Sistemas de ecuaciones diferencales

1. SISTEMAS DE ECUACIONES

2. Sistemas de ecuaciones diferenciales
Muchos problemas prácticos en la ingeniería y en la ciencia requieren la
solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas más
que de una sola ecuación. Tales sistemas en general se representan como:
𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= 𝑓1(𝑥, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= 𝑓2(𝑥, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
⋮
𝑑𝑦𝑛
𝑑𝑥
= 𝑓𝑛(𝑥, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
La solución de este sistema requiere que se conozcan 𝑛 condiciones iniciales
en el valor inicial de 𝑥.

3. Todos los métodos analizados anteriormente, para ecuaciones solas, pueden
extenderse al sistema que se mostró antes. Las aplicaciones en la ingeniería
llegan a considerar miles de ecuaciones simultáneas. En todo caso, el
procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones consiste únicamente en
aplicar la técnica simple por ecuación en cada paso, antes de proceder con el
siguiente. Lo anterior se ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el método
de Euler simple.
.
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales utilizando
el método de Euler, suponiendo que en 𝑥 = 0, 𝑦1 = 4, y 𝑦2 = 6. Integre
hasta x = 2 con un tamaño de paso igual a 0.5.
𝑑𝑦1
𝑑𝑥
= −0,5𝑦1
𝑑𝑦2
𝑑𝑥
= 4 − 0,3𝑦2 − 0,1𝑦1

4. El método consiste en aplicar a cada ecuación el método de Euler por separado:
𝑦1,1 = 𝑦0,1 + 𝑓 𝑥0, 𝑦0,1, 𝑦0,2 = 4 + −0,5 4 ∗ 0,5 = 3
𝑦1,2 = 𝑦0,2 + 𝑓 𝑥0, 𝑦0,1, 𝑦0,2 = 6 + 4 − 0,3 6 − 0,1(4) ∗ 0,5 = 6,9
Obsérvese que para la segunda
ecuación se emplea 𝑦0=4 en lugar
de 𝑦1,1 = 3
Procediendo de manera similar se obtiene las siguientes soluciones.
𝒙 𝒚𝟏 𝒚𝟐
0 4 6
0,5 3 6,9
1 2,25 7,715
1,5 1,6875 8,4452
2 1,2656 9,094
El primer
subíndice
indica la
iteración.
El segundo
subíndice
indica la
ecuación-

5. Observe que cualquiera de los métodos RK de orden superior expuestos
anteriormente se pueden aplicar a los sistemas de ecuaciones. Sin embargo, debe
tenerse cuidado al momento de determinar las pendientes 𝑘𝑖,𝑗.
Ejemplo: Resuelva el anterior sistema usando ahora un Rk 4 orden clásico.
desarrollamos primero las pendientes 𝑘1,𝑗 para todas las variables en el valor inicial
esto es:
𝑘1,1 = 𝑓1 0,4,6 = −0,5 4 = −2
𝑘1,2 = 𝑓2 0,4,6 = 4 − 0,3 6 − 0,1 4 = 1,8
donde 𝑘𝑖,𝑗 es el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 valor de 𝑘 para la 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 variable dependiente.
Después, se requiere calcular los primeros valores de 𝑦1 y 𝑦2 en el punto medio:
𝑦1 +
𝑘1,1ℎ
2
= 4 +
−2 0,5
2
= 3,5
𝑦2 +
𝑘1,2ℎ
2
= 6 +
1,8 0,5
2
= 6,45

6. Los resultados anteriores se utilizarán para calcular el primer conjunto de pendientes
en el punto medio.
𝑘2,1 = 𝑓 0,25,3,5,6,45 = −1,75
𝑘2,2 = 𝑓 0,25,3,5,6,45 = 1,715
Éstas sirven para determinar el segundo conjunto de predicciones en el punto medio.
Que se usan para calcular el segundo conjunto de pendientes en el punto medio,
𝑘3,1 = 𝑓 0,25,3,5625,6,4287 = −1,78125
𝑘3,2 = 𝑓 0,25,3,5625,6,4287 = 1,715125
𝑦1 +
𝑘2,1ℎ
2
= 4 +
−1,75 0,5
2
= 3,5625
𝑦2 +
𝑘2,2ℎ
2
= 6 +
1,715 0,5
2
= 6,4287

