Este documento trata sobre sucesiones. Define una sucesión como una colección de objetos ordenados secuencialmente y representada mediante subíndices. Explica cómo encontrar los términos de una sucesión y determinar si una sucesión converge o diverge. También introduce conceptos como sucesiones monótonas y acotadas, y cómo estas propiedades pueden usarse para determinar la convergencia de una sucesión.

1. 1Mat121 b
Sucesiones
Objetivos
- Enunciarlostérminosde una sucesión.
- Determinarsi unasucesiónconverge odiverge.
- Escribiruna fórmulapara el términon-ésimode unasucesión.
- Usar laspropiedadesde lassucesionesmonótonasyde lassucesionesacotadas.
Una sucesiónesuna colección de objetos que están ordenados de manera que tienen un primer
miembro, un segundo miembro, un tercer miembro y así sucesivamente.
Matemáticamente una sucesión se define como una función cuyo dominio es el conjunto de los
enteros positivos, es común representar las sucesiones empleando subíndices, por ejemplo:
1, 2, 3, 4, …...., n
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … .., 𝑎 𝑛
Los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,𝑎4, … , 𝑎 𝑛 son los términos de la sucesión. El número 𝑎 𝑛 es el término
n-ésimo de la sucesión y la sucesión completa se denota por {𝑎 𝑛}.
Ejemplo1.
a) Los términosde la sucesión { 𝒂 𝒏} = {𝟑+ (−𝟏) 𝒏} son
3 + (−1)1, 3 + (−1)2, 3 + (−1)3, 3 + (−1)4,…
2, 4, 2, 4, …
b) Los términosde la sucesión { 𝒃 𝒏} = {
𝒏
𝟏−𝟐𝒏
} son
1
1 − 2(1)
,
2
1 − 2(2)
,
3
1 − 2(3)
,
4
1 − 2(4)
, …
−1, −
2
3
, −
3
5
, −
4
7
, ….
c) Los términosde la sucesión { 𝒄 𝒏} = {
𝒏 𝟐
𝟐 𝒏−𝟏
} son
Dar los términosde una sucesión

2. 2Mat121 b
d) Los términosde lasucesióndefinidaenformarecursivaorecurrente { 𝒅 𝒏 }, donde
𝑑1 = 25 y 𝑑 𝑛+1 = 𝑑 𝑛 − 5, son
Una sucesióncuyostérminostiendenavaloreslímite,se llaman convergentes.
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
…converge a 0.
A veces los términos de una sucesión se generan mediante alguna regla que no identifica el
término n-ésimo de la sucesión. En tales casos, puede ser necesario descubrir el patrón en la
sucesión y describir el término n-ésimo. Una vez que el término n-ésimo se ha especificado, se
puede investigar la convergencia o divergencia de la sucesión.
Teorema 1. Límite de una sucesión
Sea 𝐿 unnúmeroreal.Sea 𝑓 una funciónde unavariable real tal que
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿.
Si { 𝑎 𝑛} esuna sucesióntal que 𝑓𝑛 = 𝑎 𝑛 para cada enteropositivon,
entonces lim
𝑥→∞
𝒂 𝒏 = 𝐿.
Teorema 2. Propiedadesde loslímitesde unasucesión
Sea lim
𝑥→∞
𝒂 𝒏 = 𝐿 y lim
𝑥→∞
𝒃 𝒏 = 𝐾
1. lim
𝑥→∞
𝒂 𝒏 ± 𝒃 𝒏 = 𝐿 ± 𝐾
2. lim
𝑥→∞
𝑐𝒂 𝒏 = 𝑐𝐿, donde c esun númeroreal.
3. lim
𝑥→∞
(𝒂 𝒏 𝒃 𝒏) = 𝐿𝐾
4. lim
𝑥→∞
𝒂 𝒏
𝒃 𝒏
=
𝐿
𝐾
, 𝒃 𝒏 ≠ 0 𝑦 𝐾 ≠ 0
Límite de una sucesión
Reconocimientode patrones enlas sucesiones

