Ejercicios de probabilidad 2º Bachillerato

1. Probabilidad, ejercicios introductorios - Hoja 1
1. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 2 y
P (A ∪ B) = 0, 9.
Calcula P (A ∩ B) y decide si los sucesos A y B son incompatibles y /
o independientes.
Calcula P (A ∪ B).
Nota: (i) Sucesos independientes. Verifican P (A|B) = P (A), o equivalente-
mente, P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
(ii) Sucesos incompatibles: no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, P (A∩
B) = 0, pues A ∩ B = Φ
(iii) A denota el suceso complementario del suceso A.
2. Dados dos sucesos A y B, se conocen las siguientes probabilidades: P (A ∪
B) = 0,55 P (A ∪ B) = 0,94 y P (A|B) = 0,25. Se pide:
a) Calcular P (A ∩ B), P (A), P (B) y P (B|A)
b) Deducir de manera razonada si los sucesos A y B son independientes.
3. Se consideran los sucesos A y B tales que
P (A) =
1
3
, P (B|A) =
1
4
P (A ∪ B) =
1
2
Calcula razonadamente:
P (A ∩ B), P (B), P (B|A), P (A|B)
4. Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio tales que
P (A) =
1
3
, P (B) =
2
3
, P (A ∩ B) =
1
6
Determinar la probabilidad de que suceda A, si se sabe que ha sucedi-
do B.
Determinar la probabilidad de que no sucedan ni A ni B.
5. Se consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio, tales que la
probabilidad de que no ocurra B es 0,6. Si el suceso B ocurre, entonces la
probabilidad de que el suceso A ocurra es de 0,4 y si el suceso A ocurre, la
probabilidad de que el suceso ocurra es 0,25. Calcular:
a)P (B), b)P (A ∩ B), c)P (A), d)P (A ∪ B)
1

2. Probabilidad - Hoja 2
En los ejercicios que siguen, tendrás que reconocer y nombrar, a partir del enun-
ciado, los sucesos con los que habrá que trabajar, para encajarlos en el modelo
abstracto general. Mira por ejemplo este primero:
1. En un instituto se imparten únicamente dos lenguas extranjeras: inglés y
francés. El 72 % de los alumnos de ese instituto estudia inglés, y el 42 % es-
tudia francés. Todos los alumnos estudian al menos una lengua extranjera.
Se elige al azar un alumno de ese instituto. Calcular la probabilidad de que:
a) Estudie inglés y fracés.
b) Estudie solamente inglés.
Tenemos ahora dos sucesos: I: el alumno estudia inglés; F : estudia francés.
Los datos del ejercicio son, P (I) = 0, 72, P (F ) = 0, 42. Nos piden lo
siguiente:
P (I ∩ F ), P (I ∩ F )
2. Al estudiar las actividades de cierto grupos de personas, fueron clasificadas
como deportistas o no deportistas, y como lectores o no lectores. Se sabe
que el 55 % de todo el grupo entró en el bloque de deportistas o lector; que el
40 % fue clasificado como deportista y que el 30 % lo fue como como lector.
Si se elige una persona de ese grupo al azar, calcular la probabilidad de
que:
a) Sea deportista y no sea lector.
b) Sea deportista, si se sabe que es lector.
3. Una máquina dispone de dos chips de control, A y B. Se sabe que la pro-
babilidad de que falle el chip A al encender la máquina es de 0,2 ; que la
probabilidad de que falle el chip B es de 0,3 y que la probabilidad de que
fallen ambos es de 0,015. Calcular la probabilidad de que al encender la
máquina
a) Haya fallado el chip A, si se sabe que no ha fallado el B.
b) No falle ninguno de los dos.
4. En una agencia de viajes, observan que el 75 % de los clientes acude bus-
cando un billete de transporte y el 80 % lo hace buscando una reserva de
hotel. Se ha observado además que el 65 % busca ambas cosas. Elegido un
cliente de esa agencia al azar, calcular la probabilidad de que
a) Acuda buscando un billete o una reserva de hotel.
b) Acuda buscando un billete, si se sabe que también busca una reserva.
2

3. 5. La directiva de un cineclub ha hecho un estudio sobre los gustos de sus
socios. De los 300 que tiene el club, a 150 les gustan las pelis de acción, a
135 las de suspense y a 75 no les gusta ni un género ni el otro. Si se elige
un socio al azar, calcular la probabilidad de que:
a) No le gusten las pelis de acción.
b) Le guste al menos uno de los dos géneros.
c) Le guste el cine de acción y el de suspense.
d) Le gusten las pelis de acción pero no las de suspense.
6. La probabilidad de que a un habitante de determinada ciudad le guste la
música moderna es de 0,55; la probabilidad de que le guste la música clási-
ca es de 0,40, y la probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es
0,25. Si se elige al azar un habitante de esa ciudad, calcular la probabilidad
de que:
a) Le guste al menos uno de los dos géneros de música.
b) Le guste la música clásica y también la moderna.
c) Le guste solamente la música clásica.
d) Le guste la música moderna, si se sabe que le gusta la música clásica.
7. La probabilidad de que cierto rı́o esté contaminado por nitratos es 0,6; la
probabilidad de que esté contaminado por sulfatos es 0,5, y la probabilidad
de que lo esté por ambos es 0,2. Calcular la probabilidad de que
a) El rı́o no esté contaminado por nitratos, si se sabe que lo está por
sulfatos.
b) No esté contaminado ni por nitratos ni por sulfatos.
8. Se sabe que el 60 % de las personas matricuadas en un centro de bai-
le hacen ballet. Entre estas, el 65 % hace además flamenco, mientras que
únicamente el 30 % de quienes no reciben clases de ballet las reciben de fla-
menco. Si se elige al azar una persona matriculada en ese centro, calcular
la probabilidad de que:
a) Haga flamenco.
b) Haga ballet, en el supuesto de que no hace flamenco.
9. En una empresa, el 20 % de los empleados son matemáticos, el 50 % inge-
nieros y el resto no tiene estudios superiores. Entre los matemáticos el 40 %
ocupa un cargo directivo, entre los ingenieros ese porcentaje se reduce a la
mitad y entre el resto de los empleados el porcentaje es del 5 %. Elegido un
empleado al azar, se pide:
a) La probabilidad de que ocupe un cargo directivo.
b) Si no ocupa cargo directivo, la probabilidad de que sea matemático.
3

4. Probabilidad: hoja 3
(Esto va de urnas, dados, monedas y similares)
1. Un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda y un dado equili-
brados al aire.
a) Describir el espacio muestral. ¿Cuántos son los resultados posibles?
b) Calcular la probabilidad del suceso obtener cara en la moneda y núme-
ro par en el dado.
2. De una urna con 4 bolas blancas y 2 negras se extraen al azar, sucesi-
vamente y sin reemplazamiento, dos bolas. Calcular la probabilidad de los
sucesos siguientes:
a) Las dos son blancas.
b) Son del mismo color.
c) Son de colores distintos.
d) Al menos una es blanca.
3. Se lanzan al aire dos dados equilibrados de seis caras tres veces consecuti-
vas. Se pide la probabilidad de que.
a) Las tres veces sale seis doble.
b) Ha salido algún doble (por lo menos uno).
4. En la biblioteca quedan 8 ejemplares del libro A, 9 del B y 5 del C. Entran
tres personas consecutivamente, cada una de ellas a sacar un solo libro.
Calcular la probabilidad de que:
a) Las tres se lleven el mismo libro (el mismo tı́tulo, claro... ¡no el mismo
ejemplar!).
b) Dos personas se lleven el libro A y la otra el libro C.
5. Para recaudar fondos para su viaje a Grecia, los alumnos del San Mateo or-
ganizan una rifa con 500 papeletas. La profe de mates compra cinco núme-
ros.
a) Si solamente hay un premio, ¿cuál es la probabilidad de que le toque a
ella?
b) Si hay dos premios, ¿cuál es la probabilidad de que le toque al menos
uno?
6. ¡Hay elecciones municipales! El 45 % del censo de cierta ciudad vota al can-
didato A, el 35 % vota al candidato B y el resto se abstiene. Elegidas al azar
tres personas censados en esa ciudad, calcular la probabilidad de que
a) Las tres hayan votado a A.
4

5. b) Dos de ellas exactamente hayan votado a B.
7. La orquesta musiquera está formada por 30 instrumentos de madera, 15 de
viento y 5 de percusión. La vı́spera de un concierto enferman dos músicos.
Calcular la probabiliodad de que
a) Ambos toque un instrumento de viento.
b) Ambos toquen el mismo tipo de instrumento.
8. Se lanzan tres dados equilibrados al aire. Calcular la probabilidad de :
a) Obtener tres unos.
b) Obtener al menos un dos.
c) Obtener tres números distintos.
d) Obtener suma de puntos igual a cuatro.
9. Tenemos cinco cajas opacas. Una de ellas contiene una bola blanca, dos
contienen una bola negra y las otras dos están vacı́as. Un juego consiste
en ir seleccionando secuencialmente y al azar una caja no seleccionada
previamente hasta encontrar una que contenga una bola. Si esa bola es
blanca el jugador gana; si es negra, pierde. Calcular la probabilidad de que:
a) El jugador gane.
b) Si pierde, que haya seleccionado una sola caja.
10. Un paquete con una docena de huevos tiene dos rotos. Se extraen cuatro
huevos (no se devuelven al paquete). Calcular la probabilidad de que
a) Los cuatro estén en buen estado.
b) Exactamente uno de los cuatro esté roto.
11. Se supone que la probabilidad de que nazca una niña es 0,5 y la probabili-
dad de que nazca un niño 0,5. Una familia tiene dos hijos.
a) Si el segundo es niño, ¿cuál es la probabilidad de que el primero tam-
bién lo sea?
b) Si se sabe que al menos uno de los dos es niño, ¿cuál es la probabilidad
de que esa familia tenga dos niños?
12. Un juego consiste en lanzar al aire dos monedas y un dado equilibrados.
Un jugador gana si obtiene dos caras y un número par, o exactamente una
cara y un número igual o mayor que cinco en el dado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane?
b) Si gana, ¿cuál es la probabilidad de que sea por haber obtenido dos
caras?
5

6. Probabilidad total y Bayes - Hoja 4
Imaginemos que acabamos de pasar un test para detectar cierto cáncer, y...
malas noticias: ¡es positivo! Y ya es mala pata, porque este cáncer no afecta más
que al 0, 1 % de la población.
La pregunta inmediata es sobre la fiabilidad del test en cuestión, claro está.
Resulta que si se tiene cáncer, el test es positivo en un 90 % de casos, mientras
que si no se tiene será negativo en un 97 % de los casos. ¿Qué significan esos
números? ¿Cuál es la probabilidad de padecer ese cáncer?
Probabilidad total, fórmula de Bayes, ....descubriremos que pese al resultado del
test, la probabilidad de padecer realmente el cáncer es de ??????
Veamos ahora otras situaciones análogas:
1. En la pasada edición de la EVAU, el 60 % de los alumnos de ciencias del
San Mateo eligió la opción A del examen de mates II. Se sabe que el 85 %
de los que hicieron la opción A sacaron un 8 o más, mientras que entre los
que eligieron la opción B este porcetaje sube hasta el 90 %. Elegida al azar
una persona del San Mateo que se examinó de mates II el curso pasado, se
pide:
a) La probabilidad de que haya tenido 8 o más.
b) La probabilidad de que haya elegido la opción B, si se sabe que ha
tenido 8 o más.
2. El 60 % de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artı́culos
rebajados. Los clientes devuelven el 15 % de los artı́culos rebajados, porcen-
taje que disminuye al 8 % si los artı́culos han sido adquiridos sin rebajas.
a) ¿Cuál es el porcentaje global de artı́culos devueltos?
b) ¿Qué porcentaje de artı́culos devueltos fueron adquiridos con precios
rebajados?
3. Una compañı́a farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis
atópica en un 80 % de los casos. Si un enfermo es tratado con un placebo,
la probabilidad de mejorı́a espontánea es del 10 %. En un estudio experi-
mental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y
la otra mitad con el placebo. Determinar la probabilidad de que:
a) Un paciente elegido al azar haya mejorado.
b) Haya sido tratado con el medicamento, sabiendo que ese paciente ha
mejorado.
4. Según los datos de la Fundación para la diabetes, el 13, 8 % de los españoles
mayores de 18 años tiene diabetes, aunque el 43 % de ellos no sabe que la
tiene. Se elige al azar un español mayor de 18 años.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga diabetes y lo sepa? ¿Cuál es la
probabilidad de que no sea diabético o no sepa que lo es?
6

7. b) Cierto test diagnostica correctamente el 96 % de de los casos positivos
de diabetes, pero da un 2 % de falsos positivos. Si un espaol mayor
de 18 años da positivo en el test, ¿ cuál es la probabilidad de que
realmente sea diabético?
5. El grupo de whatsapp formado por los alumnos de una escuela de idiomas
está compuesto por un 60 % de mujeres y el resto varones. Se sabe que el
30 % del grupo estudia alemán y que la cuarta parte de las mujeres estudia
alemán. Se recibe un mensaje en el grupo. Se pide:
a) La probabilidad de que lo haya enviado una mujer, si se sabe que el
remitente estudia alemán.
b) Si en el mensaje no hay ninguna referencia sobre el sexo ni sobre el
idioma que estudia el remitente, la probabilidad de que se trate de un
varón que estudia alemán.
6. Un concesionario dispone de vehı́culos de gama alta y baja, representando
los de gama alta 1/3 de las existencias. Entre los de gama baja, la proba-
bilidad de tener un defecto de fabricación es del 1, 6 %, mientras que para
los de gama alta esta probabilidad es de 0, 9 %. En un control de caldad
preventa, se elige al azar un vehı́culo para examinarlo.
a) Calcular la probabilidad de que sea defectuoso.
b) Si es defectuoso, calcular la probabilidad de que sea de gama baja.
7. En ciero laboratorio de inmunologı́a, se constata que si un ratón tiene el
anticuerpo A, 2 veces de cada 5 también tiene el anticuerpo B, y que si un
ratón no tiene el anticuerpo A, entonces 4 de cada 5 veces tampoco tiene el
anticuerpo B. Se sabe además que la mitad de la población de ratones tiene
el anticuerpo A.
a) Calcular la probabilidad de que un ratón con anticuerpo B, tenga tam-
bién el anticuerpo A.
b) Calcular la probabilidad de que un ratón que no tiene el anticuerpo B,
no tenga tampoco el anticuerpo A.
8. Se tienen tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas y 4 negras;
la segunda, 5 bolas negras, y la tercera 4 blancas y 3 negras.
a) Se elige una caja al azar, y se extrae de ella una bola. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea negra?
b) Si la bola extraı́da es negra, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de
la segunda caja?
7

8. Probabilidad 5: la binomial (o tal vez no...)
1. En cierto restaurante, tres de cada cinco clientes piden vino en la comida.
En una muestra de diez clientes, calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno pida vino.
b) Al menos uno pida vino.
c) Exactamente la mitad pida vino.
d) Como mucho sean tres los que pidan vino.
Entre esos diez clientes, ¿cuántos podemos esperar que pidan vino?
2. Para promocionar cierto producto, una empresa realiza una campaña de
llamadas telefónicas. Se estima que el 15 % de las llamadas hechas por un
vendedor terminan en compra del producto. Calcula la probabilidad de que
un vendedor:
a) No venda nada en 10 llamadas.
b) Haga más de 3 ventas en 20 llamadas.
c) Si la empresa les exige que en media consigan al menos 5 ventas dia-
rias, ¿cuántas llamadas diarias tendrá que realizar?
d) Calcula el menor número de llamadas diarias que será necesario reali-
zar para que la probabilidad de que haya al menos una venta sea mayor
que 0.95.
3. El 40 % de los sábados Marta va al cine, el 30 % va de compras y el resto
juega a videojuegos. Cuando va al cine. el 60 % de las veces lo hace con sus
compañeros de baloncesto. Lo mismo ocurre el 20 % de las veces que va de
compras, y el 80 % de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a) La probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus
compañeros de baloncesto.
b) Si se sabe que ha quedado con sus compañeros de baloncesto, ¿cuál
es la probabilidad de que vayan al cine?
4. Un examen de opción múltiple consiste en 25 cuestiones, con cinco posibles
respuesta para cada una de ellas. Si una persona responde al azar, calcular:
a) La probabilidad de que conteste bien exactamente diez cuestiones.
b) La probabilidad de que conteste bien 20 o más.
c) El número esperado de aciertos.
5. Una compañı́a de mensajerı́a tiene una probabilidad de 0,2 de dañar cada
uno de sus envı́os. Si asumimos que la probabilidad de que varios envı́os
resulten dañados son independientes, hallar la probabilidad de que:
8

9. a) En un lote de 8 paquetes hayan llegado con desperfectos exactamente
2.
b) En un lote de 8 paquetes hayan llegado con deperfectos por lo menos
2.
6. Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal. Se
sabe que el 40 % del total de aspirantes ha sido seleccionado. Si entre los
aspirantes habı́a un grupo de 8 amigos, calcular la probabilidad de que:
a) Al menos dos de ellos hayan sido seleccionados.
b) Ninguno de los 8 haya sido seleccionado.
c) Los 8 hayan sido seleccionados.
7. Dados dos sucesos A y B, se conocen las siguientes probabilidades: P (A ∪
B) = 0,55; P (A ∪ B) = 0,9 y P (B|A) = 0,25. Se pide:
a) P (A ∩ B), P (A), P (B) y P (B|A).
b) Deducir de manera razonada si los sucesos A y B son o no indepen-
dientes.
8. En una oposición hay 100 temas. En la prueba teórica, se extraen al azar
tres temas, entre los que el candidato debe elegir uno. Una persona ha
preparado 60 de los 100 temas. Definir una variable aleatoria que describa
bien esta situación, y calcular:
a) La probabilidad de que sepa los tres.
b) la probabilidad de que sepa exactamente dos.
c) La probabilidad de que no sepa ninguno.
d) La probabilidad de que sepa alguno.
e) El número esperado de temas que el candidato sabe entre los tres que
salen.
9. A una parada de autobús llegan dos autobuses: uno rojo (urbano) y otro
verde (interurbano). La probabilidad de coger el rojo es 0.6, y la de coger el
verde es 0.4. El rojo llega puntual a su estino el 80 % de las veces, y el verde
el 90 %.
a) ¿Cuál es la probabilidad de coger el bus rojo y no llegar puntual?
b) ¿Cuál es la probabilidad de llegar puntual al destino?
c) Si hemos llegado puntualmente al destino, ¿cuál es la probabilidad de
haber cogido el bus verde?
9