Que son los conjuntos numéricos

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QUE SON LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
N=0,1,2,3,4,5,6,7,8,…..
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una
serie de propiedades estructurales.[cita requerida]
Sus características
estructurales más importantes son:
 1. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable
 2. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden legar a
estarlo)
3. Admiten relación de orden
 4. Admiten relación de equivalencia

 5. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de
Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de
ambos en
un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y
además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es
una recta).
 6. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una
estructura más simple hasta otra más compleja.

 7. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a
Los Conjuntos Numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de
números con características comunes que los definen como una clase,
entre los más comunes están Los Números Naturales, Los Enteros, Los
Racionales, Los Irracionales y Los Reales.
Los sistemas numéricos son conjuntos de números con unas operaciones y
unas relaciones definidas sobre ellos. Por ejemplo el sistema más usual en

aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales,
con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
El primer conjunto numérico que la humanidad manejó independiente de
la cultura fueron los números naturales. Notados por los matemáticos:
N = {1,2,3,4,5,......}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto
(número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un
elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otronúmeronatural.
La diferencia dedos números naturales no siempre es un número
natural, sólo ocurrecuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente dedos números naturales no siempre es unnúmeronatural,
sólo ocurrecuando la división es exacta.
6 : 2

2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un
producto formado por varios factores iguales.
La raíz de un númeronatural no siempre es unnúmeronatural, sólo
ocurrecuando la raíz es exacta.
Los números enteros
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las
profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro
número entero.
El cociente dedos números enteros no siempre es unnúmero entero ,
sólo ocurrecuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número natural.
La raíz de un númeroentero no siempre es unnúmero entero, sólo
ocurrecuando la raíz es exacta o si setrata de una raíz de índice par con
radicando positivo.

Los números racionales
Se llama númeroracional a todo número que puede representarsecomo
el cociente de dos enteros, condenominador distintode cero.
Los números decimales (decimalexacto, periódico puro y periódico mixto)
son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia, el productoy el cociente dedos números
racionales es otronúmeroracional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un
número entero.
La raíz de un númeroracional no siempre es unnúmeroracional, sólo
ocurrecuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser
positivo.
Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimalesnoperiódicas,
por tanto no se puedenexpresar enforma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:

El número e aparece en procesos decrecimiento, en la desintegración
radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
El númeroáureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias,
Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus
obras.
Números reales
El conjuntoformado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto
la radicaciónde índice par y radicando negativoy la divisiónpor cero.
La rectareal
A todo número real le correspondeun punto de la recta y a todo punto de
la rectaun número real.

Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi, donde:
b es un número real
i es la unidad imaginaria:
Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y
radicando negativo.
x2
+ 9 = 0
Números complejos
Un número complejo en forma binómica es a + bi.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un númeroreal, ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número
imaginariopuro.
El conjunto de los números complejos sedesigna por .

QUE SON LOS NUEMEROS ENTEROS
-3-2-1-0.1.2.3.4
Numeros Enteros
¿Que son los Numeros Enteros?
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los
números naturales y sus opuestos. Elconjunto de los números enteros se
designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como
los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto
elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0
grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al
mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que
se designa |a| y que es igual al propio a sies positivo o cero, y a -a si es
negativo. Es decir:
• sia > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• sia < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son
operaciones internas porquesu resultado es también un número entero.
Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo
es múltiplo del divisor.

Suma de Numeros Enteros
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado
se le pone el signo que tenían los sumandos:
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro
negativo, serestan sus valores absolutos y sele pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Multiplicacionde Numeros Enteros
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos
y el resultado se deja con signo positivo siambos factores son del mismo
signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos.
Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo
de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente
modo:
+ · + = +
+ · - = -
- · + = -
- · - = +
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación,
a · 1 = a
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
a · (b + c) = a · b + a · c
Resta de Numeros Enteros
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del
sustraendo:
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
NUMEROS RACIONALES
Los números racionales de supueden llamar a /b numerador y
denominador
Porque se pueden escribir en forma de decimal o periodica

