Este documento presenta una introducción a las sucesiones y series numéricas. Fue escrito por Ramón Bruzual y Marisela Domínguez para ser utilizado en un curso de matemáticas en la Universidad Central de Venezuela. Contiene definiciones básicas de sucesiones numéricas, ejemplos de sucesiones, criterios de convergencia y operaciones con sucesiones.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
Introducci´n a las sucesiones
o
y series num´ricas
e
Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez
Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

2. Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve
Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´ disponible en la p´gina web
a a
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´plica en un servidor externo a la Universidad Central de
e
Venezuela, el v´
ınculo se encuentra indicado en esa misma p´gina web.
a

3. Pr´logo
o
Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Sucesiones y Series
Num´ricas, del curso de Matem´tica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Cen-
e a
tral de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´
ıa,
Geoqu´
ımica, Qu´
ımica, Computaci´n, F´
o ısica y Matem´tica.
a
El trabajo de mecanograf´ y la elaboraci´n de los gr´ficos est´ a cargo de los autores.
ıa o a a
Agradecemos cualquier observaci´n o comentario que deseen hacernos llegar.
o
Ram´n Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Septiembre 2005.
iii

5. CONTENIDO
Cap´
ıtulo 1. Sucesiones num´ricas.
e 1
1. Definiciones y resultados b´sicos
a 1
2. Sucesiones convergentes. 4
3. El n´mero e.
u 5
4. Sucesiones mon´tonas.
o 5
5. Operaciones con sucesiones 5
6. Repaso de la regla de L’Hˆpital.
o 6
7. L´
ımite infinito 9
8. Sumas finitas y el s´
ımbolo sumatorio. 11
Ejercicios.
Sucesiones. 13
Cap´
ıtulo 2. Series num´ricas.
e 19
1. Series. 19
2. Convergencia y divergencia de series. 22
3. Criterios de convergencia para series de t´rminos positivos.
e 24
4. Criterios de convergencia para series de t´rminos alternadas.
e 30
5. Series telesc´picas.
o 30
Ejercicios.
Series. 32
Cap´
ıtulo 3. F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o 37
1. La f´rmula de Stirling.
o 37
2. El producto de Wallis. 38
Ejercicios.
F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o 41
Bibliograf´
ıa 43
´
Indice 45
v

7. CAP´
ITULO 1
Sucesiones num´ricas.
e
Este cap´
ıtulo es un repaso de cursos previos.
Concepto de sucesi´n y ejemplos. L´
o ımite de una sucesi´n. Propiedades
o
del l´
ımite. C´lculo de l´
a ımites de sucesiones.
1. Definiciones y resultados b´sicos
a
La idea de sucesi´n en R es la de una lista de puntos de R.
o
Son ejemplos de sucesiones:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
2, 4, 6, 8, 10, . . .
1, 4, 9, 25, 36, . . .
1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .
1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . .
1, −1, 1, −1, 1, . . .
Lo importante acerca de una sucesi´n es que a cada n´mero natural n le corresponde un
o u
punto de R, por esto damos la siguiente definici´n.
o
´
Definicion 1.1. Una sucesi´n es una funci´n de N en R.
o o
Si a : N → R es una sucesi´n en vez de escribir a(1), a(2), a(3), . . . suele escribirse
o
a 1 , a2 , a3 , . . .
La misma sucesi´n suele designarse mediante un s´
o ımbolo tal como {an }, (an ) ´ {a1 , a2 , . . .}.
o
Tambi´n usaremos {an }, (an ) ´ {a1 , a2 , . . .}.
e o
Ejemplo 1.2. La sucesi´n de Fibonacci {an } est´ definida por
o a
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 .
1

8. 2 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
Esta sucesi´n fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relaci´n con un problema
o o
de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y
que despu´s de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El n´mero an
e u
de parejas nacidas en el n-´simo mes es an−1 + an−2 , puesto que nace una pareja por cada
e
pareja nacida en el mes anterior, y adem´s cada pareja nacida hace dos meses produce ahora
a
una pareja nueva.
Una sucesi´n, al igual que toda funci´n, tiene una representaci´n gr´fica.
o o o a
Por ejemplo, sean
αn = n
βn = (−1)n
1
γn =
n
Las gr´ficas de {αn }, {βn } y {γn } son las siguientes:
a
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
Figura 1.1. {αn }

9. ´
1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BASICOS 3
1
1 2 3 4 5
-1
Figura 1.2. {βn }
1
1 2 3 4 5
Figura 1.3. {γn }
Sin embargo se obtiene una mejor representaci´n de una sucesi´n marcando los puntos
o o
a1 , a2 , a3 , . . . sobre una recta:
0 α1 α2 α3 α4
β1= β3 = ... 0 β 2 = β4 = ...
0 γ3 γ γ1
2
Figura 1.4.
Este tipo de diagramas nos indican “hacia donde va” la sucesi´n.
o
´
Definicion 1.3. Una sucesi´n {an } es acotada si {a1 , a2 , . . .} es un conjunto acotado.
o
Es decir, si existe K ∈ R tal que |an | ≤ K para todo n ∈ N.
´
Definicion 1.4. Una sucesi´n {an } es acotada superiormente si existe M ∈ R tal que
o
an ≤ M .

10. 4 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
Ejemplo 1.5. Sea an = 1/n. Entonces la sucesi´n {an } es acotada superiormente por
o
M = 1.
´
Definicion 1.6. Una sucesi´n {an } es acotada inferiormente si existe m ∈ R tal que
o
an ≥ m.
Ejemplo 1.7. Sea an = n. Entonces la sucesi´n {an } es acotada inferiormente por
o
m = 1.
´
Proposicion 1.8. Sea {an } una sucesi´n, {an } es acotada si y s´lo si {an } es acotada
o o
superiormente y {an } es acotada inferiormente.
2. Sucesiones convergentes.
En lo que sigue {an } denotar´ una sucesi´n de n´meros reales.
a o u
´
Definicion 1.9. limn→∞ an = L si:
para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces |an − L| < ε.
En este caso se dice que la sucesi´n {an } converge a L ∈ R, o l´
o ımite de {an } es L.
Se dice que una sucesi´n {an } es convergente si existe L ∈ R tal que {an } converge a L;
o
se dice que es divergente (o que diverge) si no es convergente.
Ejemplo 1.10. Sea an = 1/n entonces limn→∞ an = 0.
Ejemplo 1.11. Sea an = n! entonces {an } es divergente.
Teorema 1.12 (unicidad del l´
ımite). Una sucesi´n convergente tiene uno y s´lo un
o o
l´
ımite.
´
Proposicion 1.13. si {an } es una sucesi´n que converge a cero y {bn } es una sucesi´n
o o
acotada entonces la sucesi´n {an bn } converge a cero.
o
Teorema 1.14. Si {an }, {bn } y {cn } son sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n
y
lim an = lim cn = L.
n→+∞ n→+∞
Entonces
lim bn = L.
n→+∞

11. 5. OPERACIONES CON SUCESIONES 5
3. El n´ mero e.
u
Se puede probar que la siguiente sucesi´n converge:
o
n
1
an = 1+ .
n
Su l´
ımite es unico y es conocido como el n´mero e:
´ u
n
1
lim 1+ = e.
n→+∞ n
Tambi´n se puede probar:
e
(a) 2 < e < 3
(b) el n´mero e es irracional.
u
4. Sucesiones mon´tonas.
o
´
Definicion 1.15. Una sucesi´n {an } es mon´tona creciente si an ≤ an+1 para todo
o o
n ∈ N.
Ejemplo 1.16. Sea an = n. Entonces la sucesi´n {an } es mon´tona creciente.
o o
´
Definicion 1.17. Una sucesi´n {an } es mon´tona decreciente si an+1 ≤ an para todo
o o
n ∈ N.
Ejemplo 1.18. Sea an = 1/n. Entonces la sucesi´n {an } es mon´tona decreciente.
o o
Teorema 1.19.
(i) Toda sucesi´n mon´tona creciente y acotada superiormente es convergente.
o o
(ii) Toda sucesi´n mon´tona decreciente y acotada inferiormente es convergente.
o o
5. Operaciones con sucesiones
Teorema 1.20. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes.
Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Entonces:
lim xn + yn = x + y.
n→+∞
´
Demostracion. Dado ε > 0 existen N1 , N2 ∈ N tales que
(a) si n ≥ N1 entonces |xn − x| < ε/2.
(b) si n ≥ N2 entonces |yn − y| < ε/2.

