Guia completa alg2

1
MATRICES
1. Construya las siguientes matrices:
a)



≠−
=
=
ji;2
ji;1
acon;5x2A ij
b)





>
=
<
=
ji;3
ji;2
ji;1
bcon,4x4B ij
c)





>
=
<
=
ji;j3
ji;j
ji;i2
ccon,4x6C ij
d)





>+
=+
<+
=
ji;j3i
ji;ji
ji;ji2
dcon,5x5D ij
e)





>−
=−
<−
=
ji;ij2
ji;i4j3
ji;i2j
econ,6x6E ij
ÁLGEBRA II: Olaguer Caroca, Manuel Figueroa
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2
2. Dada las siguientes matrices:






−
=
23
12
A ; 




 −−
=
45
32
B ; [ ]85C −=






−
=
513
612
D ;










−
−=
413
612
275
E










+→>
→=
+→<
=
j2i3ji
j3ji
j3i2ji
10x10F










−→>
→=
−→<
=
ij2ji
i2ji
j3iji
10x10G
Determine:
a) B3A2 + b) B7A5 − c) tCB ⋅
d) tDE⋅ e) Adet f) Edet
g) tt
BA ⋅ h) t
DE ⋅ i)
t2
BABA −+
j) 22
BA −
k) Encuentre el elemento m3,7 de la matriz M, sabiendo que: GFM +=
l) Encuentre el elemento m9,8 de la matriz M, sabiendo que: GFM ⋅=
m) Sabiendo que F
5
3
G2M −= , encuentre el valor de U si:
( )
2,8
55
2
10,18,5
m2
m
1
m
5
3m2
U
+
−⋅
=

3
3. Sea A una matriz de orden n x m , con una columna totalmente de ceros y sea B
una matriz de orden p x m. Pruebe que B · A tiene una columna de ceros.
4. Utilizando los métodos del pivoteo de Gauss y determinantes, encuentre la
inversa (en caso de existir), de las siguientes matrices.










−−−
=










−−
−
−
=












−
=





 −−
=










−−
−=










−
−
=
323
454
101
F;
325
121
321
E;
6195
1121
2121
1111
D
51
15
C;
364
102
130
B;
115
430
162
A
5. Encuentre los valores de a y b para que se cumpla:










−
⋅





=⋅+





21
10
01
210
301
I2
b2
6a
2x2
6. Si 





−
=









 −
=
44
13
By
21
02
11
A . Determine la matriz C de modo que se cumpla
que: i) C · A = B
ii) B · At
= C
iii) At
· C = B

4
7. Resuelva los sistemas de ecuaciones planteados
i)






−
−
=+






−
−
=−
231
102
yx2
311
022
y3x
ii)










−−
−
=−










−
−
=+
23
01
29
y3x5
32
10
21
yx3
8. Desarrollar los siguientes sistemas de ecuaciones usando determinantes
1.
6y2x4
9y5x3
=−
=+
2.
7y4x6
2y3x
=+
=−
3.
6y2x8
4y5x6
−=+
=−
4.
x44y8
x3y26
=+
−=+−
5.
1zy3
0zyx4
1z3y2x
=+
=−+
−=−+
6.
10z5y4x
10z2y4x2
6z8y10x4
=+−
=+−
−=+−
7.
0zyx2
0zyx
0zy2x
=++
=−+
=−+
8.
1w4z3y2x2
2w5z2yx3
3w13z4y5x
=−++
=++−
=+++

5
POLINOMIOS
1. Determinar el cuociente y el resto usando división sintética :
a) 3x:4x2x3 2
−−−
b) 2x:9x2x 23
++−
c) 1x2x:8x4x3x2x 234
−∧−−−−−
d) 3x3x:7x18xx2 234
−∧+−−−
e) 3x4x:6x20x3x2 234
+∧−−−−
2. Usando el teorema, hallar el resto de las siguientes expresiones:
a) 3x2x:5x2x3x 23
+∧+−−+
b) 1x:4xxx2 23
++−+
c) 1x:6xx5x 234
−−+−
d) 2x:5x2x3x 23
−−−+
3. Determinar si son factores:
a) ( ) 24x2x5x3xde2x 234
−+−+−
b) ( ) 2x15x8x5xde3x 234
−++−−
c) ( ) 50x25x2xde5x 23
−−+−
d) ( ) 2x4x6x9de1x3 23
++++
e) ( ) 88776655
yx;yx;yx;yxdeyx −−−−−

6
4. Determinar por inspección los ceros de las siguientes funciones, indicando
multiplicidad de cada uno:
a) ( ) ( )3
3x27x −⋅+
b) ( ) ( )9x6x5x3 2
+−⋅−
c) ( ) ( )54
2x1x −+
d) ( ) ( )10x3x4x4x 22
−+⋅+−
e) ( ) ( ) ( )32
4x3x2x +−⋅−
f) ( ) ( ) ( )743
1x1x32x +−−
5. Determinar cota superior y cota inferior para los ceros de cada una de las
siguientes funciones:
a) 8x7x2x)x(f 23
−−+=
b) 6x2xxx)x(f 234
−−−−=
c) 9x6x5x)x(f 24
−+−=
d) 29x16x)x(f 3
−+=
e) 24x3x)x(f 35
+−=
f) 10x3x9x3x)x(f 234
−+−+=
g) 25x8x5x4x3)x(f 345
+−−−=

