Series Infinitas

Series de Potencia
Representaciń de funciones como series de Potencia
o
Series de Taylor
Series de Maclaurin

Integrantes del Equipo:
Arenas P´rez Diana Pamela
e
Ch´vez Mńdez Erick Gabino
a e
Otero Palacios Manuel Emilio
Struck Aguilar Karina

Benem´rita Universidad Autńoma de Puebla
e o

11 de mayo de 2010

Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad AutńomaRepresentaciń de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 1 / 44

´
Indice General
1 Series de Potencias
Definiciń 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definiciń 0.4.
o


´
Indice General
Definiciń 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definiciń 0.4.
o
2 Representaciń de Funciones como Series de Potencias
o
Teorema 2


´
Indice General
Definiciń 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definiciń 0.4.
o
o
Teorema 2
3 Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 5
Serie de Taylor
Serie de Maclaurin
Teorema 8
Teorema 9


´
Indice General
Definiciń 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definiciń 0.4.
o
o
Teorema 2
3 Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 5
Serie de Taylor
Serie de Maclaurin
Teorema 8
Teorema 9
4 Bibliograf´
ıa


Series de Potencia
Definiciń 0.1.
o

0.1. Definiciń de una serie de potencias
o
Una serie de la forma
∞
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . . (1)
n=0

se llama serie de potencias en (x − a), o serie de potencias centrada
en a o serie de potencias alrededor de a.

Por conveniencia consideramos (x − a)0 = 1, aun cuando x = a


Series de Potencia
Ejemplo 1

Ejemplo 1
∞
Considere la serie geom´trica en la que a = 1 y r = x, la cual es
e xn.
n=0
1
Esta serie converge a la suma si |x| < 1. Por tanto, la serie de
1−x
∞
1
potencias x n deﬁne la funci´n f para la cual f (x) =
o y cuyo
n=0
1−x
dominio es el intervalo abierto (−1, 1).
De esta manera se escribe
1
1 + x + x2 + x 3 + · · · + xn + · · · = si |x| < 1 (2)
1−x

La serie de potencias (2) puede emplearse para formar otra serie de
potencias cuya sumas pueden determinarse.

Series de Potencia
Ejemplo 2

Ejemplo 2
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es
convergente:
∞
2n x n
(−1)n+1 n
n=1
n3


Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 2
o

Soluci´n
o
Para la serie dada,
2n x n 2n+1 x n+1
an = (−1)n+1 y an+1 = (−1)n+2
n3n (n + 1)3n+1


Series de Potencia
o

Soluci´n
o
Para la serie dada,
2n x n 2n+1 x n+1
an = (−1)n+1 y an+1 = (−1)n+2
n3n (n + 1)3n+1
De modo que

an+1 2n+1 x n+1 n3n
l´
ım = l´
ım · n n
n→∞ an n→∞ (n + 1)3n+1 2 x

2 n
ım |x|
= l´
n→∞ 3 n+1
2
= |x|
3


Series de Potencia
o

Continuaciń soluciń
o o
Por tanto, la serie de potencias es absoultamente convergente cuando
2 3
3 |x| < 1, o equivalentemente, cuando |x| < 2 . La serie es divergente
cuando |x| > 2 . Cuando 2 |x| = 1, el criterio de la razń falla. Cuando
3
3 o
3
x = 2 la serie de potencias dada se convierte en la serie armńica
o
alternante
1 1 1 1 1
− + − + · · · + (−1)n+1 + · · ·
1 2 3 4 n
la cual es convergente. Cuando x = − 3 se tiene
2

1 1 1 1 1
− − − − − ··· − − ···
1 2 3 4 n
la cual es la negativa de la serie armńica, que es divergente.
o


Series de Potencia
o

Continuaci´n soluci´n
o o
Por tanto, se concluye que la serie de potencias dada es absolutamente
convergente cuando − 3 < x < 2 y es condicionalmente convergente
2
3

cuando x = 3 . Si x ≤ − 3 o x > 2 , la serie es divergente.
2 2
3


Series de Potencia
Ejemplo 3

Ejemplo 3
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es
convergente:
∞
xn
(−1)n+1
n=1
n!


