Trabajo fourier

MATEMÁTICA SUPERIOR -
INGENIERIA EN SISTEMAS

Series de Fourier
El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la
teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de
investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación
incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y
compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones,
y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se
puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al
uso de un analizador de espectros.

Representación mediante una serie de Fourier

Si una función f , de la variable independiente t, con periodo 2π es seccionalmente
continua en el intervalo − π ≤ t ≤ π y tiene derivada por izquierda y por derecha en
cada punto de ese intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es
convergente. Si la serie de Fourier es correspondiente a una función f converge con la
suma de f(t) se dirá que se trata de una seria de la s0erie de Fourier de f y se escribe:

a0
f(t) = + a1 cos t + b1 sent + K + a n cos(nt ) + bn sen(nt ) + K (1)
2

Pero esta serie (1) se puede expresar de una forma más breve:

a0 ∞
f(t ) = + ∑ (a n cos nt + bn sennt )
2 n=1

Los coeficientes (a 0 a n bn ) para funciones con este periodo se obtienen a partir de:
π π
1 1 π
a0 =
π ∫π
−
f (t )dt a n =
π −
∫π f (t ) cos ntdt bn = 1
π ∫π f (t ) sin ntdt
−

f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)
2

1

f(t
) 0

-1

-2
0 5 10 15 20 25 30
Prof. Marina Bloeck t
1
Lic. Nori Cheein de Auat
Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin


Funciones que tienen periodo arbitrario

Si la función no tiene periodo 2π necesitamos hacer una transición de este periodo a las
que tienen cualquier periodo T. Supongamos que f(t) (t variable independiente) tenga un
periodo T; entonces puede introducirse una nueva variable x tal que f, como función de
x tenga periodo 2π .

T 2π
t= x⇒x= t
2π T

Esto significa que f como función de x tiene periodo 2π . Ahora expresamos la serie de
la siguiente forma:
 T  a0 ∞
f(t ) = f  x  = + ∑(an cosnt + bn sennt)
 2π  2 n=1
Con coeficientes (a 0 a n bn ) obtenidos a partir de las formulas de Euler:

π π π
1  T  1 T  1  T 
a0 = ∫π f  2π
π−
 x dx − a n =
 π ∫π f  2π
− 
x  cos nxdx − bn = ∫ f 
 π −π  2π
x  sennxdx


T 2π 2π
Pero dado que t = x⇒x= t , se tiene que dx = dt y el intervalo de
2π T T
integración sobre el eje x corresponde al intervalo:

−T T
≤ t ≤ (2)
2 2

A continuación mostraremos por que los extremos de integración toman esos valores
(2)

T
x = + π , entonces x:
− 2π

Valor asumido: x = −π
T T −T
x= −π =
2π 2π 2

Prof. Marina Bloeck 2


Valor asumido: x = π

T T T
x= π=
2π 2π 2

En consecuencia:

T
2
2
a0 =
T ∫ f(t )dt
−T
2
T
2
2 2 nπ
an =
T ∫ f(t ) cos
−T T
tdt
2
T
2
2 2nπ
bn =
T ∫
−T
f(t ) sin
T
tdt
2
A partir de estos resultados expresamos la serie de Fourier de la siguiente manera:
a0 ∞ 2nπ ∞
2nπ
f(t ) = + ∑ a n cos t + ∑ bn sin t
2 n =1 T n =1 T
EL INTERVALO DE INTEGRACION PUEDE REEMPLAZARSE POR CUALQUIER
INTERVALO DE LONGITUD T

Funciones pares e impares:
Ciertas propiedades de las funciones se reflejan en sus series de Fourier

Función par:

Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface
la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:



f( − x ) = f( x )

Algunos ejemplos de funciones pares son:
x 4 , x 2 , cos( x), x
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje
y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

T
2
2 2nπ
Si f es par entonce el integrando
bn =
T ∫
−T
f(t ) sin
T
tdt es impar y bn = 0
2

