1) El documento presenta el teorema de convolución y su relación con la transformada de Fourier. 2) Explica que la convolución de funciones en el dominio del tiempo es equivalente al producto punto a punto de sus transformadas de Fourier. 3) También presenta demostraciones de varias propiedades importantes de la transformada de Fourier como su aplicación a funciones periódicas, impulsos y funciones desplazadas.
La transformada de Fourier describe cómo una señal en el dominio del tiempo puede representarse como una combinación de señales sinusoidales en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier convierte una señal entre los dominios del tiempo y la frecuencia, lo que permite el análisis de señales en términos de su contenido de frecuencia. Algunas propiedades clave incluyen la linealidad, cómo la derivada de una señal en el tiempo afecta su espectro de frecuencia, y cómo los cambios en el tiempo o la amplitud de una señal
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
La transformada de Fourier es una transformación matemática que convierte una señal entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería como el análisis de señales, procesamiento de imágenes y reducción de ruido. Joseph Fourier, matemático francés, descubrió las series que llevan su nombre y que son la base de la transformada de Fourier.
Este documento trata sobre la correlación y el espectro de señales deterministas. 1) Explica cómo clasificar señales en señales de energía finita y señales de potencia media finita, y presenta ejemplos de cada tipo. 2) Introduce el teorema de Parseval para señales de energía finita, el cual establece la equivalencia entre la energía de una señal en el dominio del tiempo y la frecuencia. 3) Discuta brevemente las propiedades de correlación y densidad espectral de energía y potencia
1) Las señales son funciones que contienen información sobre algún fenómeno físico representado por variaciones en una variable independiente como el tiempo o la altitud. 2) Existen señales de tiempo continuo y discreto, siendo las primeras definidas para valores continuos de la variable independiente y las segundas sólo para valores discretos. 3) Señales básicas como el escalón y la muestra unitaria son útiles para representar otras señales más complejas.
Este documento describe la propagación de ondas electromagnéticas en una guía de ondas rectangular. Explica que los modos de propagación pueden ser modos TM (transversos magnéticos) o modos TE (transversos eléctricos), dependiendo de si el campo magnético o eléctrico es longitudinal. Para cada modo, resuelve las ecuaciones de Maxwell para derivar expresiones para los campos eléctricos y magnéticos, y define la frecuencia de corte y la impedancia intrínseca.
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
La transformada de Fourier describe cómo una señal en el dominio del tiempo puede representarse como una combinación de señales sinusoidales en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier convierte una señal entre los dominios del tiempo y la frecuencia, lo que permite el análisis de señales en términos de su contenido de frecuencia. Algunas propiedades clave incluyen la linealidad, cómo la derivada de una señal en el tiempo afecta su espectro de frecuencia, y cómo los cambios en el tiempo o la amplitud de una señal
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia obteniendo una expresión matemática conocida como la transformada de Fourier de la función original. 2) Extendiendo las series de Fourier, la transformada de Fourier puede aplicarse también a funciones no periódicas mediante el uso de una integral en lugar de una suma. 3) La transformada de Fourier y su inversa son herramientas matemáticas útiles para resolver problemas al transformarlos a un dominio donde pueden ser más sencillos de resolver.
La transformada de Fourier es una transformación matemática que convierte una señal entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería como el análisis de señales, procesamiento de imágenes y reducción de ruido. Joseph Fourier, matemático francés, descubrió las series que llevan su nombre y que son la base de la transformada de Fourier.
Este documento trata sobre la correlación y el espectro de señales deterministas. 1) Explica cómo clasificar señales en señales de energía finita y señales de potencia media finita, y presenta ejemplos de cada tipo. 2) Introduce el teorema de Parseval para señales de energía finita, el cual establece la equivalencia entre la energía de una señal en el dominio del tiempo y la frecuencia. 3) Discuta brevemente las propiedades de correlación y densidad espectral de energía y potencia
1) Las señales son funciones que contienen información sobre algún fenómeno físico representado por variaciones en una variable independiente como el tiempo o la altitud. 2) Existen señales de tiempo continuo y discreto, siendo las primeras definidas para valores continuos de la variable independiente y las segundas sólo para valores discretos. 3) Señales básicas como el escalón y la muestra unitaria son útiles para representar otras señales más complejas.
Este documento describe la propagación de ondas electromagnéticas en una guía de ondas rectangular. Explica que los modos de propagación pueden ser modos TM (transversos magnéticos) o modos TE (transversos eléctricos), dependiendo de si el campo magnético o eléctrico es longitudinal. Para cada modo, resuelve las ecuaciones de Maxwell para derivar expresiones para los campos eléctricos y magnéticos, y define la frecuencia de corte y la impedancia intrínseca.
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
Este documento describe el muestreo y cuantificación de señales analógicas usando MATLAB. Explica cómo muestrear ondas sinusoidales y triangulares con diferentes frecuencias de muestreo y cómo esto afecta la precisión de la señal reconstruida. También construye diagramas de bloques para simular bloqueadores de orden cero y uno y analiza cómo estos afectan la forma de la señal al variar la frecuencia de muestreo. Concluye que cuanto menor es el tiempo de muestreo, más precisa es la señal recon
Este documento describe los conceptos básicos de procesamiento digital de señales utilizando MATLAB, incluyendo la generación y gráfica de señales discretas, el submuestreo, sobremuestreo, procesamiento de audio y análisis en frecuencia mediante la transformada rápida de Fourier.
