Este documento presenta una introducción a las series de potencias. Define una serie de potencias y ofrece ejemplos para ilustrar su uso. Incluye teoremas clave sobre la convergencia de series de potencias. El documento contiene cuatro secciones principales: series de potencias, representación de funciones como series de potencias, series de Taylor y de Maclaurin, y bibliografía.
Libro dedicado al cálculo aproximado de raíces de ecuaciones no lineales utilizando Octave: Bisección, Regula, Secante, Pto. Fijo, Newton-Raphson, Wegstein, Müller, Sturm, etc.
La Estática, es una ciencia de la Mecánica Teórica, que estudia el equilibrio de diversos elementos o sistemas estructurales sometidos a la acción externa de cargas puntuales y distribuidas, así como de momentos.
Por lo general, los textos base de Estática, son muy voluminosos y, principalmente, se centran en la descripción teórica, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje a través de trabajos domiciliarios e investigación, conducentes a un mejor dominio de la materia.
Es por ello, que tomé el reto de escribir un libro, que haga más didáctico el proceso de estudio individual, resolviendo para ello 125 problemas tipos en forma seria y con el rigor científico, propiciando de manera más amena la convivencia con la Estática.
En el presente libro, se tratan temas que en la mayoría de programas de las universidades se analizan y que son muy importantes en la formación profesional de los ingenieros civiles. Como base se tomó la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Estática en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego.
En mi modesta opinión, el presente libro es único en su género, tanto en la forma de resolución de problemas; así como en su contenido, que no es una repetición de otros textos, editados anteriormente.
El presente libro consta de 5 capítulos y bibliografía.
En el primer capítulo se analizan las diversas formas de las fuerzas y momentos, a las cuales están sometidas las estructuras.
En el segundo capítulo se estudian el equilibrio de estructuras simples, estructuras con rótulas intermedias, estructuras compuestas y estructuras espaciales.
En el tercer capítulo se calculan los centroides en alambres y áreas, así como, los momentos de inercia de áreas planas y de perfiles metálicos.
En el cuarto capítulo se analizan diversos tipos de armaduras, a través del método de los nudos y método de las secciones.
En el quinto capítulo se calculan las fuerzas internas y se grafican los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para vigas, pórticos, arcos y estructuras espaciales.
Libro dedicado al cálculo aproximado de raíces de ecuaciones no lineales utilizando Octave: Bisección, Regula, Secante, Pto. Fijo, Newton-Raphson, Wegstein, Müller, Sturm, etc.
La Estática, es una ciencia de la Mecánica Teórica, que estudia el equilibrio de diversos elementos o sistemas estructurales sometidos a la acción externa de cargas puntuales y distribuidas, así como de momentos.
Por lo general, los textos base de Estática, son muy voluminosos y, principalmente, se centran en la descripción teórica, lo cual dificulta el proceso de aprendizaje a través de trabajos domiciliarios e investigación, conducentes a un mejor dominio de la materia.
Es por ello, que tomé el reto de escribir un libro, que haga más didáctico el proceso de estudio individual, resolviendo para ello 125 problemas tipos en forma seria y con el rigor científico, propiciando de manera más amena la convivencia con la Estática.
En el presente libro, se tratan temas que en la mayoría de programas de las universidades se analizan y que son muy importantes en la formación profesional de los ingenieros civiles. Como base se tomó la experiencia adquirida en el dictado de los cursos de Estática en la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, Universidad de San Martín de Porres y Universidad Privada Antenor Orrego.
En mi modesta opinión, el presente libro es único en su género, tanto en la forma de resolución de problemas; así como en su contenido, que no es una repetición de otros textos, editados anteriormente.
El presente libro consta de 5 capítulos y bibliografía.
En el primer capítulo se analizan las diversas formas de las fuerzas y momentos, a las cuales están sometidas las estructuras.
