Versión más simplificada, con un enfoque en la estabilidad y sistemas de clasificación y calificación geotécnicos.

1. Mecánica de Rocas I
Fundamentos de Geomecánica
Ayudantía: “Ecuaciones de Kirsch”
Profesor: Juan Jarufe
Preparado por: Ivo Fritzler
1° Semestre 2018

2. Contenido
• Idea General
• Teoría
• Representación de excavación en Macizo Rocoso
• Ecuaciones de Kirsch
• Condiciones In Situ
• Rotación de esfuerzos, esfuerzos principales y medición angular
• Principio de Superposición
• Estabilidad
• Ejercicios
• Referencias

3. Idea General
Pre Excavación Post Excavación
- Determinar esfuerzos resultantes post
excavación debido a las labores realizadas
(esfuerzos inducidos)
- Determinar cuan estable es un determinado
punto de interés considerando si se trata de
una falla o parte del macizo rocoso
(Estabilidad por M-C y H&B respectivamente)
- Comprender el escalamiento de propiedades
de la roca intacta a macizo rocoso,
considerando criterios propuestos por Evert
Hoek.
Galería 5x7 m2, punto de interés a 14 m aprox. las demás propiedades por default (sólo para visualizar comportamiento). Phase2 8.0

4. Teoría
• Representación de excavación en Macizo Rocoso
𝛔 𝐱,𝐳,𝐲: Esfuerzos in situ horizontal y vertical respectivamente.
𝛔 𝐫: Esfuerzo inducido por distancia “r” al punto de interés.
𝛔 𝛉: Esfuerzos inducido tangencial por ángulo formado por
distancia y la horizontal.
𝛕 𝐫𝛉: Esfuerzo cortante por interacción de esfuerzos por distancia y
ángulo inducidos.
a: Radio de excavación.
r: Distancia desde el centro del orificio al punto de interés.
𝛉: Ángulo formado por distancia “r” y la horizontal.

5. Teoría
• Ecuaciones de Kirsch
σr =
σx + σy
2
1 −
a2
r2
+
σx − σy
2
1 − 4
a2
r2
+ 3
a4
r4
cos(2θ)
σθ =
σx + σy
2
1 +
a2
r2
−
σx − σy
2
1 + 3
a4
r4
cos(2θ)
τrθ = −
σx − σy
2
1 + 2
𝑎2
𝑟2
− 3
a4
r4
sin(2θ)
Los esfuerzos utilizados deben ser PRINCIPALES
Obert, L. & Duvall, W. (1967)

6. Teoría
• Ecuaciones de Kirsch
σr = 𝜎 𝑉
1 + 𝐾
2
1 −
a2
r2
− 𝜎 𝑉
1 − 𝐾
2
1 − 4
a2
r2
+ 3
a4
r4
cos(2θ)
σθ = 𝜎 𝑉
1 + 𝐾
2
1 +
a2
r2
+ 𝜎 𝑉
1 − 𝐾
2
1 + 3
a4
r4
cos(2θ)
τrθ = 𝜎 𝑉
1 − 𝐾
2
1 + 2
𝑎2
𝑟2
− 3
a4
r4
sin(2θ)
En función de esfuerzo vertical (𝝈 𝑽) y la razón
de esfuerzos horizontal/vertical (K)
Los esfuerzos utilizados deben ser PRINCIPALES

7. Teoría
• Condiciones In Situ
• Presión Litostática
• Razón de Esfuerzos In Situ
• Condición Hidrostática
𝜎 𝑉 = ℎ ∙ 𝑔 ∙ 𝜌
𝐾 =
𝜎 𝐻
𝜎 𝑉
𝐾 =
𝜎 𝐻
𝜎 𝑉
= 1
h: profundidad
g: gravedad
𝜌: densidad
La presión litostática debe
quedar expresada en MPa

8. Teoría
• Rotación de esfuerzos, esfuerzos principales y medición angular
• Rotación de ángulos (Método Analítico)
𝜎 𝜃 =
𝜎𝑥 + 𝜎 𝑦
2
+
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜎 𝜃+90 =
𝜎𝑥 + 𝜎 𝑦
2
−
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
cos 2𝜃 − 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜏 𝜃 = 𝜏 𝑥𝑦 cos 2𝜃 −
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
sin 2𝜃

9. Teoría
• Rotación de esfuerzos, esfuerzos principales y medición angular
• Esfuerzos Principales Secundarios
𝑃, 𝑄 =
𝜎𝑥 + 𝜎 𝑦
2
±
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
2
+ 𝜏 𝑥𝑦
2
𝜃 𝑃 =
1
2
tan−1
2𝜏 𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
𝜃 𝑄 = 𝜃 𝑃 + 90°
Magnitud
Orientación