El documento describe las funciones de Bessel y su aplicación en frecuencia modulada. Se explica que las funciones de Bessel surgen al resolver ecuaciones de Laplace y Helmholtz en coordenadas cilíndricas y esféricas. También se detalla que las funciones de Bessel representan las amplitudes de las bandas laterales generadas en modulación de frecuencia. Finalmente, se explica la regla de Carson para calcular el ancho de banda mínimo necesario en una transmisión modulada en frecuencia.
Este documento introduce la serie de Fourier como una herramienta para representar funciones periódicas como la suma de componentes sinusoidales. Explica conceptos clave como funciones periódicas, componente de corriente directa, componente fundamental y armónicos. Además, muestra cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier y realiza ejemplos para ilustrar estos conceptos.
(1) El documento describe la serie de Fourier y las funciones periódicas.
(2) Euler descubrió en 1744 que la función (π-t)/2 puede aproximarse mediante una serie de senos.
(3) Daniel Bernoulli propuso en 1753 resolver el problema de ondas mediante la superposición de ondas senos y cosinos con nodos.
1) El documento describe la serie de Fourier, una representación de funciones periódicas como suma de funciones seno y coseno.
2) Explica conceptos como ortogonalidad, funciones pares e impares y cómo calcular los coeficientes de la serie.
3) Proporciona un ejemplo numérico de la serie de Fourier para una función de onda cuadrada.
El documento describe los conceptos básicos de la modulación digital. En primer lugar, explica que la modulación es el proceso de convertir una señal de origen a otra de destino, manteniendo la misma información. Luego, detalla los tres pasos para convertir una señal analógica en digital: muestreo, cuantización y codificación. Finalmente, analiza consideraciones clave como la tasa de muestreo de Nyquist y los efectos de submuestreo y aliasing.
Este documento presenta un resumen de los principales temas relacionados con el análisis de Fourier y las series de Fourier. Explica conceptos como funciones periódicas, componentes de directa, fundamental y armónicos, ortogonalidad de funciones seno y coseno, y cálculo de coeficientes de la serie de Fourier. El objetivo es aplicar estas herramientas al modelado y análisis de sistemas eléctricos bajo condiciones no senoidales.
Este documento explica la transformada de Fourier y la serie de Fourier. La serie de Fourier describe señales periódicas como una combinación de señales sinusoidales. La transformada de Fourier amplía este concepto a señales no periódicas mediante la aproximación de una señal no periódica como una señal continua de período infinito. La transformada de Fourier relaciona el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia y viceversa, permitiendo analizar el contenido espectral de una señal.
1. El documento introduce conceptos básicos sobre señales y el análisis de Fourier en MATLAB. Explica cómo representar señales discretas en MATLAB y realizar operaciones como cálculo de coeficientes de Fourier y transformadas de Fourier rápidas.
2. Se presentan ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de coeficientes de Fourier de una señal cuadrada, la reconstrucción de señales a partir de su serie de Fourier, y el cálculo de transformadas de Fourier de señales exponenciales moduladas.
Este documento trata sobre la conversión de señales analógicas a digitales. Explica las tres etapas principales de este proceso: muestreo, cuantización y codificación. El muestreo consiste en tomar muestras de la señal analógica en intervalos regulares de tiempo. La cuantización limita los valores de amplitud de la señal muestreada a un conjunto finito de valores. Finalmente, la codificación representa los valores cuantizados mediante palabras digitales.
Este documento describe la transformada de Hilbert, un operador matemático que introduce un desfase de 90 grados en el espectro de frecuencias de una señal. Explica el fundamento matemático de la transformada de Hilbert y cómo introduce este desfase de fase. También describe algunas aplicaciones importantes de la transformada de Hilbert en el área de comunicaciones, como la separación de señales basada en la selectividad de fase. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de la transformada de Hilbert para diferentes señales como impulsos rectangulares
Es un analisis breve no tan profundo en FM, adjunto unos 3 problemas basicos para poder entender como usar las formulas que nos ayudan a poder analizar y entender la modulacion de FM. Espero que les sea de gran utilidad :)
Este documento presenta dos ejercicios de convolución entre funciones. En el primer ejercicio, se encuentra la convolución entre las funciones f(t) = 2u(t + 2) - 2u(t - 2) y g(t) = 3u(t + 3) - 3u(t - 3), resultando en y(t) = 6[(t + 5)u(t + 5) - (t - 1)u(t - 1) - (t + 1)u(t + 1) + (t - 5)u(t - 5)]. En el segundo ejercicio, se encuentra
TEORÍA DE LA INFORMACIÓN Y CODIFICACIÓN FUENTE Toño Avilix
La teoría de la información trata de hacer la transmisión de información entre dos puntos lo más eficiente posible. Considera cómo se mide la información, la capacidad de los canales de comunicación y aspectos relacionados con la decodificación y el uso óptimo de los canales. Claude Shannon es considerado el padre de esta teoría.
