Manual de matemáticas Básicas

INTRODUCCIÓN

Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad (de una
magnitud). El símbolo de un número recibe el nombre de numeral o cifra. Los
números se usan en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono,
numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie),
como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se
extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios,
negativos, irracionales, trascendentales y complejos.

En este orden de ideas, los números más conocidos son los números
naturales, que se usan para contar. Éstos, conjuntamente con los números
negativos, conforman el conjunto de los enteros. Cocientes de enteros
generan los números racionales. Si se incluyen todos los números que
pueden expresarse con decimales, son los números racionales, pero
existen los que pueden expresarse también con decimales pero no con
fracciones de enteros (irracionales), se habla entonces de los números
reales; si a éstos se les añade los números complejos, se obtendrán todos
los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica.

Es así como el presente trabajo está elaborado para ayudar en las
prácticas de ejercicios de matemáticas y para ello se plantea en el mismo
unas breves indicaciones con ejemplos de cómo se realizan las diferentes
ecuaciones y ejercicios, antes de entrar en materia práctica. Y al final,
contiene en anexos, algunas curiosidades, juegos didácticos y ejercicios de
autoevaluación.

Para la elaboración de este trabajo se utilizó material bibliográfico y el uso
de los enlaces cibernéticos. Sin embargo la mayoría de los ejercicios fueron
resueltos antes de ser plasmados en el trabajo.

1

UNIDAD 1.
OBJETIVO GENERAL

El presente trabajo está elaborado con el objetivo fundamental de
establecer una herramienta didáctica a toda persona que esté
experimentando conocimientos en la primera etapa de las matemáticas, y de
esta manera facilitar la práctica de ejercicios matemáticos concernientes a
las bases fundamentales de la materia.

1.1 Objetivos Específicos

1.- Elaborar y resolver problemas en los cuales se utilicen, en forma
combinada o no, las operaciones aritméticas con números naturales, enteros
y / o racionales

2.- Elaboración y resolución de problemas en los cuales se utilicen las
comprobaciones de los resultados usando diversas estrategias.

3.-Resolver, despejando la incógnita, de ecuaciones sencillas en las cuales
intervienen los números en cualquiera de sus clasificaciones: naturales,
enteros o racionales.

1.2 Justificación
La percepción y la acción son procesos fundamentales en la
educación matemática. Por consiguiente, si el material didáctico ha de
contribuir eficazmente a ella deberá ser capaz de provocar una y otra vez el
interés del aprendiz. Se considera, por tanto, inadecuado el material o el mal
uso que se hace de él, cuando lo maneja exclusivamente el profesor, aunque
se sirva de él para atraer y mantener la atención del alumno. Para evitar

2

éstos, es de beneficio contar con material adecuado que facilite el proceso
de aprendizaje y estimule las habilidades cognitivas del estudiante.

Es decir, que pueda interiorizar los procesos que realiza a través de la
manipulación y ordenación de los materiales. Hay que tener en cuenta que
las estructuras percibidas son rígidas, mientras que las mentales pueden ser
desmontadas y reconstruidas, combinarse unas con otras. Es necesario
pues, un material que cumpla esta condición de preparar y facilitar el camino
para llegar a un concepto matemático, de lo contrario no puede ser
denominado didáctico, en lo que se refiere a este campo.

Por otro lado, se elaboró tomando en cuenta las consideraciones prácticas,
puesto que deberá ser susceptible de ser utilizado como introducción
motivadora de distintas resoluciones prácticas y deductivas.

1.3 Delimitación

Este material práctico, hecho en forma de manual, está diseñado para todo
estudiante que curse las nociones básicas matemáticas; como en el caso de
la segunda y tercera etapa de Educación básica, media, y cursantes
universitarios de Matemáticas I.

3

UNIDAD 2.
LOS NÚMEROS

Los números son entes intangibles que sirven normalmente para contar y
para ordenar de una manera secuencial los conjuntos y/o elementos.

