:
𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Demostraciones.
A continuación demostraré algunos de los teoremas de la sección teórica de este documento como
refuerzo para entenderlos mejor.
Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Entonces:
i. 𝑇(0 𝑉) = 0 𝑊
ii. ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(𝑣̃) = 𝑇(𝑣)̃
iii. 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
El teorema nos indica que, según 𝑇, la imagen del vector cero en 𝑉 es el vector cero en 𝑊. La
imagen según 𝑇 del inverso aditivo de un vector 𝑣 ∈ 𝑉 es el inverso aditivo de 𝑇(𝑣) ∈ 𝑊. Y
finalmente, la imagen según 𝑇 de una combinación lineal de vectores, no es otra cosa que la
combinación lineal de las imágenes de dichos vectores.
Demostración:
i. 𝑇(0 𝑉) = 0 𝑊
Conocemos que 0 𝑉 + 0 𝑉 = 0 𝑉 por lo que es lo mismo decir 𝑇(0 𝑉) que 𝑇(0 𝑉 + 0 𝑉), luego por
linealidad de la suma esto se puede separar en 𝑇(0 𝑉) + 𝑇(0 𝑉) y obtendremos lo siguiente:
𝑇(0 𝑉) = 𝑇(0 𝑉 + 0 𝑉)
𝑇(0 𝑉) = 𝑇(0 𝑉) + 𝑇(0 𝑉)
𝑇(0 𝑉)̃ + 𝑇(0 𝑉) = 𝑇(0 𝑉) + 𝑇(0 𝑉) + 𝑇(0 𝑉)̃
0 𝑊 = 𝑇(0 𝑉) ∎

4. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
ii. ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(𝑣̃) = 𝑇(𝑣)̃
Conocemos que 𝑣 + 𝑣̃ = 0 𝑉, podemos aplicar 𝑇 de ambos lados y obtener 𝑇(𝑣 + 𝑣̃) = 𝑇(0 𝑉).
Debido a la linealidad de 𝑇 respecto a la suma y al resultado del ítem anterior, se tiene que 𝑇(𝑣) +
𝑇(𝑣̃) = 0 𝑊. Sumando de ambos lados 𝑇(𝑣)̃ obtenemos la ecuación deseada:
𝑣 + 𝑣̃ = 0 𝑉
𝑇(𝑣 + 𝑣̃) = 𝑇(0 𝑉)
𝑇(𝑣) + 𝑇(𝑣̃) = 0 𝑊
𝑇( 𝑣)̃ + 𝑇( 𝑣) + 𝑇( 𝑣̃) = 0 𝑊 + 𝑇( 𝑣)̃
𝑇(𝑣̃) = 𝑇(𝑣)̃ ∎
iii. 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
Se tiene una propiedad dada para 𝑛 vectores y 𝑛 escalares. Esta propiedad, debería funcionar para
cualquier 𝑛 ∈ ℕ, por lo que se demostrará por inducción matemática:
Paso base: Para 𝑛 = 2
𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2) = 𝑇(𝛼1 𝑣1) + 𝑇(𝛼2 𝑣2) = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2)
¡Se cumple!
Paso inductivo: Suponiendo que se cumple para 𝑛 = 𝑘, se buscará que cumpla para 𝑛 = 𝑘 + 1:
𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘 + 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1) = 𝑇((𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘) + 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1)
= 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘) + 𝑇(𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1)
= 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘) + 𝛼 𝑘+1 𝑇(𝑣 𝑘+1)
Con la hipótesis de que se cumple para 𝑛 = 𝑘, se tiene que:
𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘 + 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1)
= 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑇(𝑣 𝑘) + 𝛼 𝑘+1 𝑇(𝑣 𝑘+1)
¡Se cumple!
∀𝑛 ∈ ℕ 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛) ∎

5. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Teorema: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea
𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉. Sean 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑛 𝑛 vectores cualesquiera de 𝑊. Entonces
existe una única transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
El teorema nos dice que si tenemos un espacio vectorial de dimensión finita, con una base bien
definida, se puede definir o “construir” entonces una transformación lineal, la cual será única.
Demostración:
Sea 𝑣 ∈ 𝑉, ya que tenemos definida una base 𝐵 de 𝑉, podemos decir que existen escalares
𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼 𝑛 tales que:
𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
Definimos una función 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que para el vector 𝑣 definido anteriormente:
𝑇(𝑣) = 𝛼1 𝑤1 + 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑤 𝑛
Sabemos que nuestra función 𝑇 cumple las condiciones en la conclusión del teorema, pues sea 𝑣 =
𝑣𝑖, entonces 𝛼𝑖 = 1 y todos los demás escalares serán iguales a cero. Con lo que:
𝑇(𝑣𝑖) = 𝑇((0)𝑣1 + (0)𝑣2 + ⋯ + (0)𝑣𝑖−1 + (1)𝑣𝑖 + (0)𝑣𝑖+1 + ⋯ + (0)𝑣 𝑛)
𝑇(𝑣𝑖) = (0)𝑤1 + (0)𝑤2 + ⋯ + (0)𝑤𝑖−1 + (1)𝑤𝑖 + (0)𝑤𝑖+1 + ⋯ + (0)𝑤 𝑛
∴ 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ∎
Veamos si 𝑇 es una transformación lineal:
Sean 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 y 𝑥 = 𝛽1 𝑣1 + 𝛽2 𝑣2 + ⋯ + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛
Sabemos que 𝑣 + 𝑥 = (𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) + (𝛽1 𝑣1 + 𝛽2 𝑣2 + ⋯ + 𝛽 𝑛 𝑣 𝑛)
𝑣 + 𝑥 = (𝛼1 + 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛)𝑣 𝑛
𝑇(𝑣 + 𝑥) = 𝑇((𝛼1 + 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛)𝑣 𝑛)
𝑇(𝑣 + 𝑥) = (𝛼1 + 𝛽1)𝑤1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑤2 + ⋯ + (𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛)𝑤 𝑛
𝑇(𝑣 + 𝑥) = (𝛼1 𝑤1 + 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑤 𝑛) + (𝛽1 𝑤1 + 𝛽2 𝑤2 + ⋯ + 𝛽 𝑛 𝑤 𝑛)
𝑇(𝑣 + 𝑥) = 𝑇(𝑣) + 𝑇(𝑥)
Sea 𝑘 ∈ 𝐾, se tiene que:
𝑘𝑣 = 𝑘(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = (𝑘𝛼1)𝑣1 + (𝑘𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (𝑘𝛼 𝑛)𝑣 𝑛

6. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑇(𝑘𝑣) = 𝑇((𝑘𝛼1)𝑣1 + (𝑘𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (𝑘𝛼 𝑛)𝑣 𝑛)
𝑇(𝑘𝑣) = (𝑘𝛼1)𝑤1 + (𝑘𝛼2)𝑤2 + ⋯ + (𝑘𝛼 𝑛)𝑤 𝑛
𝑇(𝑘𝑣) = 𝑘(𝛼1 𝑤1 + 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑤 𝑛)
𝑇(𝑘𝑣) = 𝑘𝑇(𝑣)
∴ 𝑇 es lineal ∎
Veamos si 𝑇 es única, para esto asumiremos que existe una segunda transformación lineal 𝑇∗
que
también tendrá la propiedad detallada al final del teorema: 𝑇∗(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Entonces, ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 por lo que:
𝑇∗(𝑣) = 𝑇∗(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇∗(𝑣1) + 𝛼2 𝑇∗(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇∗(𝑣 𝑛)
= 𝛼1 𝑤1 + 𝛼2 𝑤2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑤 𝑛
Lo cual también se cumple si evaluamos 𝑇 en todo vector 𝑣 ∈ 𝑉. Así, vemos que estas dos
transformaciones coinciden para todo vector 𝑣 ∈ 𝑉. Con lo que afirmamos que 𝑇 = 𝑇∗
.
∴ 𝑇 es única ∎
Corolario: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea
𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉. Si 𝑇1, 𝑇2 son dos transformaciones lineales de 𝑉 en 𝑊 tales que
𝑇1(𝑣𝑖) = 𝑇2(𝑣𝑖) ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, entonces 𝑇1 = 𝑇2
Este corolario nos dice de otra forma la unicidad de las transformaciones lineales. Dicha
demostración la vimos en el teorema anterior, pero la repetiré a manera de ejercicio para observar
que, no sólo toda transformación lineal es única, sino que a su vez, dos transformaciones que
coincidan en todos los vectores de una base son iguales.
Demostración:
∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 por lo que:
𝑇1(𝑣) = 𝑇1(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇1(𝑣1) + 𝛼2 𝑇1(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇1(𝑣 𝑛)
𝑇2(𝑣) = 𝑇2(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 𝛼1 𝑇2(𝑣1) + 𝛼2 𝑇2(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇2(𝑣 𝑛)
Si igualamos ambas expresiones llegamos a una identidad, con lo que podemos asegurar que:
∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇1(𝑣) = 𝑇2(𝑣) ∎

7. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Veamos el siguiente teorema, es bastante sencillo ahora que se conoce su variante respecto a
matrices.
Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. 𝑁𝑢(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑉,
mientras que 𝑅𝑒(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑊.
El teorema nos dice que los conjuntos 𝑁𝑢(𝑇) y 𝑅𝑒(𝑇) son espacios vectoriales, y no sólo eso, sino
que son respectivamente subespacios de 𝑉 y 𝑊.
Demostración:
Procederé a demostrar que 𝑁𝑢(𝑇) es subespacio vectorial de 𝑉:
∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) ¿ 𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)?
𝑇(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2)
Pero por hipótesis 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇), por lo que 𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2) = 0 𝑊
𝑇(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2) = 0 𝑊
𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)
¡La suma es cerrada en 𝑁𝑢(𝑇)!
∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) ¿ 𝛼𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)?
𝑇(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣)
Pero por hipótesis 𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇), por lo que 𝑇(𝑣) = 0 𝑊
𝑇(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣) = 𝛼(0 𝑊) = 0 𝑊
𝛼𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)
¡La multiplicación por escalar devuelve elementos de 𝑁𝑢(𝑇)!
∴ 𝑁𝑢(𝑇) es subespacio de 𝑉 ∎
Ahora demostraré que 𝑅𝑒(𝑇) es subespacio vectorial de 𝑊:
∀𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) ¿ 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)?
Por hipótesis 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇), por lo que existen vectores 𝑣1, 𝑣1 tales que 𝑤1 = 𝑇(𝑣1) y 𝑤2 =
𝑇(𝑣2)
𝑤1 + 𝑤2 = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2) = 𝑇(𝑣1 + 𝑣2)

8. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)
¡La suma es cerrada en 𝑅𝑒(𝑇)!
∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) ¿ 𝛼𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)?
Pero por hipótesis 𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇), por lo que existe un vector 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑇(𝑣) = 𝑤
𝛼𝑤 = 𝛼𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼𝑣)
𝛼𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ 𝛼𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)
¡La multiplicación por escalar devuelve elementos de 𝑅𝑒(𝑇)!
∴ 𝑅𝑒(𝑇) es subespacio de 𝑊 ∎
Finalmente, veamos la demostración del último teorema de este documento, que considero la más
complicada de entender y para la que solicito muchísima atención.
Teorema: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal.
Se cumple entonces que:
𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉
El teorema es de gran utilidad, nos dice que si sumamos la nulidad y el rango de la transformación
lineal, obtenemos la dimensión del espacio de partida, o en su defecto, que si restamos la dimensión
del espacio de partida (dato generalmente conocido) de alguno de los otros parámetros, obtenemos
el parámetro faltante. Esto nos permite hacer deducciones acerca del núcleo o del recorrido de una
transformación lineal.
Demostración:
Sea 𝐵 𝑁𝑢(𝑇) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘} una base de 𝑁𝑢(𝑇). Sabemos entonces que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘 ∈ 𝑉 y son
𝑘 elementos linealmente independientes. Sea dim 𝑉 = 𝑛 existen entonces vectores
𝑣 𝑘+1, 𝑣 𝑘+2, … , 𝑣 𝑛 tales que el conjunto 𝐵 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘, 𝑣 𝑘+1, 𝑣 𝑘+2, … , 𝑣 𝑛} es una base de 𝑉.
El teorema de la dimensión dice que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉 por lo que nuestro trabajo será
demostrar que 𝜌(𝑇) = dim 𝑉 − 𝜈(𝑇) = 𝑛 − 𝑘, es decir, demostraremos que el conjunto 𝐵 𝑅𝑒(𝑇) =
{𝑇(𝑣 𝑘+1), 𝑇(𝑣 𝑘+1), … , 𝑇(𝑣 𝑛)} es una base de 𝑅𝑒(𝑇).
Para esto demostraré primero que 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵 𝑅𝑒(𝑇)):
Sea 𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) entonces por definición ∃𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑤 = 𝑇(𝑣). Sin embargo, ya que 𝑣 ∈ 𝑉
entonces 𝑣 se puede escribir como combinación lineal de la base 𝐵 𝑉 de 𝑉:

9. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘 + 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛
𝑤 = 𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘 + 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛)
𝑤 = 𝛼1 𝑇(𝑣1) + 𝛼2 𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑇(𝑣 𝑘) + 𝛼 𝑘+1 𝑇(𝑣 𝑘+1) + 𝛼 𝑘+2 𝑇(𝑣 𝑘+2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
Sin embargo, nótese que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) (es más, son una base de este espacio), por lo que
𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2) = ⋯ = 𝑇(𝑣 𝑘) = 0 𝑊.
𝑤 = 𝛼1(0 𝑊) + 𝛼2(0 𝑊) + ⋯ + 𝛼 𝑘(0 𝑊) + 𝛼 𝑘+1 𝑇(𝑣 𝑘+1) + 𝛼 𝑘+2 𝑇(𝑣 𝑘+2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
𝑤 = 𝛼 𝑘+1 𝑇(𝑣 𝑘+1) + 𝛼 𝑘+2 𝑇(𝑣 𝑘+2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛)
𝑤 ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝐵 𝑅𝑒(𝑇))
𝑅𝑒(𝑇) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵 𝑅𝑒(𝑇))
Demostraré ahora que 𝐵 𝑅𝑒(𝑇) es linealmente independiente en 𝑅𝑒(𝑇):
𝛼 𝑘+1 𝑇(𝑣 𝑘+1) + 𝛼 𝑘+2 𝑇(𝑣 𝑘+2) + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑇(𝑣 𝑛) = 0 𝑊
𝑇(𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛) = 0 𝑊
Ya que la transformada de 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 es igual a cero, entonces podemos
afirmar que el vector 𝑣 = 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 es elemento de 𝑁𝑢(𝑇), y como
𝐵 𝑁𝑢(𝑇) es base de dicho espacio:
𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)
𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼 𝑘 𝑣 𝑘
(−𝛼1)𝑣1 + (−𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (−𝛼 𝑘)𝑣 𝑘 + 𝛼 𝑘+1 𝑣 𝑘+1 + 𝛼 𝑘+2 𝑣 𝑘+2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑣 𝑛 = 0 𝑉
Pero, ya que 𝐵 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘, 𝑣 𝑘+1, 𝑣 𝑘+2, … , 𝑣 𝑛} es una base de 𝑉, podemos afirmar que es un
conjunto linealmente independiente, y por lo tanto:
𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼 𝑘 = 𝛼 𝑘+1 = 𝛼 𝑘+2 = ⋯ = 𝛼 𝑛 = 0
De esta ecuación sólo nos interesan los elementos a partir de 𝛼 𝑘+1
𝛼 𝑘+1 = 𝛼 𝑘+2 = ⋯ = 𝛼 𝑛 = 0
𝐵 𝑅𝑒(𝑇) es linealmente independiente en 𝑅𝑒(𝑇)
𝐵 𝑅𝑒(𝑇) es base de 𝑅𝑒(𝑇)
𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉 ∎

10. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
Problemas.
Determine cuales de las siguientes son transformaciones lineales y cuáles no:
a) 𝑇: ℝ2
→ ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦
b) 𝑇: ℝ2
→ ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 8𝑦 + 1
c) 𝑇: ℝ2
→ ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2
+ 𝑦
d) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 , 0)
e) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑇(𝑥, 𝑦) = (1 , 𝑥 − 𝑦)
f) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (
2𝑥 − 𝑦
3𝑥 + 4𝑦
)
g) 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0 , 0 , 𝑧)
h) 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
𝑇 (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
𝑥
𝑦 + 1
𝑧 + 2
)
i) 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 , 3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)
j) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2) = 𝑎0 + 𝑎2 𝑥2
+ 𝑥3
k) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2) = 𝑎0 + 5 + 𝑥2
l) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2) = (𝑎0 − 𝑎1)(1 + 𝑥2) + (𝑎0 − 𝑎2)(𝑥 + 𝑥3)
Sea 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
tal que 𝑇(1,0) = (2,3) y 𝑇(0,1) = (1,1)
a) Demuestre que 𝑇 es única. b) Obtenga 𝑇(3,4)
c) Obtenga la regla de correspondencia de 𝑇
Sea 𝑇: ℝ3
→ 𝑃2 una transformación lineal tal que:
 𝑇(1,1,1) = 1 − 𝑥 + 𝑥2
 𝑇(2,0,0) = 3 + 𝑥 − 𝑥2
 𝑇(0,4,5) = 2 + 3𝑥 − 𝑥2
a) Obtenga 𝑇(2,4, −2) b) Regla de correspondencia de 𝑇
Demuestre:
a) Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 tales que
𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), … , 𝑇(𝑣 𝑛) ∈ 𝑊 son linealmente independientes. Entonces 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 son
linealmente independientes. ¿Es la recíproca verdadera?
b) Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 tales que el espacio 𝑊 =
𝑔𝑒𝑛{𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), … , 𝑇(𝑣 𝑛)}. Demuestre que 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊.
Para las siguientes transformaciones lineales, obtener núcleo, recorrido, y verificar que se cumple
el teorema de la dimensión:
a) 𝑇: ℝ2
→ ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦
b) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (
2𝑥 − 𝑦
3𝑥 + 4𝑦
)
c) 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 , 3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)
d) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2) = (𝑎0 − 𝑎1)(1 + 𝑥2) + (𝑎0 − 𝑎2)(𝑥 + 𝑥3)
e) 𝑇: ℝ2
→ ℝ4
𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 = (
1
3
2
4
5 6
7 8
)

11. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
f) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑝) = 𝑥2
𝑝′
TAREA.
Sea 𝑇 la transformación de ℝ3
en ℝ3
definida por:
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧)
a) Demuestre que 𝑇 es una transformación lineal.
b) Determine una base del núcleo de 𝑇.
c) Demuestre que ℝ3
es la suma directa del núcleo de 𝑇 y la imagen de 𝑇.
Verdadero o Falso:
(a) Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales, 𝑇 una transformación lineal de 𝑉 en 𝑊, y 𝑣1 y 𝑣2
dos vectores de 𝑉. La proposición es:
𝑇(𝑔𝑒𝑛{𝑣1, 𝑣2}) = 𝑔𝑒𝑛{𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2)}
(b) Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑛 y {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛} una base de 𝑉. Se define la
transformación 𝑇 de ℝ 𝑛
en 𝑉 como sigue: si 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) ∈ ℝ 𝑛
entonces 𝑇(𝑢) =
𝑥1 𝑣1 + 𝑥2 𝑣2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑣 𝑛. Demuestre que 𝑇 es lineal, encuentre el núcleo y el recorrido de
𝑇.
Construya, de ser posible, un operador lineal (o endomorfismo) 𝑇 del espacio vectorial 𝑃2 definido
por:
 𝑁𝑢(𝑇) = 𝑔𝑒𝑛{1 + 𝑥 + 𝑥2}
 𝑇(𝑥2
− 1) = 𝑥2
− 1
 𝑇(1 − 2𝑥 + 𝑥2) = 3 − 6𝑥 + 3𝑥2
Construya de ser posible, una transformación lineal de ℝ2
en ℝ2
que transforme todo vector de
ℝ2
en un vector que pertenezca a la recta 𝑦 = 2𝑥
Sea 𝑇: ℝ3
→ ℝ3
tal que 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋 con 𝐴 = (
1 10 1
2 2 2
−1 −8 𝑘
), determine los valores de 𝑘 para que
𝜈(𝑇) = 0
Sea 𝑇: 𝑃2 → 𝑀2𝑥3 una transformación lineal tal que:
𝑇(𝑝(𝑥)) = (
𝑝(1) 𝑝(2) 𝑝(0)
𝑝′(1) 𝑝′(2) 𝑝′(0)
)
Determine:

12. Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal
(a) 𝑁𝑢(𝑇), 𝜈(𝑇).
(b) 𝐼𝑚(𝑇), 𝜌(𝑇).