10. Teoría
• Rotación de esfuerzos, esfuerzos principales y medición angular
• Medición Angular
Antihorario positivo
Horario negativo
+
-
𝜎 𝑦,𝑧
𝜎𝑥
Se mide de la horizontal hacia el punto
de interés, porque se supone que ahí
debiese actuar el 𝜎 𝑥, pero también se
puede medir desde la vertical en
función de 𝜎 𝑦,𝑧, es decir, el ángulo se
mide en función de donde se ubiquen
nuestros esfuerzos in situ, para aquel
caso, se debe reordenar la formula de
kirsch o de rotación, posicionando
primero 𝝈 𝒚,𝒛
σθ
σr
τrθ

11. Teoría
• Principio de Superposición
Una vez rotados todos los esfuerzos actuantes en un punto de interés, deben
superponerse para obtener una combinación resultante de todos los esfuerzos en
el eje de referencia de aquel punto de interés.
σind = σin situ + ෍
i=1
n
(σindexc i
− σin situ)
τind = τin situ + ෍
i=1
n
(τindexc i
− τin situ)

12. Teoría
• Estabilidad
Básicamente, permite determinar si el punto ya sea en un macizo rocoso o
estructura es estable, bajo los esfuerzos inducidos generados por las excavaciones
analizadas
Para ello se define el Factor de Seguridad:
FS =
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑑𝑜
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
De manera general se entiende lo siguiente:
FS < 1: Condición Inestable
FS = 1: Condición de Incertidumbre
FS > 1: Condición Estable
Esta convención es netamente teórica, en la realidad, se
acostumbra a ser más conservador y considerar FS mayores a 1,
por ejemplo, 1.3 o 1.5, es decir, se incrementa en un 30% o 50%,
estos son criterios de aceptabilidad, y lo define la persona a
cargo del estudio de estabilidad, en base, a su experiencia.

13. Teoría
• Estabilidad
• Si se analizan estructuras (fallas):
La resistencia se define en base al Criterio de Mohr-Coulomb y lo aplicado en base al esfuerzo
cortante presente en la estructura (falla).
FS =
c + tan ϕ ∙ σN
τaplicado
Donde:
C: Cohesión de las partículas (MPa)
ϕ: Ángulo de fricción interna (°)
𝜎 𝑁: Esfuerzo Normal actuante en estructura (Falla) (MPa)
𝜏 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜:Esfuerzo Cortante actuante en estructura (Falla) (MPa)

14. Teoría
• Estabilidad
• Si se analiza un punto en el macizo rocoso:
La resistencia se define en base al Criterio de Hoek & Brown, y lo aplicado, en base al esfuerzo
principal máximo en el punto de interés.
FS =
σ3 + σci mb
σ3
σci
+ s
a
σ1aplicado
Donde:
𝜎3 : Esfuerzo Principal mínimo actuante en el punto de interés (MPa)
𝜎𝑐𝑖 : Resistencia a la compresión uniaxial de la roca intacta (MPa)
mb: Constante del material escalada a macizo rocoso (Adim.)
s, a: Constantes del material escaladas a macizo rocoso (Adim.)
σ1aplicado
: Esfuerzo Principal máximo actuante en el punto de interés (MPa)

15. Teoría
• Estabilidad
• Escalar constantes del material a macizo rocoso:
Hoek, E.; Carranza, C. & Corkum, B. (2002): Hoek-Brown failure criterion - 2002 edition. NARMS-TAC Conference, 1, 267-273.
𝑚 𝑏 = 𝑚𝑖 ∙ 𝑒
𝐺𝑆𝐼−100
28−14𝐷𝑎 =
1
2
+
1
6
𝑒 Τ−𝐺𝑆𝐼 15 − 𝑒 Τ−20 3
𝑠 = 𝑒
𝐺𝑆𝐼−100
9−3𝐷
Donde:
GSI: Índice de Resistencia Geológica (Adim.)
D: Factor de Perturbación (Adim.)
𝑚𝑖: Constante del material para roca intacta (Adim.)

16. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• GSI
Por Tabla o por correlaciones
GSI = RMR89 − 5
Correlación válida para un RMR89 ≥ 23,
caso contrario no es representativo
Donde:
RMR89 : Calificación de Macizo Rocoso
según Bieniawski 1989

17. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• GSI
• RMR89
Se obtiene a partir de puntuaciones
según las características que
presente el macizo rocoso,
corresponde a un sistema de
calificación y clasificación geotécnica.
𝐑𝐌𝐑 𝟖𝟗 𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐭𝐮 = 𝐏 𝐔𝐂𝐒 + 𝐏 𝐑𝐐𝐃 + 𝐏 𝐬 + 𝐏 𝐉𝐂 + 𝐏(𝐖𝐂)
Donde:
P(UCS) = Puntaje por resistencia a la compresión
uniaxial de la roca intacta UCS
P(RQD) = Puntaje por designación de calidad de roca
RQD
P(s) = Puntaje por espaciamiento de diaclasas
P(JC) = Puntaje por condición de diaclasas
P(WC) = Puntaje por condición de aguas
ΔRMR89 = Ajuste por Orientación de diaclasas
𝐑𝐌𝐑 𝟖𝟗 = 𝐑𝐌𝐑 𝟖𝟗 𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐭𝐮 − ∆𝐑𝐌𝐑 𝟖𝟗

18. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• GSI
• RMR89
P(UCS)
P(RQD)
P(s)
P(JC)*
P(WC)
PUNTAJE POR UCS, RQD, ESPACIAMIENTO, CONDICIÓN DE
DIACLASAS Y AGUAS
Calidad de Macizo
Rocoso
Clase RQD (%)
MuyMala V RQD < 25
Mala IV 25 < RQD ≤ 50
Regular III 50 < RQD ≤ 75
Buena II 75 < RQD ≤ 90
MuyBuena I 90 < RQD ≤ 100

19. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• GSI
• RMR89
P(JC)**= (1) + (2) + (3) + (4) + (5)
P(JC)**
P(JC) = P(JC)* ó P(JC)**
Dependerá de la información y grado de detalle que se disponga
referente a la condición de las diaclasas.
PUNTAJE POR CONDICIÓN DE DIACLASAS CON MAYOR DETALLE

20. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• GSI
• RMR89
ΔRMR89
AJUSTE POR ORIENTACIÓN DE ESTRUCTURAS

21. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• GSI
• RMR89
Calidad de Macizo Rocoso Clase Rango RMR89
Muy Mala V 0 ≤ RMR89 ≤ 20
Mala IV 20 < RMR89 ≤ 40
Regular III 40 < RMR89 ≤ 60
Buena II 60 < RMR89 ≤ 80
Muy Buena I 80 < RMR89 ≤ 100
INTERPRETACIÓN DE CALIDAD Y CLASE DE MACIZO SEGÚN PUNTAJE OBTENIDO

22. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• D
El factor de perturbación dependerá del
comportamiento del macizo rocoso ante
las tronaduras o métodos para generar
las excavaciones respectivas.

23. Teoría
• Estabilidad
• Estimación de GSI, D y Mi
• Mi
Esta constante se obtiene por ensayos de
laboratorio a partir de probetas de roca
intacta, por ende, puede ser dada, pero
también se han realizado estudios que
indican distintos Mi según litología de la roca
intacta, a mayor Mi la roca es más dura.
Fig. Valores aproximados de la constante del material mi. (2000). Marinos, V. & Hoek, E.

24. Ejercicio
Pregunta a)
Se esta excavando un pequeño túnel de radio 2 metros en roca
competente. Se han medido esfuerzos en terreno según lo mostrado en
la figura adjunta.
• Estime Sxx, Syy y Sxy pre-minería
• Calcule Sxx, Syy y Sxy en punto C
Pregunta b)
En la zona B, se ha detectado una irregularidad con roca ligeramente
alterada, con un RQD regular, con estructuras cortas (2 metros de largo)
espaciadas en medio metro aproximadamente, lisas, sin relleno y
cerradas
• Calcule la estabilidad de dicho punto considerando los valores de
H&B de
Sci: 45,46 MPa
Mi: 7,646
B
60°
C?
50 m
A
120°
y
x
-14 MPa

25. Solución
Pregunta a) – Estime Sxx, Syy, Sxy pre minería
• Considerando que el punto A, se encuentra a la misma
cota que el sector de interés y además la distancia es
mucho mayor a 3 veces el diámetro de la excavación, se
puede asumir que los esfuerzos in situ son 35 MPa y 10
MPa, pero estos no están en el plano XY, por ende:
𝜎 𝜃 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
+
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜎 𝜃+90 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
−
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
cos 2𝜃 − 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜏 𝜃 = 𝜏 𝑥𝑦 cos 2𝜃 −
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
sin 2𝜃
A
120°
𝜃 = −60°
𝜎𝑥 = 35 𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝑦 = 10 𝑀𝑃𝑎
𝜏 𝑥𝑦 = 0
INPUT
𝜎−60° = 𝜎𝑥 = 16.25 𝑀𝑃𝑎
OUTPUT
𝜎30° = 𝜎 𝑦 = 28.75 𝑀𝑃𝑎
𝜏−60° = 𝜏 𝑥𝑦 = 10.83 𝑀𝑃𝑎
Formulas de Rotación de Esfuerzos 2D
28.75MPa
16.25 MPa
10.83MPa
10.83 MPa
- 60°
A
Esfuerzos Sxx, Syy,
Sxy pre minería