2.1 Clasificación de los números

La noción de número es una de las más fundamentales en matemáticas. Su
origen se remonta a la antigüedad y a través de los siglos ha pasado por un
largo proceso de extensión y de generalización

Entre su clasificación se tiene:

R
N= Naturales
Z= Enteros Q
Z
Q= Racionales
N
R= Reales

2.1.1 Números Naturales: Son los valores positivos hasta el +∞.
N= {0,1,2,3,4,5,6……….+∞}
Los números naturales son ordinales y cardinales.
Cardinales: se cuentan. (1, 2, 3, 4, etc)
Ordinales: Indican un orden en el espacio. (1º, 2 º, 3 º, 4 º, etc)

2.1.2 Números Enteros: Los números enteros negativos hasta el -∞ y los
positivos hasta el +∞.
Z= { -∞………. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ……………...+∞}

4

2.1.3. Números Racionales: número racional es todo aquel número que
puede ser expresado como resultado de la división de dos números enteros.
Comúnmente es a lo que se les llama números decimales, tanto en fracción
como expresado con comas.
Q= { ... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se
obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene
como expresión decimal 0.5, 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y
las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o
periódicas mixtas.

5

2.1.4. Números Reales: son todos los números pertenecientes a N, Z, Q.
R= {-∞….-2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1 ….. +∞}

2.1.5. Números irracionales: hay números que no son racionales, es decir
que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por
ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es:
0.1234567891011121314151617181920........
Claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por
tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

2.1.6. Significado de la simbología:

> Mayor que

< Menor que

≥ Mayor o igual que

≤ Menor o igual que

= Igual que

Pertenece a

Conjunto vacío

6

2.2 Lectura de Conjuntos:
A= {X ∈ N / X < 2}
a. ¿Cómo se lee el siguiente conjunto?
El conjunto A está formado por el elemento X que pertenece a los números
naturales tal que X es menor que 2.

b. ¿Cuáles son los números que le pertenecen?
0, 1, 2

c. ¿Cómo sería el conjunto?
El conjunto sería: finito {0, 1, 2 }

Ejercicios de lectura de conjuntos:
En los conjuntos que se dan a continuación responder a las siguientes
preguntas:
1) A= {X N / X<10}=
2) B= {X N / X≥ 6}=
3) C= {X N / X≤ 4}=
4) D= {X N / X<5 y X>2}=
5) E= {X N / X≥ 4 y X≤ 1}=
Resultados en la pág. 32

7

2.3 Propiedades Básicas de la Adición

Dentro de las propiedades más destacadas en la suma se encuentran:
a. Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos
Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7

b. Propiedad Asociativa: ( a+b ) + c = a + ( b+c )
El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los
sumandos
Ejemplo: ( 2 + 4 ) + 6 = 2 + ( 4 + 6 )
6 + 6 = 2 + 10
12 = 12

c. Propiedad del Elemento Neutro: a + 0= a
Ejemplo: 7 + 0 = 7

d. Elemento Simétrico: a + (- a ) = 0
Ejemplo: 3 + ( - 3 ) =
3–3=0

e. Propiedad Distributiva de la Adición: a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c )
Ejemplo: 3 ( 2 + 5 ) = ( 3 2 ) + ( 3 5 )
3 7 = 6 + 15
21 = 21

8

Ejercicios de Propiedades de la Adición
a. Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa al sumar:
6) 12 + 25 = 25 + 12
7) 1971 + 2608 = 2608 +1971
8) 79 + 56 = 56 +79
b. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa al sumar:
9) 15 + (24 + 35) = (15 + 24) + 35
10) 45 + (15 + 63) = (45 + 15) + 63
11) 10 + (2 + 5) = (10 + 2) + 5
c. Comprueba que se cumple la propiedad distributiva al sumar:
12) 3 ( 4 + 3 ) = (3 4) + ( 3 3 )
13) 5 (11 + 2) = (5 11) + (5 2)
14) 4 ( 9 – 4) = (4 9) - (4 4)
15) 37 ( 34 – 12) = (37 34) - (37 12)
Resultados en la pág.34

2.4 Propiedades Básicas de la Multiplicación
a. Propiedad Conmutativa: a b = b a
Ejemplo: 2 3 = 3 2
6=6

b. Propiedad Asociativa: ( a b ) c = a ( b c )
Ejemplo: (+2) (-5) (+3) = (+2) (-5) +3)
( 5 6 ) 2 = 5 ( 6 2)
30 2 = 5 12

c. Propiedad del Elemento Neutro: a 1 = a
El elemento neutro de la Multiplicación es el 1
Ejemplo: 7 1 =

9

Ejercicios de Propiedades de la Multiplicación. Resultados en la pág.35
a. Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa al multiplicar:
16) 50 8 = 8 50
17) 312 65 = 65 312
b. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa al multiplicar:
18) (3 5) 2=3 (5 2)
19) 501 (2 5) = (501 2) 5
b. Comprueba que se cumple el elemento neutro al multiplicar:
20) 19876 1=

