1. UNIVERSIDAD SANTO TOMAS
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
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AREA DE MATEMATICAS
´
CALCULO VECTORIAL
QUIZ I
Nombre: C´digo:
o
Nombre: C´digo:
o
Fecha: Grupo:
Lea cuidadosamente toda la prueba antes de comenzar a resolver. La prueba tiene una duraci´n de 1 hora 15 Minutos
o
Para las preguntas de selecci´n unica. Seleccione la respuesta correcta marc´ndola con esfero. Si la respuesta seleccionada es cor-
o ´ a
recta y es sustentada con un proceso adecuado el valor es de 1. Si la respuesta seleccionada es correcta y NO es sustentada con un
proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la respuesta seleccionada es incorrecta y tiene un proceso adecuado el valor es de 0,5. Si la
respuesta seleccionada es incorrecta el valor es 0. El valor de cada enunciado aparece en negrilla y encerrado por [ ]. No se permite
el intercambio de objetos.
1 1
1. [1] Sea r′ (t) = 1+t2 i + t2 j + 1 k con la condici´n r(1) = 2i. Tenemos que r(t) es:
t o
a) [2 + arctan t] i + − 1 j + ln tk
t
b) −2 + π + arctan t i + − 1 j + ln tk
4 t
c) 2 − π + arctan t i + 1 − 1 j + ln tk
4 t
d) 2 − π + arctan t i + − 1 j + ln tk
4 t
2. [1] La altura y el alcance m´ximos de un proyectil disparado desde una altura de 3 pies sobre el nivel del suelo con una
a
velocidad de 900 pies por segundo y con un ´ngulo de 45◦ sobre la horizontal son:
a
a) 3157,05 f t; 12, 800,5 f t b) 6331,1 f t; 25, 315,5 f t c) 4567,3 f t; 18, 252,5 f t d) 1110,3 f t; 8, 456,7 f t
3. [1] Un proyectil se lanza desde el suelo con un ´ngulo de 8◦ con la horizontal. El proyectil debe tener un alcance de 50 metros.
a
La rapidez inicial requerida es:
a) 21,1 m/s b) 31,02 m/s c) 8 m/s d) 42,2 m/s
4. [1] Dibuje la gr´fica de la curva plana dada por la funci´n vectorial r(t) = 3 cos ti + 2 sin tj, y, en el punto r(π) encuentre y
a o
dibuje los vectores T y N.
π
5. [1] La longitud de la curva C representada por la funci´n vectorial r(t) = (cos t + t sin t)i + (sin t − t cos t)j + t2 k de 0 ≤ t ≤
o 2
es:
√ √ √ √
5π 2 5π 2 5π 3π 2
a) 8 b) 4 c) 8 d) 8

2. 1 1
1. Sea r′ (t) = 1+t2 i + t2 j + 1 k, encontremos r(t) integrando r′ (t)
t
dt dt dt
r(t) = i+ j+ k
1 + t2 t2 t
1
r(t) = [arctan t] i + − j + ln tk + C
t
Si t = 1 tenemos que
1
r(1) = (arctan 1) i + − j + ln 1k + C
1
π
2i = i + (−1) j + C
4
π π 1
Realizando procesos algebraicos tenemos C = 2 − 4 i + j y asi r(t) = 2 − 4 + arctan t i + 1 − t j + ln tk
2. Sea
gt2
r(t) = ( v0 cos θ) ti + h + ( v0 sin θ) t − j
2
la funci´n vectorial que describe la posici´n de un proyectil lanzado de una altura h con rapidez inicial v0 y ´ngulo de
o o a
elevaci´n θ. Para nuestro caso
o √ √
r(t) = 450 2 ti + 3 + 450 2 t − 16t2 j
de donde
√
x(t) = 450 2 t
√
y(t) = 3 + 450 2 t − 16t2
√ √
Ahora la altura es m´xima si la velocidad en y es cero, as´ y ′ (t) = 450 2 − 32t = 0 si y solo si t = 225 2 ≈ 19,8873. Por tanto
a ı 16
la altura m´xima es
a
√ √ √ 2
225 2 √ 225 2 225 2
y = 3 + 450 2 − 16 ≈ 6331,1
16 16 16
√ √ √
Ahora el alcance es m´ximo si la posici´n en y es cero, as´ y(t) = 3 + 450 2 t − 16t2 = 0 si y solo si t = 450 2+ 414242 ≈
a o ı 32
39,7795. Por tanto el alcance m´ximo es
a
√ √ √ √
450 2 + 414242 √ 450 2 + 414242
x = 450 2 ≈ 25,315,5
32 32
3. Sea r(t) = ( v0 cos 8◦ ) ti + ( v0 sin 8◦ ) t − 4,9t2 j, entonces
x(t) = ( v0 cos 8◦ ) t
y(t) = ( v0 sin 8◦ ) t − 4,9t2
Como el alcance es de 50 metros, tenemos
50 = ( v0 cos 8◦ ) t
de donde
50
t=
v0 cos 8◦
Ahora para este valor de t, y = 0. Es decir
2
50 50
( v0 sin 8◦ ) − 4,9 =0
v0 cos 8◦ v0 cos 8◦
(4,9)(2500)
50 tan 8◦ = 2
v0 cos2 8◦
2 (4,9)(50)
v0 =
tan 8◦ cos2 8◦
v0 ≈ 42,2 m/s

3. 4. Sea r(t) = 3 cos ti + 2 sin tj entonces r′ (t) = −3 sin ti + 2 cos tj as´
ı
r′ (t) = 9 sin2 t + 4 cos2 t
= 9 sin2 t + 4 1 − sin2 t
= 9 sin2 t + 4 − 4 sin2 t
= 5 sin2 t + 4
de donde
r(t) −1/2
T (t) = = 5 sin2 t + 4 (−3 sin ti + 2 cos tj)
r′ (t)
−1/2 1 −3/2
T ′ (t) = 5 sin2 t + 4 (−3 cos ti − 2 sin tj) + − 5 sin2 t + 4 (10 sin t cos t) (−3 sin ti + 2 cos tj)
2
Ahora si t = π obtenemos T ′ (π) = 3 i y T ′ (π) =
2
3
2 por tanto
T (π) = −j
N (π) = i
y
2
1
N (π) r(π)
T (π)
−3 −2 −1 1 2 3 x
−1
−2
5. Sea r(t) = (cos t + t sin t)i + (sin t − t cos t)j + t2 k entonces
r′ (t) = (− sin t + sin t + t cos t)i + (cos t − cos t + t sin t)j + 2tk
= (t cos t)i + (t sin t)j + 2tk
as´
ı
π
2
L= t2 cos2 t + t2 sin2 t + 4t2 dt
0
π
2 √
= 5t2 dt
0
π
√ 2
= 5 tdt
√ 0
5π 2
=
8