12. 6 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
Sea N = max{N1 , N2 }. Si n ≥ N entonces
|(xn + yn ) − (x + y)| = |(xn − x) + (yn ) − y)|
≤ |xn − x| + |yn − y|
< ε/2 + ε/2 = ε.
De donde
lim xn + yn = x + y.
n→+∞
Teorema 1.21. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes.
Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Entonces:
lim xn · yn = x · y.
n→+∞
Teorema 1.22. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes.
Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Si yn = 0 para todo n, y = 0, entonces
xn x
lim = .
n→+∞ yn y
A los lectores interesados en el An´lisis Matem´tico se les recomienda consultar en algunos
a a
de los libros de la bibliograf´ las demostraciones de estos dos ultimos teoremas.
ıa ´
6. Repaso de la regla de L’Hˆpital.
o
La regla de L’Hˆpital permite calcular l´
o ımites indeterminados para funciones de variable
real.
Las principales indeterminaciones las agruparemos en tres grupos:
0 ∞
(a) 0
, ∞
, 0.∞,
(b) ∞ − ∞, −∞ + ∞,
0 ∞
(c) 0, 1 , ∞0 .
0 ∞
6.1. Indeterminaciones de la forma 0
, ∞
, 0.∞.
Teorema 1.23 (Regla de L’Hopital). Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo
de la forma (a − r, a + r) a, r ∈ R, r > 0. Supongamos que
(a) lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a x→a
(b) g (x) = 0 para todo x en (a − r, a + r), x = a.
f (x)
(c) limx→a = L.
g (x)

13. ˆ
6. REPASO DE LA REGLA DE L’HOPITAL. 7
Entonces
f (x)
lim = L.
x→a g(x)
La demostraci´n del teorema anterior se puede ver en [5]. En este momento no estamos
o
en capacidad de dar la prueba, pero podemos dar una justificaci´n.
o
Como f y g son diferenciables en a, entonces f y g son continuas en a. Luego f (a) = 0
y g(a) = 0. Por lo tanto
f (x) − f (a)
f (x) f (x) − f (a) x−a
= = .
g(x) g(x) − g(a) g(x) − g(a)
x−a
Si x → a entonces la expresi´n de la derecha tiende a
o
f (x)
lim = L.
x→a g (x)
Luego
f (x)
lim = L.
x→a g(x)
Ejemplo 1.24.
x3 − 1 3x2 3
lim = lim = .
x→1 4x3 − x − 3 x→1 12x2 − 1 11
0
El primer l´
ımite es de la forma 0
.
´
Observacion 1.25. La regla de L’Hopital tambi´n es v´lida cuando se consideran
e a
ımites laterales (x → a+ ´ x → a− ),
(a) l´ o
(b) l´
ımites infinitos (x → +∞ ´ x → −∞),
o
∞
(c) l´
ımites de la forma ∞
.
´
Observacion 1.26. El resultado anterior permite calcular l´ımites de la forma 0.∞, to-
1
mando en cuenta que si lim h(x) = ∞ entonces lim = 0. En este caso la regla de
x→a x→a h(x)
1
L’Hopital se aplica a g(x) = ımite de la forma 0 . Tambi´n se puede
para obtener un l´ 0
e
h(x)
∞
llevar a la forma ∞ .
Ejemplo 1.27.
ln x 1/x
lim x ln x = lim = lim+ −1/x2
= lim (−x) = 0.
x→0 + +x→0 1/x x→0 x→0+
−∞
El primer l´
ımite es de la forma 0.(−∞), el segundo l´
ımite es de la forma ∞
, el tercer
l´
ımite se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto l´
ımite que no es una indetermi-
naci´n.
o

14. 8 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
6.2. Indeterminaciones de la forma ∞ − ∞, −∞ + ∞.
Estas indeterminaciones se resuelven haciendo operaciones algebraicas para llevarlo a
0 ∞
alguna de las formas consideradas antes, es decir, 0
, ∞
, 0.∞.
Ejemplo 1.28.
4x + 1 1 (4x + 1) sen x − x
lim − = lim
x→0 + x sen x x→0 + x sen x
4 sen x + (4x + 1)(cos x) − 1
= lim
x→0 + sen x + x cos x
4 cos x + 4 cos x − (4x + 1) sen x
= lim
x→0 + cos x + cos x − x sen x
4+4
= = 4.
2
El primer l´ ımite es de la forma 0 , el tercer l´
ımite es de la forma ∞ − ∞, el segundo l´ 0
ımite
0
es de la forma 0
y el cuarto l´
ımite ya no es una indeterminaci´n.
o
6.3. Indeterminaciones de la forma 00 , 1∞ , ∞0 .
Estos l´
ımites se calculan usando la siguiente propiedad:
´
Proposicion 1.29. Si limx→a f (x) existe, entonces
lim ef (x) = elimx→a f (x) .
x→a
´
Observacion 1.30. Esta Proposici´n tambi´n es v´lida cuando se consideran
o e a
ımites laterales (x → a+ ´ x → a− ),
(a) l´ o
(b) l´
ımites infinitos (x → +∞ ´ x → −∞).
o
Ejemplo 1.31. Calcularemos
lim (sen x)x
+
x→0
ımite es de la forma 00 .
Este l´
Tenemos que
x
(sen x)x = eln((sen x) ) = ex ln(sen x) .
Comenzaremos calculando
lim x ln(sen x).
x→0+
que es un l´
ımite de la forma 0.∞. Luego aplicaremos la exponencial.