Ejercicios de números naturales. Resultados en la pág.35
21) 192 + 55564 + 56 =
22) 45 + 15 - 31 - 1 + 8 =
23) 81 - 9 + 48 - 31 + 5 - 3 =
24) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 =
25) 348 + 25 - 22 - 15 + 9 - 3 =

Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones.
26) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] }
27) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 )
28) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8
29) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} - 3
30) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4
31) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 )
32) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 }

Solución en la pág . 36

10

UNIDAD 3.
NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros Número entero, cualquier elemento del conjunto
formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los
números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como
los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto
elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,
los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Relaciones de Orden “menor que” y “mayor que” en Z

> Mayor que

< Menor que

≥ Mayor o igual que

≤ Menor o igual que

Relación menor en Z ( < ) Relación mayor en Z ( > )
Un número entero X es menor que Un número entero X es mayor que
otro número entero Y, si en la otro número entero Y, si en la
representación sobre la recta representación sobre la recta
numérica X está a la izquierda de Y numérica X está a la derecha de Y

11

Escribir sobre el guión > (mayor que) o < (menor que) según
corresponda: Ejemplo: 4 __>__ 3
a) - 3 ____ 2
b) 9 ____ 1
c) 5 ____ 0
d) 2 ____ - 2
e) – 4 ____ - 7
f) – 6 ____ - 4
g) 0 ____ 8

Solución en la pág 36.

Ordenar de “mayor” a “menor” los siguientes números enteros:
h) 2; 8; 4; -2; -8; -4
i) 5; -3; 2; -2; -5; -8
j) -3; -1; -2, 2; 1; 3; 4; -4; 5; -6; 8

Ordenar de “menor” a “mayor” los siguientes números enteros:
k) -5 -; 4; -6; -1; -8; 7; 8; 12
l) 1; 5; -5; 6; -2; 23; 15; 99
m) 16; 20; 4; 8; -1, -4; 18

Solución en la pág 37.

12

3.1 Valor Absoluto

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se
designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es
negativo. Es decir:

• Si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• Si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son
operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin
embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es
múltiplo del divisor.

3.2 Ley de los Signos

Para este tipo de propiedades es importante conocer la ley de los signos,
en los cuales podemos encontrar:

En la de la suma

(+) + (+) = +
(-) + (-) = +
(+) + (-) = según sea el valor del mayor
(-) + (+) = lo mismo que arriba

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En la de la resta es = solo cambias el signo que está entre medio de los
paréntesis.

(-) - (-) = +
(+) - (+) = +
(-) - (+) = según sea el valor del mayor
(+) - (+) = según sea el valor del mayor
Ejemplo: - 3 + 1= - 2

La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un
valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan
como resultado un valor negativo.

Multiplicación División

(+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+)
(+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-)
(-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-)
(-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+)

Las ecuaciones son igualdades, que solo es verdadera para cada valor. Las
ecuaciones tienen una serie de letras del alfabeto y las más utilizadas son X,
Y y Z.

Los miembros de una ecuación se determinan por la igualdad. El primer
miembro es el que está antes de la igualdad y el segundo miembro está
después de ella. Por otro lado los términos de una ecuación lo determinan
los componentes de sus miembros.

14

Así tenemos el siguiente ejemplo:
2x + 2 = 14
- Primer miembro: 2x + 2
- Segundo miembro: 14
- 1er término = 2x
- 2do término = +2
- 3er término = 14
- 1er término del primer miembro= 2x
-1er término del segundo miembro: 14

Pasajes de términos de un miembro al otro
33) 13 - a + 11 = 6 + b - z - 1
a) ¿Cuál es el primer miembro?
b) ¿Cuál es el segundo miembro?
c) ¿Cuál es el segundo término del primer miembro?
d) ¿Cuál es el primer término del segundo miembro?

34) -34 +b = 9+ c + d - 14
a) ¿Cuál es el primer miembro?:
b) ¿Cuál es el segundo miembro?:
c) ¿Cuál es el primer término del primer miembro?:
d) ¿Cuál es el cuarto término del segundo miembro?:

35) 10 - 4 + a = x + 1
c) ¿Cuál es el tercer término del primer miembro?:
d) ¿Cuál es el segundo término del segundo miembro?:

Resultados pág. 37 y 38

15

36) a + x - 2 + 5 - 2 = b - 3 + 4
c) ¿Cuál es el segundo término del primer miembro?:
d) ¿Cuál es el primer término del segundo miembro?:

37) 12 + a + 5 = 15 - 1 + x + 2 + b
a) ¿Cuál es el primer miembro?
b) ¿Cuál es el segundo miembro?
c) ¿Cuál es el último término del primer miembro?
d) ¿Cuál es el tercer término del segundo miembro?

