1. Grupos de Simetrías María Inés Morales

2. De la observación del mundo que nos rodea, es posible intuir el concepto de simetría. Un paisaje, nuestro cuerpo, la estructura molecular de muchos compuestos, algunos objetos, obras de arte, etc., dan cuenta de su existencia.

3. Simetría y la comprensión del Universo La aplicación de las leyes de simetría han permitido el estudio sistemático de fenómenos naturales tanto macroscópicos como microscópicos. Las trayectorias que describen algunos cuerpos, la estructura cristalina de minerales, la estructura molecular de los virus, son solo algunos ejemplos.

4. En el arte Artesanos y decoradores de todos los tiempos emplearon este concepto para realizar sus obras.

5. En el arte Artesanos y decoradores de todos los tiempos emplearon este concepto para realizar sus obras. También se habla de la simetría de los versos de un poema y está presente en la música. Ampliar: http :// www.imaginarymagnitude.net / eblanco / blog /archives/2004/10/ simetraa_e_impu.html

6. La simetría , herramienta empleada por científicos en sus investigaciones y utilizada por artesanos, pintores, músicos y poetas en sus creaciones, constituye una de las herramientas más actuales del álgebra: la Teoría de Grupos

7. ¿Qué es una simetría? En general, simetría de una figura geométrica es una biyección de sus puntos tal que se preservan las distancias entre dos puntos consecutivos. En otras palabras: las simetrías de una figura se refieren a las posibilidades de hacerla coincidir consigo misma luego de aplicarle un movimiento

8. Simetrías de un triángulo equilátero

9. Sea el triángulo de la figura con vértices 1, 2 y 3. Sean B 1 , B 2 y B 3 las bisectrices de sus ángulos y O su punto de intersección (incentro). Se describen a continuación, las simetrías de este triángulo: 1 O B 1 B 2 B 3 2 3

10. Si se aplica al triángulo una rotación con centro en O, un ángulo de 120º en el sentido contrario a las agujas del reloj, la figura obtenida coincide con la inicial, solo cambia la posición que ocupan sus puntos. 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 120º

11. Como se observa en la figura, según esta rotación, el vértice 1 ocupa la posición del vértice 2 , el vértice 2 la del 3 y el 3 la del 1 . 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 120º 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 120º

12. Llamaremos r 2 a esta rotación que puede representarse de la siguiente manera: 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 120º 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 120º

13. La rotación r 3 de 240º en sentido contrario a las agujas del reloj con centro en O, se observa en la figura y puede representarse: 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 1 O B 1 B 2 B 3 2 3

14. La rotación r 1 de 360º (o bien 0º) en sentido contrario a las agujas del reloj con centro en O, se observa en la figura y puede representarse: 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 1 O B 1 B 2 B 3 2 3

15. Además de estas rotaciones que transforman al triángulo en si mismo, es posible encontrar otras simetrías. Ellas son las reflexiones respecto de las bisectrices B 1 , B 2 y B 3 . 1 O B 1 B 2 B 3 2 3

16. Consideremos la reflexión s 1 respecto de la bisectriz B 1 . Como se observa en la figura, el vértice 2 ocupa la posición del vértice 3 , el 3 del 2 y el vértice 1 se mantiene invariante (como todos los puntos que pertenecen al eje de reflexión) 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 1 O B 1 B 3 B 2 2 3

17. Esta reflexión puede representarse : 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 1 O B 1 B 3 B 2 2 3

18. En forma análoga, la reflexión s 2 respecto de la bisectriz B 2 corresponde al siguiente gráfico y puede representarse como: 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 1 O B 1 B 2 B 3 2 3

19. y la reflexión s 3 respecto de la bisectriz B 3 corresponde al siguiente gráfico y puede representarse como: 1 O B 1 B 2 B 3 2 3 1 O B 1 B 2 B 3 2 3

20. Finalmente las seis simetrías de un triángulo equilátero son:

21. Finalmente las seis simetrías de un triángulo equilátero son: Es posible componer dos de estos movimientos. Así por ejemplo si aplicamos al triángulo la rotación r 2 y luego una reflexión s 1 , se tiene que: 1 2 y 2 3 luego 1 3 r 2 s 1 3 1 y 1 1 luego 3 1 r 2 s 1 2 3 y 3 2 luego 2 2 r 2 s 1

22. Finalmente las seis simetrías de un triángulo equilátero son: Es posible componer dos de estos movimientos. Así por ejemplo si aplicamos al triángulo la rotación r 2 y luego una reflexión s 1 , se tiene que: Como puede observarse se obtiene lo mismo que si se hubiera aplicado al triángulo original sólo s 2 . A esta composición de simetrías la escribiremos: r 2 o s 1 = s 2 1 2 y 2 3 luego 1 3 r 2 s 1 3 1 y 1 1 luego 3 1 r 2 s 1 2 3 y 3 2 luego 2 2 r 2 s 1

23. Sea el conjunto S = { r 1 , r 2 , r 3 , s 1 , s 2 , s 3 } ¿Ocurrirá siempre que la composición de dos simetrías del triángulo es una simetría de él? En otras palabras, ¿es “ o ” una ley interna en S?

25. r 1 r 2 r 3 s 1 s 2 s 3 s 3 r 3 r 1 r 2 s 3 s 1 s 2 s 2 r 2 r 3 r 1 s 2 s 3 s 1 s 1 s 2 s 1 s 3 r 2 r 1 r 3 r 3 s 1 s 3 s 2 r 1 r 3 r 2 r 2 s 3 s 2 s 1 r 3 r 2 r 1 r 1 s 3 s 2 s 1 r 3 r 2 r 1 o

29. ¿y el cuadrado?

30. ¿y el cuadrado? Trabajando en forma análoga al caso del triángulo, se observan en un cuadrado las siguientes simetrías:

32. l 1 l 2 l 3 l 4 O De acuerdo a esto, el conjunto de las simetrías del cuadrado S = { r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ,s 1 , s 2 , s 3, s 4 } posee 8 = 2 . 4 elementos Y puede probarse que S junto a la ley “ o ” definida como en el caso del triángulo tiene estructura de grupo

33. l 1 l 2 l 3 l 4 O De acuerdo a esto, el conjunto de las simetrías del cuadrado S = { r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ,s 1 , s 2 , s 3, s 4 } posee 8 = 2 . 4 elementos Y puede probarse que S junto a la ley “ o ” definida como en el caso del triángulo tiene estructura de grupo ¿Qué subgrupos distintos de los triviales tiene ( S, o )? ¿Dicho (dichos) subgrupo (subgrupos) a qué simetrías corresponden?¿de rotación?¿de reflexión?

40. No solo los polígonos regulares, sino cualquier poliedro regular (por ej. el cubo o el icosaedro) poseen grupos de simetrías.

41. En general para cualquier figura plana o cuerpo, es posible determinar al menos un grupo de simetrías.

42. El aula virtual de Álgebra Lineal http://algebra-lineal.blogspot.com Dicho grupo contiene como mínimo un elemento, la transformación idéntica r 0 (rotación 360º con centro en O) En los ejemplos de las figuras : S = { r 0 } En general para cualquier figura plana o cuerpo, es posible determinar al menos un grupo de simetrías. O O