15. 7. L´
IMITE INFINITO 9
cos x
ln(sen x) sen x
lim x ln(sen x) = lim = lim −1
x→0 + +
x→0 1/x x→0+
x2
−x2 cos x −2x cos x + x2 sen x
= lim = lim = 0.
x→0+ sen x x→0+ cos x
∞
El primer l´
ımite es de la forma 0.∞, el segundo l´
ımite es de la forma ∞
, el tercer l´
ımite
ımite que es de la forma 0 , el quinto
se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto l´ 0
l´
ımite no es una indeterminaci´n.
o
Ahora aplicamos la exponencial
lim (sen x)x = lim ex ln(sen x) = elimx→0+ x ln(sen x) = e0 = 1.
x→0+ +
x→0
7. L´
ımite infinito
´
Definicion 1.32. Sea {an } una sucesi´n.
o
Diremos que limn→+∞ an = +∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N
entonces an ≥ λ.
Diremos que limn→+∞ an = −∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N
entonces an ≤ λ.
Es importante notar que las sucesiones que tienen l´
ımite infinito no son convergentes.
´
Proposicion 1.33. Si {an } es una sucesi´n convergente y {bn } es una sucesi´n tal que
o o
an
bn = 0 para todo n y lim bn = +∞. Entonces lim = 0.
n→+∞ n→+∞ bn
7.1. C´lculo de l´
a ımite de sucesiones usando la regla de L’Hopital.
Para calcular el l´
ımite de una sucesi´n usando la regla de L’Hopital se deben usar una
o
funciones auxiliares de variable real.
Por ejemplo, si la sucesi´n est´ dada por an = n2 la funci´n auxiliar f puede ser
o a o
f (x) = x2 . Otro ejemplo: si la sucesi´n est´ dada por an = ln n la funci´n auxiliar f
o a o
puede ser f (x) = ln x. Estas funciones auxiliares son sencillas y en estos casos se calcula el
l´
ımite cuando x → +∞.
Ejemplo 1.34. Consideremos
1 1
lim ln .
n→+∞ n n
Este es un l´
ımite de sucesiones, de la forma 0.(−∞).

16. 10 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
Para hallarlo, en lugar de n colocamos x y calculamos el siguiente l´
ımite:
1 −1
1
ln x 1/x x2 −x −1
lim = lim = lim 2
= lim = 0.
x→+∞ x x→+∞ 1 x→+∞ x x→+∞ x
Luego
1 1
lim ln = 0.
n→+∞ n n
A veces no conviene usar estas funciones auxiliares sencillas. Puede ser m´s conveniente
a
considerar como funciones auxiliares algo aparentemente un poco m´s complicado. Por
a
ejemplo, si la sucesi´n est´ dada por an = n2 la funci´n auxiliar f puede ser f (x) = (1/x)2 .
o a o
Otro ejemplo: si la sucesi´n est´ dada por an = sen(1/n) la funci´n auxiliar f puede ser
o a o
f (x) = sen x. En estos casos se calcula el l´
ımite cuando x → 0+.
Ejemplo 1.35. Consideremos
1
lim n − .
n→+∞ sen(1/n)
Este es un l´
ımite de sucesiones, de la forma ∞ − ∞.
Para hallarlo, podr´
ıamos calcular el siguiente l´
ımite auxiliar.
1
lim x − .
x→+∞ sen(1/x)
En lugar de n hemos colocado x. Este es un l´
ımite de funciones, de la forma ∞ − ∞. Usted
podr´ tratar de calcularlo. Hemos hecho una cambio sencillo, pero el l´
ıa ımite que se debe
calcular no es sencillo.
Sin embargo si hacemos un cambio un poco m´s complicado el l´
a ımite que tendremos que
calcular es m´s sencillo. En efecto, en lugar de n colocamos 1/x y obtenemos
a
1 1
lim
− .
x→0+ x sen x
Este tambi´n es un l´
e ımite de funciones, de la forma ∞ − ∞. A continuaci´n lo calcularemos.
o
1 1 sen x − x cos x − 1
lim − = lim = lim
x→0+ x sen x x→0+ x sen x x→0+ sen x + x cos x
− sen x 0
= lim = = 0.
x→0+ cos x + cos x − x sen x 2
Por lo tanto
1
lim n − = 0.
n→+∞ sen(1/n)

17. 8. SUMAS FINITAS Y EL S´
IMBOLO SUMATORIO. 11
8. Sumas finitas y el s´
ımbolo sumatorio.
Cuando queremos referirnos a una suma con n sumandos, en la que tenemos una f´rmula
o
para cada sumando ak usamos la siguiente expresi´n
o
a1 + · · · + an
que tambi´n se escribe de la siguiente manera:
e
n
ak
k=1
Es decir,
n
ak = a1 + · · · + an .
k=1
Ejemplo 1.36.
(1) Sumar el n´mero 1, n veces:
u
n
1 = n.
k=1
(2) La suma de los n primeros n´meros naturales es:
u
n
k = 1 + · · · + n.
k=1
(3) La suma de los cuadrados de los n primeros n´meros naturales es:
u
n
k 2 = 1 + 2 2 + · · · + n2 .
k=1
Se puede probar que
n
n(n + 1)
(1.1) k= .
k=1
2
n
n3 n2 n
(1.2) k2 = + + .
k=1
3 2 6
Ejercicio Adicional: Usando el m´todo de inducci´n completa demuestre las f´rmulas 1.1
e o o
y 1.2.

18. 12 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
Una propiedad importante de las sumas finitas es la llamada propiedad telesc´pica que
o
afirma que:
n
(bk − bk+1 ) = b1 − bn+1 .
k=1
Estas sumas son denominadas sumas telesc´picas.
o

19. EJERCICIOS. SUCESIONES. 13
Ejercicios.
Sucesiones.
(1) Sugiera el t´rmino general de cada una de las siguientes sucesiones:
e
(a) 2, 4, 6, 8, 10, . . . (c) 1, 8, 27, 64, . . . (e) 0, 5, 0, 5, 0, 5, . . .
1 1 1 1 −2 3 −4 1 √ 1 √
(b) 1, , , , . . . (d) , , , ,... (f) , 0, 3, , 0, 3, . . .
4 9 16 2 3 4 5 2 2
(2) Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre la losa de concreto.
Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2/3 de la altura anterior.
Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-´simo rebote.
e
(3) Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies
durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 pies durante el tercero y
as´ sucesivamente. ¿Cu´nto recorre el objeto durante el sexto segundo?
ı a
(4) Sea {an } una sucesi´n (infinita) con t´rmino general an . Estudie la sucesi´n: Diga
o e o
si es acotada superiormente, acotada inferiormente, acotada, no acotada, mon´tona
o
creciente, mon´tona decreciente, no mon´tona. Dibuje el gr´fico de la sucesi´n.
o o a o
Determine si converge o diverge, y en caso de que converja halle su l´
ımite.
1
(a) an =
n2 (h) an = 1 + (−1)n
−1 n + 1
(b) an = + n2 − 1
n n2 (i) an =
n−1
(−1)n
(c) an = n+1
n (j) an =
n−1
(d) an = sen(nπ) 7
n+1
(k) an =
π n−1
(e) an = sen + nπ
2
(l) an = n4
π
(f) an = cos + nπ
2
(m) an = (1/n)3
(g) an = cos(nπ)

20. 14 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
(n) an = 81/n (o) an = (1/2)n
(p) an = 6n
(5) La sucesi´n de Fibonacci:
o
(a) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea
una nueva pareja, que es f´rtil al mes. Si comenzamos con una pareja de
e
reci´n nacidos y an representa el n´mero de parejas nacidas en el n-´simo mes
e u e
demuestre que
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 si n ≥ 3
(la igualdad de la derecha es una f´rmula recurrente).
o
(b) Verifique que el t´rmino general de la sucesi´n de Fibonacci es
e o
√ n √ n
1 1+ 5 1 1− 5
an = √ −√
5 2 5 2
demostrando que esta expresi´n satisface la f´rmula recurrente dada en (a).
o o
(6) Sean c, r constantes reales. Considere la sucesi´n {an } definida por an = crn−1 . Se
o
define la sucesi´n {Sn } por
o
Sn = a1 + · · · + an .
Probar que
c − crn
(a) Sn =
1−r
(b) {Sn } converge si y s´lo si |r| < 1.
o
(c) Si |r| < 1 entonces
c
lim Sn = .
n→+∞ 1−r
(7) Dar ejemplos de sucesiones {an } y {bn } tales que
lim an = lim bn = 0,
n→+∞ n→+∞
pero
an an
(a) lim =0 (c) lim = −∞
n→+∞ bn n→+∞ bn
an an
(b) lim = +∞ (d) lim no existe.
n→+∞ bn n→+∞ bn