En el segundo capítulo se estudian el equilibrio de estructuras simples, estructuras con rótulas intermedias, estructuras compuestas y estructuras espaciales.
En el tercer capítulo se calculan los centroides en alambres y áreas, así como, los momentos de inercia de áreas planas y de perfiles metálicos.
En el cuarto capítulo se analizan diversos tipos de armaduras, a través del método de los nudos y método de las secciones.
En el quinto capítulo se calculan las fuerzas internas y se grafican los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para vigas, pórticos, arcos y estructuras espaciales.
n matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
1. Series de Potencia
Representaci´n de funciones como series de Potencia
o
Series de Taylor
Series de Maclaurin
Integrantes del Equipo:
Arenas P´rez Diana Pamela
e
Ch´vez M´ndez Erick Gabino
a e
Otero Palacios Manuel Emilio
Struck Aguilar Karina
Benem´rita Universidad Aut´noma de Puebla
e o
11 de mayo de 2010
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 1 / 44
2. ´
Indice General
1 Series de Potencias
Definici´n 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definici´n 0.4.
o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 2 / 44
3. ´
Indice General
1 Series de Potencias
Definici´n 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definici´n 0.4.
o
2 Representaci´n de Funciones como Series de Potencias
o
Teorema 2
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 2 / 44
4. ´
Indice General
1 Series de Potencias
Definici´n 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definici´n 0.4.
o
2 Representaci´n de Funciones como Series de Potencias
o
Teorema 2
3 Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 5
Serie de Taylor
Serie de Maclaurin
Teorema 8
Teorema 9
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 2 / 44
5. ´
Indice General
1 Series de Potencias
Definici´n 0.1.
o
Teorema 0.1.
Teorema 0.2.
Teorema 0.3.
Definici´n 0.4.
o
2 Representaci´n de Funciones como Series de Potencias
o
Teorema 2
3 Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 5
Serie de Taylor
Serie de Maclaurin
Teorema 8
Teorema 9
4 Bibliograf´
ıa
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 2 / 44
6. Series de Potencia
Definici´n 0.1.
o
0.1. Definici´n de una serie de potencias
o
Una serie de la forma
∞
cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . . (1)
n=0
se llama serie de potencias en (x − a), o serie de potencias centrada
en a o serie de potencias alrededor de a.
Por conveniencia consideramos (x − a)0 = 1, aun cuando x = a
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 3 / 44
7. Series de Potencia
Ejemplo 1
Ejemplo 1
∞
Considere la serie geom´trica en la que a = 1 y r = x, la cual es
e xn.
n=0
1
Esta serie converge a la suma si |x| < 1. Por tanto, la serie de
1−x
∞
1
potencias x n define la funci´n f para la cual f (x) =
o y cuyo
n=0
1−x
dominio es el intervalo abierto (−1, 1).
De esta manera se escribe
1
1 + x + x2 + x 3 + · · · + xn + · · · = si |x| < 1 (2)
1−x
La serie de potencias (2) puede emplearse para formar otra serie de
potencias cuya sumas pueden determinarse.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 4 / 44
8. Series de Potencia
Ejemplo 2
Ejemplo 2
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es
convergente:
∞
2n x n
(−1)n+1 n
n=1
n3
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 5 / 44
9. Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 2
o
Soluci´n
o
Para la serie dada,
2n x n 2n+1 x n+1
an = (−1)n+1 y an+1 = (−1)n+2
n3n (n + 1)3n+1
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 6 / 44
10. Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 2
o
Soluci´n
o
Para la serie dada,
2n x n 2n+1 x n+1
an = (−1)n+1 y an+1 = (−1)n+2
n3n (n + 1)3n+1
De modo que
an+1 2n+1 x n+1 n3n
l´
ım = l´
ım · n n
n→∞ an n→∞ (n + 1)3n+1 2 x
2 n
ım |x|
= l´
n→∞ 3 n+1
2
= |x|
3
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 6 / 44
11. Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 2
o
Continuaci´n soluci´n
o o
Por tanto, la serie de potencias es absoultamente convergente cuando
2 3
3 |x| < 1, o equivalentemente, cuando |x| < 2 . La serie es divergente
cuando |x| > 2 . Cuando 2 |x| = 1, el criterio de la raz´n falla. Cuando
3
3 o
3
x = 2 la serie de potencias dada se convierte en la serie arm´nica
o
alternante
1 1 1 1 1
− + − + · · · + (−1)n+1 + · · ·
1 2 3 4 n
la cual es convergente. Cuando x = − 3 se tiene
2
1 1 1 1 1
− − − − − ··· − − ···
1 2 3 4 n
la cual es la negativa de la serie arm´nica, que es divergente.