Resultados pág. 38

3.3 Resolución y Problemas en Z

3.3.1 Ecuaciones en Enteros (Z)

Solucionar una ecuación es encontrar los números (raíces de la ecuación)
que la satisfacen; es decir; hallar los valores de la incógnita que al sustituirlos
en la ecuación resulta una identidad,. La solución de la ecuación se obtiene
“cuando la incógnita está en el primer miembro o miembro de la
izquierda, sola y con signo positivo”
Ejemplo:
a. Resolver la ecuación. 5x – 1 = x – 9
5x – 1 = x – 9 5x –x = -9 +1 4x = -8 x= x= - 2

16

Relaciones comunes entre los números:

Expresión verbal Expresión algebraica

Un número cualquiera x

Un número par cualquiera 2x

Un número impar cualquiera 2x + 1

El doble o duplo de un número 2x

El triple o triplo de un número 3x

El cuádruple de un número 4x

La tercera parte de un número x 3 ó

La cuarta parte de un número x 4 ó

Las dos terceras partes de un número (2/3) x ó 2x 3 ó x ó

Las tres quintas partes de un número (3/5) x ó 3x 5 ó x ó

Dos números consecutivos x;x+1

Dos números pares consecutivos 2x; 2x +2

Dos números impares consecutivos 2x +1 ; 2x+3

Tres números consecutivos x ; x+1 ; x+2

Tres números pares consecutivos 2x ; 2x +2 ; 2x+4

Tres números impares consecutivos 2x+1 ; 2x+3 ; 2x+5

La suma de dos números consecutivos x+ (x+1)

La suma de dos números pares 2x + (2x +2)
consecutivo

17


La suma de dos números impares 2x+1 + (2x+3)
consecutivos
x+3
Un número aumentado en 3

Un número disminuido en 3 x-3

Un número sumado a 5 5+x ó x+5

El doble de un número aumentado en 7 2x + 7 ó 2 (x + 7)

El triple de número disminuido en 6 3x–6 ó 3 (x – 6)

La mitad de un número más 9
(x 2) + 9 ó +9

La mitad de un número disminuido en 7 (x 2) – 7 ó -7

La mitad de un número restado de 7 ( ) (7 – x) 2 ó (7 –X) ó

El cuádruple de un número restado de 10 – 4x
10

El triple de la suma de un número con 8 3 ( x+8)

El doble de la suma de un número y 5, 2 ( x +5) -3
disminuido en 3

El triple de un número más su doble es 3x + 2x = 15
igual a 15

La suma de dos números enteros x + ( x+1) = 13
consecutivos es 13

La suma de dos números pares 2x + (2x + 2) = 10
consecutivos es 10

La suma de dos números impares 2x +1 + (2x + 3) = 12
consecutivos es 12

18


La suma de tres números consecutivos x+ (x+1) + (x+2) = 15
es quince

la suma de 3 números pares 2x +(2x + 2) + (2x +4) = 90
consecutivos es 90

Ejemplo:
La suma de las edades de Carlos es de 14 años. Alberto tiene 8 años
menos que Carlos:
x= Carlos x= 11
x – 8 = Alberto x–8=3

x + x - 8 = 14
2x = 14 + 8

2x = 22 x= x = 11 Carlos = 11 años

11 – 8= 3 Alberto = 3 años

Ejercicios con expresiones algebraicas (Soluciones en la pág. 38):

38) Hallar 3 números consecutivos cuya suma es 10.
39) Hallar el número sabiendo que su mitad es igual a su 6ta parte más 10.

40) Escribe una ecuación para cada enunciado y trata de encontrar, en
cada caso, el número que cumple la condición expresada:
a. Si a cierto número, x, le restas 20 y doblas el resultado, obtienes 10.
b. El triple de un número, x, coincide con el valor obtenido al sumarle 10
unidades.
c. La mitad de un número coincide con el valor que se obtiene al restarle 11.

19

41) Demuestra que la suma de dos pares consecutivos nunca es múltiplo de
cuatro.

