Sucesiones y Series de Taylor Sucesiones/Limite/Propiedades/Monotonía y convergencia/Propiedades/Series numéricas/Propiedades/Series notables: Geometrica , telescopica, serie p, serie de terminos no negativos/Criterios de Convergencia: comparación, comparación limite, de la razón o cociente, de la raíz, de raabe, de la integral/Problemas de aplicación

1. SUCESIONES
Y
SERIES
TO M Y _ G U T I E R R E Z _ C O N S TA N T I N O _ 2 0 1 9 0 2 5 9 E
C U R S O : B M A 0 2 _ S E C C I Ó N : C

2. SUCESIONES
• DEFINICIÓN: Una sucesión es una función de ℕ → ℝ
Ejemplos:
1,1,2,3,5,8,13,…(Sucesión de Fibonacci)
2,4,6,8,10,…(Sucesión de números pares)
1,4,9,25,36,…(Sucesión de cuadrados perfectos)
NOTACIÓN: Las sucesiones suelen escribirse 𝑋 𝑛 ó 𝑋 𝑛
*donde: 𝑋 𝑛 es el término enésimo de la sucesión*
Ejemplos:
#1) 𝑋 𝑛
𝑋 𝑛=
1
𝑛
𝑋 𝑛 = 1 ,
1
2
,
1
3
, …

3. SUCESIONES
#2) 𝑋 𝑛
𝑋 𝑛=
1,𝑆𝑖 𝑛𝑜 é𝑠 𝑝𝑎𝑟
−1,𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝑋 𝑛 = 1 , −1 , 1 …
#3) 𝑋 𝑛
𝑋1=0
𝑋 𝑛+1=𝑋 𝑛+
1
𝑛2
𝑋 𝑛 = 0 , 1 ,
5
4
,
49
36
, …
#4) 𝑋 𝑛
𝑥1=1, 𝑥2=1
𝑥 𝑛+2=𝑥 𝑛+𝑥 𝑛+1
𝑋 𝑛 = 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , …

4. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
• DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
-Se dice que un numero real 𝐿 es limite de una sucesión 𝑎 𝑛 y se
denota:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿 ↔ ∶ ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 ∈ ℕ tal que ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝑎 𝑛 − 1 < 𝜀
-Se dice la sucesión 𝑎 𝑛 tiene límite +∞ y se denota:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = +∞ ↔ ∶ ∀𝑀 ∃𝑛0 ∈ ℕ tal que ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝑎 𝑛 > 𝑀
-Se dice la sucesión 𝑎 𝑛 tiene límite −∞ y se denota:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = −∞ ↔ ∶ ∀𝑚 ∃𝑛0 ∈ ℕ tal que ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝑎 𝑛 < 𝑚

5. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
• PROPIEDADES• PROPIEDADES:
Sea 𝑎 𝑛 ⟶ 𝐿 ∈ ℝ y 𝑏 𝑛 ⟶ 𝑀 ∈ ℝ se verifica:
1) 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 ⟶ 𝐿 + 𝑀
2) 𝑘. 𝑎 𝑛 → 𝑘. 𝐿 ∀𝑘 ∈ ℝ
3) 𝑎 𝑛. 𝑏 𝑛 ⟶ 𝐿. 𝑀
4)
1
𝑏 𝑛
⟶
1
𝑀
y
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
⟶
𝐿
𝑀
si 𝑀 ≠ 0 y 𝑏 𝑛 ≠ 0 ∀𝑛 ∈ ℕ
Pero
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
será divergente si L ≠ 0, 𝑀 = 0 y 𝑏 𝑛 ≠ 0 ∀𝑛 ∈ ℕ

6. MONOTONÍA Y CONVERGENCIA
• DEFINICION: Una sucesión 𝑎 𝑛 se dice:
Acotada superiormente si ∃ 𝐿 ∈ ℝ tal que 𝑎 𝑛 ≤ 𝐿
Acotada inferiormente si ∃ 𝐿 ∈ ℝ tal que 𝑎 𝑛 ≥ 𝐿
Acotada si es acotada superiormente e inferiormente (∃ 𝐿1, 𝐿2 ∈ ℝ tal
tal que 𝐿1 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝐿2
• DEFINICION: Una sucesión 𝑎 𝑛 se dice:
Monótona creciente si 𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛+1
Monótona no decreciente si 𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛+1
Monótona decreciente si 𝑎 𝑛 > 𝑎 𝑛+1
Monótona no creciente si 𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑛+1
Monótona si es uno de los casos previos
• TEOREMA
𝑎 𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 ⟹ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

7. MONOTONÍA Y CONVERGENCIA
• CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN:
• Una sucesión 𝑎 𝑛 se dice que es convergente si posee límite
finito, es decir
∃𝐿 ∈ ℝ / lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿
• Análogamente se que una sucesión 𝑎 𝑛 es divergente si:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = ∞
NOTA: Una sucesión se llama oscilante si no es convergente ni
divergente

8. MONOTONÍA Y CONVERGENCIA
• PROPIEDADES:
1) Una sucesión convergente tiene uno solo un limite(Unicidad del límite)
2) Toda sucesión monótona, creciente y acotada superiormente es
convergente. Equivale a decir que una sucesión monótona converge si y solo
si es acotada
3) Sean 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 y 𝑐 𝑛 sucesiones de números reales.
Si 𝑎 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 ≤ 𝑐 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ y lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑐 𝑛 = 𝐿,
entonces también lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 𝐿 (Teorema del Sándwich)
4) Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones diferenciables en un intervalo de la forma 𝑎 − 𝑟, 𝑎 +

9. SERIES NUMÉRICAS
• Dada un sucesión 𝑎 𝑛 , podemos formar a partir de ella otra
sucesión 𝐴 𝑛 , cuyos términos se obtienen sumando
consecutivamente los términos de 𝑎 𝑛 , es decir
𝐴1 = 𝑎1
𝐴2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝐴3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
…
𝐴 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎 𝑛
• Dicho de otra manera sea 𝐴1 = 𝑎1 y para todo 𝑛 ∈ ℕ,
𝐴 𝑛+1 = 𝐴 𝑛 + 𝑎 𝑛+1
• La sucesión 𝐴 𝑛 así definida se llama serie de termino general
𝑎 𝑛 o serie definida por la sucesión 𝑎 𝑛
• Esta será representada 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 y el número 𝐴 𝑛 = 𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 se
llama suma parcial de orden 𝑛 de la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛

10. SERIES NUMÉRICAS
• PROPIEDADES:
1) Si 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 → 𝐴 y 𝑛=1
∞
𝑏 𝑛 → 𝐵 entonces:
𝑛=1
∞
(𝐶1 𝑎 𝑛 + 𝐶2 𝑏 𝑛) → 𝐶1 𝐴 + 𝐶2 𝐵
2) Sea la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛; si lim
𝑛⟶∞
𝑎 𝑛 ≠ 0 entonces la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
diverge
3) Sea la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛; si esta es convergente, entonces lim
𝑛⟶∞
𝑎 𝑛 =
0, pero si lim
𝑛⟶∞
𝑎 𝑛 = 0 no necesariamente la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 es
convergente

11. SERIES NOTABLES
• SERIE GEOMÉTRICA
• Dado un número 𝑥, la sucesión 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 se llama
serie geométrica de razón 𝑥. Observa que dicha serie se
obtienes sumando consecutivamente los términos de la
sucesión 1, 𝑥, 𝑥2
, … , 𝑥 𝑛
, … .
• Es costumbre representar la serie geométrica de razón 𝑥
𝑛=1
∞
𝑥 𝑛
• La convergencia o no de la serie geométrica viene dada por:
Si 𝑥 < 1, la serie geométrica es convergente, además:
𝑛=1
∞
𝑥 𝑛 =
𝑥
1 − 𝑥
Si 𝑥 ≥ 1, la serie geométrica es divergente

12. SERIES NOTABLES
• SERIE TELESCÓPICA
• Sea 𝑏 𝑛 una sucesión numérica. La serie: 𝑛=𝑁
∞
(𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1) se
denomina serie telescópica. Esta serie converge si y solo si la
sucesión 𝑏 𝑛 converge y en tal caso:
𝑛=𝑁
∞
𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1 = 𝑏 𝑁 − lim 𝑏 𝑛+1
• Este resultado es una consecuencia directa de la definición de
suma de serie como límite de la sucesión de sumas parciales
𝑛=𝑁
∞
𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1 = lim 𝑆 𝑛
= lim( 𝑏 𝑁 − 𝑏 𝑁+1 + 𝑏 𝑁+1 − 𝑏 𝑁+2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1)
= 𝑏 𝑁 − lim 𝑏 𝑛+1

13. SERIES NOTABLES
• SERIE P
• Se denomina serie p a toda serie que se puede expresar de la
forma :
𝑛=1
∞
1
𝑛 𝑝
• La convergencia o no de una serie p viene dada por:
Si 𝑝 ≤ 1, entonces la serie diverge
Si 𝑝 > 1, entonces la serie converge

14. SERIES NOTABLES
• SERIE DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS
• Estas serie son de la forma 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 con 𝑎 𝑛 ≥ 0 para todo 𝑛 ∈ ℕ. El
estudio de la convergencia de estas series resulta más sencillo,
porque son sucesiones crecientes:
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 ≤
𝑘=1
𝑛+1
𝑎 𝑘
• Por tanto, sabemos que una serie de términos no negativos es
convergente si y solo si está mayorada (superada una de la otra).
Esto hace que la convergencia de una serie pueda deducirse de la
convergencia de otra
• Este tipo de serie a su vez obedece similarmente a los criterios de
convergencia para una serie en general, tales como :
-Criterio de la comparación
-Criterio de la raíz
-Criterio de la razón o cociente

15. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• CRITERIO DE LA COMPARACIÓN
• Sean 𝑛=1 𝑎 𝑛 y 𝑛=1 𝑏 𝑛 dos series de términos positivos.
Supongamos que hay un número k ∈ ℕ tal que 𝑎 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 para
todo 𝑛 > 𝑘.
• Entonces se verifica que si la serie 𝑛=1 𝑏 𝑛 es convergente,
también 𝑛=1 𝑎 𝑛 es convergente o, equivalentemente , si la serie
𝑛=1 𝑎 𝑛 es divergente también 𝑛=1 𝑏 𝑛 es divergente

16. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• CRITERIO DE LA COMPARACIÓN LÍMITE
• Sean 𝑛=1 𝑎 𝑛 y 𝑛=1 𝑏 𝑛 dos series de términos positivos, y
supongamos que lim
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
= 𝐿 ∈ ℝ0
+
∪ +∞
• La convergencia o no viene dada por:
Si 𝐿 = +∞ 𝑦 𝑛=1 𝑏 𝑛 es divergente, también 𝑛=1 𝑎 𝑛 es divergente
Si 𝐿 = 0 𝑦 𝑛=1 𝑏 𝑛 es convergente también 𝑛=1 𝑎 𝑛 es
convergente
Si 𝐿 ∈ ℝ+
las series 𝑛=1 𝑎 𝑛 y 𝑛=1 𝑏 𝑛 son ambas convergentes o
ambas divergentes

17. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• CRITERIO DE LA RAZÓN
• Supongamos que 𝑎 𝑛 > 0 para todo 𝑛 ∈ ℕ y que
lim
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
= 𝐿 ∈ ℝ0
+
∪ +∞
• La convergencia o no viene dada por:
Si 0 < 𝐿 < 1 la serie 𝑛=1 𝑎 𝑛 es convergente
Si 𝐿 > 1 𝑜 𝑠𝑖 𝐿 = +∞ entonces la serie 𝑛=1 𝑎 𝑛 es divergente
Si 𝐿 = 1, el criterio no afirma nada

18. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• CRITERIO DE LA RAIZ
• Sea la serie de términos no negativos 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 con 𝑎 𝑛 ≥ 0 para
todo 𝑛 ∈ ℕ.
• La convergencia o no de una serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 viene dada por:
Si lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎 𝑛 ≤ 1, entonces la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 es convergente
Si lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎 𝑛 ≥ 1 o lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎 𝑛 = ∞, entonces la serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 es
divergente
Si lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎 𝑛 = 1 el criterio falla

19. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• CRITERIO DE RAABE
• Supongamos que 𝑎 𝑛 > 0 para todo 𝑛 ∈ ℕ y pongamos
𝑅 𝑛 = 𝑛 1 −
𝑎 𝑛+1
𝑎 𝑛
• La convergencia o no viene dada por:
Si 𝑅 𝑛 → 𝐿, donde 𝐿 > 1 𝑜 𝐿 = +∞, la serie 𝑛≥1 𝑎 𝑛 es
convergente
Si 𝑅 𝑛 → 𝐿, donde 𝐿 < 1 𝑜 𝐿 = −∞, entonces la serie 𝑛=1 𝑎 𝑛 es
divergente

20. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
• CRITERIO DE LA INTEGRAL
• Sea 𝑓: 1, +∞ → ℝ una función positiva y decreciente. Entonces
se verifica que
𝑘=2
𝑛+1
𝑓(𝑘) ≤
1
𝑛+1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤
𝑘=1
𝑛
𝑓(𝑘)
• En consecuencia, la serie 𝑛=1 𝑓(𝑛) y la integral 1
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
ambas convergen o ambas divergen

21. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Aplicar el criterio de la integral a la serie
𝑛=1
∞
𝑛
𝑛2 + 1
.
Solución: La función 𝑓 𝑥 = 𝑥/(𝑥2
+ 1) es positiva y continua para 𝑥 ≥ 1. Para determinar si 𝑓
es decreciente, encontrar la derivada.
𝑓′
𝑥 =
(𝑥2
+ 1) (1) − 𝑥(2𝑥)
(𝑥2 + 1)2
=
−𝑥2
+ 1
(𝑥2 + 1)2
Así, 𝑓′(𝑥) < 0 para 𝑥 > 1 y se sigue que 𝑓 satisface las condiciones del criterio de la integral. Se
puede integrar para obtener
1
∞
𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 =
1
2 1
∞
2𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
=
1
2
lim
𝑏→∞ 1
𝑏
𝑥
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
=
1
2
lim
𝑏→∞
ln 𝑥2
+ 1
𝑏
1
=
1
2
lim
𝑏→∞
ln 𝑏2
+ 1 − ln 2
= ∞
• Por tanto, la serie diverge.

22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Aplique el criterio de la integral a la serie
𝑛=1
∞
1
𝑛2 + 1
Solución: Como 𝑓 𝑥 = 1/(𝑥2
+ 1) satisface las condiciones para el criterio de la integral
(verificar), se puede integrar para obtener
1
∞
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞ 1
𝑏
1
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
= lim
𝑏→∞
arctan 𝑥
𝑏
1
= lim
𝑏→∞
arctan 𝑏 − arctan 1
=
𝜋
2
−
𝜋
4
=
𝜋
4
.
• Por tanto, la serie converge:
• Como la integral impropia converge, la serie infinita también converge

23. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Verificar la monotonía de la siguiente sucesión:
𝑋 𝑛
𝑋 𝑛 = log
𝑛
𝑛 + 1
Solución:
𝑋 𝑛 = log
𝑛 + 1 − 1
𝑛 + 1
𝑋 𝑛 = log 1 −
1
𝑛 + 1
Sea 𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 > 𝑛 + 1
𝑛 + 1 > 𝑛 + 2
1 −
1
𝑛 + 1
< 1 −
1
𝑛 + 2
log 1 −
1
𝑛 + 1
< log 1 −
1
𝑛 + 2
𝑋 𝑛 < 𝑋 𝑛+1
∴ 𝑋 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

24. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Verificar la monotonía de la siguiente sucesión:
𝑋 𝑛
𝑋1 = 0
𝑋 𝑛+1 = 𝑋 𝑛 +
1
𝑛2
Solución:
Sea 𝑛 ∈ ℕ: 𝑛2
> 0
1
𝑛2
> 0
𝑋 𝑛+1 − 𝑋 𝑛 =
1
𝑛2
> 0
𝑋 𝑛+1 > 𝑋 𝑛
∴ 𝑋 𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

25. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Piden el valor de convergencia de la siguiente sucesión:
𝑋 𝑛
𝑋 𝑛 = ln
𝑛 + 5
𝑛 + 3
. cos(𝑛3 + 7)
Solución:
𝑆𝑒𝑎𝑛: 𝑎 𝑛 = ln
𝑛 + 5
𝑛 + 3
𝑦 𝑏 𝑛 = cos(𝑛3
+ 7)
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑏 𝑛 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎
∴ 𝑋 𝑛 → 0

26. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Piden el valor de convergencia de la siguiente sucesión:
𝑋 𝑛
𝑋 𝑛 =
3 𝑛 + 5 𝑛+3
3 𝑛−4 + 5 𝑛+1
Solución:
𝑋 𝑛 =
3 𝑛
+ 5 𝑛+3
5 𝑛+3
3 𝑛−4 + 5 𝑛+1
5 𝑛+3
𝑋 𝑛 =
1
53 (
3
5
) 𝑛
+1
3−4
53 (
3
5
) 𝑛+
1
52
𝑋 𝑛 =
1
1
52
∴ 𝑋 𝑛 → 25

27. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Piden el valor de convergencia de la siguiente sucesión:
𝑋 𝑛
𝑋 𝑛 =
2𝑛 + 7
2𝑛 + 4
𝑛+1
2
Solución:
𝑛 → ∞ 𝑦 𝑋 𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 1∞
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑎 𝑛 =
2𝑛 + 7
2𝑛 + 4
𝑦 𝑏 𝑛 =
𝑛 + 1
2
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
lim
𝑛→∞
(𝑎 𝑛−1).𝑏 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
lim
𝑛→∞
(
2𝑛+7
2𝑛+4
−1).
𝑛+1
2
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
lim
𝑛→∞
(
3
2𝑛+4
).
𝑛+1
2
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
lim
𝑛→∞
(
3𝑛+3
4𝑛+8
)
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
3
4
∴ 𝑋 𝑛 → 𝑒
3
4

28. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Piden el valor de convergencia de la siguiente sucesión:
𝑋 𝑛
𝑋 𝑛 =
𝑛
𝑎 +
𝑛
𝑏 + 𝑛
𝑐
3
𝑛
Solución:
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛
𝑎 +
𝑛
𝑏 + 𝑛
𝑐
3
𝑛
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎: 𝑛 =
1
𝑥
{
𝑛 → ∞
𝑥 → 0
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = lim
𝑥→0
𝑎 𝑥
+ 𝑏 𝑥
+ 𝑐 𝑥
3
1
𝑥
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
lim
𝑥→0
𝑎 𝑥+𝑏 𝑥+𝑐 𝑥
3
−1 .
1
𝑥
lim
𝑥→0
𝑎 𝑥
+ 𝑏 𝑥
+ 𝑐 𝑥
− 3
3𝑥
, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎:
0
0
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙´𝑠:
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒
lim
𝑥→0
(𝑎 𝑥+𝑏 𝑥+𝑐 𝑥−3)´′
(3𝑥)′
= 𝑒
lim
𝑥→0
ln 𝑎.𝑎 𝑥+ln 𝑏.𝑏 𝑥+ln 𝑐.𝑐 𝑥
3
lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 = 𝑒ln(𝑎.𝑏.𝑐)1/3
∴ lim
𝑛→∞
𝑋 𝑛 =
3
𝑎𝑏𝑐

29. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Piden el valor de convergencia de la serie:
𝐸 =
𝑘=1
∞
1
4𝑘2 − 1
Solución:
𝐸 =
𝑘=1
∞
1
(2𝑘 − 1)(2𝑘 + 1)
𝐸 =
𝑘=1
∞
1
2
(
1
2𝑘 − 1
−
1
(2𝑘 + 1)
)
𝐸 =
1
2
𝑘=1
∞
(
1
2𝑘 − 1
−
1
(2𝑘 + 1)
)
𝑆𝑒𝑎: 𝑎 𝑘 =
1
2𝑘 − 1
, 𝑎 𝑘+1 =
1
2(𝑘 + 1) − 1
=
1
2𝑘 + 1
𝐸 =
1
2
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 − 𝑎 𝑘+1 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎
𝐸 =
1
2
1
2 1 − 1
−
1
2 ∞ + 1
∴ 𝐸 = 1/2

30. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Piden el valor de convergencia de la serie:
𝐸 =
𝑘=1
∞
1
4𝑘2 − 1
Solución:
𝐸 =
𝑘=1
∞
1
(2𝑘 − 1)(2𝑘 + 1)
𝐸 =
𝑘=1
∞
1
2
(
1
2𝑘 − 1
−
1
(2𝑘 + 1)
)
𝐸 =
1
2
𝑘=1
∞
(
1
2𝑘 − 1
−
1
(2𝑘 + 1)
)
𝑆𝑒𝑎: 𝑎 𝑘 =
1
2𝑘 − 1
, 𝑎 𝑘+1 =
1
2(𝑘 + 1) − 1
=
1
2𝑘 + 1
𝐸 =
1
2
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 − 𝑎 𝑘+1 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠𝑐𝑜𝑝𝑖𝑐𝑎
𝐸 =
1
2
1
2 1 − 1
−
1
2 ∞ + 1
∴ 𝐸 = 1/2

31. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Analizar la convergencia(o divergencia) de la serie:
𝑛=1
∞
5 𝑛
Solución:
𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
5 𝑘
𝑘=1
𝑛
5 𝑘
= 5 1 + 5 + 52
+ ⋯ + 5 𝑛−1
𝑘=1
𝑛
5 𝑘
= 5.
(1 − 5 𝑛
)
(1 − 5)
𝐿 = lim
𝑛→∞
5.
(1 − 5 𝑛
)
(1 − 5)
= +∞
∴ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐿 = +∞, 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
𝑛=1
∞
5 𝑛
𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

32. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Calcular el valor de convergencia de la serie:
𝑛=1
∞
1
log 𝑎 22𝑘 . log 𝑎 22𝑘+2
Solución:
𝑛=1
∞
1
(2𝑘) log 𝑎 2(2𝑘 + 2) log 𝑎 2
𝑛=1
∞
1
4(𝑘)(𝑘 + 1)(log 𝑎 2)2
1
4 log 𝑎 2 2
𝑛=1
∞
1
𝑘 𝑘 + 1
serie telescopica
∴
𝑛=1
∞
1
log 𝑎 22𝑘 . log 𝑎 22𝑘+2
=
1
4 log 𝑎 2 2

33. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
• PROBLEMA: Analizar la convergencia(o divergencia) de la serie:
𝑛=1
∞
sin(𝑛)
𝑛2
Solución:
∀𝑛 ∈ ℕ:
sin 𝑛
𝑛2
<
1
𝑛2
𝑆𝑒𝑎: 𝑎 𝑛 =
sin 𝑛
𝑛2
𝑦 𝑏 𝑛 =
1
𝑛2
(𝐶𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑏 𝑛 =
𝑛=1
∞
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑛=1
∞
sin(𝑛)
𝑛2
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