3. 3Mat121 b
Ejemplo2. El términon-ésimode una sucesión.
Hallaruna sucesión {𝒂 𝒏} cuyos4 primerostérminosson 3, 7, 11, 15, …
Y despuésdetermine si lasucesiónenparticularque se haelegidoconverge odiverge.
Hasta ahora se ha determinadolaconvergencia de unasucesiónencontrandosulímite.Aun
cuandono puedadeterminarse el límite de unasucesiónparticular,puedeserútil si lasucesión
converge.El siguienteteoremaproporcionauncriteriode convergencia parasucesionessin
determinarel límite.Primero,se danalgunasdefinicionespreliminares.
Sucesiónmonótona:Una sucesión {𝒂 𝒏}esmonótonasi sustérminossoncrecienteso
decrecientes. 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎 𝑛 o 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ 𝑎3 ≥ ⋯ ≥ 𝑎 𝑛
Ejemplo3. Determinarsi una sucesiónes monótona.
Determinarsi lasucesiónque tiene el términon-ésimodadoesmonótona.
a) 𝑎 𝑛 = 3 + (−1) 𝑛 b) 𝑏 𝑛 =
2𝑛
1+𝑛
c) 𝑐 𝑛 =
𝑛2
2 𝑛−1
Solución
a) Esta sucesión alternaentre 2y 4. Portanto no esmonótona.
Sucesionesmonótonasy acotadas

4. 4Mat121 b
Sucesiónacotada:
1. Una sucesión {𝒂 𝒏}esacotada superiormente oporarriba si existe unnúmeroreal Mtal
que 𝒂 𝒏 ≤ 𝑴 para todo n. El númeroMesllamadounacota superiorde lasucesión.
2. Una sucesión {𝒂 𝒏}esacotada inferiormenteoporabajo si hay un númeroreal N tal que
𝑁 ≤ 𝒂 𝒏 para todon. El númeroN esllamadounacota inferiorde lasucesión.
3. Una sucesión {𝒂 𝒏}esacotada si lo está superiore inferiormente.
Ejemplo4. Sucesionesacotadas y monótonas.
a) ¿La sucesión {𝒂 𝒏} = { 𝟏 𝒏⁄ }converge?
b) ¿La sucesión {𝒃 𝒏} = { 𝒏 𝟐 (𝒏 + 𝟏)⁄ } converge?
c) ¿La sucesión {𝒄 𝒏}= {(−𝟏) 𝒏}converge?
Teorema 3. Sucesionesmonótonas acotadas.
Si una sucesión {𝒂 𝒏} esacotada y monótona,entoncesconverge.

5. 5Mat121 b
Ejercicios propuestos
En los ejercicios del 1 al 5, escribir los primeros cinco
términos de la sucesión
1. 𝑎 𝑛
= 3 𝑛
2. 𝑎 𝑛
= (−
1
4
)
𝑛
3. 𝑎 𝑛
= 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
2
4. 𝑎 𝑛
=
(−1) 𝑛(𝑛+1) 2⁄
𝑛2
5. 𝑎 𝑛 = 5 −
1
𝑛
+
1
𝑛2
En los siguientes ejercicios escribir los primeros cinco
términos de la sucesión definida por recurrencia.
6. 𝑎1 = 3, 𝑎 𝑘+1 = 2(𝑎 𝑘 − 1)
7. 𝑎1 = 32, 𝑎 𝑘+1 =
1
2
𝑎 𝑘
8. 𝑎1 = 4, 𝑎 𝑘+1 = (
𝑘+1
2
) 𝑎 𝑘
9. 𝑎1 = 6, 𝑎 𝑘+1 =
1
3
( 𝑎 𝑘)2
En los siguientes ejercicios asociar la sucesión con su
gráfica. [Las gráficas se etiquetan a), b) c) y d).]
10. 𝑎 𝑛 =
10
𝑛+1
11. 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛
12. 𝑎 𝑛 =
10 𝑛
𝑛+1
13. 𝑎 𝑛 =
(−1) 𝑛
𝑛
En los siguientes ejercicios, relacionar la sucesión con
la expresión correcta para su término n-ésimo. [Los
términos n-ésimos se indican mediante a), b), c) y d).]
a) 𝑎 𝑛 =
2
3
𝑛 c) 𝑎 𝑛 = 16(−0.5) 𝑛−1
b) 𝑎 𝑛 = 2 −
4
𝑛
d) 𝑎 𝑛 =
2𝑛
𝑛+1
14. −2, 0,
2
3
,1, …
15.
2
3
,
4
3
,2,
8
3
, …
16. 16, −8,4, −2,…
17. 1,
4
3
,
3
2
,
8
5
, …
En los siguientes ejercicios, escribir los siguientes dos
términos de la sucesión. Describir el patrón que se
utilizó para encontrar esos dos términos.
18. 3, 5, 7, 9, 11, …
19. 2, 5,8, 11,…
20.
7
2
,4,
9
2
, 5,…
21. 5, 10,20,40, …
22. 1, −
1
2
,
1
4
,−
1
8
, …
23. 3, −
3
2
,
3
4
,−
3
8
, …
24. 1, −
3
2
,
9
4
,−
27
8
, …
En los siguientes ejercicios, encontrar el límite ( si es
posible) de la sucesión.
25. 𝑎 𝑛 =
5𝑛2
𝑛2+2
26. 𝑎 𝑛 =
2𝑛
√𝑛2+1
27. 𝑎 𝑛 = 5 −
1
𝑛2
28. 𝑎 𝑛 =
5𝑛
√𝑛2+4
29. 𝑎 𝑛 = sen
1
𝑛
30. cos
2
𝑛