21. EJERCICIOS. SUCESIONES. 15
(8) EL prop´sito de este ejercicio es recordar la f´rmula para la derivada de un cociente,
o o
que no debe confundirse con el cociente de derivadas.
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, en los puntos en los
que son derivables:
tan x arctan x
(a) f (x) = (c) f (x) =
ln x x−1
ax sec x
(b) f (x) = (d) f (x) = √
csc x x
(9) Calcular los siguientes l´
ımites de funciones:
1 1
(a) lim −
(d) lim x( ln x )
1
+
x→0 sen x x
x→+∞
1 1 1
(b) lim+ x
− 1
x→0 sen x x (e) lim x x−1
x→1+
sen x
(c) lim (sen x)
+
x→0 (f) lim (sen(3x))sen(5x)
+
x→0
(10) Sea {an } una sucesi´n (infinita) con t´rmino general an . Para cada uno de los
o e
siguientes casos determine si {an } converge o diverge, y en caso de que converja
halle su l´
ımite.
4n − 3 (f) an = n( ln n )
1
(a) an =
3n + 4
√
(b) an = n (g) an = (1/n)1/n
n2 − 1 (−1)n n2
(c) an = (h) an =
n2 + 1 1 + n3
n2 4n3 + 3n2 + 1
(d) an = (i) an =
n+1 5n3 + 3
3 + (−1)n (j) an = n2−n
(e) an =
n2

22. 16 ´
1. SUCESIONES NUMERICAS.
2 1 ln(2 + en )
(k) an = n 1 − cos (s) an =
n 3n
(l) an = 1 + (−1)n (t) an = ln(n + 1) − ln(n)
n
sen n 4
(m) an = (u) an = 1−
n n
sen n2 5n
(n) an = (v) an = 5 +
n 3n
en − e−n
(o) an = (w) an = 10(n+1)/n
en + e−n
√ √
(p) an = n+8− n (x) an = n2/(n+1)
2n √ √ √
(q) an = (y) an = n( n + 1 − n)
3n + 1
5 − 2−n 1
(r) an = (z) an = n sen
6 + 4−n n
(11) * Demostrar que:
√
(a) Si 0 < a < 2 entonces a < 2a < 2.
√ √ √
(b) La sucesi´n
o 2, 2 2, 2 2 2, . . . es convergente.
(c) Hallar el l´
ımite de la sucesi´n anterior.
o
(12) * Demostrar que si {an } es una sucesi´n que converge a cero y {bn } es una sucesi´n
o o
acotada entonces la sucesi´n {an bn } converge a cero.
o
(13) * Sean {an }, {bn } y {cn } sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n y
lim an = lim cn = L.
n→+∞ n→+∞
Demostrar que
lim bn = L.
n→+∞

23. EJERCICIOS. SUCESIONES. 17
(14) * Sean {an } una sucesi´n convergente y {bn } una sucesi´n tal que bn = 0 para todo
o o
n y lim bn = +∞. Demuestre que
n→+∞
an
lim = 0.
n→+∞ bn

25. CAP´
ITULO 2
Series num´ricas.
e
Definici´n y ejemplos. Criterios de convergencia para series de t´rminos
o e
positivos: comparaci´n, l´
o ımites, ra´ raz´n, integral. Series alternadas:
ız, o
criterio de Leibnitz.
¿Las expresiones indefinidamente largas, tales como
x + x2 + x3 . . .
(lo que los matem´ticos llaman series infinitas) pueden ser tratadas por medio de las reglas
a
de la aritm´tica, o son necesarias t´cnicas especiales para poder abarcar su infinidad?
e e
Enfrentada con tales dificultades conceptuales, la mente de los matem´ticos del siglo
a
XVIII empez´ a titubear. Lagrange se desesper´ tanto que abandon´ las matem´ticas
o o o a
durante un per´
ıodo de varios a˜os, y, en una carta a su amigo y colega Jean Baptiste
n
D’Alembert, en 1.781, expres´ la opini´n de que las matem´ticas estaban ahondando dema-
o o a
siado, con peligro de ser destruidas. D’Alembert, en cambio, no soseg´ a sus alumnos, sino
o
que les exhort´:
o
”Seguid adelante y la fe vendr´ a vosotros”.
a
1. Series.
Las series permiten entender la idea de querer hacer sumas en las que hay una cantidad
infinita de sumandos (tantos sumandos como n´meros naturales).
u
Para dar la idea de una serie debemos considerar dos tipos de n´meros reales:
u
(1) la expresi´n para cada sumando: an
o
(2) la expresi´n para la suma finita de los primeros n sumandos:
o
n
sn = a1 + · · · + an = ak
k=1
La siguiente terminolog´ es usual:
ıa
(1) A an se le llama t´rmino general de la serie.
e
(2) A sn se le llama la suma parcial de la serie.
19

26. 20 ´
2. SERIES NUMERICAS.
Por lo tanto una serie est´ relacionada con dos sucesiones:
a
(1) la sucesi´n {an } de los t´rminos generales de la serie.
o e
(2) la sucesi´n {sn } de sumas parciales de la serie.
o
La siguiente notaci´n es usual: En vez de referirse a la serie como un par de sucesiones
o
es usual hablar de la serie como
+∞
an .
n=1
Ejemplo 2.1. Para la serie
+∞
n
n=1
tenemos que
an = n
n
n(n + 1)
sn = 1 + · · · + n = k= .
k=1
2
Para obtener la ultima expresi´n hemos usado la ecuaci´n 1.1.
´ o o
+∞
Una serie n=1 an es una serie de t´rminos positivos cuando an > 0 para cada n.
e
+∞
Una serie n=1 an es una serie alternada cuando
an = (−1)n cn
para alguna sucesi´n {cn } tal que cn > 0 para cada n.
o
Ejemplo 2.2. La serie arm´nica es:
o
+∞
1
.
n=1
n
Para esta serie
1
an =
.
n
Entonces se trata de una serie de t´rminos positivos. Adem´s
e a
n
1 1 1
sn = 1 + + · · · + = .
2 n k=1
k

27. 1. SERIES. 21
Una cuenta interesante es la siguiente:
1 1 1 1 1 1
s2n − sn = 1+ + ··· + + + ··· + − 1+ + ··· +
2 n n+1 2n 2 n
1 1 1 1
= + ··· + ≥ + ··· +
n+1 2n 2n 2n
1 1
= n = .
2n 2
En conclusi´n, para la serie arm´nica:
o o
1
s2n − sn ≥ .
2
Ejemplo 2.3. Para la serie
+∞
(−1)n
n=1
tenemos que
an = (−1)n .
Entonces se trata de una serie alternada. Adem´s
a
n
−1 si n es impar
sn = (−1)k = −1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n =
k=1
0 si n es par
Ejemplo 2.4. La serie geom´trica (de raz´n r) es:
e o
+∞
rn .
n=0
Para esta serie
an = rn .
Si r > 0 entonces se trata de una serie de t´rminos positivos. Si r < 0 entonces se trata de
e
una serie alternada. Adem´s
a
n
n
sn = 1 + r + · · · + r = rk .
k=0
Un hecho curioso es que para eta serie: Entonces
rsn = r + r2 + · · · + rn+1 .
Por lo tanto
(1 − r)sn = sn − rsn
= (1 + r + · · · + rn ) − (r + r2 + · · · + rn+1 )
= 1 − rn+1