26. Solución
Pregunta a) – Calcule Sxx, Syy, Sxy en punto C
• Como se menciono anteriormente, los esfuerzos in situ
son 35 MPa y 10 MPa, entonces recopilando
información, se tiene:
𝜃 = −30°
𝜎𝑥 = 35 𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝑦 = 10 𝑀𝑃𝑎
𝑎 = 2 𝑚
𝑟 = 10 𝑚
INPUT
60°
C?
A
120°
35 MPa
10 MPa
60°
30°
OUTPUT
σr =
σx + σy
2
1 −
a2
r2
+
σx − σy
2
1 − 4
a2
r2
+ 3
a4
r4
cos(2θ)
σθ =
σx + σy
2
1 +
a2
r2
−
σx − σy
2
1 + 3
a4
r4
cos(2θ)
τrθ = −
σx − σy
2
1 + 2
𝑎2
𝑟2
− 3
a4
r4
sin(2θ) 𝜎𝑟 = 26.88 𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝜃 = 17.12 𝑀𝑃𝑎
𝜏 𝑟𝜃 = 11.64 𝑀𝑃𝑎
Ecuaciones de Kirsch

27. Solución
• Visualizando lo anterior:
• Pero estos esfuerzos no se encuentran
en el plano XY, por ende, debemos
rotarlos para poder responder lo que
nos solicitan. C
30°
60°
𝝈 𝒓 = 𝟐𝟔. 𝟖𝟖 𝑴𝑷𝒂 𝝈 𝜽 = 𝟏𝟕. 𝟏𝟐 𝑴𝑷𝒂
𝜎 𝜃 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
+
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
cos 2𝜃 + 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜎 𝜃+90 =
𝜎 𝑥 + 𝜎 𝑦
2
−
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
cos 2𝜃 − 𝜏 𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜏 𝜃 = 𝜏 𝑥𝑦 cos 2𝜃 −
𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦
2
sin 2𝜃
Ecuaciones de Rotación de Esfuerzos 2D
𝜃 = 60°
𝜎𝑥 = 26.88 𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝑦 = 17.12 𝑀𝑃𝑎
𝜏 𝑥𝑦 = 11.64 𝑀𝑃𝑎
INPUT
𝜎60° = 𝜎𝑥 = 29.64 𝑀𝑃𝑎
OUTPUT
𝜎150° = 𝜎 𝑦 = 14.36 𝑀𝑃𝑎
𝜏60° = 𝜏 𝑥𝑦 = −10.05 𝑀𝑃𝑎
Esfuerzos Sxx, Syy, Sxy en punto C.

28. Solución
Pregunta b) – Estabilidad en punto B
• Como se trata de un punto en el macizo rocoso,
utilizamos el Criterio de Hoek & Brown para
determinar la estabilidad.
• El estado tensional en el punto B es conocido, por
ende, no debemos determinarlo, pero para evaluar
el factor de seguridad por Hoek & Brown, debemos
utilizar esfuerzos principales, por ende, estos si
debemos determinarlos.
B
60°
FS =
σ3 + σci mb
σ3
σci
+ s
a
σ1aplicado
-14 MPa

29. Solución
• Esfuerzos Principales Secundarios:
FS =
σ3 + σci mb
σ3
σci
+ s
a
σ1aplicado
𝑃, 𝑄 =
𝜎𝑥 + 𝜎 𝑦
2
±
𝜎𝑥 − 𝜎 𝑦
2
2
+ 𝜏 𝑥𝑦
2
Ecuación Esfuerzos Principales Secundarios
𝜎𝑥 = 33 𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝑦 = 16 𝑀𝑃𝑎
𝜏 𝑥𝑦 = 14 𝑀𝑃𝑎
INPUT OUTPUT
𝑃 = 40.88 𝑀𝑃𝑎
𝑄 = 8.12 𝑀𝑃𝑎
Parámetro Unidad Valor
σ1aplicado
MPa 40.88
σ3 MPa 8.12
σci MPa 45.46
mb - ?
s - ?
a - ?
Tabla. INPUTS para Criterio Hoek & Brown
¿Por que se considera positivo ?