42) Demuestra que la suma de tres números naturales consecutivos es igual
al triple del mediano.

43) Utiliza el lenguaje algebraico para expresar:
a) Un múltiplo cualquiera de cinco.
b) Un múltiplo cualquiera de dos.
c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos.
d) Cualquier número que deje un resto de tres unidades al dividirlo entre 5.

44) Llamando n a un número cualquiera, traduce a lenguaje algebraico los
siguientes enunciados:
a) La mitad de n.
b) La mitad de n menos cuatro unidades.
c) La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a n.
d) El doble del resultado de sumarle tres unidades a n.

45) Demuestra que si a cualquier número le sumamos tres, después duplicas
el resultado, restas uno, vuelves a duplicar y restas el cuádruplo del número,
obtienes siempre 10, sea cual sea el número inicial.

Resultados en la pág. 38 y 39

20

3.4 Potencia
Es el producto de varios factores; es decir, es la cantidad o el valor que se
repite de acuerdo al exponente asignado.

=x x x x x x x x x…….. +∞
3.4.1 Propiedades de la Potenciación
a. Multiplicación de Potencia de Igual Base: Se deja la misma base y se
suman los exponentes.

Ejemplo:

b. Potencia de una potencia: Se deja la misma bae y se multiplican los
exponentes.
Ejemplo: =

c. Potencia de un producto: Se separan las bases, pero en cada número se
coloca el mismo exponente.
Ejemplo:

d. División de potencia de Igual base: Se deja la misma base y se restan los
exponentes.

Ejemplo:

e. Potencia de un cociente: En este caso se desprende el mismo
numerador y el denominador con el mismo exponente.

Ejemplo: =

21

Ejercicios de Potencias
1 3 4 =
46) (−3) · (−3) · (−3)
2 0
47) (−27) · (−3) · (−3) · (−3) =
2 3 −4
48) (−3) · (−3) · (−3) =
−2
49) 3 · 3−4 · 34 = 3−2 = =
6 3 3 0 −4=
50) [(−3) : (−3) ] · (−3) · (−3)


3.5 Inecuaciones de Números Naturales
Una inecuación es una desigualdad por lo tanto se utilizan simbolos:

Mayor o igual que

Menor o igual que

En las inecuaciones se utiliza la variable X para verificar los resultados.
Ejemplo:
2 + x ≥ -3
X ≥ -3 -2
X ≥ -5
Cuando los símbolos son ≥ ó ≤ , se coloca un corchete en la recta
numérica.
Ejemplo: X ≥ -5
-∞……..

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 …….. +∞

22

Cuando los símbolos son > ó <, se coloca un paréntesis en la recta
numérica.
Ejemplo: X > -5

-∞……..

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 …….. +∞

Resolver las inecuaciones de primer grado. Pág. 40 y 41

51) 2x − 6x + 8 > 0
52) 7x + 21x + 56 < 0
53) 4x + 5
54) 3x + 1 – 8x + 8 > x - 3
55) -2 + 4x -4 -2x

23

UNIDAD 4
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q

Un número racional es todo número que puede representarse como el
cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa
por Q.

4.1 Suma y resta de números racionales

a) Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Suma: Ejemplo:

Resta: Ejemplo:

b) Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se
suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes
obtenidas.

Suma: Ejemplo:

Resta: Ejemplo:

24

4.2 Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

a+b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

Ejemplo:

3. Conmutativa:

a+b=b+a

Ejemplo:

4. Elemento neutro:

a+0=a Ejemplo:

25

5. Elemento opuesto

a + (−a) = 0

Ejemplo:

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

4.3 Multiplicación de números racionales

Ejemplo:

4.3.1 Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna:

a·b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

Ejemplo:

26

3. Conmutativa:

a·b=b·a

Ejemplo:

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

Ejemplo:

5. Elemento inverso:

Ejemplo:

6. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:

27

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

Ejemplo:

4.4 División de números racionales

Ejemplo:

.