6. 6Mat121 b
En los siguientes ejercicios determinar la convergencia
o divergencia de la sucesión con el término n-ésimo
dado. Si la sucesión converge, encontrar su límite.
31. 𝑎 𝑛 = (0.3) 𝑛
− 1
32. 𝑎 𝑛 =
5
𝑛+2
33. 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛
(
𝑛
𝑛+1
)
34. 𝑎 𝑛 =
3𝑛2
−𝑛+4
2𝑛2 +1
35. 𝑎 𝑛 = 4 −
3
𝑛
En los siguientes ejercicios, escribir una expresión para
el término n-ésimo de la sucesión.
36. 1, 4, 7,10, …
37. −1, 2, 7,14, 23, …
38.
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, …
39. 2, 1 +
1
2
, 1 +
1
3
, 1 +
1
4
, 1 +
1
5
, …
40.
1
2∙3
,
2
3∙4
,
3
4∙5
,
4
5∙6
, …
41. 3, 7, 11,15, …
42. 1,
1
2
,
1
6
,
1
24
,
1
120
, …
43. 1, −
1
1∙3
,
1
1∙3∙5
, −
1
1∙3∙5∙7
, …

7. 7Mat121 b
Series y convergencias
Objetivos
- Entender la definición de una serie infinita convergente.
- Usar propiedades de las series infinitas geométricas.
- Usar el criterio del término n-ésimo para la divergencia de una serie infinita.
Series infinitas
Una aplicación importante de las sucesiones infinitas es la representación de “sumas
infinitas”. Informalmente, si { 𝑎 𝑛} es una sucesión infinita., entonces
∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠
Es una serie infinita (o simplemente una serie). Los números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 son los términos de
la serie. En algunas series es conveniente empezar con el índice 𝑛 = 0 (o algún otro
entero). Como convenio de escritura, es común representar una serie infinita
simplemente como ∑ 𝑎 𝑛. En tales casos, el valor inicial para el índice debe deducirse del
contexto establecido.
Para encontrar la suma de una serie infinita, se debe considerar la siguiente sucesión de
las sumas parciales.
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑆 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎 𝑛
Si esta sucesión {𝑺 𝒏 } de sumas parciales converge a L , se dice que la serie converge y
tiene la suma indicada (suma de la serie) como el límite L de la sucesión 𝑺 𝒏.
Ejemplo: determinar si la serie converge o diverge y encontrar su suma.
a) La serie ∑
1
2 𝑛
∞
𝑛=1

8. 8Mat121 b
Series geométricas
La serie dada por
∑ 𝑎𝑟 𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟1
+ 𝑎𝑟2
+ 𝑎𝑟3
+ ⋯+ 𝑎𝑟 𝑛
+ ⋯, 𝑎 ≠ 0
Es una serie geométrica de razón r.
Ejemplos: Verificar si la serie converge o diverge utilizando el teorema 4.
a) ∑
3
2 𝑛
∞
𝑛=0
Teorema 4. Convergencia de una serie geométrica.
Una serie geométricade razónr diverge si | 𝑟| ≥ 1. Si 0 < | 𝑟| < 1, entonces
la serie converge a la suma.
∑ 𝑎𝑟 𝑛
∞
𝑛=0
=
𝑎
1 − 𝑟
, 0 < | 𝑟| < 1.

