Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos numéricos para ilustrar los pasos involucrados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

1. Solución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Universidad «Fermín Toro»
Escuela de Ingeniería
Cabudare-Lara
Saileth Prada #24936403
Análisis Numérico
TUTOR: Lic. Domingo Méndez.

2. 1. Método De Eliminación Gaussiana
Este método consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma
que éste sea escalonado. La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la
más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x. O podemos
intercambiarlas entre sí. Este algoritmo consiste en dos procesos:
a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema
triangular superior:
Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera incógnita aii
(coeficiente pivote). A este procedimiento se le conoce como normalización.
Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la segunda
ecuación. Paso 3: Nótese que el primer termina de la primera ecuación es idéntico al
primer termino de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la segunda
ecuación restando la primera a la segunda. Paso 4: Repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la
primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.
Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el
sistema en una matriz triangular superior.
b) Sustitución hacia atrás: Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular
superior este es más manejable y se puede resolver despejando primero la Xn y este valor
utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener el resultado completo del
sistema.

3.  Escalonamos la matriz del sistema.
𝑋1
4𝑋1
7𝑋1
2𝑋2 3𝑋3 = 1
5𝑋2 6𝑋3 = −2
8𝑋2 10𝑋3 = 5
Ejemplo:
−7, −4
1 2 3
4 5 6
7 8 10
1
−2
5
1 2 3
0 −3 −6
0 −2 −11
1
−6
−2
−2
1 2 3
0 −3 −6
0 0 1
1
−6
10
 Y dividiendo el segundo renglón entre –3 ,
tenemos la matriz equivalente:
1 2 3
0 1 2
0 0 1
1
2
10
El cual nuestro sistema
equivalente es:
𝑋1 2𝑋2 3𝑋3 = 1
𝑋2 2𝑋3 = 2
𝑋3 = 10
 De la última ecuación tenemos x3 = 10 ; sustituimos este valor en la
ecuación de arriba para obtener x2 = -18 ; sustituimos estos valores
en la ecuación de arriba para obtener x1= 7 . Por lo tanto, la solución
del sistema es:
𝑋1 = 7
𝑋2 = −18
𝑋3 = 10

4. 2. Método de Gauss-Jordan
Este método se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones
y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema
dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las
ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La
matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se
conoce como forma escalonada.
Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones
simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que
cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las
ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación
principal así como de las que la siguen a continuación. De esta
manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en
vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar
la sustitución hacia atrás para conseguir la solución.

5. Ejemplo:
𝑋1 2𝑋2 𝑋3
2𝑋2
−3𝑋3
2𝑋4 =
𝑋4 =
3𝑋4 =
0
1
2
 La matriz
es:
1 2 −1
0 2 0
0
0
0
0
0
0
−3
0
0
2
1
3
0
0
0
1
2
0
0
 Utilizamos el primer elemento diferente de 0
de izquierda a derecha de la segunda fila, 2,
como pivote, logrando la matriz:
𝐹1 − 𝐹2
1 0 −1
0 2 0
0
0
0
0
0
0
−3
0
0
1
1
3
0
0
−1
1
2
0
0
 Luego el primer elemento diferente de cero
de la tercera fila, -3, como pivote, para lograr
que cada pivote sea el único elemento
diferente de cero de la columna.
F1 −(1/3) F3
1 0 0
0 2 0
0
0
0
0
0
0
−3
0
0
0
1
3
0
0
− 5/3
1
2
0
0
 Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la
tercera fila por –3, obtenemos:
(1/2)𝐹2
(−1/3)𝐹3
1 0 0
0 2 0
0
0
0
0
0
0
−3
0
0
0
1
3
0
0
− 5/3
1
2
0
0
 por lo tanto el sistema de ecuaciones equivalente es:
𝑋1
𝑋2
𝑋3
=
+1/2𝑋4=
−𝑋4=
−5/3
1/2
−2/3
𝑋1 = −5/3
𝑋2 = (1/2) −1/2𝑋4
𝑋3 = (−2/3) +𝑋4
de donde:

6. Este método se basa en la descomposición de la matriz original de
coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U), donde:
L: Es la matriz triangular inferior.
U: Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal
principal iguales a 1.
Se caracteriza por:
 Ser un método directo para resolver sistemas de ecuaciones de la forma
[A] {X}={B}
 Su principal recurso se formula de la manera que solo involucra
operaciones con la matriz de coeficientes [A] .
 Proporciona un medio eficiente para evaluar diversos vectores del lado
derecho
En caso de que en una matriz uno de los elementos de la diagonal a
factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por una o varias
matrices elementales de permutación. Método llamado factorización PA=LU
con pivote.
3. Descomposición LU, determinante de
una matriz.

7. Ejemplo:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
=
𝐼11 0 0
𝐼21 𝐼22 0
𝐼31 𝐼32 𝐼33
1 𝑢12 𝑢13
0 1 𝑢23
0 0 1
 Efectuando la multiplicación de L y U igualando los
elementos de ese producto con los de la matriz A
correspondientes se obtiene:
L
𝑎11 = 𝐼11
𝑎21 = 𝐼21
𝑎31 = 𝐼31
𝑎12 = 𝐼11
𝑎22 = 𝐼21
𝑎32 = 𝐼31
𝑢12
𝑢12
𝑢12
+𝐼22
+𝐼32
𝑎13 = 𝐼11
𝑎23 = 𝐼21
𝑎33 = 𝐼31
𝑢13
𝑢13
𝑢13
+𝐼22
+𝐼32
𝑢23
𝑢23+𝐼33
1º
2º
3º
U

8. Cuando se tiene una matriz a coeficientes reales, simétrica y definida
positiva, entonces se dispone de una factorización de tipo LU especial,
donde U = LT. El método de Cholesky es el que aprovecha la ventaja de
la simetría de A para encontrar una matriz L tal que A = L LT. Esta
descomposición es única.
Si A = L LT, el sistema original A x = b se puede escribir como:
𝐿 𝑦 = 𝑏
𝐿 𝑇
𝑥 = 𝑦
Este método tiene un planteo recursivo, en el que se descomponen
sucesivamente los menores
principales de la matriz A. Se llamará A[m] a los menores principales de
orden m. Se empieza por el menor principal de orden 1, luego el de
orden 2 y así sucesivamente hasta el de orden n, es decir la matriz
original. La incógnita es una única matriz triangular inferior L, y su
transpuesta hace de matriz triangular superior.
4. Factorización De Cholesky.

10. 5. Factorización de QR, Householder.
Esta factorización se usa ampliamente en los programas de computadora para
determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y para
determinar aproximaciones por mínimos cuadrados
Este método consiste en descomponer la matriz Amxn en el producto de dos matrices:
 Una matriz Ortogonal: 𝑄 𝑚𝑥𝑛 ® 𝑄 𝑇
. 𝑄 = 𝐼 𝑁𝑋𝑁
 Una matriz Triangular Superior: 𝑈 = 𝑅 𝑁𝑋𝑁
Ejemplo: Si se considera la descomposición de 𝐴 =
12 −51 4
6 167 −68
−4 24 −41
 Se busca la matriz ortogonal {Q} tal que: 𝑄𝑄 𝑇
= 𝐼.
 Por lo que calculamos {Q} mediante Gram-
Schmidt como sigue:
𝑈 = (𝑢1 𝑢2 𝑢3) =
12 −69 −58/5
6 158 6/5
−4 30 −33
𝑄 = (
𝑢1
||𝑢1||
𝑢2
||𝑢2||
𝑢3
||𝑢3||
) =
6/7 −69/175 −58/175
3/7 158/175 6/175
−2/7 6/35 −33/35
; Por lo tanto, tenemos:
𝐴 = 𝑄𝑄 𝑇
𝐴 = 𝑄𝑅
𝑅 = 𝑄 𝑇
𝐴 =
14 21 −14
0 175 −70
0 0 −35