El documento describe el diseño de filtros digitales pasa bajas derivados de un filtro Butterworth con diferentes frecuencias de corte. Se presentan los pasos para calcular los coeficientes del filtro y obtener las respuestas en frecuencia para frecuencias de corte de 10 Hz, 50 Hz, 100 Hz, 200 Hz y 450 Hz, a una frecuencia de muestreo de 500 Hz. Se muestran las gráficas de magnitud y fase de la función de transferencia para cada filtro.
Este documento presenta una introducción a las series de Fourier. Explica que las funciones periódicas pueden expresarse como una suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias. Define conceptos como el período, la componente fundamental, las armónicas y la componente de corriente directa. También cubre temas como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno, y cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier a partir de la función original.
Este documento presenta los objetivos y contenido de una conferencia sobre análisis de radiopropagación. La conferencia revisará la clasificación de los modos de propagación de ondas, introducirá los componentes de pérdidas de propagación a gran y pequeña escala, y elaborará el balance de potencia de un radioenlace. También comparará modelos de predicción de pérdidas y aplicará el modelo de propagación en espacio libre.
Este documento presenta un resumen de una conferencia sobre modulación digital pasabanda de señales digitales. Explica esquemas de modulación como QPSK, MSK y QAM coherentes, y compara sus espectros de potencia. También describe los diagramas de bloques de transmisores y receptores para QPSK y MSK coherentes. El documento provee detalles técnicos sobre cómo estas técnicas de modulación digital funcionan para transmitir señales binarias a través de un canal.
Este documento presenta 18 problemas relacionados con sistemas y circuitos en tiempo continuo y discreto. Los problemas cubren temas como determinar las señales de salida para diferentes sistemas dados sus entradas, propiedades de sistemas lineales e invariantes en el tiempo como causalidad y estabilidad, convolución de señales, y el análisis de interconexiones de sistemas en cascada. Los problemas utilizan conceptos como respuesta al impulso, convolución, propiedades de sistemas, y transformaciones de sistemas entre el dominio del tiempo y la
Este documento presenta una introducción a la transformada de Fourier y calcula la transformada de Fourier para varias funciones como pulsos rectangulares y triangulares, funciones exponenciales, oscilaciones amortiguadas, funciones de Gauss y la función delta de Dirac. Explica que la transformada de Fourier descompone una función en sus componentes de frecuencia y que la transformada inversa reconstruye la función original a partir de esas componentes.
Este documento explica conceptos clave relacionados con la transformada de Fourier, incluyendo su definición matemática, propiedades como la conservación de la energía, y cómo calcular la transformada de Fourier para funciones como pulsos rectangulares, triangulares, exponenciales, oscilaciones amortiguadas y la función de Dirac.
Este documento describe el muestreo y cuantificación de señales analógicas usando MATLAB. Explica cómo muestrear ondas sinusoidales y triangulares con diferentes frecuencias de muestreo y cómo esto afecta la precisión de la señal reconstruida. También construye diagramas de bloques para simular bloqueadores de orden cero y uno y analiza cómo estos afectan la forma de la señal al variar la frecuencia de muestreo. Concluye que cuanto menor es el tiempo de muestreo, más precisa es la señal recon
Este documento describe los conceptos básicos de procesamiento digital de señales utilizando MATLAB, incluyendo la generación y gráfica de señales discretas, el submuestreo, sobremuestreo, procesamiento de audio y análisis en frecuencia mediante la transformada rápida de Fourier.
El documento describe las funciones de Bessel y su aplicación en frecuencia modulada. Se explica que las funciones de Bessel surgen al resolver ecuaciones de Laplace y Helmholtz en coordenadas cilíndricas y esféricas. También se detalla que las funciones de Bessel representan las amplitudes de las bandas laterales generadas en modulación de frecuencia. Finalmente, se explica la regla de Carson para calcular el ancho de banda mínimo necesario en una transmisión modulada en frecuencia.
Este documento introduce la serie de Fourier como una herramienta para representar funciones periódicas como la suma de componentes sinusoidales. Explica conceptos clave como funciones periódicas, componente de corriente directa, componente fundamental y armónicos. Además, muestra cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier y realiza ejemplos para ilustrar estos conceptos.
(1) El documento describe la serie de Fourier y las funciones periódicas.
(2) Euler descubrió en 1744 que la función (π-t)/2 puede aproximarse mediante una serie de senos.
(3) Daniel Bernoulli propuso en 1753 resolver el problema de ondas mediante la superposición de ondas senos y cosinos con nodos.
1) El documento describe la serie de Fourier, una representación de funciones periódicas como suma de funciones seno y coseno.
2) Explica conceptos como ortogonalidad, funciones pares e impares y cómo calcular los coeficientes de la serie.
3) Proporciona un ejemplo numérico de la serie de Fourier para una función de onda cuadrada.
El documento describe los conceptos básicos de la modulación digital. En primer lugar, explica que la modulación es el proceso de convertir una señal de origen a otra de destino, manteniendo la misma información. Luego, detalla los tres pasos para convertir una señal analógica en digital: muestreo, cuantización y codificación. Finalmente, analiza consideraciones clave como la tasa de muestreo de Nyquist y los efectos de submuestreo y aliasing.
Este documento presenta un resumen de los principales temas relacionados con el análisis de Fourier y las series de Fourier. Explica conceptos como funciones periódicas, componentes de directa, fundamental y armónicos, ortogonalidad de funciones seno y coseno, y cálculo de coeficientes de la serie de Fourier. El objetivo es aplicar estas herramientas al modelado y análisis de sistemas eléctricos bajo condiciones no senoidales.