Operaciones con números racionales

Calcula las siguientes operaciones con números racionales:

56)

57)

58)

59)

Resultados en la pág. 42

28

Efectúa las divisiones de números racionales:

60) 61)

62) 63)


4.5 Potencias de números racionales

Potencias de exponente entero y base racional

a) Ejemplo:

b) Ejemplo:

c) Ejemplo:

29

4.5.1 Propiedades

1. Potencia de exponente 0 (Cero)

Ejemplo: =1

2. Potencia de exponente 1 (Uno)

Ejemplo: =

3. Producto de potencias con la misma base:

Ejemplo:

4. División de potencias con la misma base:

Ejemplo:

5. Potencia de una potencia:

Ejemplo:

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Ejemplo:

30

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Ejemplo:

Ejercicios de operaciones combinadas de números racionales

64)

65)

66)
Soluciones en la pág. 43,44 y 45

31

Resultados

Resultados de los ejercicios de lectura de conjuntos (ver pág.7):
En los conjuntos que se dan a continuación responder a las siguientes
preguntas:
1) A= {X N / X<10}=
El conjunto A está formado por el elemento X que pertenece a los números
naturales tal que X es menor que 10.
A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
El conjunto sería: finito
d. Representación Gráfica:

----.--- --.--- --. .---- -.--- --.-- - --.- --- .-- - -.---------------+∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2) B= {X N / X≥ 6}=
El conjunto B está formado por el elemento X que pertenece a los números
naturales tal que X es mayor o igual que 6.
B= {6, 7, 8, 9, 10, 11………. +∞}
El conjunto sería: infinito

------.--- - .-- - -. . -----.---- -.--- --.-- ---.---- -.---- -. .----------+∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

32

3) C= {X N / X≤ 4}=
El conjunto C está formado por el elemento X que pertenece a los números
naturales tal que X es menor o igual que 4.
C= {0, 1, 2, 3, 4}

. -----.--- --.--- --. .-- ---.--- --.-----.--- --.--- --.--- --. .----------+∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4) D= {X N / X<5 y X≥2}=
El conjunto D está formado por el elemento X que pertenece a los números
naturales tal que X es menor que 5 y mayor o igual que 2.
D= {2, 3, 4}

.---- -.--- --.--- --. .-- ---.- ----.---- -.- ----.-- ---.-----. +∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

33

5) E= {X N / X≥ 4 y X≤ 1}=
El conjunto E está formado por el elemento X que pertenece a los números
naturales tal que X es mayor que 4 y menor e igual que 1.
E= {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9…….+∞}
El conjunto sería: (conjunto vacío)

- ∞ . .----- .--- --.--- --. .-- ---.-----.-----.-----.-----.-----. +∞
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resultados de los ejercicios de propiedades de la adición (ver pág. 9)

a. Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa al sumar:
6) 37
7) 4579
8) 135
b. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa al sumar:
9) 74 = 74
10) 123 = 123
11) 17 = 17
c. Comprueba que se cumple la propiedad distributiva
12) 21
13) 62
14) 20
15) 814

34

Ejercicios de Propiedades de la Multiplicación (ver pág. 10)
a. Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa al multiplicar:
16) 40
17) 20280
b. Comprueba que se cumple la propiedad asociativa al multiplicar:
18) 30
19) 5010
c. Comprueba que se cumple el elemento neutro al multiplicar:
20) 19876

Resultados de los ejercicios de números enteros (ver pág. 10)

21) 192 + 55564 + 56 = 55812

22) 45 + 15 - 31 - 1 + 8 =
45 + 15 + 8 - 31 – 1=
68 – 32= 36

23) 81 - 9 + 48 - 31 + 5 - 3 =
81+ 48 + 5 - 9 - 31 - 3 =
134 - 43= 91

24) 21 - 3 - 7 + 20 + 9 - 10 + 15 - 25 + 10 =
21 + 20 + 9 + 15 + 10 - 3 - 7 - 10 - 25 =
75 – 45 = 30

25) 348 + 25 - 22 - 15 + 9 - 3 =
348 + 25 + 9 - 22 - 15 - 3 =
382 - 40 = 342

35

Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones.
(ver pág.10)
26) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] }
Respuesta: 14
27) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 )
Respuesta: 23
28) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8
Respuesta: 46
29) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} - 3
Respuesta: 10
30) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4
Respuesta 37
31) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 )
Respuesta: 4
32) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 }
Respuesta: 13

Escribir sobre el guión > (mayor que) o < (menor que) según
corresponda: (ver pág. 12)
a) - 3 < _2
b) 9 > _1
c) 5__>__ 0
d) 2__>__ - 2
e) – 4 __>_ - 7
f) – 6 __<__- 4
g) 0 __<__ 8