o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 7 / 44
12. Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 2
o
Continuaci´n soluci´n
o o
Por tanto, se concluye que la serie de potencias dada es absolutamente
convergente cuando − 3 < x < 2 y es condicionalmente convergente
2
3
cuando x = 3 . Si x ≤ − 3 o x > 2 , la serie es divergente.
2 2
3
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 8 / 44
13. Series de Potencia
Ejemplo 3
Ejemplo 3
Determine los valores de x para los cuales la serie de potencias es
convergente:
∞
xn
(−1)n+1
n=1
n!
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de mayo de 2010 de Taylor Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 Potencia Series 9 / 44
14. Series de Potencia
Soluci´n Ejemplo 3
o
Soluci´n
o
Para la serie dada,
xn x n+1
an = y an+1 =
n! (n + 1)!
de modo que al aplicar el criterio de la raz´n se tiene
o
an+1 x n+1 n!
l´
ım = l´ım ·
n→∞ an n→∞ (n + 1)! x n
1
= |x| l´
ım
n→∞ n + 1
=0 0<1
Por lo tanto, la serie de potencias dada es absolutamente convergente para
toda x
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de10 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
15. Series de Potencia
Teorema 0.1.
Teorema 0.1.
∞
Si la serie de potencias cn x n es convergente para x = x1 (x1 = 0),
n=0
entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para
los cuales |x| < |x1 |.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de11 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
16. Series de Potencia
Teorema 0.2.
Teorema 0.2.
∞
Si la serie de potencias cn x n es divergente para x = x2 , entonces es
n=0
divergente para todos los valores de x para los cuales |x| > |x2 |.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de12 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
17. Series de Potencia
Teorema 0.3.
Teorema 0.3.
∞
Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y
n=0
s´lo una de las siguientes condiciones:
o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
18. Series de Potencia
Teorema 0.3.
Teorema 0.3.
∞
Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y
n=0
s´lo una de las siguientes condiciones:
o
1 La serie converge s´lo cuando x = 0
o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
19. Series de Potencia
Teorema 0.3.
Teorema 0.3.
∞
Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y
n=0
s´lo una de las siguientes condiciones:
o
1 La serie converge s´lo cuando x = 0
o
2 La serie es convergente para todos los valores de x
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
20. Series de Potencia
Teorema 0.3.
Teorema 0.3.
∞
Sea cn (x − a)n una serie de potencias dada. Entonces se cumple una y
n=0
s´lo una de las siguientes condiciones:
o
1 La serie converge s´lo cuando x = 0
o
2 La serie es convergente para todos los valores de x
3 Existe un n´mero real R > 0 tal que la serie es convergente para
u
todos los valores de x tales que |x − a| < R y diverge para todos los
valores de x tales que |x − a| > R.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de13 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
21. Series de Potencia
Definici´n 0.4.
o
Definici´n 0.4
o
El n´mero R del caso (3) del teorema 0.3, se denomina radio de
u
convergencia de la serie de potencias. Por convenci´n, el radio de
o
convergencia es R = 0; para el caso (1) y R = ∞ para el caso (2).