Función impar:

Nuevamente, sea f(x) una función valor real de una variable real. Entonces f es impar si
se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:
f( − x ) = − f( x )

Algunos ejemplos de funciones impares: x 3 , x, sin( x)


Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional
con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera
luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

IMPORTANTE: En las series de Fourier las funciones impares aparecen solo los
términos de la función seno. En las series de Fourier correspondientes a funciones pares
aparecen solo los términos del coseno.
T
2
2 2nπ
Si f es impar el integrando
an =
T ∫ f(t ) cos
−T T
tdt
es par y an = 0
2

Series de Fourier de funciones pares e impares

La serie de Fourier de una función par f(t) de periodo T es una serie cosenoidal de
Fourier
a0 ∞ 2nπ
f(t ) = + ∑ an cos t
2 n =1 T
Con coeficientes:

T T
2
4 4 2
2 nπ
a0 = ∫ f(t )dt an = T ∫ f(t ) cos T tdt
T 0 0



La serie de Fourier de una función impar f(t) de periodo T es una serie senoidal de
Fourier
∞
2nπ
f(t ) = ∑ bn sin t
n =1 T
T
2
4 2nπ
bn = ∫ f(t ) sin T tdt
T 0
Desarrollos de medio rango
En problemas de la física e ingeniería es necesario aplicar las series de Fourier a
funciones escalares que solo están definidas sobre algún intervalo finito.

f1 (t) = f(t) con f1 (t) par y un intervalo 0 ≤ t ≤ L , f1 recibe el nombre de extensión
periódica PAR
T
Ahora este es nuestro intervalo finito: 0 ≤ t ≤ L si hacemos L = por lo tanto
2
T
0 ≤ t ≤ L se corresponde con el intervalo de integración 0 ≤ t ≤
2
Empleando nuestro intervalo de medio rango y periodo T = 2 L a una serie cosenoidal
se obtiene:

a0 ∞ nπ
f(t ) = + ∑ an cos t
2 n =1 L
Con coeficientes:
L
2
a0 = ∫ f(t )dt
L0
L
2 nπ
an = ∫ f(t ) cos tdt
L0 L
De manera analoga se obtiene una serie senosoidal de Fourier, la cual representa una
función impar. f 2 (t) = f(t) con 0 ≤ t ≤ L , f 2 recibe el nombre de extensión periódica
IMPAR. Se deduce que:
∞
nπ L
nπ
f(t ) = ∑ bn sin t y con coeficientes
2
bn = ∫ f(t ) sin tdt
n =1 L L0 L


Forma compleja de una serie de Fourier
2π
Consideremos una serie de Fourier para una función periódica f(t) con periodo T = .
ϖ0
A partir de este periodo rescribimos la serie de Fourier:

a0 ∞ 2nπ ∞
2nπ
f(t ) = + ∑ a n cos t + ∑ bn sin t (1)
2 n =1 T n =1 T
Quedando de la siguiente manera:
∞ ∞
1
f(t ) = a0 + ∑ an cos nω0t + ∑ bn sin nω0t (2)
2 n =1 n =1

Para facilitar los cálculos obtenemos una formula alternativa utilizando las formulas de
Euler



1 jtnϖ 0
cos nω0t = e
2
(
+ e − jtnϖ 0 (3) )
1 jtnϖ 0
sin nω0t =
2j
e (
− e − jtnϖ 0 (4) )
j = −1
Sustituyendo (3) y (4) en (2).