36

Ordenar de “mayor” a “menor” los siguientes números enteros:
(Ver pág. 12)
h) 2; 8; 4; -2; -8; - 4
8 > 4> 2> -2 >- 4
i) 5; -3; 2; -2; -5; -8
5 > 2 > -2 > -3 > -5 > -8
j) -3; -1; -2, 2; 1; 3; 4; -4; 5; -6; 8
8 > 5 > 4 > 3 > 2 > 1> -1 > -2 > -4 > -6

Ordenar de “menor” a “mayor” los siguientes números enteros:
(Ver pág. 12)
k) -5 -; 4; -6; -1; -8; 7; 8; 12
-8 < -6 < -5 < –1 < 4 < 7< 8 < 12
l) 1; 5; -5; 6; -2; 23; 15; 99
-5 < -2 < 1 < 5 < 6 < 15 < 23 < 99
m) 16; 20; 4; 8; -1, -4; 18
-4 < -1 < 4 < 8 < 16 < 18 < 20

Pasajes de términos de un miembro al otro (ver pág. 15 y 16)
33) 13 - a + 11 = 6 + b - z - 1
a) ¿Cuál es el primer miembro?: 13 – a + 11
b) ¿Cuál es el segundo miembro?: 6 + b – z - 1
c) ¿Cuál es el segundo término del primer miembro?: -a
d) ¿Cuál es el primer término del segundo miembro?: 6

34) -34 +b = 9+ c + d - 14
a) ¿Cuál es el primer miembro?: -34 +b
b) ¿Cuál es el segundo miembro?: 9+ c + d - 14
c) ¿Cuál es el primer término del primer miembro?: - 34
d) ¿Cuál es el cuarto término del segundo miembro?: - 14

37

35) 10 - 4 + a = x + 1
a) ¿Cuál es el primer miembro?: 10 - 4 + a
b) ¿Cuál es el segundo miembro?: x + 1
c) ¿Cuál es el tercer término del primer miembro?: + a
d) ¿Cuál es el segundo término del segundo miembro?: + 1

36) a + x - 2 + 5 - 2 = b - 3 + 4
a) ¿Cuál es el primer miembro?: a + x - 2 + 5 - 2
b) ¿Cuál es el segundo miembro?: b - 3 + 4
c) ¿Cuál es el segundo término del primer miembro?: + x
d) ¿Cuál es el primer término del segundo miembro?: b

37) 12 + a + 5 = 15 - 1 + x + 2 + b
a) ¿Cuál es el primer miembro?: 12 + a + 5
b) ¿Cuál es el segundo miembro?: 15 - 1 + x + 2 + b
c) ¿Cuál es el último término del primer miembro?: + 5
d) ¿Cuál es el tercer término del segundo miembro?: + 2

Resultados de ejercicios con expresiones algebraicas (ver pág. 19 y 20)
38) Respuesta: 20 ,21 ,22 = 63
39) Respuesta: x = 30
40) a. 2(x – 20) = 10 → 2x – 40 = 10 → 2x = 50 → x = 25
b. 3x = x + 10 → 2x = 10 → x = 5

c. = x – 11 → x = 2x – 22 → x = 22

41) Dos pares consecutivos son de la forma 2x y 2x + 2:
2x + 2x + 2 + 4x + 2
4x es múltiplo de 4, pero no 2.
Por tanto, 4x + 2 no es múltiplo de 4.

38

42) Mediano x
Anterior → x – 1 x + (x – 1) + (x + 1) = 3x
Posterior → x + 1

43) a) Un múltiplo cualquiera de cinco: 5 · k
b) Un múltiplo cualquiera de dos: 2 · k
c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos: 2k + 1
d) Cualquier número que deje un resto de tres unidades al dividirlo entre
cinco: 5k + 3

44) a) La mitad de n:

b) La mitad de n menos cuatro unidades: -4

c) La mitad del resultado de restarle cuatro unidades a n:

d) El doble del resultado de sumarle tres unidades a n: 2 · (n + 3)

45) [(x + 3) · 2 – 1] · 2 – 4x = (2x + 6 – 1) · 2 – 4x = 4x + 10 – 4x = 10

Realizar las siguientes operaciones con potencias (ver pág. 22):

46) (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

47) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=

(−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729

48) (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3

49) 3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

39

50) [(−3)6 : (−3)3]3 · (−3)0 · (−3)−4 =

[(−3)3]3 · (−3)0· (−3)−4 =

(−3)9 · (−3)0 · (−3)−4 =

(−3)5 =243

Soluciones de las Inecuaciones de primer grado (ver pág. 23)
51) 2x − 6x + 8 > 0
- 4x > -8

(-1) -4x > (-1) - 8 4x 8 x x 2

-∞……..