30. Solución
• Constantes escaladas a macizo rocoso (mi = 7.646)
• Debemos determinar GSI, a partir de su correlación
con RMR 1989, por ende, debemos determinar esta
calificación a partir de la descripción del sector.
𝑚 𝑏 = 𝑚𝑖 ∙ 𝑒
𝐺𝑆𝐼−100
28−14𝐷𝑎 =
1
2
+
1
6
𝑒 Τ−𝐺𝑆𝐼 15
− 𝑒 Τ−20 3 𝑠 = 𝑒
𝐺𝑆𝐼−100
9−3𝐷
- Roca ligeramente alterada
- RQD regular
- Estructuras cortas (2 metros de largo)
- Espaciamiento de medio metro
- Lisas
- Sin relleno
- Cerradas
- No hay corrección por orientación de estructuras
RMR89 in situ = P UCS + P RQD + P s + P JC + P(WC)
𝐑𝐌𝐑 𝟖𝟗 𝐢𝐧 𝐬𝐢𝐭𝐮 = 𝟒 + 𝟏𝟑 + 𝟏𝟎 + 𝟒 + 𝟔 + 𝟏 + 𝟔 + 𝟓 + 𝟏𝟓 = 𝟔𝟒
GSI = RMR – 5 = 64 – 5 = 59

31. Solución
• Finalmente, las constantes escaladas a macizo rocoso quedaran como:
• Luego el factor de seguridad en el punto B será:
𝑚 𝑏 = 𝑚𝑖 ∙ 𝑒
𝐺𝑆𝐼−100
28−14𝐷
𝑎 =
1
2
+
1
6
𝑒 Τ−𝐺𝑆𝐼 15
− 𝑒 Τ−20 3
𝑠 = 𝑒
𝐺𝑆𝐼−100
9−3𝐷
Se asume un factor de
perturbación D = 0, ya que no
se informa en el enunciado.
INPUT
GSI = 59
D = 0
mi = 7.646
OUTPUT
s = 0.0105
a = 0.5031
mb = 1.7681
FS =
σ3 + σci mb
σ3
σci
+ s
a
σ1aplicado
INPUT
σ3 = 8.12 MPa
σci = 45.46 MPa
mb = 1.7681
s = 0.0105
a = 0.5031
σ1aplicado
= 40.88 MPa
𝐅𝐒 = 𝟎. 𝟖𝟑
Luego, el punto B es inestable considerando un
criterio de aceptabilidad mínimo de 1.3.

32. Ejercicio Propuesto
• Dada la condición que se aprecia en la
figura, y considerando un macizo rocoso
con Sci: 51 MPa y mi: 16, con roca clase
III según Bieniaswski 1989. Calcule el
factor de seguridad en el punto C.
• Considere que:
• Si RMR ≥ 23, GSI = RMR - 5
30°
2 m
O
11 m
23MPa
55 MPa
S vert
S hor
C

33. Solución
• FS = 0.73, inestable
Parámetro Unidad Valor
σ1aplicado
MPa 52.63
σ3 MPa 8.16
σci MPa 51
mb - 2.244
s - 0.002218
a - 0.5081
Tabla. INPUTS para Criterio Hoek & Brown

34. Referencias
• Fritzler, I. (2016): Ayudantía: Soluciones Elásticas de Kirsch. Mecánica de Rocas I. Universidad de Santiago de
Chile, Santiago, Chile.
• Fritzler, I. (2017): Ayudantía: Diseño de Soporte Empírico por Sistemas de Calificación y Clasificación
Geotécnicos. Mecánica de Rocas II. Universidad de Santiago de Chile, Santiago, Chile.
• Hoek, E.; Carranza, C. & Corkum, B. (2002): Hoek-Brown failure criterion - 2002 edition. NARMS-TAC
Conference, 1, 267-273.
• Hoek, E.; Kaiser, P. K. & Bawden, W. F. (1995): Chapter 8: Strength of rock and rock masses. Support of
Underground Excavations in Hard Rock. Funding by Mining Research Directorate and Universities
Research Incentive Fund. Pp. 91-105.
• Laubscher, D. (1990): A geomechanics classification system for the rating of rock mass in mine design. J. S.
Atr. Inst. Min. Metall. 90 (10): 257-273.
• Marinos, P. & Hoek, E. (2000): GSI: A geologically friendly tool for rock mass strength estimation. Proc.
GeoEng2000 Conference, Melbourne. 1422-1442.