Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que cumple ciertas características: debe ser cerrado bajo suma y multiplicación por escalares, y contener el elemento neutro de la suma. Para que un conjunto S sea un subespacio de un espacio vectorial V, debe cumplir cuatro axiomas: 1) S no puede estar vacío, 2) S debe estar incluido en V, 3) la suma debe ser ley de composición interna, 4) la multiplicación por escalares debe ser ley de composición externa.

1. SUBESPACIOS VECTORIALES-En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.-Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V.-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. VS

2. Condición de existencia de subespacioEl criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

3. 1. S no es un conjunto vacío.2. S es igual o está incluido en V.3. La suma es ley de composición interna.4. El producto es ley de composición externa. -Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

4. TEOREMA-Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial S⊆ V, S≠ ∅,S es un subespacio vectorial de V si y solo si cumple que:∀u, v ∊ S / u+v ∊ S2. ∀ α ∊ K, ∀u ∊ S / α u ∊ S

5. Intersección:Se define la intersección ( ∩) de dos subespacios vectoriales S1 y S2 de V, como el subconjunto de V que verifica: a ∈ S1 ∩ S2 ⇔ a ∈ S1 y a ∈ S2 Teorema : La intersección de un número cualquiera de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V.

6. Suma:Sea (V ; K ; +; •) y sean S1 y S2 dos subespacios de V. Se llama sumade S1 y S2 al conjunto:S1 +S2= {s1+ s2/ s1∈S1, s2∈ S2} Teorema : El conjunto S1 + S2 es un subespacio de V; es el menorde todos los subespacios que contienen a S1 y S2.

7. Suma directa:Sean S1 y S2 subespacios de un espacio vectorial (V; K ;+; •) y sea L ⊆ V , decimos que L es suma directa de S1 y S2; lo que se denota L = S1 ⊕ S2, si se verifica que :L = S1 + S2 y S1∩S2 = .Si L = V; a los subespacios S1 y S2 se les denominan subespacios complementarios.

8. Unión : S1 υ S2 = {α ∈V /α ∈ S1 ^α∈ S2} En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna.Pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S1 este contenido en S2 o viceversa.