Series de Potencia
Soluciń Ejemplo 3
o

Soluciń
o
Para la serie dada,
xn x n+1
an = y an+1 =
n! (n + 1)!
de modo que al aplicar el criterio de la razń se tiene
o

an+1 x n+1 n!
l´
ım = l´ım ·
n→∞ an n→∞ (n + 1)! x n

1
= |x| l´
ım
n→∞ n + 1
=0 0<1

Por lo tanto, la serie de potencias dada es absolutamente convergente para
toda x
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad AutńomaRepresentaciń de funciones como series de Potencia Series de10 / 44 Se
o 11 de mayo de 2010 Taylor

Series de Potencia
Teorema 0.1.

Teorema 0.1.
∞
Si la serie de potencias cn x n es convergente para x = x1 (x1 = 0),
n=0
entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para
los cuales |x| < |x1 |.


Series de Potencia
Teorema 0.2.

Teorema 0.2.
∞
Si la serie de potencias cn x n es divergente para x = x2 , entonces es
n=0
divergente para todos los valores de x para los cuales |x| > |x2 |.


Series de Potencia
Teorema 0.3.

Teorema 0.3.
∞
Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y
n=0
s´lo una de las siguientes condiciones:
o


Series de Potencia
Teorema 0.3.

Teorema 0.3.
∞
n=0
o
1 La serie converge s´lo cuando x = 0
o


Series de Potencia
Teorema 0.3.

Teorema 0.3.
∞
n=0
o
o
2 La serie es convergente para todos los valores de x


Series de Potencia
Teorema 0.3.

Teorema 0.3.
∞
n=0
o
o
2 La serie es convergente para todos los valores de x
3 Existe un n´mero real R > 0 tal que la serie es convergente para
u
todos los valores de x tales que |x − a| < R y diverge para todos los
valores de x tales que |x − a| > R.


Series de Potencia
Definiciń 0.4.
o

Definiciń 0.4
o
El n´mero R del caso (3) del teorema 0.3, se denomina radio de
u
convergencia de la serie de potencias. Por convenciń, el radio de
o
convergencia es R = 0; para el caso (1) y R = ∞ para el caso (2).
El intervalo de convergencia de una serie de potencias, es el
conjunto de todos los x ∈ R para los cuales la serie es convergente.


Series de Potencia

Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una
serie de potencias en x − a
1 Aplique el criterio de la razń (o en ocasiones el criterio de la ra´
o ız)
para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series
convergen absoluatmente para todos los valores de x, y algunas otras
convergen s´lo en un n´mero.
o u
2 Si R > 0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo
(a − R, a + R) y diverge para |x − a| > R. Verifique la convergencia
en los extremos del intervalo (a − R, a + R) mediante los m´todos ya
e
vistos, por supuesto, ninguna conclusiń acerca de la convergencia en
o
los extremos puede inferirse del criterio de la razń o del criterio de la
o
ra´
ız.


Series de Potencia
Ejemplo 4

Ejemplo 4
Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie
∞
(−3)n x n
√
n=0
n+1


Series de Potencia
Ejemplo 4

Soluciń Ejemplo 4
o
(−3)n x n
Sea an = √
n+1
. Entonces

√
an+1 (−3)n+1 x n+1 n+1
= √ ·
an n+2 (−3)n x n
1 + (1/n)
=3 |x| → 3|x| cuando n → ∞
1 + (2/n)

Por la prueba de la razń, la serie dada converge si 3|x| < 1 y diverge si
o
3|x| > 1.
1 1
Por lo tanto, converge si |x| < 3 y diverge si |x| > 3 . Esto significa que el
1
radio de convergencia es R = 3 .