Este documento explica la transformada de Fourier y la serie de Fourier. La serie de Fourier describe señales periódicas como una combinación de señales sinusoidales. La transformada de Fourier amplía este concepto a señales no periódicas mediante la aproximación de una señal no periódica como una señal continua de período infinito. La transformada de Fourier relaciona el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia y viceversa, permitiendo analizar el contenido espectral de una señal.
1. El documento introduce conceptos básicos sobre señales y el análisis de Fourier en MATLAB. Explica cómo representar señales discretas en MATLAB y realizar operaciones como cálculo de coeficientes de Fourier y transformadas de Fourier rápidas.
2. Se presentan ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de coeficientes de Fourier de una señal cuadrada, la reconstrucción de señales a partir de su serie de Fourier, y el cálculo de transformadas de Fourier de señales exponenciales moduladas.
Este documento trata sobre la conversión de señales analógicas a digitales. Explica las tres etapas principales de este proceso: muestreo, cuantización y codificación. El muestreo consiste en tomar muestras de la señal analógica en intervalos regulares de tiempo. La cuantización limita los valores de amplitud de la señal muestreada a un conjunto finito de valores. Finalmente, la codificación representa los valores cuantizados mediante palabras digitales.
Este documento describe la transformada de Hilbert, un operador matemático que introduce un desfase de 90 grados en el espectro de frecuencias de una señal. Explica el fundamento matemático de la transformada de Hilbert y cómo introduce este desfase de fase. También describe algunas aplicaciones importantes de la transformada de Hilbert en el área de comunicaciones, como la separación de señales basada en la selectividad de fase. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de la transformada de Hilbert para diferentes señales como impulsos rectangulares
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TEORÍA DE LA INFORMACIÓN Y CODIFICACIÓN FUENTE Toño Avilix
La teoría de la información trata de hacer la transmisión de información entre dos puntos lo más eficiente posible. Considera cómo se mide la información, la capacidad de los canales de comunicación y aspectos relacionados con la decodificación y el uso óptimo de los canales. Claude Shannon es considerado el padre de esta teoría.
El documento describe el diseño de filtros digitales pasa bajas derivados de un filtro Butterworth con diferentes frecuencias de corte. Se presentan los pasos para calcular los coeficientes del filtro y obtener las respuestas en frecuencia para frecuencias de corte de 10 Hz, 50 Hz, 100 Hz, 200 Hz y 450 Hz, a una frecuencia de muestreo de 500 Hz. Se muestran las gráficas de magnitud y fase de la función de transferencia para cada filtro.
Este documento presenta una introducción a las series de Fourier. Explica que las funciones periódicas pueden expresarse como una suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias. Define conceptos como el período, la componente fundamental, las armónicas y la componente de corriente directa. También cubre temas como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno, y cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier a partir de la función original.
Este documento presenta los objetivos y contenido de una conferencia sobre análisis de radiopropagación. La conferencia revisará la clasificación de los modos de propagación de ondas, introducirá los componentes de pérdidas de propagación a gran y pequeña escala, y elaborará el balance de potencia de un radioenlace. También comparará modelos de predicción de pérdidas y aplicará el modelo de propagación en espacio libre.
Este documento presenta un resumen de una conferencia sobre modulación digital pasabanda de señales digitales. Explica esquemas de modulación como QPSK, MSK y QAM coherentes, y compara sus espectros de potencia. También describe los diagramas de bloques de transmisores y receptores para QPSK y MSK coherentes. El documento provee detalles técnicos sobre cómo estas técnicas de modulación digital funcionan para transmitir señales binarias a través de un canal.
Este documento presenta 18 problemas relacionados con sistemas y circuitos en tiempo continuo y discreto. Los problemas cubren temas como determinar las señales de salida para diferentes sistemas dados sus entradas, propiedades de sistemas lineales e invariantes en el tiempo como causalidad y estabilidad, convolución de señales, y el análisis de interconexiones de sistemas en cascada. Los problemas utilizan conceptos como respuesta al impulso, convolución, propiedades de sistemas, y transformaciones de sistemas entre el dominio del tiempo y la
Este documento presenta una introducción a la transformada de Fourier y calcula la transformada de Fourier para varias funciones como pulsos rectangulares y triangulares, funciones exponenciales, oscilaciones amortiguadas, funciones de Gauss y la función delta de Dirac. Explica que la transformada de Fourier descompone una función en sus componentes de frecuencia y que la transformada inversa reconstruye la función original a partir de esas componentes.
Este documento explica conceptos clave relacionados con la transformada de Fourier, incluyendo su definición matemática, propiedades como la conservación de la energía, y cómo calcular la transformada de Fourier para funciones como pulsos rectangulares, triangulares, exponenciales, oscilaciones amortiguadas y la función de Dirac.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia a través de integrales de funciones exponenciales complejas. 2) Se extiende el concepto de serie de Fourier para funciones periódicas a funciones no periódicas mediante el uso de integrales en lugar de sumatorios. 3) Funciones como impulsos, escalones y senoides tienen transformadas de Fourier con expresiones analíticas conocidas como delta de Dirac, función constante y picos en frecuencias específicas respectivamente.