11. 6. Método de Gauss Seidel
Este método emplea valores iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución. Un método iterativo es un método
que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un
problema. Se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada
que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el
resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos.
Ejemplo:
Partiendo de ( x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Gauss-Seidel
para resolver el sistema:
5 𝑥 + 2 𝑦 = 1
𝑥 − 4 𝑦 = 0
 Despejar de la ecuación la incógnita correspondiente.
𝑋 = 0.20 + 0.00 𝑋 −
𝑌 = 0.00 + 0.25 𝑋 +
0.40 𝑌
0.00 𝑌
 Aplicando la primera iteración partiendo de 𝑥0= 1.00 y 𝑦0=
2.00:
𝑥1= 0.20 + 0.00 (+1.00) − 0.40 (2.00) = − 0.600
𝑦1= 0.00 + 0.25 ( − 0.600) + 0.00 (2.00) = − 0.15
 Aplicando la segunda iteración partiendo de 𝑥1= -0.600 y 𝑦1= -0.15:
𝑥2= 0.20 + 0.00 ( − 0.600) − 0.40 ( − 0.15) = 0.26
𝑦2= 0.00 + 0.25 ( 0.26) + 0.00 ( − 0.15) = 0.065

12. 7. Método de Jacobi
Este método transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal, el cual se escoge
una matriz inicial Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que
los de la matriz A.
 En el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de
inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las
componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución.
 En el método de Gauss-Seidel los cálculos de xi dependen de x1, x2, ...,xi-1
Partiendo de (x = 1, y = 2) aplique dos iteraciones del método de Jacobi para
resolver el sistema:
5 𝑥 + 2 𝑦 = 1
𝑥 − 4 𝑦 = 0
Ejemplo:
 Debemos primeramente despejar de la ecuación la incógnita correspondiente.
x = 0.20 + 0.00 x − 0.40 y
y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y
 Escrito en la notación vectorial quedaría:
𝑥
𝑦 =
0.20
0.00
+
0.00 − 0.40
0.25 0.00
 Aplicando la primera iteración partiendo de 𝑥0= 1.00 y 𝑦0=
2.00:
𝑥1= 0.20 + 0.00 (+1.00) − 0.40 (2.00) = − 0.60
𝑦1= 0.00 + 0.25 ( 1.00) + 0.00 (2.00) = 0.25

13.  Aplicamos la segunda iteración partiendo de x1 = −0.60 y y1 =
0.25:
𝑥2= 0.20 + 0.00 (-0.60) − 0.40 (0.25) = 0.10
𝑦2= 0.00 + 0.25 ( -0.60) + 0.00 (0.25) = − 0.15
 Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x2 = 0.10 y y1 = −0.15:
𝑥3= 0.20 + 0.00 (0.10) − 0.40 (-0.15) = 0.26
𝑦3= 0.00 + 0.25 (0.10) + 0.00 (-0.15) = 0.025
 Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x3 = 0.26 y y3 = 0.025:
𝑥4= 0.20 + 0.00 (0.26) − 0.40 (0.025) = 0.190
𝑦4= 0.00 + 0.25 (0.26) + 0.00 (0.025) = 0.065
 Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x4 = 0.190 y y4 = 0.065:
𝑥5= 0.20 + 0.00 (0.19) − 0.40 (0.065) = 0.174
𝑦5= 0.00 + 0.25 (0.19) + 0.00 (0.065) = 0.0475
 Aplicamos la siguiente iteración partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:
𝑥6= 0.20 + 0.00 (0.174) − 0.40 (0.0475) = 0.181
𝑦6= 0.00 + 0.25 (0.174) + 0.00 (0.0475) = 0.0435
FIN……...

14. Llegando a la profundización de los métodos directos, las
técnicas de pivoteo , métodos iterativos; entre otros, se pudo
llevar a cabo el desarrollo de la solución de sistemas de
ecuaciones lineales, permitiendo entender como van siendo
afectados y como se llega a su solución.
Espero les halla
gustado.