28. 22 ´
2. SERIES NUMERICAS.
En conclusi´n, si r = 1 para la serie geom´trica:
o e
1 − rn+1
sn =
1−r
n
A veces se puede decir con exactitud cu´nto da la suma finita (la suma
a k=1 ak ), pero
+∞
en general es muy dif´ decir cu´nto da la suma infinita (la serie
ıcil a n=1 an ).
Ejemplo 2.5. Para la serie
+∞
2 + cos(n3 )
.
n=1
2n + n
tenemos que
2 + cos(n3 )
an =
2n + n
Esta serie es de t´rminos positivos. Adem´s
e a
n
2 + cos(k 3 )
sn =
k=1
2k + k
2. Convergencia y divergencia de series.
+∞
Se dice que la serie n=1 an converge o es una serie convergente cuando la sucesi´n de
o
sumas parciales {sn } tiene l´
ımite finito.
+∞
Se dice que la serie n=1 an diverge o es una serie divergente cuando la sucesi´n de sumas
o
parciales {sn } no converge (ya sea porque el l´
ımite da +∞, da −∞ ´ no existe).
o
Sea s ∈ R, si la sucesi´n {sn } converge a s se suele escribir
o
+∞
an = s.
n=1
En otras palabras, la expresi´n anterior quiere decir:
o
n
lim ak = lim sn = s.
n→+∞ n→+∞
k=1
En esto ultimo debe quedar claro que s no se obtiene simplemente por adici´n, s es el
´ o
l´
ımite de una sucesi´n de sumas.
o

29. 2. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES. 23
Ejemplo 2.6. Para la serie
+∞
(−1)n
n=1
ya vimos que
−1 si n es impar
sn =
0 si n es par
+∞
Como lim sn no existe tenemos que n=1 (−1)n diverge.
n→+∞
Ejemplo 2.7. La serie arm´nica es:
o
+∞
1
.
n=1
n
Anteriormente vimos que
1
(2.1) ≤ s2n − sn .
2
Supongamos que existe un n´mero real s tal que lim sn = s. Usando la ecuaci´n (2.1)
u o
n→+∞
tenemos que
1
≤ lim s2n − lim sn .
2 n→+∞ n→+∞
Como lim s2n = s tenemos que
n→+∞
1
≤ s − s = 0.
2
Y esta es una contradicci´n (porque 0 < 1 ).
o 2
La contradicci´n proviene de haber supuesto que existe un n´mero real s tal que
o u
lim sn = s.
n→+∞
Por el m´todo de reducci´n al absurdo concluimos que no existe un n´mero real s tal
e o u
que lim sn = s.
n→+∞
+∞ 1
Es decir, la serie arm´nica
o n=1 n diverge.
Criterio 2.8 (Criterio del t´rmino general).
e
+∞
Dada n=1 an .
+∞
(i) Si lim an = 0 entonces la serie n=1 an diverge.
n→+∞
(ii) Si lim an = 0, no hay informaci´n (puede ser que la serie converja o puede ser
o
n→+∞
que la serie diverja).
Note que si lim an = 0, este criterio no permite llegar a ninguna conclusi´n. En este
o
n→+∞
caso debe recurrir a otro criterio.

30. 24 ´
2. SERIES NUMERICAS.
Ejemplo 2.9. Consideremos la serie geom´trica (de raz´n r):
e o
+∞
rn .
n=0
+∞
Si |r| ≥ 1 entonces lim rn = 0. Por el criterio del t´rmino general.
e n=0 rn diverge si
n→+∞
|r| ≥ 1.
Por otro lado se prob´ que si r = 1 entonces
o
1 − rn+1
sn = .
1−r
Sabemos que lim rn = 0 si |r| < 1. Luego
n→+∞
1 − rn+1 1
lim sn = lim = .
n→+∞ n→+∞ 1 − r 1−r
+∞ 1
En conclusi´n, si |r| < 1 entonces la serie
o n=0 rn converge a 1−r
, es decir,
+∞
1
rn = .
n=0
1−r
M´s adelante estudiaremos qu´ ocurre cuando |r| ≥ 1.
a e
Este caso de la serie geom´trica es uno de los pocos casos en los que se puede decir a qu´
e e
valor converge la serie. En general no podemos decir cu´nto vale.
a
Para saber si estamos trabajando con un n´mero o no. Es conveniente dar varios criterios
u
de convergencia de series.
3. Criterios de convergencia para series de t´rminos positivos.
e
+∞
Vamos a estudiar las series de la forma n=1 an donde an > 0. En estas condiciones
Sn = a1 + · · · + an > 0.
Para indicar que una serie de t´rminos positivos es convergente se suele escribir
e
+∞
an < +∞.
n=1
Esta notaci´n no se usa para otro tipo de series.
o
Criterio 2.10 (Criterio de acotaci´n).
o
+∞
Dada n=1 an con an > 0. Si la sucesi´n de sumas parciales {Sn } es acotada entonces
o
+∞
n=1 an < +∞ .

31. ´
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 25
El criterio de acotaci´n es muy usado por los matem´ticos para demostrar teoremas.
o a
Muchas de las demostraciones de los criterios siguientes se basan en ´ste. Por otro lado, la
e
demostraci´n del criterio de acotaci´n requiere una comprensi´n bien profunda del conjunto
o o o
de los n´meros reales, especialmente del axioma del supremo.
u
Criterio 2.11 (Criterio de comparaci´n).
o
Sean {an } y {bn } sucesiones tales que 0 < an ≤ bn para todo n.
+∞ +∞
(i) Si n=1 bn converge entonces n=1 an tambi´n converge.
e
+∞ +∞
(ii) Si n=1 an diverge entonces n=1 bn tambi´n diverge.
e
Ejemplo 2.12. Estudiar la convergencia de la siguiente serie
+∞
2 + cos(n3 )
.
n=1
2n + n
Sabemos que
n
2 + cos(n3 ) 3 1
0≤ n+n
≤ n =3 .
2 2 2
Sean
2 + cos(n3 )
an = .
2n + n
n
1
bn = 3
2
entonces 0 ≤ an ≤ bn .
Como
+∞ +∞ n +∞ n
1 1
bn = 3 =3 < +∞
n=1 n=1
2 n=1
2
porque la serie de la derecha es una geom´trica de raz´n 1/2 < 1. Es decir, tenemos que la
e o
+∞
serie n=1 bn converge.
+∞
Por el criterio de comparaci´n, obtenemos
o n=1 an < +∞. Esto es,
+∞
2 + cos(n3 )
< +∞.
n=1
2n + n
Ejemplo 2.13. Estudiar la convergencia de la siguiente serie
∞
1
n=1
n!
usando que
2n−1 ≤ n! para todo n ≥ 1.