El intervalo de convergencia de una serie de potencias, es el
conjunto de todos los x ∈ R para los cuales la serie es convergente.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de14 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
22. Series de Potencia
Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una
serie de potencias en x − a
1 Aplique el criterio de la raz´n (o en ocasiones el criterio de la ra´
o ız)
para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series
convergen absoluatmente para todos los valores de x, y algunas otras
convergen s´lo en un n´mero.
o u
2 Si R > 0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo
(a − R, a + R) y diverge para |x − a| > R. Verifique la convergencia
en los extremos del intervalo (a − R, a + R) mediante los m´todos ya
e
vistos, por supuesto, ninguna conclusi´n acerca de la convergencia en
o
los extremos puede inferirse del criterio de la raz´n o del criterio de la
o
ra´
ız.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de15 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
23. Series de Potencia
Ejemplo 4
Ejemplo 4
Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie
∞
(−3)n x n
√
n=0
n+1
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de16 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
24. Series de Potencia
Ejemplo 4
Soluci´n Ejemplo 4
o
(−3)n x n
Sea an = √
n+1
. Entonces
√
an+1 (−3)n+1 x n+1 n+1
= √ ·
an n+2 (−3)n x n
1 + (1/n)
=3 |x| → 3|x| cuando n → ∞
1 + (2/n)
Por la prueba de la raz´n, la serie dada converge si 3|x| < 1 y diverge si
o
3|x| > 1.
1 1
Por lo tanto, converge si |x| < 3 y diverge si |x| > 3 . Esto significa que el
1
radio de convergencia es R = 3 .
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de17 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
25. Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 4
o
Continuaci´n
o
Sabemos que la serie converge en el intervalo − 1 , 3 , pero ahora
3
1
debemos investigar la convergencia en los puntos extremos de dicho
1
intervalo. Si x = − 3 , la serie viene a ser
n
∞ (−3)n − 1
3
∞
1 1 1 1 1
√ = √ = √ + √ + √ + √ + ...
n=0
n+1 n=0
n+1 1 2 3 4
1
Observamos que es una serie p con p = 2 < 1, por lo tanto diverge.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de18 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
26. Series de Potencia
Continuaci´n Ejemplo 4
o
Continuaci´n
o
1
Si x = 3 , la serie es
n
∞ (−3)n 1
3
∞
(−1)n
√ = √
n=0
n+1 n=0
n+1
que converge, seg´n la prueba de la serie alternante. Por lo tanto la serie
u
de potencias original converge cuando − 1 < x ≤ 1 , y el intervalo de
3 3
convergencia es − 1 , 1 .
3 3
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de19 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
27. Series de Potencia
Ejemplo 5
Ejemplo 5
Determine el intervalo de convergencia de la serie
∞
n(x − 2)n
n=1
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de20 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
28. Series de Potencia
Soluci´n Ejemplo 5
o
Soluci´n
o
La serie de potencia dada es
(x − 2) + 2(x − 2)2 + . . . + n(x − 2)n + (n + 1)(x − 2)n+1 + . . .
Al aplicar el criterio de la raz´n se tiene
o
an+1 (n + 1)(x − 2)n+1
l´
ım = l´ım
n→∞ an n→∞ n(x − 2)n
n+1
= |x − 2| l´
ım
n→∞ n
= |x − 2|
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de21 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
29. Series de Potencia
Continuaci´n soluci´n Ejemplo 5
o o
Soluci´n
o
La serie dada ser´ absolutamente convergente si |x − 2| < 1 o,
a
equivalentemente, −1 < x − 2 < 1, o bien, 1 < x < 3.
∞
Cuando x = 1, la serie (−1)n n, la cual es divergente debido a que
n=1
∞
l´ an = 0. Cuando x = 3 la serie es
ım n, la cual es tambi´n divergente
e
n→∞
n=1
ya que l´ an = 0. Por tanto el intervalo de convergencia es (1, 3). As´
ım ı,
n→∞
la serie de potencias dada define una funci´n que tiene el intervalo (1, 3)
o
como su dominio.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de22 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
30. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Aprenderemos como representar una funci´n como la suma de una serie de
o
potencias mediante series geom´tricas, o diferenciando o integrando tales
e
series.