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y
números enteros representados por medio de fracciones. Esteconjunto
está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números
naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue5 y a este a su vez
le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le
sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen
consecución pues entre cada número racional existen infinitos números
que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para
representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un
número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico,
debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
Definiciónde números racionales
Para decir, ¿Quéson números racionales? Podemos empezar por decir
que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como
el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número
entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional,
es un número que se escribe mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los
números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo
tanto también pueden ser tomados como números racionales con el
simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1
como denominador.
Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que
viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente,
y que sirvepara recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y
junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en
ocasiones se refieren a los números racionales como números Q.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin
alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½
puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones
reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales
dependiendo de su expresión decimal, estos son:
Los números racionales limitados, cuya representación decimaltiene un
número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números racionales periódicos, delos cuales sus decimales tienen un
número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números
irracionales porquede esas cifras se puede descubrir un patrón definido
mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas
y no-periódicas.
A su vez los números racionales periódicos sedividen en dos, los
periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de

la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los
cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de
cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
Propiedades de los números racionales
Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas
propiedades de los números racionales, estos son:
Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el
resultado siempre será otro número racional, aunqueeste resultado
puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- sedice que si se agrupa los diferentes sumandos
racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional.
Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- dondeen la operación, si el orden de los
sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- elelemento neutro, es una cifra nula la cual si es
sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número
racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números
racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la
existencia del otro. Es decir que al sumarlos, seobtiene como resultado el
cero.
ab−ab=0

Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales
por parte de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón deque al multiplicar números racionales, el
resultado también es un número racional.
ab×cd=ef
Esta además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- dondeal agrupar diferentes factores la forma de la
agrupación, no altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquíseaplica la famosa frase, el orden de los
factores no altera el producto, entre los números racionales también
funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- alcombinar sumas y multiplicaciones, el resultado
es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los
sumandos, veamos elejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales,
existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o
cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo
número.
ab×1=ab
ab÷1=ab

Ejemplos de números racionales
Los números racionales son números fraccionarios, es decir que
podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y
llamarlo número racional, aquí un ejemplo
57
Aunque también podría ser expresado de esta manera:
5/7
Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de
los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de
este modo:
3=31
Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de
fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues
al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:
155=3
También encontramos números racionales enteros negativos, por
ejemplo:
−6=−61
0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional,
pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de
fracción, así:
2499
Racionales equivalentes
½ 4/8

Números irracionales
Es el pi
3.1416
Se caracterizan porque son decimales infinitos no periódicos
Números reales
Repaso de Álgebra Interactivo
(Se puede encontrar esta tema en Sección 0.1 del libros Applied Calculus y
Finite Mathematics).
0.1 Números reales
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación
decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal
infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números
enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números
irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
Ejemplos de números irracionales son
√2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e =
2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la rectareal,
como mostrado aquí.
Observequelos números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b
entonces el punto correspondea b estrá a la derecha del punto que
correspondea a.

Intervalos
Ciertos subconjuntos delconjunto de los números reales, llamados
intervalos, seencunetra frecuentemente, por lo que tenemos una
notación compacta para representarlos.
Notaciónde intervalo
La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.
Intervalo Descripción Dibujo Ejemplo
Cerrado [a, b] Conjunto de
números x tales que
a ≤ x ≤ b
(incluye puntos
extremos)
[0, 10]
Abierto (a, b) Conjunto de
a < x < b
(excluye puntos
extremos)
(-1, 5)
Semiabierto (a, b] Conjunto de
a < x ≤ b
(-3, 1]
[a, b) Conjunto de
a ≤ x < b
[-4, -1)
Infinito [a, +∞) Conjunto de
a ≤ x
[0, +∞)
(a, +∞) Conjunto de
a < x
(-3, +∞)
(-∞, b] Conjunto de
(-∞, 0]

x ≤ b
(-∞, b) Conjunto de
x < b
(-∞, 8)
(-∞, +∞) Conjunto de todos
números reales
(-∞,
+∞)
Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos
extremos. Intervalos abiertos no tienen pntos extremos, y cada
intervalo semiabierto tiene un solo punto extremo; por ejemplo (-1, 3]
tiene 3 como su punto extremo.
CONC
URSO
P1 2
es
no es
un elemento de (-5, 2) AYUDA
P2 -5
es
no es
un elemento de [-5, 2) AYUDA
P3 1
es
no es
el número más grandeen (-5, 2) AYUDA
P4
[0,
+∞)
es
no es
el conjunto de todos los números
positivos
AYUDA
P5 (-∞, 0)
es
no es
el conjunto de todos los números
negativos
AYUDA
P5 0 y 2
son
no
son
los puntos extremos de [0, 2) AYUDA

Operaciones
Las cinco operaciones más común del conjunto de números reales son:
 adici
ón
 subtract
ion
 multiplica
ción
 divisi
on
 exponenci
ación
"Exponenciación" quiere decir elevar un número a un potencia; por
ejemplo, 23
= 2.
2.
2 = 8.
Cuando escribimos una expreción conteniendo dos o más que dos de las
expreciones, por ejemplo
2(3 - 5) + 4 .
5, o
2 .
32
- 5
4 - (-1)
,
estamos de acuerdo en usar las siguientes reglas para decidir el orden en
que hacemos los operacionces:
El ordenestándar de operaciones
1. Paréntesisy rayas de quebrado
Se calcula primero los valores de todas las expreciones entre paréntesis
o corchetes (usando el orden estándar de operaciones) avancando de
los paréntesis interiores hacía los exteriores, antes de usarlos en otras
operaciones. En una fración se calcula por seperado el numerador y el
denominador antes de hacer la división.
2. Exponentes
A continuación, se eleva todos los números a las potencias indicadas.
3. Multiplicacióny división
Después, sehace todas las multiplicaciones y divisiones, avancando de
izquierda a derecha.
4. Suma y resta

Por último, sehace las sumas y restas de izquierda a derecha.
Notas sobre tecnología
 La majoría de las calculadores y hojas de cálcula usan un asterisco *
para multilpicación y un virgula ^ para exponenciación. Por ejemplo
se ingresa, 3×5 como 3*5, 3x como 3*x, y 32
seingresa como 3^2.
 Se usa siempre paréntesis ( ) y nunca parénteses cuadrados [ ], ni
corchetes { } para expreciones algebraicas, pues tienen otros
significados los últimos. Por ejemplo, se ingresaría 2[(4 + 3)/2] como
2*((4+3)/2)
CONC
URSO
P1 Una válido primer paso en la calculación de (23
- 4) .
5 es
A (6 - 4) .
5 B (8 - 4) .
5 C 23
- 20 AYUDA
P2 Por tanto, la calculación completo es (23
- 4) .
5 =
A 20 B -12 C 36 D 42 AYUDA
P3 La cantidad 2/32
-5
es
no es
igual a
2
32
- 5
AYUDA
P4 La cantidad 3*2/3+1
es
no es
igual a (3*(2/3))+1 . AYUDA
P5 La cantidad
4(1 - 4)2
-9(5 - 3)2
is igual a
P6 La cantidad 2 3 2 is igual a

4 - 5
P7 Si x = 2, entonces 2*(1+0.1)^2*x is igual a
P8 Si x = 2, entonces (2-6/4-2)^x is igual a
Captura de Formulas
Toda buena calculadora o hoja de cálculo respeta el orden estándar de las
operaciones. Sin embargo debemos tener cuidado con división y
multiplicación y tenemos frecuentemente que usar paréntesis. La
siguiente tabla mustra algunos ejemplos de expresiones matemáticas
sencillas y sus formas equivalentes en el formato que se usa en el mayor
parte de calculadoras gráficadoras, lenguajes decomputadora, y hojas de
cálcula. Incluya también algunas que tienen que hacer usted.
Expresión
matemática
Formula para
tecnología
Comentarios
2
3 - 5
2/(3-5)
Nótese el uso de paréntesis en
lugar de la raya de quebrado. Si lo
omitimos, obtenemos la
expreción siguiente.
2
3
- 5
2 - x
3 + x
2 × 5 (2/3)*5
Metiendo primero la fracción
entre paréntesis se segura que
está calculada primero.

3
2
3x - 5
2x + y
1 + xy
2
3
x
y
23x
- 2 2^(3*x) - 2
La virgula "^" se seule usar para
indicar exponenciación. El par de
paréntesis es necesario para
contar a la computadora donde
impieza y termina el exponente.
23-2
5
2-7
2^(3-2)*5/(2-7)
or
(2^(3-2)*5)/(2-7)
Nótese otra vez el uso de
paréntesis para mantener unido
el denominador. podríamos
encerrar el numerador en
paréntesis, pero es opcional
(¿porqué?).
3
8
23x-4
e2x
- 1

2+e2x-1
Notasobre acuracio
Es importante recordar lo siguiente: Una calculación jamás puede darse
una respuesta más exacta que los números con los que empezó. Por regla
general, si tenga números para medir algo en el mundo real (tiempo,
largo, populación, por ejemplo) y éstos números son exactas hasta un
cierto número de digitos, entonces cualquier calculación que se hace con
esos números puede ser, en el mejor caso, exacta solo a aquel número de
digitos.
Por ejemplo, si alguna persona le diga que un cierto rectángulo tiene un
largo de 2.2 pie y un alto de 4.3 pie, entonces puede decir que su área is
(aproximadamente) 9.5 pies cuadrados. Aúnqueuna calculadora dirá que
la respuesta es 9.46, el tercer digito es probablemente sin sentido.
Ahora preuba algunos ejercicios en Sección 0.1 del libra Applied Calculus o
Finite Mathematics and Applied Calculus
O Bien, pulse "Tutorial siguiente" a la izquierda para irseal proximo
tópico.

Que son los conjuntos numéricos

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