7
6. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos
raíces:
a) 131xy2x 21 −−==
b) 32xy3x 21 +=−=
c) Hallar todas las raíces de 01x2x 24
=++
7. Determinar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones, indicando sus
cotas inferior y superior, posibles raíces positivas y negativas; y posibles raíces
racionales:
a) 012x11x2x 23
=−−+
b) 03x13x19x17x16x4 2345
=−+−+−
c) 012x7x6x2 234
=+−+
d) 028x9x20x4 23
=++−
e) 04x2x14x3x2 234
=++−−
f) 02xx10x9x2 234
=−++−
g) 012x35x4x3 23
=+−−
8. Encuentre los puntos de intersección de las funciones:
a) 2xx3x)x(gy8x3x2x5x3)x(f 23234
−−+=−++−=
b) 3x5x6x6)x(gy2x4x5x)x(f 2323
−+−=−+−=

8
SUCESIONES
1. De las sucesiones presentadas, verifique si estas son convergentes o
divergentes, en caso de ser convergentes, encuentre sus cotas.
1n
1
n
1
)n(S)a
2
−
−=
2
n
1n
n
3 3
242
3
23
n
1
1)n(S)g
2n3
4n3
)n(S)f
n2)1()n(S)e
5n3n8
1n3n23n2
)n(S)d
8n3
6nn3n5
)n(S)c
n4
1n2
n3)n(S)b






+=






−
+
=
⋅−=
+−
−+⋅+
=
+
−+−
=
+
−=
+
2. Encontrar el término general asociado a las siguientes sucesiones:
,......1,0n,....702,260,135,58,17,0,5S)c
,.....1,0n,...
23
13
,
14
11
,
7
9
,
2
7
,
1
5
,
2
3
S)b
,.......1,0n,......138,90,52,24,6,2S)a
n
n
n
=−=
=
−−
=
=−=

9
......2,1n,.........
135
45
,
72
28
,
33
15
,
2
1
,
3
1
S)f
,.....1,0n......
161
1
,0,
17
1
,
2
2
,
1
3
S)e
,.......1,0n,......16,8,4,2,1S)d
n
n
n
==
=
−−−
=
=−−=
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
1. Encuentre
a) 4 medios aritméticos entre 5 y 6
b) 5 medios aritméticos entre 4 y 10
c) 6 medios aritméticos entre 2 y –3
d) 6 medios aritméticos entre 1/3 y ½
2. Encuentre
a) Hallar el décimo término de la sucesión: -1, 5, 11, 17…
b) Hallar el vigésimo término de la sucesión : 2, 6, 10, 14, …
c) Hallar el primer término de una P.A. cuyos cuarto y quinto términos son 3 y -4
respectivamente.
d) En una P.A. el cuarto término es 0; el 42 término es –95 y el último es –195.
Encontrar el primer término y el número de términos.
e) La suma de tres números en P.A. es 27 y la suma de sus cuadrados es 293.
Hallar los números.
f) El volumen de un paralelepípedo es 1.232 cm3
. Calcular sus aristas, sabiendo
que están formadas por tres números en P.A. de razón 3.
g) La suma de los términos de una p.a. de términos positivos es 199,5, el último
término es 24 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1,5. Calcular el
número de términos y el primero.

10
h) Hallar un número de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, dé 15;
las cifras están en p.a. y sumando al número 396 se obtiene el número invertido.
i) En un paralelepípedo rectángulo las tres dimensiones están en p.a. y su suma
vale 24 metros. Sabiendo que el área total mide 366 m2, calcular: a) sus
dimensiones, y b) su volumen.
j) Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de
sus cuadrados 56.
k) Calcular los 10 términos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis términos
centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58.
l) Una p.a. tiene un número impar de términos. El central vale 44 y el producto de
los extremos 336. Calcular los extremos.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
1. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer
término es igual a 1 y la razón es 2.
2. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla
los cinco primeros términos de dicha progresión.
3. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto
término es 28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término?
4. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la
razón 1/2, halla el primer término.
5. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a
512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón.

11
6. Descomponga el número 124 en tres sumandos que formen progresión
geométrica, siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor.
7. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12,
24,...
8. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6,
12, 24,...
9. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17
veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón.
10. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,...
11. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y
su producto 216.
12. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión
geométrica sabiendo que el término central vale 2.
13. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un
millón. Calcula dichos números.
14. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos
primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0,125.
15. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo
que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889?
16. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de
razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo términos.
17. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509,
sabiendo que el mayor excede en 115 a la suma de los otros dos.

12
18. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades
mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los
números.
19. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo
que el segundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425.
20. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión
geométrica y que el mayor es 27 veces el menor.
21. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión
geométrica tal que el tercer término sobrepasa al primero en 136.
22. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia
entre los extremos 192. Halla dichos números.
23. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los
dos primeros es 28 y la suma de los dos últimos 175.

13
SUMATORIAS
1. Resuelva aplicando propiedades de sumatorias:
1. ( )∑
=
+
8
1i
2i5 2. ( )∑
=
−
20
1i
12i8
3. ( )∑
=
−
15
1k
k93 4. ( )∑
=
+
12
1i
2
i5i
5. ( )∑ ++
19
1
10x6x2
6. ( )∑ −−
14
1
3x7x2
7. ( )∑ +
11
1
2
5x 10. ( )∑ −
10
1
2
8x
11. ( )∑ +
9
1
2
4x3 12. ( )∑ −
11
1
2
2x6
13. ( )∑ +
10
6
2x7 14. ( )∑ −
10
5
10x8
15.
( )[ ]∑
=
+⋅−
30
7i
2
i2i1i 16. ( )∑
=
+
−
45
10k
1k
k22
17. ( )∑
=
−
98
8k
3
3k2 18. ( )∑
=
+⋅
55
13i
1ii
19.
( ) ( )∑
=
−⋅+
200
1i
1i1i 20. ( )∑
=
−⋅
120
19k
2
3kk

14
2. Si
( )




≤≤+
<≤





=
200k100;1k
100k1;
3
1
a
2
k
k , Encuentre el valor de: ∑
=
200
1k
ka
3. Se sabe que: 12a;18a;30a 6
5
1i
i
5
1i
2
i === ∑∑
==
. Determine:
a) El valor de ( )∑
=
−
5
1i
2
i 2a
b) El valor de la constante c, si además se sabe que: ( )∑
=
=+
6
1i
i 210ca3
4. ( ) 8ay6a;12a;16a 65
4
1i
i
4
1i
2
i ==== ∑∑
==
. Determine:
∑
∑
=
=
−
4
1i
2
i
6
1i
2
i
)1a2()b
)a()a
5. Exprese como sumatoria y determine la suma de los números impares que
tengan dos cifras.
6. Pruebe que: ( ) 0j3jnj2
n
1j
2
=−+∑
=
7. Pruebe que: ( ) ∑∑
==
=+−⋅
n
1j
2
n
1j
j1j2n2j

15
8. Sea i31ia 2
i ⋅−= . Encuentre el valor de:
∑∑∑
===
−
50
30i
i
50
30i
i
10
1i
i 2a3)ca)ba)a
9. ¿Para qué valor de p se cumple la ecuación? : 8
2
pj2p
1j
=
−
∑
=
10. Pruebe que:
2
n
1j
n1j2 =−∑
=
11. Pruebe que: ( ) ( )
∑∑
==
⋅+
=⋅+−
n
1j
n
1j 2
j1j
j1jn
12. ¿Para qué valor de n se cumple la ecuación?:
( ) 4
3
j1n2
j
n
1j
2
=
⋅−
−∑
=
13. Encuentra una expresión para las siguientes sumatorias
( )
1i
2n
4i
i
2n
0i
1n
4ni
3
2
1
2
1
)c
1i
1
i
1
)b
3i2)a
+
−
=
+
=
+
−=
−
=
+
−
=+
∑
∑
∑

16
INDUCCION MATEMÁTICA
Demostrar usando inducción matemática, las siguientes proposiciones, para todo
entero positivo “n”:
1) nnn2.......642 2
+=++++
2) ( ) 2
n1n2..........531 =−++++
3)
( )( )
6
1n21nn
n.......321 2222 ++
=++++
4)
( )
4
1nn
n..........321
22
3333 +
=++++
5)
2
13
3.......331
n
1n2 −
=++++ −
6)
( )
4
131n2
3n.....3*33*21
n
1n2 +•−
=•+++ −
7) ( ) ( )∑
=
−=−
n
1k
3n2n5k4 8) ( ) ( )∑
=
+=+
n
1k
4n3n1k6
9) ( ) ( )( )
∑
=
++
=+
n
1k 3
5n1nn
3kk 10) ( )( ) ( )( )
∑
=
++
=++
n
1k 3
5n4nn
4k1k
11) 3pordivisiblees14n
− 12) 3pordivisiblees52n
+
13) 2pordivisibleesnn2
+ 14) 15pordivisiblees12 n4
−
15) 3pordivisibleesn2n3
+

17
BINOMIO DE NEWTON
1. Usando el teorema del binomio, desarrolle las siguientes expresiones:
1) ( )242
y5x − 2) ( )322
yx −
3) ( )42
1x +−
4) ( )311
yx −−
+
5) ( )42/12/1
yx + 6) ( )522
yx +
7) ( )42
y3 − 8) ( )3
cba −−
9) ( )4
zyx ++
2. Hallar el término indicado en el desarrollo de la expresión dada:
1) El sexto término de ( )6
ba +
2) El segundo término de ( )5
yx −
3) El tercer término de ( )5
5x −
4) El quinto término de ( )7
x4 +
5) El décimo término de ( )14
yx +
6) El quinto término de ( )4
1a +
7) El octavo término de ( )9
y2 −
8) El noveno término de ( )10
z5 −
9) El sexto término en ( )7
2x +
10)Los cinco primeros términos de ( )112
yx −

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