Comenzaremos con la siguiente ecuaci´n:
o
∞
1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . = xn |x| < 1 (3)
1−x n=0
Esta es una serie geom´trica con a = 1 y r = x. Aqu´ la ecuaci´n anterior
e ı o
expresa la funci´n f (x) = 1/ (1 − x) en forma de una suma de serie de
o
potencias.
Regresar a Soluci´n
o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de23 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
31. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Aprenderemos como representar una funci´n como la suma de una serie de
o
potencias mediante series geom´tricas, o diferenciando o integrando tales
e
series.
Comenzaremos con la siguiente ecuaci´n:
o
∞
1
= 1 + x + x2 + x3 + . . . = xn |x| < 1 (3)
1−x n=0
Esta es una serie geom´trica con a = 1 y r = x. Aqu´ la ecuaci´n anterior
e ı o
expresa la funci´n f (x) = 1/ (1 − x) en forma de una suma de serie de
o
potencias.
Regresar a Soluci´n
o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de23 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
32. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Ejemplo 1
Ejemplo 1
1
Exprese en t´rminos de la suma de una serie de potencias y
e
(1 + x 2 )
determine el intervalo de convergencia.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de24 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
33. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Continuaci´n Ejemplo 1
o
Soluci´n
o
Si reemplazamos x con −x 2 en la ecuaci´n (3)
o obtendremos
∞
1 1 n
= = −x 2
1 + x2 1 − (−x 2 ) n=0
∞
= (−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − . . .
n=0
Ya que es una serie geom´trica, converge cuando −x 2 < 1, esto es
e
x 2 < 1, o |x| < 1.
Asi pues, el intervalo de convergencia es (−1, 1).
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de25 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
34. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Continuaci´n Ejemplo 1
o
Soluci´n
o
Si reemplazamos x con −x 2 en la ecuaci´n (3)
o obtendremos
∞
1 1 n
= = −x 2
1 + x2 1 − (−x 2 ) n=0
∞
= (−1)n x 2n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − . . .
n=0
Ya que es una serie geom´trica, converge cuando −x 2 < 1, esto es
e
x 2 < 1, o |x| < 1.
Asi pues, el intervalo de convergencia es (−1, 1).
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de25 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
35. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Teorema 2
Si la serie de potencias cn (x − a)n tiene el radio de convergencia
R > 0, la funci´n f definida por
o
∞
2
f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + · · · = cn (x − a)n
n=0
es derivable (y, en consecuencia, continua) en el intervalo a − R, a + R y
∞
f (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + . . . = ncn (x − a)n−1 (i)
n=1
(x − a)2 (x − 3)3
f (x) = C + c0 (x − a) + c1 + c2 + ··· (ii)
2 3
∞
(x − a)n+1
=C+ cn
n=0
n+1
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de26 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
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36. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Nota 1
Las ecuaciones (i) y (ii) se pueden escribir
∞ ∞
d d
cn (x − a)n = [cn (x − a)n ] (iii)
dx n=0 n=0
dx
∞ ∞
cn (x − a)n dx = cn (x − a)n dx (iv)
n=0 n=0
Para sumas finitas, la derivada de una suma es igual a la suma de las
derivadas, y que la integral de una suma es igual a la suma de sus
integrales. Las ecuaciones (iii) y (iv) afirman que lo mismo es v´lido para
a
sumas infinitas, siempre y cuando se trate de series de potencias
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de27 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
37. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Nota 2
Aunque el teorema 2 establece que el radio de convergencia no cambia
cuando se deriva o integra una serie de potencias, esto no significa que el
intervalo de convergencia no se altere. Puede suceder que la serie original
converja en un punto extremo, mismo en que la serie derivada diverge.