1) La transformada de Fourier es una transformada integral que asocia a cada función en el dominio del tiempo otra función en el dominio de la frecuencia. 2) Permite representar funciones periódicas y no periódicas en el dominio de la frecuencia a través de series de Fourier y funciones continuas respectivamente. 3) Tiene importantes aplicaciones para resolver problemas que son difíciles en el dominio del tiempo pero más sencillos en el dominio de la frecuencia.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia mediante una integral. 2) Para funciones periódicas, esta representación toma la forma de una serie de Fourier. 3) Al extender este concepto a funciones no periódicas a través de una integral continua, surge la transformada de Fourier como una herramienta poderosa para analizar funciones.
1) La transformada de Fourier permite representar funciones en el dominio de la frecuencia a partir de su representación en el dominio del tiempo. 2) Se define como una integral que relaciona la función en el dominio del tiempo, f(t), con su representación en el dominio de la frecuencia, F(ω). 3) La transformada de Fourier inversa permite obtener la función original en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.
Este documento explica la transformada de Fourier y la serie de Fourier. La serie de Fourier describe señales periódicas como una combinación de señales sinusoidales. La transformada de Fourier amplía este concepto a señales no periódicas mediante la aproximación de una señal no periódica como una señal continua de período infinito. La transformada de Fourier relaciona el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia y viceversa, permitiendo analizar el contenido espectral de una señal.
Este documento presenta la solución de un examen final de matemáticas con 5 problemas. El primer problema involucra el cálculo de la serie de Fourier de una función periódica y la evaluación de una suma utilizando el teorema de Parseval. El segundo problema pide demostrar el teorema de simetría de la transformada de Fourier y dar un ejemplo. El tercer problema solicita diseñar un circuito digital para una respuesta al impulso dada. El cuarto problema pide calcular la correlación cruzada entre dos señales. El quinto y último problema res
La transformada de Fourier es una transformación matemática que transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería. Las expresiones de la transformada de Fourier y su inversa permiten calcular la expresión en un dominio a partir de la otra y viceversa.
Este documento presenta los conceptos básicos de las series de Fourier, incluyendo definiciones, teoremas de convergencia y desarrollos de medio intervalo. Explica cómo aproximar numéricamente los coeficientes de Fourier de funciones periódicas mediante integración numérica en Matlab. También describe el fenómeno de Gibbs que ocurre cerca de los puntos de discontinuidad y la igualdad de Parseval. Finalmente, propone una serie de ejercicios resueltos para practicar el cálculo de coeficientes de Fourier y la aproximación de
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la transformada de Fourier. En menos de 3 oraciones: Introduce la transformada de Fourier como una herramienta para transformar funciones entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Explica que la transformada de Fourier y su inversa permiten calcular la expresión de una señal en un dominio a partir de su expresión en el otro dominio. Finalmente, resume algunas propiedades básicas como la linealidad y cómo la transformada maneja la derivación y traslación de señales.
Este documento explica la Transformada de Fourier y algunas de sus propiedades fundamentales. Introduce la notación matemática de la Transformada de Fourier y discute conceptos como el espectro continuo de magnitud y fase. También resume propiedades clave como la linealidad, desplazamiento en el dominio del tiempo, cambio de escala, multiplicación por una exponencial compleja, convolución y simetría. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como la Transformada Generalizada de Fourier y la Transformada de Laplace.
Este documento trata sobre la transformada de Fourier y la convolución. Explica que la transformada de Fourier permite representar una función no periódica en el dominio de la frecuencia y que la convolución en el dominio del tiempo es equivalente al producto punto a punto en el dominio espectral. También presenta ejemplos de transformadas de Fourier de funciones especiales y describe aplicaciones de la transformada de Fourier en ingeniería como el análisis de señales y el diseño de sistemas y filtros.
El documento explica los conceptos de espectro de amplitud, espectro de fase y espectros de frecuencia discreta. También introduce la transformada de Fourier como una extensión de las series de Fourier para representar funciones no periódicas en el dominio de la frecuencia a través de una función continua. Finalmente, menciona algunos ejemplos de equipos digitales que usan la FFT (Fast Fourier Transform) para calcular espectros de frecuencia a partir de señales del mundo real.
Este documento resume varias propiedades clave de la transformada de Fourier, incluidas su linealidad, simetría, y cómo se transforman funciones como la derivada, la convolución, el escalamiento y la integral. También presenta demostraciones matemáticas de estas propiedades y establece la relación entre las transformadas de Fourier y las series de Fourier.
El documento describe la transformada de Fourier, que relaciona las representaciones de una función en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier permite calcular la expresión F(ω) en el dominio de la frecuencia a partir de f(t) en el dominio del tiempo, y viceversa. Se definen las propiedades clave de la transformada de Fourier, como la linealidad, el escalado y la traslación. Finalmente, se presenta un ejemplo del cálculo de la transformada de Fourier de una función pulso rectangular.
El documento describe las series de Fourier, que expresan funciones periódicas como suma de funciones seno y coseno. Explica cómo calcular los coeficientes de la serie y cómo las simetrías de la función afectan a los términos seno y coseno en la serie.
1. La transformada de Laplace se define como una transformación integral que mapea funciones del tiempo a funciones complejas. Se describen varias propiedades como linealidad, cambio de escala y desplazamiento.
