El documento presenta soluciones a ejercicios de probabilidad. Resume los conceptos clave de espacio muestral, sucesos favorables y casos posibles para calcular probabilidades en problemas que incluyen extracciones con y sin reemplazo de bolas de urnas con diferentes composiciones.

1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES
1. El espacio muestral es:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
donde las casillas sombreadas son los casos favorables. La probabilidad pedida será:
2. El espacio muestral es el mismo de antes, es decir:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Y la probabilidad pedida es:
3. Al escribir al azar las 5 vocales tenemos P5 = 5! = 120 casos posibles. De entre ellos, si la e ha de aparecer la primera y
la o la última, tenemos las otras 3 vocales que han de permutar en los tres lugares centrales, es decir, los casos
favorables son P3 = 3!=6.
La probabilidad pedida es:
4. Las 12 bolas negras pueden tomar de 2 en 2 de maneras distintas (casos
favorables). Mientras que las 27 bolas totales pueden tomarse de 2 en 2 de
maneras distintas (casos posibles). La probabilidad pedida es, pues:
5. Sean los sucesos:
A= “Sacar las dos bolas blancas”
B= “Sacar las dos bolas negras”
C=”sacar las dos bolas del mismo color”

2. Según la composición de la urna se tiene que:
Como una bola no puede ser al mismo tiempo blanca y negra (los sucesos A y B son incompatibles), se tiene que:
6. Sean los sucesos:
A= “ser negra la primera bola”
B= “ser negra la segunda bola”.
Los sucesos A y B son independientes pues el hecho de que la primera bola sea negra no afecta al hecho de que lo
sea la 2ª (ya que la 1ª se devuelve a la urna de nuevo), se tiene:
7. Llamamos:
A= “sacar un caballo”
B= “sacar un tres”
Si reintegramos la primera carta, los sucesos son independientes y se tiene:
Si no reintegramos la primera carta los sucesos son dependientes y se tiene:
Llamando:
C= “sacar un caballo la 1ª carta”
D= “sacar un 3 la 2ª carta”
8. Sean los sucesos:
A= “realizarse el suceso efectuando 4 pruebas”
A1 = “realizarse el suceso en la 1ª prueba”
A2 = “realizarse el suceso en la 2ª prueba”
A3 = “realizarse el suceso en la 3ª prueba”
A4 = “realizarse el suceso en la 4ª prueba”
Se tiene que:

3. Además se cumple que
siendo los cuatro sucesos últimos independientes entre sí, por tanto se tendrá para el suceso complementario de A:
Y para el suceso A:
9. (Este problema se diferencia del nº 7 en que allí había que sacar primero el caballo y luego el 3, ahora hay que sacar
caballo y 3 no importa en que orden).
Llamando a los sucesos:
A= “sirve la 1ª carta” (es caballo o tres)
B= “sirve la 2ª carta” (es caballo o tres)
Reintegrando:
Sin reintegrar:
10. Los casos posibles (en ambos casos) son las combinaciones de 15 elementos tomados de 3 en 3, es decir
a) En este caso los casos favorables son las diferentes formar de tomar las 8 bolas blancas en grupos de 3, es
decir:
siendo la probabilidad pedida:
b) En este segundo caso los casos favorables son el producto de las diferentes maneras de tomar las 8 bolas
blancas de dos en dos por las diferentes maneras de tomar las 5 bolas negras de uno en uno, es decir:

4. y la probabilidad es:
11. a) Como el ejercicio está planteado sin devolución de las cartas extraídas previamente, se tendrá que, llamando A1 , A2
y A3 respectivamente a los sucesos ser sota la primera, la segunda y la tercera, tenemos que:
ya que tras haber extraído la primera sota, sólo quedan tres y, tras haber extraído las dos primeras sólo quedan 2.
b) Llamemos:
A= “sirve la 1ª carta” (es un as un dos o un tres)
B= “sirve la 2ª carta
C= “sirve la 3ª carta.
Se tiene:
ya que para la 1ª teníamos 12 casos favorables (4 ases, 4 doses y 4 treses) y 40 posibles. Para la segunda, si la
primera ha servido, sólo quedan 8 casos favorables y 39 posibles. Para la 3ª, si las dos primeras han servido, sólo
quedan 4 casos favorables y 38 posibles. Tenemos pues para la probabilidad pedida:
c) En este caso sean:
A= “sacar un rey en la 1ª”
B= “sacar un cinco en la 2ª”
C= “sacar un siete en la 3ª”
Será:

5. 12. Sean los sucesos:
A= “sacar una bola negra de la 1ª urna”
B= “sacar una bola negra de la 2ª urna”
Se tiene que:
y, dado que los dos sucesos son independientes:
13. En la siguiente tabla de casos posibles aparecen sombreados los favorables (aquellos en los que la suma de puntos
es divisible por 3)
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
La probabilidad pedida es, pues:
14.
a) Sea A es suceso “señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 4”
necesariamente ha de acabar en 12, 24, 32, 52.
De todos ellos terminan en 12 los que resulten de tomar las 3 cifras restantes (3, 4 y 5) de una en una influyendo el
orden y sin repetición, esto es son V3 1 . El mismo razonamiento es válido para las otras tres posibles terminaciones, es
decir, los casos favorables son 4V3 1 , mientras que los casos posibles son V5 3 , entonces tenemos que:
b) Sea B es suceso “señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 3”. Necesariamente uno de estos
números ha de estar formado por los números de cualquiera de los 4 conjuntos siguientes:
{1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} y {3, 4, 5}

6. ya que son los únicos la suma de cuyas cifras es múltiplo de 3. Pero los números de cada uno de los conjuntos
anteriores se pueden poner en cualquier orden, es decir, de cada uno de esos conjuntos obtenemos P3 elementos.
Los casos favorables serán pues 4P3 y los casos posibles son los mismos que en apartado a), luego tenemos:
15.
a) Sea A=”extraer las tres bolas rojas”, se tiene:
b) Sea B=”extraer dos bolas rojas y una verde”:
c) Sea C=”extraer dos azules y una no azul”:
d) Sea D=”extraer todas de distinto color”:
e) Sean los sucesos:
R= “extraer las tres rojas”
A= “extraer las tres azules”
V= “extraer las tres verdes”.
Se tiene que:

7. Y por ser los sucesos R, A y V incompatibles dos a dos se tiene que la probabilidad pedida es:
16. Sea el suceso A=”sacar algún 1 en 6 lanzamientos” y sean A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , los sucesos “sacar un 1 en el primero
(segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto) lanzamientos”. Se tiene que:
Y como el suceso complementario de A (no sacar ningún 1 en los seis lanzamientos) es la intersección de estos seis
últimos y éstos son independientes, se tiene:
17. Sean los sucesos:
A= “sacar las dos bolas blancas”
B= “sacar las dos bolas negras”
C= “sacar las dos bolas rojas”
Se tiene que los tres sucesos son incompatibles dos a dos y sus probabilidades son:

8. Siendo la probabilidad pedida:
18. Sea el suceso A= “sacar las 50 bolas en el orden 1, 2, 3, .....50”. El número de casos posibles son todas las
permutaciones de 50 y solamente una de ellas constituye el caso favorable luego:
19. Sean los sucesos:
A= “acertar en dos disparos”
A1 = “acertar el primer disparo”
A2 = “acertar el segundo disparo”
Se tiene que:
Y siendo estos dos últimos sucesos independientes se tiene:
20. Sean los sucesos:
A= “Acertar en alguno de los tres lanzamientos”
A1 = “acertar en el primer lanzamiento”
A2 = “acertar en el segundo lanzamiento”
A3 = “Acertar en el tercer lanzamiento”.
Se tiene que:
y siendo estos tres últimos sucesos independientes se cumple que:
siendo entonces la probabilidad pedida:

9. 21. Sean los sucesos:
A= “sacar impar en el primer lanzamiento”
B= “sacar par en el segundo lanzamiento”
La tabla del espacio muestral es (en ella se han señalado los casos favorables al suceso intersección de A y B):
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
Se tiene que:
Que es la probabilidad pedida. Como además:
Queda demostrado que los sucesos A y B son independientes.
22. Observemos el siguiente diagrama de Venn:
donde hemos llamado “x” al número de congresistas que son capaces de hablar al mismo tiempo francés e inglés:
habiéndose de cumplir que:
(70-X)+X+(50-X)=80
Y de ahí, resolviendo la ecuación obtenemos
que
X=40
Es decir, 40 de los congresistas hablan tanto
francés como inglés. 30 hablan sólo inglés y 10
hablan sólo francés.
a) Sea ahora el suceso A= “los dos congresistas se entienden sin intérprete”.
Se tiene que:

10. entonces:
b) Sea ahora el suceso:
B= “los dos congresistas se entienden sólo en francés” (ello supone que sólo hablan francés o que pueden hablar ambos
idiomas):
tenemos que:
c) Sean ahora los sucesos:
C= “los dos congresistas se entienden en un solo idioma”
C1 = “Se entienden sólo en inglés”.
C2 = “Se entienden sólo en francés”.
Se tiene que:
Como el suceso C2
coincide con el suceso b) del apartado b) su probabilidad ya ha sido calculada allí. Entonces se tiene para el suceso C:
d) Sea ahora el suceso:
D= “los dos congresistas se entienden en los dos idiomas”.
Se tiene que:

11. 23. Sean los sucesos:
A= “el primer niño saca las dos rojas”.
B= “el segundo niño saca las dos negras habiendo sacado el 1º las dos rojas”.
C= “el tercer niño saca las dos blancas habiendo sacado el 1º las dos rojas y el segundo las dos negras”.
D= “el primer niño saca las dos rojas y el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas”
Se tiene:
Ya que los sucesos A, B y C de esta forma definidos son independientes y D es la intersección de los tres.
24. Sea el suceso:
A= “sacar al menos un 6 en los n lanzamientos”
Ai = “sacar un seis en el i-ésimo lanzamiento” (donde i varía entre 1 y n)
Se tiene que:
entonces:
siendo estos n sucesos independientes. Se tiene pues que:

12. 25. El espacio muestral tiene RV2 4 =24 =16 elementos que son:
CCCC +CCC +CC+ +C++
CCC+ CC++ C++C ++C+
CC+C C+C+ ++CC +++C
C+CC +C+C C+++ ++++
a) Sea A= “obtener a lo sumo tres cruces (es decir, 0, 1, 2 ó 3)”
b) Sea B= “obtener exactamente dos caras”:
26. Sea el suceso A= “alcanzar el objetivo en al menos uno de los siete disparos”
Ai =”alcanzar el objetivo en el disparo i-ésimo” (i varía de 1 a 7)
Se tiene:
siendo estos 7 sucesos independientes, por lo tanto:
27. Sean los sucesos:
a)
A= “el hombre vive más de 25 años”.
B= “la mujer vive más de 25 años”.
C= “ambos viven más de 25 años”.
Se tiene que:

13. b) D= “sólo el hombre vive más de 25 años”.
c) E= “sólo la mujer vive más de 25 años”:
d) F= “que viva más de 25 años al menos uno de los dos”
28.
a) Sea A= “sacar 4 cartas de la baraja entre las que haya dos reyes y dos no reyes”
b) Sea B= “sacar cuatro cartas de la baraja entre las que haya tres del mismo palo y uno no”.
Para un palo cualquiera dado, la probabilidad de obtener tres de ese palo de entre 4 cartas es:
Y la probabilidad pedida es:
c) Sea C= “sacar cuatro cartas de la baraja y que todas ellas sean menores que 7”
29.
a) Al lanzar tres monedas al aire obtenemos como posibles resultados las Variaciones con repetición de 2 elementos
tomados 3 a 3, esto es RV2 3 =23 =8. Estos son:
CCC C++
CC+ +C+
C+C ++C
+CC +++