Nota 3
La idea de derivar una serie de potencias t´rmino a t´rmino es la base de
e e
un potente m´todo de soluci´n de ecuaciones diferenciales.
e o
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de28 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
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38. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Ejemplo 2
Exprese 1/(1 − x)2 en forma de una serie de potencias al derivar la
ecuaci´n (3). ¿Cu´l es el radio de convergencia?
o a
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de29 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
39. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Soluci´n Ejemplo 2
o
Al derivar ambos lados de la ecucaci´n
o
∞
1 2 3
= 1 + x + x + x + ··· = xn
1−x n=0
obtenemos
∞
1
= 1 + 2x + 3x 2 + · · · = nx n+1
(1 − x)2 n=0
Si lo deseamos, podemos sustituir n por n + 1 y escribir la respuesta como
∞
1
= (n + 1)x n
(1 − x)2 n=0
Seg´n el teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el
u
mismo que es de la serie original, R = 1.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de30 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
40. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Ejemplo 3
Deduzca una representaci´n de ln(1 − x) en serie de potencias y determine
o
su radio de convergencia.
Soluci´n
o
La derivada de esta funci´n es 1/(1 − x), excepto por un factor −1.
o
As´ pues, integraremos ambos lados de la ecucaci´n 3:
ı o
1 x2 x3
− ln(1 − x) = dx = C + x + + + ···
1−x 2 3
∞ ∞
x n+1 xn
=C+ =C+ |x| < 1
n=0
n+1 n=1
n
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de31 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
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41. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Continuaci´n Soluci´n
o o
A fin de hallar el valor de C sea x = 0 en esta ecuaci´n resulta
o
− ln(1 − 0) = C .
Entonces, C = 0 y
∞
x2 x3 x3 xn
ln(1 − x) = −x − − − ··· = − + ··· = − |x| < 1
2 3 3 n=1
n
El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R = 1
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de32 / 44 Se
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42. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Ejemplo 4
Eval´e [1/(1 + x 7 )]dx en serie de potencias.
u
Soluci´n
o
El primer paso es expresar el integrando, 1/(1 + x 7 ), como la suma de una
serie de potencias. Al igual que en el ejemplo 1, partimos de la ecuacion
(3) y reemplazamos x con −x 7 :
∞
1 1
= = (−x 7 )n
1 + x7 1 − (−x 7 ) n=0
∞
= (−1)n (x)7n = 1 − x 7 + x 14 − · · ·
n=0
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de33 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
43. Representaci´n de funciones como series de potencias
o
Derivaci´n e integraci´n de series de potencias
o o
Continuaci´n Soluci´n Ejemplo 4
o o
Ahora integrando t´rmino a t´rmino:
e e
∞ ∞
1 x 7n+1
dx = (−1)n x 7n dx = C + (−1)n
1 + x7 n=0 n=1
7n + 1
x 8 x 15 x 22
=C +x − + − + ···
8 15 22
Esta serie converge para | − x 7 | < 1, esto es, cuando |x| < 1
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de34 / 44 Se
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44. Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 5
Teorema 5
Si f tiene una representaci´n (desarrollo) en forma de serie de potencias en
o
a, esto es, si
∞
f (x) = cn (x − a)n |x − a| < R
n=0
los coeficientes est´n expresados por la f´rmula
a o
f (n) (a)
cn =
n!
Al sustituir esta f´rmula de cn de nuevo en la serie, si f tiene un desarrollo
o
en serie de potencias en a, ha de ser de la forma:
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de35 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
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45. Series de Taylor y de Maclaurin
Serie de Taylor
Ecuaci´n 6
o
∞
f (n) (a)
f (x) = (x − a)n
n=0
n!
f (a) f (a) f (a)
= f (a) + (x − a) + (x − a)2 + (x − a) + · · ·
1! 2! 3!