2. Se presentan dos ejemplos de aplicación. El primero resuelve una ecuación diferencial de vibraciones forzadas usando propiedades de la transformada. El segundo ejemplo resuelve una ecuación en derivadas parciales de primer orden.
3. En general, el documento introduce la transformada de Laplace defininiendola y describiendo sus propiedades fundament
Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo:
1) La definición de una función vectorial y sus componentes.
2) Los conceptos de límite y continuidad para funciones vectoriales.
3) La derivada de una función vectorial y su interpretación geométrica como vector tangente.
4) Los vectores tangente, normal y binormal asociados a una curva, y conceptos como curvatura y torsión.
El documento describe los diferentes tipos de señales periódicas y cómo representarlas mediante series de Fourier. Explica que una función periódica tiene un periodo mínimo T para el cual es igual en cualquier instante t + nT. Luego define las armónicas como las componentes sinusoidales de diferentes frecuencias que sumadas componen la función, y cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier mediante integración.
Similar a Convolución y su transformada de fourier (20)
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1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión San Cristóbal
Estado Táchira
Convolución y su transformada de
Fourier
Profesor: Integrante:
Licdo Domingo Méndez
Rodríguez Chaparro Yelizabeth Y.
Fecha. 31/08/2017 CI: 26.016.069
47. Ingeniería En Sistemas
San Cristóbal 2017
2. Teorema de convolución
En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas
circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a
punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por
ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio
(es decir dominio espectral).
Sean F y g dos funciones cuya convolución se expresa con f * g . (notar que el
asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado
también el símbolo ). Sea f el operador de la transformada de Fourier, con lo que
y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
Entonces
donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:
Aplicando la transformada inversa de Fourier F − 1 podemos escribir:
Demostración
La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la
transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de que
son inconvenientes aquí. Sean
Sean la transformada de Fourier de y a transformada de Fourier de :
Sea h la convolución de f y g
Nótese que
3. Del teorema de Fubini tenemos que así que su transformada de Fourier
está definida. Sea H la transformada de Fourier de h
Obsérvese que y gracias al argumento de
arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:
Sustituyendo ; tenemos , y por lo tanto:
Estas dos integrales son las definiciones de y , así que:
Que es lo que queríamos demostrar
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier de la función impulso unitario
La transformada de Fourier de la función impulso unitario es 1. Es decir (FTδ),
ℱ[δ(t)] = 1. (FTδ)
Gráficamente:
4. Demostración
Por definición de la transformada de Fourier (véase la Ecuación ??) se tiene que:
ℱ[δ(t)] = ∫ −∞∞δ(t)e−jwtdt (Aplicando delta_2 y delta_1) = e−jw0︸ 1 ∫ −∞∞δ(t)dt︸ 1 = 1.
Transformada de Fourier de una función constante
La transformada de Fourier de la función constante 1 es la función impulso,
multiplicada por 2π. Es decir (Ftcf),
ℱ[1] = ∫ −∞∞e−jwtdt = 2πδ(w). (Ftcf)
Gráficamente:
Demostración
Como sabemos, la transformada de Fourier de una función rectangular es la
función Sinc (véase la Sección ??), es decir
ℱ[gτ(t)] = τSinc(τ 2w).
Por otra parte, la función rectangular tiende a convertirse en una función
constante cuando τ →∞, es decir
limτ→∞gτ(t) = 1.
5. En consecuencia, la transformada de Fourier de la función constante 1 es la
transformada de Fourier de una función rectangular gτ(t), cuando τ →∞, es decir
ℱ[1] = limτ→∞τSinc(τ 2w) = (multiplicando y diviendo por 2π) = 2πlimτ→∞ τ
2πSinc(τ 2w) (aplicando la Expresión delta_muestreo para τ 2 ) = 2πδ(w).
Transformada de Fourier de la función exponencial compleja
La transformada de Fourier de la función exponencial compleja de frecuencia
w0 es un impulso unitario de energía 2π en w0 (FTCE),
ℱ[ejw0t] = 2πδ(w − w 0). (FTCE)
Gráficamente:
Demostración
Por definición
ℱ[ejw0t] = ∫ −∞∞ejw0te−jwtdt = ∫ −∞∞e−j(w−wo)tdt.
Si tenemos en cuenta la Ecuación Ftcf y sustituimos para w = w − w0 obtenemos que
ℱ[ejw0t] = 2πδ(w − w 0).
Transformada de Fourier de la función seno
La transformada de Fourier de la función seno de frecuencia w0 son dos
impulsos de energía jπ, uno positivo en − w0 y otro negativo en w0, es decir
(FTsin)
ℱ[sin(w0t)] = jπδ(w + w0) − δ(w − w0). (FTsin)
Gráficamente:
6. Demostración
Como sabemos,
sin(w0t) = ejw0t − e−jw0t 2j .
Por tanto (véase FTCE),
ℱ[sin(w0t)] = 1 2j(ℱ[ejw0t] −ℱ[e−jw0t]) = 1 2j2πδ(w − w0) − 2πδ(w + w0) = jπδ(w + w0)
− δ(w − w0).