Series de Potencia
o

Continuaci´n
o
Sabemos que la serie converge en el intervalo − 1 , 3 , pero ahora
3
1

debemos investigar la convergencia en los puntos extremos de dicho
1
intervalo. Si x = − 3 , la serie viene a ser
n
∞ (−3)n − 1
3
∞
1 1 1 1 1
√ = √ = √ + √ + √ + √ + ...
n=0
n+1 n=0
n+1 1 2 3 4
1
Observamos que es una serie p con p = 2 < 1, por lo tanto diverge.


Series de Potencia
o

Continuaci´n
o
1
Si x = 3 , la serie es
n
∞ (−3)n 1
3
∞
(−1)n
√ = √
n=0
n+1 n=0
n+1

que converge, seg´n la prueba de la serie alternante. Por lo tanto la serie
u
de potencias original converge cuando − 1 < x ≤ 1 , y el intervalo de
3 3
convergencia es − 1 , 1 .
3 3


Series de Potencia
Ejemplo 5

Ejemplo 5
Determine el intervalo de convergencia de la serie
∞
n(x − 2)n
n=1


Series de Potencia
Soluciń Ejemplo 5
o

Soluciń
o
La serie de potencia dada es

(x − 2) + 2(x − 2)2 + . . . + n(x − 2)n + (n + 1)(x − 2)n+1 + . . .

Al aplicar el criterio de la razń se tiene
o

an+1 (n + 1)(x − 2)n+1
l´
ım = l´ım
n→∞ an n→∞ n(x − 2)n
n+1
= |x − 2| l´
ım
n→∞ n
= |x − 2|


Series de Potencia
Continuaciń soluciń Ejemplo 5
o o

Soluciń
o
La serie dada ser´ absolutamente convergente si |x − 2| < 1 o,
a
equivalentemente, −1 < x − 2 < 1, o bien, 1 < x < 3.
∞
Cuando x = 1, la serie (−1)n n, la cual es divergente debido a que
n=1
∞
l´ an = 0. Cuando x = 3 la serie es
ım n, la cual es tambiń divergente
e
n→∞
n=1
ya que l´ an = 0. Por tanto el intervalo de convergencia es (1, 3). As´
ım ı,
n→∞
la serie de potencias dada define una funciń que tiene el intervalo (1, 3)
o
como su dominio.


Representaciń de funciones como series de potencias
o

Aprenderemos como representar una funciń como la suma de una serie de
o
potencias mediante series geom´tricas, o diferenciando o integrando tales
e
series.
Comenzaremos con la siguiente ecuaciń:
o
∞
1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . = xn |x| < 1 (3)
1−x n=0

Esta es una serie geom´trica con a = 1 y r = x. Aqu´ la ecuaciń anterior
e ı o
expresa la funciń f (x) = 1/ (1 − x) en forma de una suma de serie de
o
potencias.
Regresar a Soluciń
o


o
Ejemplo 1

Ejemplo 1
1
Exprese en t´rminos de la suma de una serie de potencias y
e
(1 + x 2 )
determine el intervalo de convergencia.


o
o

Soluci´n
o
Si reemplazamos x con −x 2 en la ecuaci´n (3)
o obtendremos
∞
1 1 n
= = −x 2
1 + x2 1 − (−x 2 ) n=0
∞
= (−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − . . .
n=0

Ya que es una serie geom´trica, converge cuando −x 2 < 1, esto es
e
x 2 < 1, o |x| < 1.

