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GUÍA Nº 3
VOLUMENES




CIENCIAS BÁSICAS
  INACAP Renca
UNIDAD II: VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS.
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS PRINCIPALES

                                            CUBO
                                            a = arista, d = diagonal
                                            Área(A) 6a2
                    d               a       Volúmen(V)           a3
                                            d       a 3




                                            PIRÁMIDE RECTANGULAR
                                            (RECTA)

                                            A       Area base          Area Caras

                                                    Area base h
                                            V
                                                         3




                                            PARALELEPÍPEDO
                                        c
                                            Área(A) = 2 ( ab + ac + bc )
                                        b   Volumen = a b c
                    a

                                             CONO RECTO

                                             Área Manto =              r g    r     r2   h2
                                g            Área Total =             r (g r)
                        h
                                                                 r2 h
                                             Volumen =
                                                                 3
                            r                   g      r2   h2


                                             ESFERA
                    o
                        r                    Área = 4    r2
                                                       4
                                             Volumen =      r3
                                                       3




                                                                                              2
CILINDRO RECTO:

                                                               La figura engendrada al rotar un rectángulo en torno a
                                                               una de sus lados.
                                                               El manto del cilindro es la generatriz (g) o superficie
                                                               engendrada por lado que gira el rectángulo.

                                                           g      altura (h)                                g   generatriz
                                                           Área del Manto (As)           2 rh     2 rg      h   altura
                  g                    h                   Base (B)      Tope      2 r   2
                                                                                                            r   radio
                                                                               As base tope
                                                                               2   r g       r2        r2
                                                           Área Total
                                                                               2   r (g r)
                                           B
                                  r                                            2   r (h r)
                                                           Volumen(V)          Area Base h




EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar las áreas totales de algunos cuerpos.

        Hallar, con aproximación al entero más cercano, las áreas totales de los siguientes cuerpos:

   a. Un cubo cuya arista mide a = 5 cm.
   Solución:

             At    6 a2
                                                                                   a=5
             At   150cm2

                                                                                    1         1
   b. Un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son: 10 pies,                 7 pies, y 4 pies.
                                                                                    2         2
            Solución:

             At    2 l w 2 l h 2 w h                                     h
                                         1             1
             A    2 10 7 2 10 4                2 7 7                                                                w
                                         2             2                                           l
             At    293pies2

   c.   Una esfera cuyo radio mide 1.1 m.
           Solución:
           At 6      r2
             At    6 3,14 1,12
             At   15m2

2. Volumen de un cubo;

   Determinar el volumen (V) de un cubo cuya arista mide a= 4 pulg.
      Solución:           V 43 pulg3 64pulg3

                                                                                                                             9
3. Hallar el volumen de una pirámide de altura igual a 8 ydas y cuya base es un cuadrado de lado igual a                         ydas.
                                                                                                                             2
        Solución:
                  1 2
            V=      a h
                  3
                              2
                      1   9
            V=                    8   54 ydas3
                      3   2

4. Volumen de una esfera, cilindro y cono. Hallar volumen de:
         a. Una esfera cuyo radio es igual a 10 pulg.
                                                                                                                                         3
Solución:
                            4
                        V        r3
                            3
                            4
                        V     3,14 103
                            3
                        V   4187pulg3

                b. Un cilindro de altura igual a 4 yardas y cuya base tiene radio igual a 2 pies.
            Solución:
                       V      r2 h
                        V 3,14 22 1
                        V 150,72pies3


                c.  Un cono de altura igual a 2 pies y cuya base tiene un radio de 2 yardas.
                                   1
                               V         r2 h
                                   3
                                   1
            Solución:          V      3,14 62 12
                                   3
                               V 75,36pies3




EJERCICIOS PROPUESTOS


1. Un prisma recto tiene una arista lateral de longitud 3 y el perímetro de su base es 34. ¿Cuál es el área de su superficie
   lateral?
2. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la superficie lateral es 143 y el perímetro de la base es 13.
3. Las bases del prisma representado por la fig. 1 son triángulos equiláteros y sus caras
   laterales son regiones rectangulares. Si se sabe que la longitud de una arista de la base
   es 6 y la altura del prisma es 10, calcular el área de la superficie total del prisma.