7. Éstas se utilizarán para determinar las predicciones al final del intervalo:
𝑦1 + 𝑘3,1ℎ = 4 + −1,7815 0,5 = 3,109375.
𝑦2 + 𝑘3,2ℎ = 6 + 1,7151 0,5 = 6,85756.
que se usan para calcular las pendientes al final del intervalo:
𝑘4,1 = 𝑓 0.5,3.109375,6.85756 = −1.55468
𝑘4,2 = 𝑓 0.5,3.109375,6.85756 = 1.63179
Los valores de 𝑘 se utilizan después para calcular
𝑦1 0,5 = 4 +
1
6
−2 + 2 −1.75 − 1.78125 − 1.554688 ∗ 0.5 = 3.11523
𝑦2 0,5 = 6 +
1
6
1,8 + 2 −1.715 − 1.715125 + 1.63179 ∗ 0.5 = 6.85767

8. Procediendo de la misma forma con los pasos restantes se obtiene.
𝒙 𝒚𝟏 𝒚𝟐
0 4 6
0,5 3,115234 6,85767
1 2,4261 7,6321
1,5 1,8895 8,3268
2 1,4715 8,9468

9. Una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 es de manera general una expresión
del tipo:
𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛−1 )
Donde 𝑥 es la variable independiente, 𝑦(𝑥) la dependiente e 𝑦(𝑗) =
𝑑𝑗𝑦
𝑑𝑥𝑗 para 𝑗 =
1, … , 𝑛, son las derivadas sucesivas de 𝑦 𝑥 respecto de 𝑥.
Una ecuación de orden 𝑛 es equivalente a un sistema de 𝑛 ecuaciones ordinarias de
primer orden, por medio de la introducción de variables auxiliares, de la siguiente
manera:
Metodología Para Solucionar Ecuaciones
De Segundo Grado O Mayor

10. Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛−1 )
definiremos nuevas variables dependientes como las derivadas sucesivas de 𝑦:
𝑦2 = 𝑦′
, 𝑦3 = 𝑦′′
= 𝑦2
′
, … , 𝑦𝑛 = 𝑦 𝑛−1
= 𝑦𝑛−1
′
, además identificar 𝑦 ≡ 𝑦1
De manera que la ecuación 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛−1 ) es equivalente al sistema
de ecuaciones diferenciales de primer orden:
𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦2
′
= 𝑦3
⋮
𝑦𝑛
′ = 𝑓(𝑥, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)
El anterior sistema lo solucionaremos con los métodos vistos anteriormente.

11. Ejemplo 1: Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden:𝑦′′
+ 2𝑥𝑦′ − 𝑦2
= 0,
reescriba esta ecuación como un sistema de ecuaciones de orden 1.
Primero hacemos:
y = 𝑦1
𝑦′ = 𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦′′ = 𝑦1
′′
= 𝑦2
′
.
Luego despejamos de 𝑦′′
+ 2𝑥𝑦′ − 𝑦2
= 0 a 𝑦′′
esto es .
𝑦′′ = 𝑦2 − 2𝑥𝑦′
Quedando así:

12. 𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦2
′
= 𝑦1
2
− 2𝑥𝑦2
Ejemplo 2: Consideremos la ecuación diferencial de tercer orden:𝑦′′′
+ 2𝑥𝑦′ −
𝑦′′ 2
= 0, reescriba esta ecuación como un sistema de ecuaciones de orden 1.
Primero hacemos:
𝑦 = 𝑦1
𝑦′ = 𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦′′
= 𝑦1
′′
= 𝑦2
′
= 𝑦3
𝑦′′′
= 𝑦1
′′′
= 𝑦2
′′
= 𝑦3
′
Reescribiendo:
𝑦1
′
= 𝑦2
𝑦2
′
= 𝑦3
𝑦3
′
= 𝑦3
2
− 2𝑥𝑦2