Transformada de Fourier de la función coseno
La transformada de Fourier de la función coseno de frecuencia w0 son dos
impulsos positivos de energía jπ, uno en − w0 y otro en w0, es decir (FTCos)
ℱ[cos(w0t)] = jπδ(w + w0) + δ(w − w0). (FTCos)
Gráficamente:
Demostración
Como sabemos,
cos(w0t) = ejw0t + e−jw0t 2j . (1)
7. Por tanto (véase FTCE),
ℱ[cos(w0t)] = 1 2j(ℱ[ejw0t] + ℱ[e−jw0t]) = 1 2j2πδ(w − w0) + 2πδ(w + w0) = jπδ(w + w0)
+ δ(w − w0).
Transformada de Fourier de una función periódica
Como ya sabemos, podemos expresar cualquier función periódica f(t) mediante
su serie exponencial de Fourier (véase la Ecuación ??)
ℱ[f(t)] = ℱ[∑ n=−∞∞F nejnwot] = ∑ n=−∞∞F nℱ[ejnwot].
Aplicando ahora la Expresión FTCE llegamos a que
ℱ[f(t)] = 2π∑ n=−∞∞F nδ(w − nw0). (Ftpf)
Esta relación es muy importante porque establece que la función de densidad
espectral (la transformada de Fourier) de una señal periódica está compuesta
por impulsos localizados en las frecuencias armónicas (frecuencias múltiplos de
la frecuencia fundamental w0) de dicha señal, siendo la energía de cada impulso
2π multiplicado por el valor del coeficiente correspondiente de la serie
exponencial de Fourier.
Gráficamente (para el caso de la función rectangular):
Transformada de Fourier de un tren de impulsos unitarios equidistantes
La función tren de impulsos unitarios equidistantes es muy importante en la
teoría del muestreo porque representa matemáticamente el proceso de
muestreo de las señales.
Sea la función tren de impulsos unitarios (δT)
8. δT(t) = ∑ n=−∞∞δ(t − nT). (δT)
Entonces, su transformada de Fourier es otro tren de impulsos (ℱ[δT(t)])
ℱ[δT(t)] = w0 ∑ n=−∞∞δ(w − nw 0) = w0δw0(w).
Nótese que a medida que T aumenta el espectro se vuelve más denso y decrece
su amplitud.
Demostración
La serie exponencial de Fourier de δT(t) es δT(t) = ∑ n=−∞∞F nejnw0t
donde recordemos
w0 = 2π T
y
Fn = 1 T∫ −T 2 T 2 δT(t)e−jnw0tdt.
La función δT(t) en el intervalo (−T 2 , T 2 ) es simplemente δ(t). Por tanto
Fn = 1 T∫ −T 2 T 2 δ(t)e−jnw0tdt.
Por la forma en que se define la función impulso unitario se tiene que
1 T∫ −T 2 T 2 δ(t)e−jnw0tdt = 1 T∫ −∞∞δ(t)e−jnw0tdt.
Aplicando ahora la definición de la función δ(t) (Expresión delta_2) se tiene que
Fn = ejnw00 T ∫ −∞∞δ(t)dt = 1 T
y por tanto, que
δT(t) = 1 T∑ n=−∞∞ejnw0t.
9. Para encontrar su transformada de Fourier recurrimos a la Ecuación Ftpf. Así
llegamos a que
ℱ[δT(t)] = 2π∑ n=−∞∞1 Tδ(w − nw0) = 2π T ∑ n=−∞∞δ(w − nw 0) = w0 ∑ n=−∞∞δ(w
− nw 0) = w0δw0(w).
Transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo
Si ℱ[f(t)] = F(w)
entonces (ℱ[f(t − t0)])
ℱ[f(t − t0)] = F(w)e−jwt0 .
(ℱ[f(t
−
t0)])
Es decir, desplazar una función en el tiempo equivale a multiplicar en el dominio
de la frecuencia por la función exponencial compleja.
Demostración
Por definición de transformada de Fourier se tiene que
ℱ[f(t − t0)] = ∫ −∞∞f(t − t 0)e−jwtdt.
Sea x = t − t0. Entonces
ℱ[f(t − t0)] = ∫ −∞∞f(x)e−jw(x+t0)dx = ∫ −∞∞f(x)e−jwxdx ⋅ e−jwt0 = F(w)e−jwt0.
Transformada inversa de Fourier del espectro de una función desplazada en la
frecuencia
Si ℱ[f(t)] = F(w)
entonces (F(w − w0))
F(w − w0) = ℱ[f(t)ejw0t].
(F(w
−
w0))
Es decir, desplazar el espectro de una función equivale a multiplicar dicha
función en el dominio del tiempo por una exponencial compleja.
Demostración
Por definición de transformada de Fourier se tiene que
10. ℱ[f(t)ejw0t] = ∫ −∞∞[f(t)ejw0t]e−jwtdt = ∫ −∞∞f(t)e−j(w−w0)tdt
(Por definición de transformada de Fourier para w = w − w0) = F(w − w0).
La convolución de funciones
Sean f1(t) y f2(t) dos funciones. Su convolución f1(t) ∗ f2(t) se define como (f1(t)
∗ f2(t)) [1]
f1(t) ∗ f2(t) = ∫ −∞∞f 1(τ)f2(t − τ)dτ.