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-2 -1 0 1 2 3 4….. +∞

Sol (-∞ ; 2)

52) 7x + 21x + 56 < 0
7x + 21x < - 56

28x < - 56 x <- x<-2

-∞……..

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-6 -5 -4 -3 - 2 -1 0….. +∞

Sol (-∞ ; - 2)

40

53) 4x + 5
4x -2
2x x x

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-∞… -6 -5 -4 -3 - 2 -1 0….. +∞

Sol -4 ; +∞)

54) 3x + 1 – 8x + 8 > x – 3
3x -8x –x > – 3 -1 – 8
-6 x > -12 (-1) -6x > (-1) -12 6x < 12

x< x< 2

-∞……..

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-2 -1 0 1 2 3 4….. +∞

Sol (-∞ ; 2)

55) - 2 + 4x -4 -2x
4x -2x + 3x 9 + 2+ 4

5x 15 x x 3

-∞……..

.------.------.------.------.------.------.------.-----------
-2 -1 0 1 2 3 4….. +∞

Sol (-∞ ; 3]

41

Operaciones de números racionales (ver pág. 28 y 29)

56)

57)

58)

59)

60)

61)

62)

42

63)

Soluciones de los Ejercicios de operaciones combinadas de números
racionales (ver pág. 31)

64)

43

CONCLUSIONES

El presente manual de ejercicios está adaptado para todos aquellos
interesados en enriquecer sus conocimientos matemáticos a través de la
práctica. Es muy importante dejar claro la fabulosa habilidad mental que nos
proporciona esta ciencia, las matemáticas, y que a su vez nos conduce a
experimentar cálculos desde los más simples hasta los más complejos, y en
muchos casos logrando grandes descubrimientos, bien sea por sí misma, o
en ayuda a otras ciencias.

El material que se ha elaborado contiene bases matemáticas que inducen
a cualquier estudiante a mejorar su capacidad deductiva, hace su proceso
cognitivo más fácil y también sirve como ayuda al docente en clase, puesto
que los ejercicios prácticos están apoyados de breves contenidos teóricos,
que son usados como guía didáctica.

46

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Amelli de R., R. (2005) .Matemática 8. Editorial Salesiana. Caracas.

Amelli de R., R. y Lemmo D., José. (2005) .Matemática 8. Editorial
Salesiana. Caracas.

Brett C., Ely y Suárez W. (2005) Actividades de Matemáticas. Corporación
Marca, S.A. Primera Edición. Caracas.

Carrillo , M. y Arellano, D. (2010) .Matemáticas I .Apuntes matemáticos sin
publicar. UPEL. Mérida – Venezuela.

González, L. (2006). Matemática 7⁰ Grado. Editorial Actualidad 2000.
Caracas.

ENLACES WEB

http://www.educa.madrid.org/web/ies.cardenalcisnero.alcala/departamentos/webmate/m
atapoyo/apuntes/numenter.pdf

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/2eso/unidad
7.pdf

http://www.vitutor.com/di/e/e_e.html#to

http://www.vitutor.net/1/0_7.html

47

El Cuadro Mágico de Benjamín Franklin

52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17
Este cuadro fue creado por Benjamín Franklin y tiene algunas

propiedades, te invitamos a descubrirlas.

a) ¿Cuánto suman cada fila y cada columna?
b) ¿Cuánto suman la mitad de cada fila y de cada columna?
c) ¿Cuánto suman los cuatro números de las esquinas más los
cuatro números del centro?
d) ¿La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de
2 por 2 es…?
e) ¿Qué otras propiedades tendrá este cuadro mágico?

49

6 1 8
7 5 3 Piensa en un número
cualquiera.
2 9 4
Al número pensado se
le debe sumar, restar o
multiplicar cada uno de
los números de la tabla
original, colocando los
resultados en los
mismos lugares.

El cuadro que resulte
también será mágico.
Completa los cuadros
que aparecen en
blanco, uno con suma,
otro con resta y el
último con
multiplicación.

¿Qué descubriste?

50

Instrucciones:
Asignar un valor del 1 al 9 a cada letra, sin
repetir ningún número.
La letra E es igual a 4

La suma de cada fila o columna es igual a 13

13
A
B
C D E 13

F

G H I 13

51

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