La serie de la ecuaci´n 6, se llama serie de Taylor de la funci´n f en a
o o
(alrededor de a o centrada en a ).
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de36 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
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46. Series de Taylor y de Maclaurin
Serie de Maclaurin
En el caso especial en que a = 0 la serie se transforma en
Ecuaci´n 7
o
∞
f (n) (0) n f (0) f (0) 2
f (x) = (x) = f (0) + x+ x + ···
n=0
n! 1! 2!
Este caso se da con frecuencia y se le nombra serie de Maclaurin
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de37 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
47. Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 8
Teorema 8
Si f (x) = Tn (x) + Rn (x), donde Tn es el polinomio de Taylor de n-´simo
e
grado de f en a y
l´ Rn (x) = 0
ım
n→∞
cuando |x − a| < R, entonces f es igual a la suma de su serie de Taylor en
el intervalo |x − a| < R.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de38 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
48. Series de Taylor y de Maclaurin
Teorema 9
Teorema 9 Desigualdad de Taylor
Si |f n+1 (x)| ≤ M , para |x − a| ≤ d, entonces el residuo Rn (x) de la serie
de Taylor satisface la desigualdad
M
|Rn (x)| ≤ |x − a|n+1 para |x − a| ≤ d
(n + 1)!
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de39 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor
49. Series de Taylor y de Maclaurin
Ecuaci´n 10
o
Al aplicar los teoremas 8 y 9, suele ser util usar el hecho siguiente:
´
Ecuaci´n 10
o
xn
l´
ım =0 para todo n´mero real x
u
n→∞ n!
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50. Series de Taylor y de Maclaurin
Ejemplo 1
Ejemplo 1
Demuestre que e x es igual a la suma de sus serie de Maclaurin
Soluci´n
o
Si f (x) = e x , entonces f (n+1) (x) = e x para toda n. Si d es cualquier
n´mero positivo |x| ≤ d, entonces |f (n+1) (x)| = e x ≤ e d . De manera que
u
la desigualdad de Taylor, con a = 0 y M = e d , dice que
ed
|Rn (x)| ≤ |x|n+1 para |x| ≤ d
(n + 1)!
Observe que la misma constante M = e d es efectiva para todo valor de n.
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de41 / 44 Se
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o 11 de mayo de 2010 Taylor
51. Series de Taylor y de Maclaurin
continuaci´n Ejemplo 1
o
Pero de la ecucaci´n 10, tenemos
o
ed |x|n+1
l´
ım |x|n+1 = e d l´
ım =0
n→∞ (n + 1)! n→∞ (n + 1)!
Se sigue del teorema del emparedado que l´ |Rn (x)| = 0 y por lo tanto
ım
n→∞
l´ Rn (x) = 0 para todos los valores de x. Para el teorema 8, e x es igual
ım
n→∞
a la suma de sus serie de Maclaurin, es decir,
Ecuaci´n 11
o
∞
xn
ex = para toda x
n=0
n!
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de42 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
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52. Series de Taylor y de Maclaurin
En particular, si x = 1 en la ecucaci´n 11, obtendremos la siguiente
o
representaci´n del n´mero e como una suma de serie infinita:
o u
Ecuaci´n 11
o
∞
1 1 1 1
ex = = 1 + + + + ···
n=0
n! 1! 2! 3!
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o 11 de mayo de 2010 Taylor
53. Bibliograf´
ıa
Leithold, Louis.
El C´lculo 7 ed. Oxford University Press M´xico. 2009.
a e
Stewart, James.
C´lculo Multivariable. Thomson Learning. 2001
a
Diana Pamela Arenas P´rez (Benem´rita Universidad Aut´nomaRepresentaci´n de funciones como series de Potencia Series de44 / 44 Se
e e Series de Potencia de Puebla) o
o 11 de mayo de 2010 Taylor