(f1(t)
∗
f2(t))
La convolución de dos funciones f1(t) y f2(t) se calcula para los distintos valores
de t que desplaza a f2(t − τ) en t (segundos) y calculando el area de superposición
de las funciones. Así:
1. Si t < 0 tenemos el caso:
11. 1. y como puede apreciarse, no existe solapamiento, es decir
f1(τ)f2(t − τ) = 0.
2. Si t = 0:
1. comienza a existir solapamiento.
3. Si t = 1∕2:
1. el area de solapamiento es 1/4.
4. Si t = 1:
1. el area es 1/2.
5. Si t = 3∕4:
12. 1. el area de solapamiento es 1/4.
6. Si t = 2:
1. el area de solapamiento vuelve a ser 0.
Por tanto:
El teorema de convolución en el dominio del tiempo
Establece que la convolución de dos funciones f1(t) y f2(t) en el dominio del
tiempo equivale al multiplicar sus espectros F1(w) y F2(w), es decir (ConvT),
f1(t) ∗ f2(t) = ℱ−1[F 1(w)F2(w)]. (ConvT)
Demostración
13. Por definición de la transformada de Fourier y de la operación de convolución se tiene
que
ℱ[f1(t) ∗ f2(t)] = ∫ −∞∞∫ −∞∞f 1(τ)f2(t − τ)dτe−jwtdt = ∫ −∞∞f 1(τ)∫ −∞∞f 2(t − τ)e−jwtdt︸
F2(w)e−jwτdτ.
Nótese que
∫ −∞∞f 2(t − τ)e−jwtdt = ℱ{f 2(t − τ)}
y aplicando la Expresión ℱ[f(t − t0)] llegamos a que
∫ −∞∞f 2(t − τ)e−jwtdt = F 2(w)e−jwτ.
Por tanto
ℱ[f1(t) ∗ f2(t)] = ∫ −∞∞f 1(τ)F2(w)e−jwτdτ = F2(w)∫ −∞∞f 1(τ)e−jwτdτ = F1(w)F2(w).
El teorema de convolución en el dominio de la frecuencia
Establece que la multiplicación de dos funciones f1(t) y f2(t) en el dominio del
tiempo equivale (salvo por un factor de escala) al convolucionar sus espectros
F1(w) y F2(w), es decir (ConvF),
f1(t)f2(t) = ℱ−1 1 2πF1(w) ∗ F2(w). (ConvF)
Demostración
Por definición de la transformada inversa de Fourier (Eq. ??)
ℱ−1 1 2πF1(w) ∗ F2(w) = 1 2π∫ −∞∞ 1 2πF1(w) ∗ F2(w)ejwtdw
Por definición de convolución (Eq. f1(t) ∗ f2(t))
= 1 2π∫ −∞∞ 1 2π∫ −∞∞F 1(τ)F2(w − τ)dτejwtdw
reordenando
= 1 2π∫ −∞∞F 1(τ) 1 2π∫ −∞∞F 2(w − τ)ejwtdwdτ.
Si utilizamos ahora la Eq. F(w − w0) y aplicamos la transformada inversa de Fourier
llegamos a que
1 2π∫ −∞∞F 2(w − τ)ejwtdw = f 2(t)ejτt.
Por tanto, sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior tenemos que
ℱ−1 1 2πF1(w) ∗ F2(w) = 1 2π∫ −∞∞F 1(τ)f2(t)ejτtdτ
reordenando
14. = f2(t) 1 2π∫ −∞∞F 1(τ)ejτtdτ
aplicando, de nuevo, la transformada inversa de Fourier (Eq. ??)
= f2(t)f1(t).
Convolución de una función con la función impulso unitario
La convolución de una función f(t) con la función impulso unitario δ(t) resulta en la misma
función f(t). Es decir,
f(t) ∗ δ(t) = f(t).
Demostración
Como sabemos, por el teorema de convolución en el tiempo
f(t) ∗ δ(t) = ℱ−1[F(w)Δ(w)].
También sabemos de la Eq. FTδ que Δ(w) = 1, por lo que necesariamente
f(t) ∗ δ(t) = ℱ−1[F(w)] = f(t).
Convolución con la función impulso unitario desplazada
La convolución de una función f(t) con la función impulso unitario desplazada en
el tiempo δ(t − t0) resulta la misma función f(t) desplazada en el tiempo. Es decir
(f(t) ∗ δ(t − t0)),
f(t) ∗ δ(t − t0) = f(t − t0).
(f(t)
∗
δ(t
−
t0))
Demostración
Aplicando el teorema de convolución en el tiempo (Eq. ConvT) y la Eq. ℱ[f(t − t0)]
llegamos a que
f(t) ∗ δ(t − t0) = ℱ−1F(w)(Δ(w)e−jwt0) = ℱ−1(F(w)e−jwt0)Δ(w)
(teniendo en cuenta, de nuevo, la Eq. ℱ[f(t − t0)]) = ℱ−1ℱ[f(t − t0)]Δ(w)︸1 = ℱ−1ℱ[f(t −
t0)] = f(t − t0).
15. Propiedades de la transformada de Fourier
Definición de la transformada de Fourier
Tabla resumen de propiedades
Propiedad Definición
Linealidad
Dualidad
Cambio de escala
Inversión el tiempo
Traslación en el tiempo
16. Traslación en frecuencia
Derivación en el tiempo
Derivación en la
frecuencia
Transformada de la
integral
Transformada de la
convolución
Teorema de Parseval