14. +CC +++
El suceso A está formado por los sucesos elementales:
A= {(+CC), (+C+), (++C), (+++)}
El B por:
B= {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C)}
Y el C por:
C= {(C++), (+C+), (++C)}
Como , A y B no son incompatibles.
b) Para ver si A y B son independientes hay que comprobar si p(B/A)=p(B), en caso de ser falsa la igualdad anterior no
serán independientes. Veamos:
Luego A y B no son independientes.
c) Como , A y C no son incompatibles.
d) Calculemos:
y siendo distintos ambos resultados, los sucesos A y C no son independientes.
30. Observemos el siguiente diagrama de Venn:
donde los números salen de:
Llamando x a los que hablan las tres lenguas, tenemos que:

15. 40 hablan inglés.
40 hablan francés
51 hablan castellano
11 hablan francés e inglés
12 hablan francés y castellano
13 hablan inglés y castellano
11-x hablan sólo francés e inglés
13-x hablan sólo inglés y castellano
12-x hablan sólo francés y castellano
40-(11-x)-x-(13-x)=16+x hablan sólo inglés
40-(11-x)-x-(12-x)=17+x hablan sólo francés
51-(12-x)-x-(13-x)=26+x hablan sólo castellano
Se ha de verificar, pues la siguiente ecuación:
hablan sólo inglés+hablan sólo francés+hablan sólo castellano+hablan sólo inglés y castellano+hablan sólo francés e inglés+
hablan sólo francés y castellano+ hablan los tres idiomas = 100
16+x+17+x+26+x+13-x+11-x+12-x+x=100
y de ahí se obtiene que hablan los tres idiomas:
x=5
11-x=6 hablan sólo francés e inglés
13-x=8 hablan sólo inglés y castellano
12-x=7 hablan sólo francés y castellano
16+x=21 hablan sólo inglés
17+x=22 hablan sólo francés
26+x=31 hablan sólo castellano
a) A= “ninguno habla francés”. Hay 21+8+31=60 que no hablan francés, luego
b) B= “los dos hablan castellano”. Como hay 51 en esas condiciones:
c) C= “los dos se entienden sólo en castellano”. Hay 31 que sólo hablan castellano; 39 (31+8) que hablan castellano e
inglés pero no francés; 38 (31+7) que hablan castellano y francés pero no inglés; 36 (31+5) que hablan castellano sólo
o los tres idiomas, por tanto:

16. d) D= “los dos hablan un solo idioma”. Hay 74 (21+22+31) que hablan un solo idioma, luego:
e) E= “hablan los tres idiomas”. Hay sólo 5 que lo hacen, por tanto:
31. El hecho de que la probabilidad de obtener un determinado número en el dado sea proporcional a dicho número significa
que (siendo i un número comprendido entre 1 y 6 ambos inclusive), se tiene:
p(i)=ki
como la probabilidad de que salga cualquier número del dado es 1 (suceso seguro), se tendrá que:
p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1
k+2k+3k+4k+5k+6k=1
21k=1
k=1/21
entonces, llamando A sal suceso “sacar un número par”, este suceso es la unión de los tres sucesos incompatibles “sacar 2”,
“sacar 4” ó “sacar 6”, es decir:
32. Observemos el siguiente diagrama:
donde x representa al número de alumnos que no
fuman ni celtas ni ducados.
Como hay 24 alumnos en total, se tiene que:
10+8+4+x=24
Y de ahí:
x= 24-10-8-4=2

17. a) A= “los tres alumnos fuman”:
b) B= “2 de los tres fuman ducados”. Ha de haber 2 de los 18 que fuman ducados y uno de los 6 que o no fuman o fuman
celtas, es decir:
33. Sea el suceso A= “entre cinco piezas elegidas al azar hay alguna defectuosa”, la probabilidad del suceso contrario (que no
haya ninguna defectuosa) es:
Y la probabilidad de A es:
34.Sean los sucesos:
A= “extraer bola negra”
A1 = “extraer una bola de la primera urna”
A2 = “extraer una bola de la segunda urna”.
A3 = “extraer una bola de la tercera urna”.
Por el enunciado sabemos que:

18. a)
Aplicando el Teorema de la probabilidad total tenemos:
p(A)=p(A/A1 )p(A1 )+p(A/A2 )p(A2 )+p(A/A3 )p(A3 )
que en nuestro caso da como resultado:
b) Por el Teorema de Bayes nos queda:
35. Sean los sucesos:
A= “el enfermo se cura”
A1 = “el enfermo ingresa con bronquitis”.
A2 = “el enfermo ingresa con neumonía”
A3 = “el enfermo ingresa con gripe”
Sabemos del enunciado que:
p(A1 )= 0,5 p(A2 )= 0,3 p(A3 )= 0,2
p(A/A1 )= 0,7 p(A/A2 )= 0,8 p(A/A3 )= 0,9
Aplicando el Teorema de Bayes:
36. Sean los sucesos:
A= “tienen diarrea”

19. A= “tienen diarrea”
A1 = “tienen cólera”
A2 = “tienen intoxicación”
A2 = “no tienen nada serio”
Sabemos que:
p(A1 )= 0,02 p(A2 )= 0,005 p(A3 )= 0,975
p(A/A1 )= 0,99 p(A/A2 )= 0,5 p(A/A3 )=0,004
a) Por el Teorema de la probabilidad total:
b) Por el Teorema de Bayes:
37. Sean los sucesos:
A= “el artículo es defectuoso”
A1 = “el artículo procede de la 1ª fábrica”
A2 = “el artículo procede de la 2ª fábrica”.
Sabemos que:
p(A1 )= 0,7 p(A2 )= 0,3
p(A/A1 )= 0,004 p(A/A2 )= 0,008
a) Por el Teorema de Bayes:
b) Por el Teorema de la probabilidad Total:
p(A)= 0,0052
ya que las operaciones a realizar en dicho Teorema coinciden con el denominador de la fórmula de Bayes anteriormente
calculado.
c) Sean los sucesos:
B= “entre los 5 artículos servidos por la fábrica A1 hay alguno defectuoso”
Bi = “es defectuoso el objeto i” ( i varía de 1 a 5)

20. Se cumple que:
p(B1 )=p(B2 )=p(B3 )=p(B4 )=0,004
Y siendo estos 5 últimos sucesos independientes entre sí, se tiene que:
siendo entonces la probabilidad pedida:
38. Sean los sucesos:
A= “el animal está enfermo”
A1 = “el animal es macho”
A2 = “el animal es hembra”
Se sabe que:
p(A1 )= 1/3 p(A2 )= 2/3
p(A/A1 )= 0,1 p(A/A2 )=0,18
a) Por el Teorema de la probabilidad Total:
b) Por el Teorema de Bayes:
39.
a) Observemos la siguiente tabla de contingencia:

21. no repiten repiten total
alumnos 15 10 25
alumnas 25 5 30
estudiantes 40 15 55
Donde están señalados en negrita los datos no proporcionados por el enunciado pero que fácilmente se obtienen
de él.
b) Sea el suceso A= “ser alumno un estudiante elegido al azar”. Será:
c) Sea el suceso B= “ser alumna y repetidora un estudiante elegido al azar”. Será:
d) Sea el suceso C= “ser no repetidores dos estudiantes elegidos al azar”. Tendremos:
40. Sean los sucesos:
A= “aprobar matemáticas un alumno”
B= “aprobar lengua”
C= “aprobar matemáticas y lengua”
Se sabe que:
p(A)= 0,6 p(B)= 0,5 p(C)=0,2
a) Sea D= “aprobar una de las dos”.
b) Sea E= “no aprobar ninguna de las dos”.

22. c) Sea F= “aprobar matemáticas y no lengua”.
donde hemos tenido en cuenta que el suceso del primer paréntesis es el suceso seguro (de probabilidad 1) y
hemos aplicado la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión.
Como los dos sucesos obtenidos en el último miembro son incompatibles, tenemos: