El documento trata sobre transformaciones lineales. Define una transformación lineal como una función que asigna a cada vector de un espacio vectorial a otro de forma que cumple dos propiedades: 1) es aditiva y 2) es homogénea. Presenta ejemplos de transformaciones lineales y no lineales. Explica que las matrices definen transformaciones lineales entre espacios vectoriales.

1. Álgebra Lineal
Transformaciones Lineales
Francisco Niño Rojas

2. Transformaciones Lineales
Definición:
Sean 푉 y 푈 espacios vectoriales. Una transformación lineal T de 푉 en 푈 es una función que asigna a cada vector 푢 de 푉 un único vector 푇(푢) en 푈.
푉 푇 푈
풗
푇(푢)
Francisco Niño R. UNISALLE

3. Transformaciones Lineales
Tal que:
푇(푢+푣)=푇(푢)+푇(푣), para todo par de vectores 푢,푣 en 푉
푇(훼푢)=훼푇(푢), para todo 푢 en 푉 y todo 훼∈ℝ
Francisco Niño R. UNISALLE

4. Nota
Las dos condiciones las podemos resumir en:
푇(훼푢+푣)=훼푇(푢)+푇(푣)
Si 푈=푉, la transformación lineal: 푇:푉→ 푉 se denomina operador lineal
Francisco Niño R. UNISALLE

5. Ejemplos:
Consideremos T: ℝ2→ℝ3 definida por 푇 푥 푦= 푥+푦 푥−푦 4푦 Por ejemplo, 푇 3−5= 3 +(−5) 3 −(−5) 4(−5) = −28−20
Francisco Niño R. UNISALLE

6. Estamos transformando el vector 3−5 en el
vector −28−20 bajo la transformación de 푇.
Decimos que el vector −28−20 esta en la
imagen de 푇. ( 퐼푚푇).

7. Ejercicio:
Transforme los vectores (1, -2) y 12,− 34 teniendo en cuenta la transformación anterior.
Encuentre otros 5 elementos de la 퐼푚푇.
Suponga que 푇:ℝ2→ℝ2 esta dada por
푇푥,푦=−푥,−푦
Represente geométricamente la 푇.퐿.

8. En general para 푥=푥1 , y 푦=푦1 se puede verificar
que 푇 es una 푇 .퐿. Así:
푇 푥1 푦1+ 푥2 푦2=푇 푥1+푥2 푦1+푦2= 푥1+푥2+푦1+푦2 푥1+푥2−푦1−푦24푦1+4푦2
ya que 푥1 ,푥2,푦1, 푦2 son
componentes reales = 푥1+푦1 푥1−푦14푦1+ 푥2+푦2 푥2−푦24푦2
conmutamos y Asociamos.
Entonces tenemos :
푥1+푦1 푥1−푦14푦1=푇 푥1 푦1 푦 푥2+푦2 푥2−푦24푦2= 푇 푥2 푦2

9. Por lo tanto 푇 푥1 푦1+ 푥2 푦2= 푇 푥1 푦1 + 푇 푥2 푦2 . Se cumple la primera propiedad. Similarmente, 푇훼 푥 푦=푇 훼푥 훼푦= 훼푥+훼푦 훼푥−훼푦 4훼푦 =훼 푥+푦 푥−푦 4푦 =훼푇 푥 푦 También cumple la segunda propiedad y en consecuencia 푇 es una transformación lineal.

10. Ejemplos especiales
La transformación cero. Consideremos 푉 y 푈 espacios vectoriales y 푇:푉→푈 la transformación definida por 푇푣=ퟎ para todo 푣 de 푉. Entonces
푇푣1+푣2=ퟎ+ퟎ=푇푣1+푇푣2
푇훼푣=ퟎ=훼ퟎ= 훼푇푣.
Nota: Recordemos que ퟎ es el vector cero o elemento neutro del espacio vectorial 푈.

11. Consulta:
Consulte sobre la transformación Identidad, la transformación de reflexión, y transformación de proyección ortogonal.
Puedes ayudarte del texto guía. (Algebra lineal S. Grossman)

12. Otro ejemplo especial:
Sea 푇:ℝ푛→ℝ푚 representada por una matriz de 푚×푛. Entonces definimos
푇x=퐴x
Donde 퐴 es una matriz de 푚×푛 y x es un vector en ℝ푛. Es fácil ver que 푇 es una 푇.퐿.

13. Por lo tanto, toda matriz 퐴 de 푚×푛 da origen a una transformación lineal de ℝ푛 en ℝ푚.
Ejercicio: Si 푇 es una transformación lineal de ℝ2 → ℝ3 tal que:
푇 10= 123 푦 푇 01= −405
Halle:
푇 24 y 푇 −37.
TAREA: Consulte sobre la transformación de rotación.

14. Ejemplo:
Sea 푇 una transformación definida
푇:푀푛푛→푀푛푛
Donde 푇퐴=퐴퐵 donde 퐵 es una matriz fija de 푛×푛.
Para la primera propiedad consideremos dos matrices 퐴1 y 퐴2 en 푀푛푛. Entonces
푇퐴1+퐴2=퐴1+퐴2퐵 퐸푠푡푒 푝푟표푑푢푐푡표 푠푒 푝푢푒푑푒 ℎ푎푐푒푟 푃푢푒푠 푙푎푠 푚푎푡푟푖푐푒푠 푠표푛 푑푒 푛×푛. =퐴1퐵+퐴2퐵=푇퐴1)+푇퐴2

15. Para la segunda propiedad consideremos una matriz 퐴푛×푛 y 훼 valor real. Entonces: 푇훼퐴=훼퐴퐵=훼퐴퐵=훼푇퐴. Consideramos propiedades con operaciones usuales entre matrices como el producto de matrices y el producto de un escalar por una matriz. Luego 푇 es un 푇.퐿.

16. Ejercicios
Determinar cuales de las siguientes transformaciones son lineales:
1. 푇:푀2×2→ℝ, definida por 푇(퐴)=det (퐴)
2. T: ℝ3→ℝ2 definida por
푇(푥,푦,푧)=(푥+푦,푦+푧)
Francisco Niño R. UNISALLE

17. Propiedades
Si 푇: 푈→푉 es una transformación lineal, entonces:
푇(0푣)=0푢
푇(−푣)=−푇(푣)
푇(푣−푢)=푇(푣)−푇(푢)
Francisco Niño R. UNISALLE

18. Ejercicios:
Usando el mismo razonamiento hecho en clase, resolver:
Sea 푇:푉→ℝ3 lineal tal que:
푇푣1=1,−1,2, 푇푣2=0,3,2푦
푇(푣3)=(−3,1,2)
Encontrar: 푇(2푣1−3푣2+4푣3)
Francisco Niño R. UNISALLE

19. Gracias y Ánimo con las tareas