Este documento trata sobre límites y continuidad de funciones de varias variables. Explica que se estudian las funciones componentes, y que la continuidad se da si cada función componente es continua. También introduce conceptos como campos escalares y funciones definidas a trozos, y explica cómo calcular límites y continuidad en estas funciones.

1. LIMITE Y
CONTINUIDAD DE
FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
Bachiller:
Kactherine Gonzalez
C.I:26.520.832
Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para la Educación
I.U.P. `` SANTIAGO MARIÑO``
SEDE-BARCELONA

2. El estudio de límites y continuidad en funciones de varias
variables, y más adelante el de su diferenciabilidad, se reduce
al estudio de sus funciones componentes. Para calcular límites
lo podemos hacer por componentes, y la continuidad se tiene si
y solo si se tiene continuidad en cada una de las componentes.
Por tanto lo más importante es saber trabajar sobre las
funciones componentes que en general son lo que
denominamos campos escalares. Así pues el estudio de los
campos escalares es fundamental. Tras algunas nociones
básicas y definiciones nos centraremos en el estudio de
técnicas sobre cálculo de límites de campos escalares y
aplicaremos estas al estudio de la continuidad

3. Limites en Funciones Vectoriales
Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto
centrado en (𝑥0, 𝑦0 ) excepto quizás en el punto (𝑥0, 𝑦0)y sea L un
número real. Entonces,
si para cada existe un tal que
siempre que
Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier
punto en el disco de radio , el valor de esta entre
y

5. Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para
obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir
de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y,
z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si
hay dos variables independientes, una función de valor real de tres
variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables
se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla
de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en
forma gráfica (por medio de una gráfica).
Funciones de varias variables

6. Funciones lineales
Una función lineal de los variables x1, x2, ... , xn es una función de la forma
f(x1, x2, ... , xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn
donde a0, a1, a2, ..., an son constantes.
Funciones de interacción
Si añadimos a una función lineal una o más terminas de la forma bxixj (b constante),
obtenemos una función de interacción de la segunda orden.
Funciones de distancia
La distancia en el plano del punto (x, y) al punto (a, b) se puede expresar como una
función de los dos variables x y y:
d(x, y) = [(x - a)2 + (y - b)2]1/2.
(Caso especial de la forma más arriba) La distancia en el plano del punto (x, y) al
origen se expresa por
d(x, y) = [x2 + y2]1/2.
La distancia en espacio tridimensional del punto (x, y, z) al punto (a, b, c) se expresa
por
d(x, y, z) = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]1/2.

7. Las funciones polinómicas, racionales, con radicales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en
todos los puntos de su dominio.
La función f(x)=
2
𝑥+3
es continua en − {3}. En x = 3 no es
continua porque no está definida.
Continuidad de funciones

8. Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es
en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de
los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función es continua en R

9. Porque las funciones que la componen son polinómicas y los
límites laterales en los puntos de división coinciden.

10. Continuidad en campos
escalares
Un campo escalar es continuo en a si ocurre que
Como vemos las definiciones son iguales, con la salvedad que si
tenemos vectores medimos con la norma en lugar de con el valor
absoluto, y que en este caso x y a y son vectores de 𝑅 𝑛 y f (x) y f
(a) son números,

11. BIBLIOGRAFIA
http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node10.html
http://www.vitutor.com/fun/3/b_3.html
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#top