El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.

1. DIFERENCIACIÓN POR 3 Y 5
PUNTOS

2. EL PROBLEMA GENERAL DE APROXIMACIÓN
 Se formula en un espacio vectorial normado, a
fin de poder emplear la métrica asociada como
medida de calidad de la aproximación.
 Pero que es un espacio vectorial es una
estructura algebraica creada a partir de un
conjunto no vacío, una operación interna
(llamada suma) y una operación externa
(llamada producto por un escalar).

3. FORMULAS PARA 3 PUNTOS
1
f ´( x ) [ 3 f ( x 0 ) 4 f ( x 0 h) f ( x 0 2h)]
2h
1
f ´( x ) [ f ( x 0 h) f ( x 0 h)]
2h
1
f ´( x ) [ f ( x 0 2h ) 4 f ( x 0 h) 3 f ( x 0 )
2h

5. EJEMPLO
 Para f(x) = f ( x) xe x y h 0.1
Tenemos:
X F(x)
1.8 10.889365
1.9 12.703199
2.0 14.778112
2.1 17.148957
2.2 19.855030

6. EJEMPLO
Puesto que f ´( x) ( x 1)e x ,
tenemos f ´(2.0) 22.167168
Al aproximar f´(2.0) mediante las fórmulas de tres y
cinco puntos se obtienen los siguientes resultados:
Aproximando hacia la derecha por 3 puntos:
1
[ 3 f (2.0) 4 f (2.1) f (2.2)] 22.032310
0.2
Con un error de:
1
1.35 10

7. EJEMPLO
Aproximando hacia la izquierda por 3 puntos:
1
[ 3 f (2.0) 4 f (1.9) f (1.8)] 22.054525
0.2
1
Con un error de: 1.13 10
Aproximando en medio por 3 puntos:
1
[ f (2.1) f (1.9)] 22.228790
0.2
2
Con un error de 6.16 10

8. FORMULAS PARA 5 PUNTOS
1
f ´( x ) [ f ( x 0 2h ) 8 f ( x 0 h ) 8 f ( x 0 h ) f ( x0 2h)]
12h

9. EJEMPLO
Aproximando por 5 puntos:
1
[ f (1.8) 8 f (1.9) 8 f (2.1) f (2.2)] 22.166996
1.2
4
Con un error de: 1.69 10