9. 9Mat121 b
Criterio del término n-ésimo para la divergencia.
El siguiente teorema establece que si una serie converge, el límite de su término n-ésimo
debe ser cero.
Ejemplo: Aplique el Teorema 5 para determinar si la serie converge o diverge.
𝑎) ∑ 2 𝑛
∞
𝑛=0
𝑏) ∑
𝑛 + 10
10𝑛 + 1
∞
𝑛=1
Teorema 5. Límite del términon-ésimode una serie convergente y divergente.
𝑆𝑖 ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=0
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0 𝑦 𝑆𝑖 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.

10. 10Mat121 b
Ejemplo:
Aplica el criterio de la integral a la serie dada para determinar si converge.
1) ∑
𝑛
𝑛2 + 1
∞
𝑛=1
2) ∑
1
𝑛2 + 1
∞
𝑛=1
Criterio de la integral
Teorema6.
Si 𝑓 espositiva,continuaydecreciente para 𝑥 ≥ 1 y 𝑎 𝑛 = 𝑓( 𝑛), entonces
∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
𝑦 ∫ 𝑓(𝑥)
∞
1
𝑑𝑥
O ambas convergenoambasdivergen.

11. 11Mat121 b
Una serie de la forma
∑
1
𝑛 𝑝
∞
𝑛=1
=
1
1 𝑝 +
1
2 𝑝 +
1
3 𝑝 + ⋯ 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑝
Es una serie pdonde p esuna constante positiva.Parap= 1, la serie
∑
1
𝑛
∞
𝑛=1
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎
Una serie armónicageneral esde laforma ∑1 (𝑎𝑛 + 𝑏)⁄ . En música,lascuerdasdel mismo
material, diámetroytensióncuyaslongitudesformanunaserie armónicaproducentonos
armónicos.
Ejemplo:
Dada la serie p, determinar por el teorema 7 si converge o diverge.
1) ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1
2) ∑
1
𝑛2
∞
𝑛=1
Series p y series armónicas
Teorema 7. Convergenciade seriesp.
La serie p
∑
1
𝑛 𝑝
∞
𝑛=1
=
1
1 𝑝 +
1
2 𝑝 +
1
3 𝑝 + ⋯
Converge si p> 1 y diverge si 0 < 𝑝 ≤ 1.

12. 12Mat121 b
Este tipo de criterio permite comparar una serie de términos complicados con una serie
más simple cuya convergencia o divergencia es conocida.
Ejemplo: Aplicar el criterio de comparación directa para determinar la convergencia o
divergencia.
𝑎) ∑
1
2 + 3 𝑛
∞
𝑛=1
𝑏) ∑
1
𝑛0.3 + 1
∞
𝑛=1
Criteriode comparación directa.
Teorema 8. Criteriode comparación directa
Sea0 < 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛.
1. 𝑆𝑖 ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
2. 𝑆𝑖 ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.

13. 13Mat121 b
Ejemplo: Determinar la convergencia o divergencia utilizando el criterio de comparación
en el límite.
1) ∑
√ 𝑛
𝑛2 + 1
∞
𝑛=1
2) ∑
𝑛2 𝑛
4𝑛3 + 1
∞
𝑛=1
Criteriode comparación en el límite.
Teorema 9. Criteriode comparación en el límite.
Supongaque 𝑎 𝑛 > 0, 𝑏 𝑛 > 0, 𝑦
lim
𝑛→∞
(
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
) = 𝐿
Donde L es finitoypositivo.Entonceslasdosseries ∑ 𝑎 𝑛 𝑦 ∑ 𝑏 𝑛 o convergenambaso
divergenambas.

