Este documento describe el uso de software de geometría dinámica para resolver problemas de lugares geométricos mediante la práctica experimental de las matemáticas. Se presentan dos problemas que involucran triángulos simétricos laterales y se construye un detector automatizado de puntos para encontrar sus soluciones. El enfoque experimental permite formular conjeturas y propiedades que pueden llevar a demostraciones formales.

1. Uso de software de geométrica
dinámica en la práctica de matemática
experimental para resolver problemas
de lugares geométricos.
Martin E. Acosta Gempeler,
Cindy N. Morgado Hernandez,
David Berrio Valbuena
Universidad Industrial de Santander
Bucaramanga, Colombia
2013

2. Introducción
En este año se cumple 36 años de la primera demostración por computador
del famoso teorema de los cuatro colores.
Siempre es posible colorear un mapa con cuatro
colores de modo que dos países limítrofes tengan
asignado distinto color (Appel y Haken, 1977; Appel,
Haken y Koch, 1977, citado por Jacovkis, 2001)

3. Introducción
Thomas (1976) en Banegas (2007) señala:
“Se puede argumentar que nuestra „demostración‟ no es una demostración
en el sentido tradicional, porque contiene pasos que los humanos nunca
podrán verificar. (...) Concedemos, sin embargo, que verificar en un
programa de ordenador es mucho más difícil que comprobar una
demostración matemática de la misma longitud”.
La aparición de ordenadores con gran capacidad de
almacenamiento, cálculos rapidísimos y diseño gráfico de gran resolución
ha impulsado cambios tan profundos que ha llegado a ser posible utilizar
un ordenador como un instrumento experimental Banegas (2007).

4. Introducción
En el siglo XX gracias al computador se ha retornado a la observación y la
experimentación que se tenía antes de Euclides en el quehacer
matemático. Como es sabido Euclides fue el primero que organizo el
conocimiento según axiomas, definiciones, postulados y teoremas, y
todavía se expone el conocimiento de esta manera.
Esta forma de organización del conocimiento tiene dos ventajas:
1. Economía: Las bases que necesito son pocas para crear todo.
2. Seguridad: En qué sentido seguridad, “yo no utilizó algo si no lo he
podido deducir de axiomas, definiciones y postulados”. “Si
demuestro el teorema lo puedo utilizar con seguridad”.

5. Matemática
experimental.
Para Bailey & Borwein (2003) la matemática experimental es un
acercamiento a las matemáticas en las que se utilizan cálculos
numéricos para investigar los objetos matemáticos y la identificación de
propiedades y patrones.
Bailey & Borwein (2003) proponen la tecnología computacional como
herramienta para realizar procesos experimentales relativos a:
1. La percepción y la intuición.
2. El descubrimiento de nuevos patrones y relaciones.
3. La utilización de representaciones gráficas que sugieren los
principios matemáticos subyacentes.
4. Prueba y falsación de conjeturas.
5. Exploración de posibles resultados.
6. Construcción de enfoques para llegar a una demostración formal.
7. Sustitución de largas experimentaciones a lápiz y papel por
resultados derivadas de algoritmos computacionales.
8. Confirmando los resultados obtenidos analíticamente.

6. Técnicas y
herramientas
Cahier brouillon informatique (Cabri) es un sistema inteligente para el
aprendizaje de la geometría.
Cabri Géométre es un software que se puede convertir en un "laboratorio" en
el que podemos realizar exploraciones numéricas y simbólicas a gran
escala, sin “dolores de mano” por los extensos cálculos. De esta manera
podemos probar conjeturas y suponer otras completamente nuevas. Este
enfoque está dando lugar a descubrimiento de nuevos resultados e incluso
resultados parciales (Borwein, 2004).
“Enseñaremos a construir el detector
automatizado de puntos.”

7. Taller.
Figura 1. Triángulo simétrico lateral

8. Problema 1. Dado un triángulo cualquiera, encontrar el lugar geométrico de todos
los puntos en el plano tales que el triángulo simétrico lateral de cada uno de estos
puntos sea rectángulo.
Lugar geométrico: Se define intuitivamente como el
conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen
ciertas condiciones dadas de antemano.
1. Elaboración de una macro
2. Construcción del Detector de Puntos
3. Construcción Detector
automatizado de puntos
VIII Encuentro Internacional De Matemáticas
Universidad del Atlántico

9. 2. Construcción del Detector de Puntos

10. 3. Construcción Detector
automatizado de puntos
Primero debemos crear un cuadrado a partir de un segmento dado, y dividir cada
lado del cuadrado en 20 partes iguales, usando para ello la herramienta “Punto
medio” y algunas simetrías. Luego con la herramienta “Polígono” unimos los puntos
como se ve en la Figura 6.
Figura 6. Polígono (rejilla)

11. Problema 2. Dado un triángulo cualquiera, encontrar el
lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que
el triángulo simétrico lateral tiene área igual al triangulo de
referencia.
Para abordar este problema partiremos del siguiente
interrogante:
¿Qué condiciones debemos darle a nuestro detector de puntos
de tal manera que podamos encontrar los lugares geométricos
de los puntos P donde el triángulo simétrico lateral tiene área
igual al triángulo de referencia?

12. Consideración Final.
Esta experiencia resulta enriquecedora en primera medida porque se
aprende a utilizar el software de geometría dinámica Cabri Géométre
mediante una práctica experimental de las matemáticas, este tipo de
prácticas permite: formular conjeturas inteligibles sobre las forma de los
lugares geométricos solución e identificar propiedades que puedan
traducirse en argumentos deductivos para la demostración formal.

13. Referencias bibliográficas.
Acosta, E., Mejía, C., & Rodríguez, W. (2011). “Resolución de problemas por medio
de matemática experimental: uso de software de geometría
dinámica para la construcción de un lugar geométrico desconocido”,
Revista Integración, 29 (2), pp. 163-174.
Bailey, H. & Borwein, J. (2003). “Sample Problems of Experimental Mathematics”.
Recuperado de
http://www.experimentalmath.info/books/expmath-probs.pdf
Bailey, H. & Borwein, J. (2005). “Experimental mathematics: Examples, Methods
and Implications”, Notices of the AMS, 52 (5), pp. 502-514.
Banegas, J. (2006). “Razonamientos no rigurosos y demostraciones asistidas por
ordenador”, Revista contraste, 12 (1), pp. 27-50. Recuperado de
http://www.uma.es/contrastes/pdfs/012/02jesusalcolea.pdf
Borwein J. et al. (2004). Experimentation in mathematics, computational paths to
discovery. A.K. Peters. USA
Jacovkis, P. M. (2005). “Computadoras, modelización matemática y ciencia
experimental”, Revista CTS, 2 (5), pp. 51-63.