32. 26 ´
2. SERIES NUMERICAS.
(Los estudiantes de la Licenciatura en Matem´tica deber´ ser capaces de probar esta
a ıan
desigualdad usando el m´todo de inducci´n completa).
e o
Se sigue que,
1 1
≤ n−1 .
n! 2
Sean
1 1
an = , bn = .
n! 2n−1
Adem´s
a
+∞ +∞ +∞ k
1 1 1
= = < +∞,
n=1
2n−1 k=0
2k k=0
2
porque la serie de la derecha es una geom´trica de raz´n 1/2 < 1.
e o
Por el criterio de comparaci´n
o
∞
1
< +∞.
n=1
n!
Criterio 2.14 (Criterio del l´
ımite).
Sean {an }, {bn } dos sucesiones tales que 0 ≤ an , 0 < bn y sea
an
λ = lim .
n→∞ bn
∞ ∞
(i) Si λ es finito y λ = 0, entonces n=1 bn converge si y s´lo si
o n=1 an converge.
∞ ∞
(ii) Si λ = ∞ y n=1 bn diverge entonces n=1 an diverge .
(iii) En los otros casos no hay informaci´n.
o
Ejemplo 2.15. Estudiaremos
+∞
1
sen .
n=1
n
Recuerde que
sen x
lim
= 1.
x→0 x
1 1
Sean an = sen n
y bn = n . Usando el l´
ımite anterior tenemos que
1
an sen n
λ = lim = lim 1 = 1.
n→∞ bn n→∞
n
+∞
1
Como λ es finito y λ = 0 y diverge, por el criterio del l´
ımite tenemos que:
n=1
n
+∞
1
sen diverge.
n=1
n

33. ´
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 27
Criterio 2.16 (Criterio de la ra´
ız).
√
Sea {an } una sucesi´n tal que an > 0 y sea α = lim
o n
an . Entonces
n→+∞
+∞
(i) Si α < 1, la serie n=1 an converge.
+∞
(ii) Si α > 1, la serie n=1 an diverge.
(iii) Si α = 1, no hay informaci´n (puede ser que la serie converja o puede ser que la
o
serie diverja).
Cuando se aplica un criterio y se llega al caso en que ´ste no da informaci´n, se deja este
e o
criterio de lado y se trabaja con otro criterio.
Ejemplo 2.17. Estudiaremos la serie
+∞
1
.
n=1
(ln n)n
Tenemos
1
an = ,
(ln n)n
√ 1 1
n
an = n
n
= .
(ln n) ln n
√ 1
α = lim n
an = lim = 0 < 1.
n→+∞ n→+∞ ln n
Por el criterio de la ra´
ız
+∞
1
< +∞.
n=1
(ln n)n
Criterio 2.18 (Criterio del cociente o de la raz´n).
o
an+1
Sea {an } una sucesi´n tal que an > 0 y sea β = lim
o . Entonces
n→+∞ an
+∞
(i) Si β < 1, la serie n=1 an converge.
+∞
(ii) Si β > 1, la serie n=1 an diverge.
(iii) Si β = 1, no hay informaci´n (puede ser que la serie converja o puede ser que la
o
serie diverja).
Ejemplo 2.19. Estudiaremos la serie
+∞
n!
.
n=1
nn
Tenemos
n!
an = ,
nn

34. 28 ´
2. SERIES NUMERICAS.
(n + 1)!
an+1 = .
(n + 1)n+1
(n + 1)!
an+1 (n + 1)n+1 (n + 1)! nn
β = lim = lim = lim
n→+∞ an n→+∞ n! n→+∞ n! (n + 1)n+1
nn
(n + 1)n! nn nn 1
= lim = lim = lim n+1 n
n→+∞ n! (n + 1) (n + 1)n n→+∞ (n + 1)n n→+∞
n
1 1
= lim 1 n = n
n→+∞ 1+ n 1
lim 1+
n→+∞ n
1
= <1
e
(porque e > 1).
Por el criterio del cociente
+∞
n!
< +∞.
n=1
nn
Para dar el pr´ximo criterio de series usaremos integrales impropias de la forma
o
+∞
f (x) dx.
1
Se dice que la integral impropia
+∞
f (x) dx converge
1
cuando el l´
ımite
b
lim f (x) dx existe y es finito.
b→+∞ 1
Ejemplo 2.20. Estudiaremos la integral
+∞
1
dx.
1 x
Tenemos
+∞ b
1 1
dx = lim dx = lim [(ln x)]b = lim ln b = +∞.
1
1 x b→+∞ 1 x b→+∞ b→+∞
Luego
+∞
1
dx diverge
1 x

35. ´
3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TERMINOS POSITIVOS. 29
Criterio 2.21 (Criterio de la integral).
Sea f una funci´n positiva y estrictamente decreciente definida en [1, +∞) tal que
o
f (n) = an para todo n natural.
La integral
+∞
f (x) dx converge
1
si y s´lo si la serie
o
+∞
an converge.
n=1
Cuando queremos usar este criterio para estudiar una serie procedemos as´ a partir de
ı
an escogemos f , revisamos que f cumpla las condiciones dadas en el criterio. Calculamos la
integral y luego aplicamos lo siguiente:
+∞ +∞
(1) Si f (x) dx converge entonces an converge.
1 n=1
+∞ +∞
(2) Si f (x) dx diverge entonces an diverge.
1 n=1
Ejemplo 2.22. Estudiaremos la serie
+∞
1
.
n=1
n2
Sea
1
f (x) = .
x2
Es claro que f es positiva. Por otro lado,
f (x) = −2x−3 < 0
si x > 0 de donde f es estrictamente decreciente en [1, +∞).
Estudiaremos la integral
+∞
1
dx.
1 x2
Tenemos
+∞ b b
1 1 −1 1
dx = lim dx = lim = lim 1 − = 1.
1 x2 b→+∞ 1 x 2 b→+∞ x 1
b→+∞ b
Luego
+∞
1
dx converge
1 x2

36. 30 ´
2. SERIES NUMERICAS.
entonces la serie
+∞
1
< +∞.
n=1
n2
4. Criterios de convergencia para series de t´rminos alternadas.
e
Criterio 2.23 (Criterio de Leibnitz).
Sea {cn } una sucesi´n tal que
o
(a) c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0.
(b) lim cn = 0.
n→+∞
+∞ n
Entonces la serie n=1 (−1) cn converge.
Recuerde que como la serie no es de t´rminos positivos para decir que la serie converge
e
+∞
no se usa la notaci´n
o n=1 an < +∞..
Ejemplo 2.24. Estudiaremos la serie
+∞
1
(−1)n .
n=1
n
En este caso el t´rmino general es
e
1
an = (−1)n .
n
Sea
1
cn = .
n
Entonces c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0.
1
lim cn = lim = 0.
n→+∞ n→+∞ n
Por el criterio de Leibnitz tenemos que
+∞
1
(−1)n converge.
n=1
n
5. Series telesc´picas.
o
+∞
Las series n=1 an tales que el t´rmino general se puede representar como una diferencia
e
de la forma:
an = bn − bn+1
se denominan series telesc´picas y su comportamiento est´ garantizado por el siguiente teo-
o a
rema.

