1. GEOLOGIA Y
GEOMECANICA
SOLUCION DE KIRSCH
26/12/2012 ICM TAREA Nº 3 Prof. J. Videla W.

2. Solución de Kirsch
A fin de evaluar las interacciones de las excavaciones, ya sean civiles o
mineras, con el macizo rocoso y modelar los sostenimientos mínimos que
deben existir para la estabilidad del macizo y sobrevivencia de las
excavaciones varios autores han presentado análisis estructurales de
esfuerzos para medios elásticos , plásticos, etc. (Lamé, 1852; Kirsch,
1898; Inglis,1913; Fenner, 1938; Kastner, 1949; Hoek y Brown 1980;
Brown y otros, 1983).
Los primeros trabajos se remitieron a desarrollar análisis para espacios
bidimensionales y posteriormente, junto con el avance de las máquinas
de proceso numérico se incorporó al análisis académico el desarrollo
tridimensional.
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3. Solución de Kirsch
A continuación se presenta el desarrollo de la Solución de Kirsch, para una
excavación circular que se realiza en un plano infinito y que recibe esfuerzos
no solamente hidrostáticos, sino verticales y horizontales.
Se considera un medio continuo, homogéneo, isótropo, lineal y elástico, aún
cuando la caracterización del macizo rocoso real incluye roca intacta y
discontinuidades como fisuras, diaclasas, agua, etc.
Las ecuaciones de la Solución de Kirsch permiten determinar los esfuerzos y
deformaciones existentes.
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4. O
 r
r  
r 
dr r r r
 r
d
2 
 ho  ho
R
1
dR
( r  dr ) d 
O
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5. Solución de Kirsch
Donde:
o: Esfuerzo vertical que produce el peso del material por encima de la
excavación.
ho: Esfuerzo horizontal que produce el macizo rocoso por empuje lateral.
 : Esfuerzo tangencial que existe en cualquier punto del perímetro o dentro
de la masa de material que rodea la excavación.
r: Esfuerzo radial que existe dentro de la masa de material que rodea la
excavación.
r: Esfuerzo cortante que existe dentro de la masa de material que rodea la
excavación.
 : Angulo que forma la línea radial con la horizontal.
R: Radio de la excavación.
r: Radio que permite la ubicación de un punto dentro de la masa de material.
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6. Solución de Kirsch
Expresiones de los esfuerzos en un plano perpendicular al eje de
la excavación, expresada en coordenadas polares, tal como lo
presenta G. Perri (1990) y el Instituto Geológico y Minero de
España (1998):
a) Cuando no se considera el esfuerzo horizontal  ho
 O  R  
2
R 
4

    1  2    1  3 4  co s 2  (1 a)
2  r   r  
 O 
R  
2
R
2
R 
4

r    1  2    1  4 2  3 4  co s 2  (1 b)
2  r   r r  
 O  R
2
R 
4

 r  1  2 2  3 4  cos 2  (1 c)
2  r r  
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7. Solución de Kirsch
b) Cuando el esfuerzo horizontal  ho se incluye en el cálculo:
 O  R  
2
R 
4
  ho   R  
2
R 
4

    1  2    1  3 4  cos 2     1  2    1  3 4  cos 2  (2 a)
2  r   r   2  r   r  
 O  R  
2
R
2
R 
4
  ho   R 
2
 R
2
R 
4

r    1  2    1  4 2  3 4  cos 2   1  2    1  4 2  3 4  cos 2 
2  r   r r   2  r   r r  
(2 b)
  O   ho    R
2
R 
4

 r  1  2 2  3 4  sen 2  (2 c)
2  r r  
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8. Solución de Kirsch
Puede estimarse el esfuerzo horizontal  ho como un porcentaje del esfuerzo
vertical  . Así:
O
 ho  k  O (3)
Denominando k como coeficiente de empuje lateral y reemplazando (3) en
(2) se obtiene:
 1  k  R 
2
 1  k  R 
4

  O   1  2    O    1  3 4  cos 2 
(4 a)
 2  r   2  r  
 1  k  R 
2
 1  k  R
2
R 
4

r O   1  2    O    1  4 2  3 4  co s 2  (4 b)
 2  r   2  r r  
 1  k  R
2
R 
4

 r   O    1  2 2  3 4  sen 2  (4 c)
 2  r r  
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9. Solución de Kirsch
Esfuerzos por coordenadas
 x
 y
 m ax
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10. Solución de Kirsch
Análisis gráfico de la solución : Zonas de Influencia
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11. Solución de Kirsch
La presencia de una excavación próxima puede afectar el estado tensional
del área donde se va a realizar otra excavación.
Esto podría afectar a la nueva excavación al punto de provocar que falle.
La zona de influencia determina su campo cercano y su campo lejano
Como se observa en la figura, la excavación I no afecta al estado tensional de
la excavación II, dado que está fuera de su zona de influencia.
Para el diseño, se pueden considerar ambas excavaciones como aisladas.
En general, la interacción será insignificante si los centros de las excavaciones
se encuentran a una distancia mayor a 6 veces el radio mayor de las dos
excavaciones.
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12. Solución de Kirsch
Importante: Nótese que la zona de influencia está determinada por la forma de
la excavación y por el estado tensional previo al desarrollo minero.
Si existe influencia, se podría estimar el estado tensional inducido por la
excavación II considerando como referencia el estado tensional perturbado por
la excavación I al centro de II.
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13. Solución de Kirsch
Bibliografía:
-Apuntes de clases
-Apuntes Universidad de Chile
-Diseño Geotécnico de Túneles G. Perri, Caracas, 1990
-Mecánica de Rocas para Minería Subterránea Brady & Brown, Australia, 2004
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