Este documento describe las propiedades de los números reales. Explica que los números reales forman un conjunto universal que incluye a los números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe las propiedades fundamentales de los números reales, como la clausura, el elemento identidad, el elemento inverso, la asociatividad, la conmutatividad y la distributividad.

1. PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS REALES

2. ¿Qué puedes decir de este
diagrama?

3. Conjunto de los
Números Naturales
• Números que utilizamos para
contar
N = {1,2,3,4,5,6,7,8, … }
• Los puntos suspensivos indican
que los números continúan de
esa forma, sin terminar nunca.

4. Conjunto de los
Números Cardinales
• Se compone de los números
naturales incluyendo al cero
C = {0,1,2,3,4,5,6,7, … }

5. Conjunto de los
Números Enteros
• Se compone de los números
cardinales incluyendo a los
números negativos
Z = {…,-2,-1,0,1,2,3, … }

6. Conjunto de los
Números Racionales
• Se compone de los números
enteros incluyendo a todo los
números que se expresan de la
a
forma donde b ≠ 0
b
• Ejemplos:

7. Conjunto de los
Números Racionales
• Incluye fracciones que al
convertirlos en decimales son
finitos, periódicos…
1.25
0.33333...

8. Conjunto de los
Números Irracionales
a
• Se expresan de la forma b
donde b ≠ 0, pero su decimal
es infinito no periódico
• Ejemplos:
2 = 1.414213562...
π = 3.14157...

9. Conjunto de los
Números Reales
• Es el conjunto que agrupa a
todos los conjuntos anteriores:
naturales, cardinales, enteros,
racionales, irracionales
• Puede ser considerado un
conjunto universal
• Veamos su representación

10. Resumen del conjunto de los
Números Reales

11. Propiedades de los
Números Reales
• Son postulados que no requieren
demostración
• Forman un conjunto de reglas
fundamentales para fácil manejo
algebraico
• Si p, q, r son tres números reales
cualesquiera y pertenecen al
conjunto de los números reales
veamos las propiedades:

12. Clausura
De la suma De la multiplicación
p+q pq
La suma de dos El producto de dos
números reales es números reales es
otro número real otro número real

13. Elemento Identidad o Neutro
De la suma De la multiplicación
p+0=p p⋅ 1=p
0+p=p 1⋅ p=p
El número 0 es el El número 1 es el
único elemento que único elemento que
conserva la identidad conserva la
en la operación de identidad en la
suma operación de
multiplicación

14. Elemento Inverso
De la suma De la multiplicación
p+ p=0 – p⋅ =1 1
p
Para todo número p Para todo número p
existe un número –p (excepto 0) existe
llamado inverso un número p
1
aditivo (opuesto) que llamado inverso
genera su elemento multiplicativo
identidad (recíproco) que
genera su elemento
identidad

15. Asociativa
De la suma De la multiplicación
(p + q) + r = p + (q + r) (p q) r = p (q r)
En ambos casos la forma en que se
agrupan no alteran el resultado final ni
en la suma ni en la multiplicación.
Esto no aplica en la resta ni en la
división.

16. Conmutativa
De la suma De la multiplicación
p+q=q+p pq=qp
En la suma y en la multiplicación el
orden no altera el resultado.
Esto no aplica en la resta ni en la
división.

17. Distributiva
De la suma
p(q + r) = pq + pr
(q + r)p = qp + rp
Aquí la multiplicación distribuye a la
suma y puede extenderse a varios
números dentro del paréntesis

18. Ejercicios
Indica a cuál o cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen los
números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:
Número/Conjunto Natural Cardinal Entero Racional Irracional Real
numérico
11
-7
0
¾
0.272727…
7.25
2.7985413…
1½

19. Identifica la propiedad en cada
enunciado:
1) 7 + 5 = 5 + 7
2) 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5)
3) (6 ⋅ 3) 1 = 6 (3 ⋅ 1)
4) 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2)
5) 7 ⋅ 1 = 7
6) 11 + 0 = 11
7) 9 + -9 = 0
8) 2 ⋅ ½ = 1

20. Ejercicios
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)

21. Completa lo que falta para demostrar la propiedad previa:

22. Referencia
http://books.google.com/books?id=n-Ebosd6UZEC&pg=PA15&d

23. Dudas o Preguntas
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