37. ´
5. SERIES TELESCOPICAS. 31
Teorema 2.25. Sean {an } y {bn } dos sucesiones de n´meros reales tales que
u
an = bn − bn+1
+∞
para n = 1, 2, . . . . Entonces la serie n=1 an converge si y s´lo si la sucesi´n {bn } converge,
o o
en cuyo caso tenemos
+∞
an = b1 − L,
n=1
donde L = lim bn .
n→+∞
Ejemplo 2.26. Queremos determinar si converge o no la serie
+∞
1
.
n=1
n2 +n
Sea
1
an = .
n2 +n
Se tiene que
1 1 1
an = = − .
n(n + 1) n n+1
Tomando bn = 1/n tenemos que
an = bn − bn+1 .
Adem´s sabemos que b1 = 1 y
a
lim bn = lim 1/n = 0.
n→+∞ n→+∞
Aplicando el teorema anterior obtenemos
+∞
1
= 1.
n=1
n2 +n

38. 32 ´
2. SERIES NUMERICAS.
Ejercicios.
Series.
(1) Verifique que las siguientes series son divergentes
1 2 3 4 9 27 81
(a) + + + + ... (e) 3 − + − + ...
2 3 4 5 2 4 8
+∞ +∞ n
3n 4
(b) (f)
n=1
n+1 n=1
3
+∞ +∞
n 2n + 1
(c) (g)
n=1
2n + 3 n=1
2n+1
+∞ 2 +∞
n n
(d) (h) √
n=1
n2 + 1 n=1
n2 + 1
(2) Verifique que las siguientes series son convergentes
3 9 27 1 1 1
(a) 2 + + + + ... (c) 2 − 1 + − + − ...
2 8 32 2 4 8
+∞ +∞
(b) (0.9)n (d) (−0.6)n
n=1 n=1
+∞
(3) Pruebe que la serie (−1)n−1 diverge.
n=1
(4) ¿Qu´ est´ mal en la siguiente “demostraci´n” de que la serie geom´trica divergente
e a o e
+∞
(−1)n+1 tiene por suma cero?
n=1
“Demostraci´n”:
o
+∞
(−1)n+1 = [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · · + [1 + (−1)] + . . .
n=1
= 0 + 0 + ··· + 0 + ··· = 0
(5) Demuestre que
+∞
1
(a) La serie converge y determine su suma.
n=1
n(n + 1)
+∞
1 1
(b) Se cumple la siguiente igualdad = .
n=1
(n + 2)(n + 3) 3

39. EJERCICIOS. SERIES. 33
Sugerencia: use la parte (a).
+∞
7 2
(6) Demuestre que la serie − n−1 converge y determine su suma.
n=1
n(n + 1) 3
(7) Encuentre una f´rmula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando
o
lim Sn .
n→∞
∞ ∞
1 −1
(a) 2−1
(c)
n=1
4n n=1
9n2 + 3n − 2
∞ ∞
n 1
(b) ln( ) (d) √ √ .
n=1
n+1 n=1
n+1+ n
(Sugerencia: racionalice el denominador).
+∞
1 1
(8) Determine si la serie n
+ converge o diverge.
n=1
5 n
(9) Demuestre o d´ un contraejemplo:
e
+∞ +∞ +∞
“Si an y bn divergen entonces an + bn diverge”.
n=1 n=1 n=1
(10) Supongamos que lim (an+1 − an ) existe. Demostrar que
n→+∞
+∞
(an+1 − 2an + an−1 ) = a0 − a1 + lim (an+1 − an ).
n→+∞
n=1
(11) Determine si las siguientes series telesc´picas convergen o divergen.
o
+∞ +∞
1 ln((1 + 1/n)n (1 + n))
(a) √ √ (d)
n=1
n+1− n n=1
ln(nn ) ln((n + 1)n+1 )
+∞ +∞
√ √ √ 1
(b) ( n + 2 − 2 n + 1 + n) (e) arctan
n=1 n=1
n2 +n+1
+∞ +∞
n2 − 1 2
(c) ln (f) arctan
n2 n=1
n2
n=1

40. 34 ´
2. SERIES NUMERICAS.
Ayuda: use la f´rmula:
o
α±β
arctan α ± arctan β = arctan .
1 αβ
(12) Aplique el criterio m´s conveniente para determinar si las siguientes series convergen
a
o divergen.
∞ ∞
1 2n
(a) √ (d) ln
n=1
n
e n=1
7n − 5
∞ ∞ n n
5 5 3 2
(b) − (e) +
n=1
n+2 n+3 n=1
2 3
∞ ∞
n 1 4
(c) (f) −
n=1
ln(n + 1) n=1
n(n + 1) n
(13) *** Determine los valores positivos de p, para los cuales converge la serie indicada
∞ ∞ n
n 2 2
(a) np (b) n
n=1 n=1
p
(14) *** Determine los valores reales de p, para los cuales converge la serie indicada
∞ ∞
np ln n
(a) (b)
n=1
n! n=1
np
(15) Sea {an } la sucesi´n de Fibonacci. Sea
o
an+1
bn = .
an
Demuestre que
1
(a) bn−1 = 1 + ,
bn−2
√
1+ 5
(b) lim bn = .
n→+∞ 2
(c) La serie
∞
1 1 1 1 1
1+1+ + + + + ··· =
2 3 5 8 n=1
an
es convergente.

41. EJERCICIOS. SERIES. 35
(16) Use el criterio de series alternadas para determinar si las siguientes series son con-
vergentes
∞ ∞
n+1 1 1 1
(a) (−1) (g) (−1)n+1 + n
n=1
n+2 n=1
n 3
∞ ∞
1 n+1
(b) (−1)n−1 √ (h) (−1)n
n=1
n n=1
4n
∞ ∞ √
n n+1 4 n
(c) (−1)n+1 (i) (−1)
n=1
n2 +1 n=1
2n + 3
∞ ∞ √
n+2 n2 + 1
(d) (−1)n+1 (j) cos(nπ)
n=1
n3 n=1
n3
∞ ∞
n+1 n ln n
(e) (−1) (k) (−1)n+1
n=1
n+2 n=1
n
∞ ∞ 10
n−1 3n −1 n+1 ln n
(f) (−1) (l) (−1)
n=1
n+5 n=1
n2

43. CAP´
ITULO 3
F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o
Justificaci´n elemental de la f´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o o
La f´rmula de Stirling da un estimado para n! y el producto de Wallis da una expresi´n
o o
para π/2 como l´
ımite de un cociente de n´meros parecidos a los factoriales.
u
1. La f´rmula de Stirling.
o
√
Comenzamos dando un estimado para n n!.
´
Proposicion 3.1. Se tiene que
√
n
n! 1
lim = .
n→∞ n e
Demostraci´n.
o
El gr´fico de la funci´n logaritmo ayuda a entender las siguientes desigualdades:
a o
ln((n − 1)!) = ln(1.2. . . . .(n − 1)) = ln 1 + ln 2 + · · · + ln(n − 1)
n
≤ ln xdx ≤ ln 2 + · · · + ln n = ln 1 + ln 2 + · · · + ln n
1
= ln(1.2. . . . .(n − 1).n) = ln n!
Pero
n
ln xdx = [x ln x − x]n = n ln n − n + 1 = ln(nn ) − n + 1.
1
1
De donde
ln((n − 1)!) ≤ ln nn − n + 1 ≤ ln n!.
Por lo tanto
(3.1) (n − 1)! ≤ nn e−n e ≤ n!.
De la segunda desigualdad en (3.1) obtenemos
√
1√ n
n!
(3.2) n
e≤ .
e n
37

44. 38 ´
3. FORMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS.
Por otro lado, multiplicando por n en la f´rmula (3.1) tenemos que
o
n! ≤ nn e−n e n.
Luego
√
n 1√ √
n! ≤ n n
n n e.
e
Y as´
ı
√
n
n! 1√ √
(3.3) ≤ n n n e.
n e
√ √
Como lim n
n = lim
e = 1, de las desigualdades (3.2) y (3.3) obtenemos:
n
n→∞ n→∞
√
1 1√ n
n! 1√ √ 1 √ √ 1
= lim n
e ≤ lim ≤ lim n
n n e = lim n n n e = .
e n→∞ e n→∞ n n→∞ e e n→∞ e
De donde, √
n
n! 1
lim = .
n→∞ n e
Esta f´rmula da un estimado para n!.
o
√
n
Varios refinamientos del m´todo que acabamos de usar para estimar
e n! permiten dar
un estimado para n!. M´s precisamente, se puede demostrar:
a
√
2πne−n nn
lim =1
n→∞ n!
y ´sta es la conocida f´rmula de Stirling.
e o
Para no caer en aspectos demasiado t´cnicos no damos la prueba. Sin embargo, el
e
lector interesado en ver una demostraci´n de esta f´rmula puede hallarla en: Introduction
o o
to Calculus and Analysis de R. Courant, F. John. Vol. I.
2. El producto de Wallis.
π
El producto de Wallis permite aproximar a 2
y es el siguiente:
π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 6.6.4.4.2.2
= lim .
2 m→∞ (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 7.5.5.3.3.1
Para los estudiantes de la Licenciatura en Matem´tica damos la demostraci´n. Recorde-
a o
mos que
−1 n−1
senn x dx = senn−1 x cos x + senn−2 x dx.
n n
π
Integrando entre 0 y 2
se obtiene la siguiente igualdad:
π/2 π/2
n−1
(3.4) senn xdx = senn−2 xdx.
0 n 0

45. 2. EL PRODUCTO DE WALLIS. 39
Aplicando esta f´rmula varias veces se obtienen las siguientes igualdades:
o
π/2 π/2 π/2
2m − 1 (2m − 1)(2m − 3)
sen2m x dx = sen2m−2 x dx = sen2m−4 x dx
0 2m 0 2m(2m − 2) 0
π/2
(2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 (2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 π
= dx = .
2m(2m − 2) . . . 4.2 0 2m(2m − 2) . . . 4.2 2
π/2 π/2 π/2
2m (2m)(2m − 2)
sen2m+1 x dx = sen2m−1 x dx = sen2m−3 x dx
0 2m + 1 0 (2m + 1)(2m − 1) 0
π/2
(2m)(2m − 2) . . . 4.2 (2m)(2m − 2) . . . 4.2
= sen xdx = .
(2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3 0 (2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3
Resumiendo, llegamos a que
π/2
(2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 π
sen2m x dx = ,
0 2m(2m − 2) . . . 4.2 2
π/2
(2m)(2m − 2) . . . 4.2
sen2m+1 x dx = .
0 (2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3
De las f´rmulas anteriores
o
π/2
π 2m(2m − 2) . . . 4.2
(3.5) = sen2m xdx,
2 (2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 0
π/2
(2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3
(3.6) 1= sen2m+1 xdx.
(2m)(2m − 2) . . . 4.2 0
Dividiendo la f´rmula (3.5) entre la f´rmula (3.6), obtenemos que
o o
π/2
π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 4.4.2.2 0
sen2m xdx
(3.7) = π/2
2 (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 5.3.3.1 sen2m+1 xdx
0
A continuaci´n estudiaremos el cociente de estas dos integrales.
o
En [0, π/2] as´ que 0 ≤ sen x ≤ 1. Luego
ı
sen2m+1 x ≤ sen2m x ≤ sen2m−1 x.
Integrando
π/2 π/2 π/2
sen2m+1 xdx ≤ sen2m xdx ≤ sen2m−1 xdx.
0 0 0
π/2 2m+1
Dividiendo entre 0
sen xdx se obtiene
π/2 π/2 π/2
0
sen2m+1 xdx 0
sen2m xdx 0
sen2m−1 xdx 2m + 1
1= π/2
≤ π/2
≤ π/2
=
sen2m+1 xdx sen2m+1 xdx sen2m+1 xdx 2m
0 0 0
(para la ultima igualdad hemos usado la ecuaci´n (3.4)).
´ o

46. 40 ´
3. FORMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS.
Entonces
π/2
0
sen2m xdx 2m + 1 1
1≤ π/2
≤ =1+ .
sen2m+1 xdx 2m 2m
0
De donde
π/2
0
sen2m xdx
lim π/2
=1
m→∞ sen2m+1 xdx
0
Volviendo a la ecuaci´n (3.7) obtenemos que
o
π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 6.6.4.4.2.2
= lim ,
2 m→∞ (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 7.5.5.3.3.1
y este es el conocido producto de Wallis.

47. ´
EJERCICIOS. FORMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. 41
Ejercicios.
F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o
A continuaci´n indicamos tres f´rmulas que permiten calcular l´
o o ımites bastante compli-
cados.
√
n
• Estimado para n!: √
n
n! 1
lim = .
n→∞ n e
• F´rmula de Stirling:
o √
2πne−n nn
lim =1
n→∞ n!
• Producto de Wallis
π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 6.6.4.4.2.2
= lim ,
2 m→∞ (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 7.5.5.3.3.1
Deducir los siguientes l´
ımites con la ayuda de las f´rmulas anteriores
o
n
(1) * lim = e.
n→∞ (n!)1/n
(n!)2 22n √
(2) * lim √ = π.
n→∞ (2n)! n
−1/2 1
(3) * lim (−1)n n= √ .
n→∞ n π
donde
t t(t − 1) . . . (t − n + 1)
= .
n n!
Nota: EL producto t(t−1) . . . (t−n+1) es un polinomio en t de grado n llamado
e ımbolo t(n) , as´ pues
polinomio factorial n-´simo. Se representa con el s´ ı
t(n) = t(t − 1) . . . (t − n + 1).

49. Bibliograf´
ıa
[1] Alson, P. C´lculo B´sico. Editorial Erro.
a a
[2] Apostol, T. Calculus Volumen 1. Editorial Revert´.
e
[3] Apostol, T. Calculus Volumen 2. Editorial Revert´.
e
[4] Bruzual, R. y Dom´ ınguez, M. Gu´ de problemas de C´lculo III para Matem´ticos. Facultad de
ıa a a
Ciencias, Universidad Central de Venezuela.
[5] Bruzual, R. y Dom´ ınguez, M. C´lculo diferencial en una variable. Publicaciones del Laboratorio de
a
Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. 7
[6] Bruzual, R. y Dom´ ınguez, M. C´lculo integral en una variable. Publicaciones del Laboratorio de
a
Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela.
[7] Deminovich, B. Problemas y ejercicios de An´lisis Matem´tico. Editorial Paraninfo.
a a
[8] Miranda, Guillermo Matem´tica III - F´
a ısica Fac. Ciencias. UCV.
[9] Swokowsky, E. W. C´lculo con Geometr´ Anal´
a ıa ıtica. Grupo Editorial Iberoamericana.
43

50. 44

51. ´
Indice
criterio
de acotaci´n, 24
o
de comparaci´n, 25
o
de la integral, 29
de la ra´ 27
ız,
de la raz´n, 27
o
de Leibniz, 30
del cociente, 27
del l´
ımite, 26
del t´rmino general, 23
e
L’Hopital, regla de, 6
l´
ımite
infinito, 9
serie, 19
alternada, 20
arm´nica, 20
o
convergente, 22
de t´rminos positivos, 20
e
divergente, 22
geom´trica, 21
e
sucesi´n, 1
o
convergente, 4
divergente, 4
45