14. 14Mat121 b
En esta sección se estudiarán series que contienen términos positivos y negativos. Las
series más sencillas de este tipo son las series alternadas o alternantes cuyos términos
alternan en signos.
Ejemplo: Determinar si la serie geométrica alternante converge.
𝟏) ∑ (−
𝟏
𝟐
)
𝒏
∞
𝒏=𝟎
𝟐) ∑
(−𝟏) 𝒏
(𝟓𝒏 − 𝟏)
𝟒𝒏 + 𝟏
∞
𝒏=𝟎
Teorema 10. Criteriode la serie alternadao alternante.
Sea 𝒂 𝒏 > 𝟎. Las seriesalternadaso alternantes
∑(−𝟏) 𝒏 𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟎
𝒚 ∑(−𝟏) 𝒏+𝟏 𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟎
Convergensi se satisfacenlas siguientesdoscondiciones.
𝟏. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝟎 𝟐. 𝒂 𝒏+𝟏 ≤ 𝒂 𝒏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒏.
Series alternadas o alternantes.

15. 15Mat121 b
Convergencia absoluta y condicional.
Algunas series tienen términos positivos y negativos, pero no son series alternadas. Una
manera de analizar la convergencia de estas series es mediante el siguiente teorema.
Ejemplo: Determinar si las series convergen o divergen. Clasificar en absolutamente
convergente o condicionalmente divergente.
𝟏. ∑
(−𝟏) 𝒏
√ 𝒏
∞
𝒏=𝟏
𝟐. ∑
(−𝟏) 𝒏(𝒏+𝟏)/𝟐
𝟑 𝒏
∞
𝒏=𝟏
𝟑. ∑
(−𝟏) 𝒏
𝒍𝒏 (𝒏 + 𝟏)
∞
𝒏=𝟏
Teorema 11. Convergenciaabsolutay condicional.
1. ∑𝑎 𝑛 𝑒𝑠 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑠𝑖 ∑| 𝑎 𝑛| 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
2. ∑𝑎 𝑛 𝑒𝑠 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑠𝑖 ∑ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑜 ∑| 𝑎 𝑛| 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.

16. 16Mat121 b
Este criterio es implica la convergencia absoluta.
Ejemplo: Determinar la convergencia o divergencia de
𝟏. ∑
𝟐 𝒏
𝒏!
∞
𝒏=𝟎
𝟐. ∑
𝒏 𝟐
𝟐 𝒏+𝟏
𝟑 𝒏
∞
𝒏=𝟎
𝟑. ∑(−𝟏) 𝒏 √ 𝒏
𝒏 + 𝟏
∞
𝒏=𝟏
Criteriodel cociente.
Teorema 12. Criteriodel cociente.
𝑺𝒆𝒂 ∑ 𝒂 𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆 𝒄𝒐𝒏 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒆𝒓𝒐.
𝟏.∑ 𝒂 𝒏 𝒆𝒔 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
| < 𝟏.
𝟐.∑ 𝒂 𝒏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
|> 𝟏 𝒐 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
| = ∞.
𝟑. 𝑬𝒍 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒚𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
|= 𝟏.

17. 17Mat121 b
Este criterio es especialmente para series que involucran n-ésimas potencias.
Ejemplo: Determinar la convergencia o divergencia de
𝟏. ∑
𝒆 𝟐𝒏
𝒏 𝒏
∞
𝒏=𝟏
𝟐. ∑ (
𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏 + 𝟏
)
𝒏
∞
𝒏=𝟏
Criteriode la raíz.
Teorema 13. Criteriode la raíz.
𝑺𝒆𝒂 ∑ 𝒂 𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆
1. ∑ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 lim
𝑛→∞
√| 𝑎 𝑛|𝑛
< 1.
2. ∑ 𝑎 𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑠𝑖 lim
𝑛→∞
√| 𝑎 𝑛|𝑛
> 1 𝑜 lim
𝑛→∞
√| 𝑎 𝑛|𝑛
= ∞.
3. 𝐸𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 lim
𝑛→∞
√| 𝑎 𝑛|𝑛
= 1.