                                            Figura.

4. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de un cubo con arista de longitud 5? ¿Cuál es el área de la superficie total?

5. Las aristas de una sección transversal de un prisma triangular tienen longitudes 3, 6 y 3 3 . ¿Cuáles son las longitudes
   de las aristas de otra sección transversal? ¿Qué figura geométrica es? ¿Cuáles son las medidas de sus ángulos?.
   Calcular el área de una sección transversal del prisma.

6. La longitud de la diagonal de un cubo es 16 3 . Determinar el área de su superficie total.
7. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 4, 7 y 12. Calcular el área de su superficie total.
8. Las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular (fig. 1) son 5 y 8, y su altura es
   12. Un agujero que va desde la base superior hasta la base inferior, tiene la forma de un
   prisma triangular recto, cuyas bases son triángulos equiláteros con aristas de longitud 3.
   Determinar el área de la superficie total de la figura.




                                               Figura

9. La base de un paralelepípedo es una región rectangular de dimensiones 6 por 15 (fig.2).
   Las caras extremas son regiones cuadradas que forman un ángulo de 60° con la base.
   Un plano perpendicular a la arista más larga de la base intersecta al paralelepípedo
   según una región rectangular. Determinar el área de la superficie total.



                                                            Figura
10. La altura de un paralelepípedo rectangular es 7 centímetros y las dimensiones de la base son 4 y 5 centímetros.
    Determinar su volumen.


                                                                                                                              4
11. Un recipiente rectangular, de 1m por 1m por 1m, se llenó con agua. Si 1 galón de líquido tiene un volumen de 231
    centímetros cúbicos, ¿cuántos galones de agua caben en el recipiente?
12. A ciertas barras de plata se les da forma de prisma recto cuya base (un extremo de la barra)
    es un trapecio (Figura). Las longitudes de las bases del trapecio son 7 y 10 centímetros. La
    altura de la barra es 5 cm. y su longitud es 30 centímetros. Si la plata pesa 10 12 gramos
    por centímetros cúbico, ¿cuánto pesará una barra?


                                             Figura.


13. Al introducirse un trozo de metal en un tanque rectangular, lleno de agua, de
    dimensiones 50 cm. por 37 centímetros, el nivel del agua subió 1 centímetro (Figura).
    ¿Cuál es el volumen del trozo de metal?
                                         Figura.



14. Para calcular el costo de abastecimiento de aire acondicionado a una estructura que se
    proyecta construir, un contratista tiene que determinar el volumen de aire contenido en un
    edificio rectangular como el que se representa en la Figura. El edificio tiene 130 pies de
    largo y 42 pies de ancho. A ambos lados del edificio, los aleros están situados a 9 12 pies de
    altura y el punto más alto del techo está a 15 pies del piso. Determinar el volumen del
    edificio.


                                                           Figura.

15. Un prisma rectangular recto tiene una altura de 18 cm. y una base que mide 6 cm. por 8 cm. El plano determinado por
    una diagonal de la base y un vértice de la base superior forma una pirámide con las caras del
    prisma. Determinar el volumen de la pirámide.

16. Determinar el volumen de una pirámide cuadrada regular cuya altura es 12 y cuya base tiene
    una arista de longitud 12. Determinar el área de su superficie lateral.
                                               Figura.


17. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un octaedro regular cuya arista
    tiene longitud 3.



18. La base de un prisma recto es una región hexagonal regular. Una arista de la base
    mide 2 cm. de largo y una arista lateral del prisma mide 7 cm. de largo. Determinar el
    área de la superficie lateral del prisma. Determinar el área de una sección transversal
    que dista 5 pulgadas de la base y es paralela a ésta.


19. En un estante de un almacén, hay dos tarros de la misma marca de mermelada
    de frutilla. El tarro más alto tiene doble altura del otro, pero su diámetro es la
    mitad del diámetro del más bajo. El tarro más alto cuesta 230 pesos y el otro
    430 pesos. ¿Cuál es la mejor compra?

                                       Figura.

20. ¿Cuál es el volumen de un cono, si su altura es 6 y el diámetro de la base es 10?