∞ 
1 1
(   1 jtnϖ 0
f(t ) = a0 + ∑  an  e jtnϖ 0 + e − jtnϖ 0  + bn 
 2 ) e (
− e − jtnϖ 0 ) 

2 n =1   2 j 
1
Por propiedad matemática =−j
j
1 ∞
1 1 
f(t ) = a0 + ∑  e jtnϖ 0 (an − bn j ) + e − jtnϖ 0 (an + bn j ) 
2 n =1  2 2 
Definiendo:
1 1 1
c0 = a 0 ; c n = (a n − bn j ); c − n = (a n + bn j )
2 2 2
Obteniendo así resultados congruentes con la formula para bn ya que bn corresponde a
la función seno y es impar b −n = b n ∧ f(− t) = − f(t) . La serie puede escribirse como:

∞
f(t) = ∑ cn
jntω0

−∞
A la expresión obtenida se le llama forma compleja de la serie de Fourier



Teorema de PARSEVAL

El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo T se puede
calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la
curva de f(t) T
f(t) Area= ∫ f (t)dt
0

h=Altura
Area=Th promedio

T

De acuerdo a lo anterior, si una función periódica f(t) representa una señal de voltaje o
corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo
está dada por
T
2

∫ [ f (t )] dt
1 2
T
−T
2

2
Si f(t) es periódica, también lo será [ f (t )]
y el promedio en un periodo será el
promedio en cualquier otro periodo. 2
El teorema de PARSEVAL nos permite calcular la integral de [ f (t )]
T
2 2 ∞
a0
1
T
2
(
∫T [ f (t )] dt = 2 + ∑ an + bn
2 2
)
− n =1
Una consecuencia importante es:
2



T
2
nπt
lim
n →∞ ∫ f (t ) sin
−T T
dt = 0
2
T
2
nπt
lim
n →∞ ∫ f (t ) cos
−T T
dt = 0
2
Que se conoce como el teorema de Riemann.

Diferenciación termino a término
Vamos a considerar a las series de Fourier como posibles soluciones de ecuaciones
diferenciales. Supongamos una función f continua para toda t, periodica y con
periodo 2L, y que su derivada f ' es suave por partes para toda t. Entonces la serie de
Fourier de f ' es la serie:

 nπ nπt nπ nπ 
f ′(t ) = ∑  − a n sin + bn cos  esta serie se obtuvo diferenciando termino
 L L L L 
∞
a
a termino f(t ) = 0 + ∑ (a n cos nt + bn sennt )
2 n=1

Transformadas finitas de Fourier

La transformada finita de seno de Fourier f (t ),0 ≤ t ≤ L se define como:
L
nπt
f s (n) = ∫ f (t ) sin
dt
0
L
Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del seno
de Fourier de f s (n) y esta definida por:
2 ∞ nπt
f (t ) = ∑ f s (n) sin L
L n =1

La transformada finita de coseno de Fourier f (t ),0 ≤ t ≤ L se define como:
L
nπt
f c (n) = ∫ f (t ) cos dt
0
L



Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del
coseno de Fourier de f c (n) y esta dada por:

1 2 ∞ nπt
f (t ) = f c (0) + ∑ f c (n) cos
L L n =1 L

La FFT (TRANSFORMADAS FINITAS DE FOURIER) ha hecho posible el desarrollo
de equipo electrónico digital con la capacidad de cálculo de espectros de frecuencia para
señales del mundo real, por ejemplo:

• Osciloscopio digital Fuke 123
• Osc. Digital Tektronix THS720P
• Power Platform PP-4300

Osciloscopio digital Osc. Digital Tektronix Power Platform PP-4300
Fuke 123 THS720P



Integral de Fourier
f(x) satisface las siguientes condiciones:

1) f (x) satisface las condiciones de Drichlet en cada intervalo finito − π ≤ t ≤ π
∞
2) ∫
−∞
f (t ) dt es convergente, es decir es absolutamente integrable en − ∞ ≤ t ≤ ∞

Entonces el teorema de la integral de Fourier establece que:
∞
f (t ) = ∫ {A(λ ) cos(λt ) + B(λ ) sin(λt )}dλ
0
De donde
∞
1
A(λ ) =
π ∫ f (t ) cos(λt )dt
−∞
∞
1
B (λ ) =
π ∫ f (t ) sin(λt )dt
−∞


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