Asi pues, el intervalo de convergencia es (−1, 1).


o
Derivaciń e integraciń de series de potencias
o o

Teorema 2
Si la serie de potencias cn (x − a)n tiene el radio de convergencia
R > 0, la funciń f definida por
o
∞
2
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + · · · = cn (x − a)n
n=0

es derivable (y, en consecuencia, continua) en el intervalo a − R, a + R y
∞
f (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . . = ncn (x − a)n−1 (i)
n=1
(x − a)2 (x − 3)3
f (x) = C + c0 (x − a) + c1 + c2 + ··· (ii)
2 3
∞
(x − a)n+1
=C+ cn
n=0
n+1

o
o o

Nota 1
Las ecuaciones (i) y (ii) se pueden escribir
∞ ∞
d d
cn (x − a)n = [cn (x − a)n ] (iii)
dx n=0 n=0
dx
∞ ∞
cn (x − a)n dx = cn (x − a)n dx (iv)
n=0 n=0

Para sumas finitas, la derivada de una suma es igual a la suma de las
derivadas, y que la integral de una suma es igual a la suma de sus
integrales. Las ecuaciones (iii) y (iv) afirman que lo mismo es v´lido para
a
sumas infinitas, siempre y cuando se trate de series de potencias


o
o o

Nota 2
Aunque el teorema 2 establece que el radio de convergencia no cambia
cuando se deriva o integra una serie de potencias, esto no signiﬁca que el
intervalo de convergencia no se altere. Puede suceder que la serie original
converja en un punto extremo, mismo en que la serie derivada diverge.

Nota 3
La idea de derivar una serie de potencias t´rmino a t´rmino es la base de
e e
un potente m´todo de soluci´n de ecuaciones diferenciales.
e o


o
o o

Ejemplo 2
Exprese 1/(1 − x)2 en forma de una serie de potencias al derivar la
ecuaci´n (3). ¿Cu´l es el radio de convergencia?
o a


o
Soluciń Ejemplo 2
o

Al derivar ambos lados de la ecucaciń
o
∞
1 2 3
= 1 + x + x + x + ··· = xn
1−x n=0

obtenemos
∞
1
= 1 + 2x + 3x 2 + · · · = nx n+1
(1 − x)2 n=0

Si lo deseamos, podemos sustituir n por n + 1 y escribir la respuesta como
∞
1
= (n + 1)x n
(1 − x)2 n=0

Segń el teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el
u
mismo que es de la serie original, R = 1.

o
o o

Ejemplo 3
Deduzca una representaciń de ln(1 − x) en serie de potencias y determine
o
su radio de convergencia.

Soluciń
o
La derivada de esta funciń es 1/(1 − x), excepto por un factor −1.
o
As´ pues, integraremos ambos lados de la ecucaciń 3:
ı o

1 x2 x3
− ln(1 − x) = dx = C + x + + + ···
1−x 2 3
∞ ∞
x n+1 xn
=C+ =C+ |x| < 1
n=0
n+1 n=1
n


o
o o

Continuaciń Soluciń
o o
A fin de hallar el valor de C sea x = 0 en esta ecuaciń resulta
o
− ln(1 − 0) = C .
Entonces, C = 0 y
∞
x2 x3 x3 xn
ln(1 − x) = −x − − − ··· = − + ··· = − |x| < 1
2 3 3 n=1
n

El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R = 1


o
o o

Ejemplo 4
Eval´e [1/(1 + x 7 )]dx en serie de potencias.
u

Soluci´n
o
El primer paso es expresar el integrando, 1/(1 + x 7 ), como la suma de una
serie de potencias. Al igual que en el ejemplo 1, partimos de la ecuacion
(3) y reemplazamos x con −x 7 :
∞
1 1
= = (−x 7 )n
1 + x7 1 − (−x 7 ) n=0
∞
= (−1)n (x)7n = 1 − x 7 + x 14 − · · ·
n=0


o
o o

Continuaci´n Soluci´n Ejemplo 4
o o

Ahora integrando t´rmino a t´rmino:
e e
∞ ∞
1 x 7n+1
dx = (−1)n x 7n dx = C + (−1)n
1 + x7 n=0 n=1
7n + 1
x 8 x 15 x 22
=C +x − + − + ···
8 15 22
Esta serie converge para | − x 7 | < 1, esto es, cuando |x| < 1


Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 5

Teorema 5
Si f tiene una representaciń (desarrollo) en forma de serie de potencias en
o
a, esto es, si
∞
f (x) = cn (x − a)n |x − a| < R
n=0

los coeficientes estń expresados por la f´rmula
a o

f (n) (a)
cn =
n!
Al sustituir esta f´rmula de cn de nuevo en la serie, si f tiene un desarrollo
o
en serie de potencias en a, ha de ser de la forma:


Serie de Taylor

Ecuaciń 6
o

∞
f (n) (a)
f (x) = (x − a)n
n=0
n!
f (a) f (a) f (a)
= f (a) + (x − a) + (x − a)2 + (x − a) + · · ·
1! 2! 3!
La serie de la ecuaciń 6, se llama serie de Taylor de la funciń f en a
o o
(alrededor de a o centrada en a ).


Serie de Maclaurin

En el caso especial en que a = 0 la serie se transforma en
Ecuaci´n 7
o
∞
f (n) (0) n f (0) f (0) 2
f (x) = (x) = f (0) + x+ x + ···
n=0
n! 1! 2!

Este caso se da con frecuencia y se le nombra serie de Maclaurin


Teorema 8

Teorema 8
Si f (x) = Tn (x) + Rn (x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-´simo
e
grado de f en a y
l´ Rn (x) = 0
ım
n→∞

cuando |x − a| < R, entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en
el intervalo |x − a| < R.


Teorema 9

Teorema 9 Desigualdad de Taylor
Si |f n+1 (x)| ≤ M , para |x − a| ≤ d, entonces el residuo Rn (x) de la serie
de Taylor satisface la desigualdad
M
|Rn (x)| ≤ |x − a|n+1 para |x − a| ≤ d
(n + 1)!


Ecuaci´n 10
o

Al aplicar los teoremas 8 y 9, suele ser util usar el hecho siguiente:
´
Ecuaci´n 10
o

xn
l´
ım =0 para todo n´mero real x
u
n→∞ n!


Ejemplo 1

Ejemplo 1
Demuestre que e x es igual a la suma de sus serie de Maclaurin

Soluci´n
o
Si f (x) = e x , entonces f (n+1) (x) = e x para toda n. Si d es cualquier
n´mero positivo |x| ≤ d, entonces |f (n+1) (x)| = e x ≤ e d . De manera que
u
la desigualdad de Taylor, con a = 0 y M = e d , dice que

ed
|Rn (x)| ≤ |x|n+1 para |x| ≤ d
(n + 1)!

Observe que la misma constante M = e d es efectiva para todo valor de n.


continuaciń Ejemplo 1
o

Pero de la ecucaciń 10, tenemos
o

ed |x|n+1
l´
ım |x|n+1 = e d l´
ım =0
n→∞ (n + 1)! n→∞ (n + 1)!

Se sigue del teorema del emparedado que l´ |Rn (x)| = 0 y por lo tanto
ım
n→∞
l´ Rn (x) = 0 para todos los valores de x. Para el teorema 8, e x es igual
ım
n→∞
a la suma de sus serie de Maclaurin, es decir,
Ecuaciń 11
o

∞
xn
ex = para toda x
n=0
n!



En particular, si x = 1 en la ecucaciń 11, obtendremos la siguiente
o
representaciń del n´mero e como una suma de serie infinita:
o u
Ecuaciń 11
o

∞
1 1 1 1
ex = = 1 + + + + ···
n=0
n! 1! 2! 3!


Bibliograf´
ıa

Leithold, Louis.
El C´lculo 7 ed. Oxford University Press M´xico. 2009.
a e
Stewart, James.
C´lculo Multivariable. Thomson Learning. 2001
a


Series Infinitas

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Series Infinitas

Último

Series Infinitas