21. La base de un tetraedro es un triángulo cuyos lados tiene longitudes 10, 24 y 26. La altura del
    tetraedro es 20. Determinar el área de una sección transversal cuya distancia de ésta es 15.




22. Dado que el diámetro de una esfera es 18, determinar su volumen y su área de superficie.

23. Una bola esférica cuyo radio es 8 cm. tiene un hueco central esférico de radio 5 centímetros. ¿Cuál es el volumen de la
    cáscara o cápsula esférica?




                                                                                                                         5

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  • 1. GUÍA Nº 3 VOLUMENES CIENCIAS BÁSICAS INACAP Renca
  • 2. UNIDAD II: VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS PRINCIPALES CUBO a = arista, d = diagonal Área(A) 6a2 d a Volúmen(V) a3 d a 3 PIRÁMIDE RECTANGULAR (RECTA) A Area base Area Caras Area base h V 3 PARALELEPÍPEDO c Área(A) = 2 ( ab + ac + bc ) b Volumen = a b c a CONO RECTO Área Manto = r g r r2 h2 g Área Total = r (g r) h r2 h Volumen = 3 r g r2 h2 ESFERA o r Área = 4 r2 4 Volumen = r3 3 2
  • 3. CILINDRO RECTO: La figura engendrada al rotar un rectángulo en torno a una de sus lados. El manto del cilindro es la generatriz (g) o superficie engendrada por lado que gira el rectángulo. g altura (h) g generatriz Área del Manto (As) 2 rh 2 rg h altura g h Base (B) Tope 2 r 2 r radio As base tope 2 r g r2 r2 Área Total 2 r (g r) B r 2 r (h r) Volumen(V) Area Base h EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar las áreas totales de algunos cuerpos. Hallar, con aproximación al entero más cercano, las áreas totales de los siguientes cuerpos: a. Un cubo cuya arista mide a = 5 cm. Solución: At 6 a2 a=5 At 150cm2 1 1 b. Un paralelepípedo rectángulo cuyas dimensiones son: 10 pies, 7 pies, y 4 pies. 2 2 Solución: At 2 l w 2 l h 2 w h h 1 1 A 2 10 7 2 10 4 2 7 7 w 2 2 l At 293pies2 c. Una esfera cuyo radio mide 1.1 m. Solución: At 6 r2 At 6 3,14 1,12 At 15m2 2. Volumen de un cubo; Determinar el volumen (V) de un cubo cuya arista mide a= 4 pulg. Solución: V 43 pulg3 64pulg3 9 3. Hallar el volumen de una pirámide de altura igual a 8 ydas y cuya base es un cuadrado de lado igual a ydas. 2 Solución: 1 2 V= a h 3 2 1 9 V= 8 54 ydas3 3 2 4. Volumen de una esfera, cilindro y cono. Hallar volumen de: a. Una esfera cuyo radio es igual a 10 pulg. 3
  • 4. Solución: 4 V r3 3 4 V 3,14 103 3 V 4187pulg3 b. Un cilindro de altura igual a 4 yardas y cuya base tiene radio igual a 2 pies. Solución: V r2 h V 3,14 22 1 V 150,72pies3 c. Un cono de altura igual a 2 pies y cuya base tiene un radio de 2 yardas. 1 V r2 h 3 1 Solución: V 3,14 62 12 3 V 75,36pies3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un prisma recto tiene una arista lateral de longitud 3 y el perímetro de su base es 34. ¿Cuál es el área de su superficie lateral? 2. Determinar la altura de un prisma recto para el cual el área de la superficie lateral es 143 y el perímetro de la base es 13. 3. Las bases del prisma representado por la fig. 1 son triángulos equiláteros y sus caras laterales son regiones rectangulares. Si se sabe que la longitud de una arista de la base es 6 y la altura del prisma es 10, calcular el área de la superficie total del prisma. Figura. 4. ¿Cuál es el área de la superficie lateral de un cubo con arista de longitud 5? ¿Cuál es el área de la superficie total? 5. Las aristas de una sección transversal de un prisma triangular tienen longitudes 3, 6 y 3 3 . ¿Cuáles son las longitudes de las aristas de otra sección transversal? ¿Qué figura geométrica es? ¿Cuáles son las medidas de sus ángulos?. Calcular el área de una sección transversal del prisma. 6. La longitud de la diagonal de un cubo es 16 3 . Determinar el área de su superficie total. 7. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 4, 7 y 12. Calcular el área de su superficie total. 8. Las dimensiones de la base de un paralelepípedo rectangular (fig. 1) son 5 y 8, y su altura es 12. Un agujero que va desde la base superior hasta la base inferior, tiene la forma de un prisma triangular recto, cuyas bases son triángulos equiláteros con aristas de longitud 3. Determinar el área de la superficie total de la figura. Figura 9. La base de un paralelepípedo es una región rectangular de dimensiones 6 por 15 (fig.2). Las caras extremas son regiones cuadradas que forman un ángulo de 60° con la base. Un plano perpendicular a la arista más larga de la base intersecta al paralelepípedo según una región rectangular. Determinar el área de la superficie total. Figura 10. La altura de un paralelepípedo rectangular es 7 centímetros y las dimensiones de la base son 4 y 5 centímetros. Determinar su volumen. 4
  • 5. 11. Un recipiente rectangular, de 1m por 1m por 1m, se llenó con agua. Si 1 galón de líquido tiene un volumen de 231 centímetros cúbicos, ¿cuántos galones de agua caben en el recipiente? 12. A ciertas barras de plata se les da forma de prisma recto cuya base (un extremo de la barra) es un trapecio (Figura). Las longitudes de las bases del trapecio son 7 y 10 centímetros. La altura de la barra es 5 cm. y su longitud es 30 centímetros. Si la plata pesa 10 12 gramos por centímetros cúbico, ¿cuánto pesará una barra? Figura. 13. Al introducirse un trozo de metal en un tanque rectangular, lleno de agua, de dimensiones 50 cm. por 37 centímetros, el nivel del agua subió 1 centímetro (Figura). ¿Cuál es el volumen del trozo de metal? Figura. 14. Para calcular el costo de abastecimiento de aire acondicionado a una estructura que se proyecta construir, un contratista tiene que determinar el volumen de aire contenido en un edificio rectangular como el que se representa en la Figura. El edificio tiene 130 pies de largo y 42 pies de ancho. A ambos lados del edificio, los aleros están situados a 9 12 pies de altura y el punto más alto del techo está a 15 pies del piso. Determinar el volumen del edificio. Figura. 15. Un prisma rectangular recto tiene una altura de 18 cm. y una base que mide 6 cm. por 8 cm. El plano determinado por una diagonal de la base y un vértice de la base superior forma una pirámide con las caras del prisma. Determinar el volumen de la pirámide. 16. Determinar el volumen de una pirámide cuadrada regular cuya altura es 12 y cuya base tiene una arista de longitud 12. Determinar el área de su superficie lateral. Figura. 17. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un octaedro regular cuya arista tiene longitud 3. 18. La base de un prisma recto es una región hexagonal regular. Una arista de la base mide 2 cm. de largo y una arista lateral del prisma mide 7 cm. de largo. Determinar el área de la superficie lateral del prisma. Determinar el área de una sección transversal que dista 5 pulgadas de la base y es paralela a ésta. 19. En un estante de un almacén, hay dos tarros de la misma marca de mermelada de frutilla. El tarro más alto tiene doble altura del otro, pero su diámetro es la mitad del diámetro del más bajo. El tarro más alto cuesta 230 pesos y el otro 430 pesos. ¿Cuál es la mejor compra? Figura. 20. ¿Cuál es el volumen de un cono, si su altura es 6 y el diámetro de la base es 10? 21. La base de un tetraedro es un triángulo cuyos lados tiene longitudes 10, 24 y 26. La altura del tetraedro es 20. Determinar el área de una sección transversal cuya distancia de ésta es 15. 22. Dado que el diámetro de una esfera es 18, determinar su volumen y su área de superficie. 23. Una bola esférica cuyo radio es 8 cm. tiene un hueco central esférico de radio 5 centímetros. ¿Cuál es el volumen de la cáscara o cápsula esférica? 5