Este documento presenta el método de integración por sustitución. Explica que este método se basa en la regla de la cadena utilizada en derivadas y se usa para integrar funciones compuestas mediante un cambio de variable que transforma la integral en otra más fácil de integrar. Proporciona los pasos para aplicar este método y resuelve algunos ejemplos para ilustrarlo.

1. GUÍA “INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN”
OBJETIVOS:
 Establecer la relación entre el método de integración por sustitución con el
método de derivación en cadena.
 Aplicar el método de integración por sustitución en la resolución de
ejercicios.
CONCEPTO
Este método tiene su fundamento en la regla de la cadena usada en las
derivadas, por tanto, es utilizado para integrar funciones compuestas, y consiste
en realizar un cambio de variable en el integrado para que la integral se
transforme en otra variable más fácil de integrar, es decir, para aplicar las fórmulas
dadas:
Así, a partir de la definición de anti derivada se tiene:
Sean
dos funciones derivables tales que:
derivada de , entonces: ∫ ( ( )) ( )
( ( ))
( )
Si
( )
∫ ( )
( ( ))
es una anti
( )
Para aplicar la integración por sustitución se procede de la siguiente forma:


Primero, se elige , por lo general es la función interna de la función
compuesta.
Segundo, se deriva
con respecto a y se escribe como diferencial.

Tercero, se expresa el integrando de la forma ( )


Cuarto, se calcula la integral resultante en términos de la variable
Finalmente, se sustituye nuevamente
para obtener una expresión en
términos de .

2. ∫ ( ( )) ( )
Función interna
Derivada de la función interna
EJEMPLOS:
Hallar la integral de cada función empleando el método de sustitución.
(
)
a. ∫
Es necesario tomar la función interna y se deriva.
∫(
) (
)
∫
Como
∫
∫
entonces,
(
)
(
b.∫
=
(
)
)
Sea
∫
(
)
Se organizan los factores =
Se reemplaza
Como
∫
c.∫
u=
, entonces
(
)
=
(
∫
=
(
)
)
se multiplica y se divide por 2
∫
se calcula la integral

3. ∫
∫
=
(
Luego, ∫
d. ∫(
)(
∫(
=∫
)(
=
=
=
=
(
)
( )
∫
)
)
)
.