El documento resume brevemente la historia de los números complejos, desde su uso por Fibonacci en el siglo XIII para resolver ecuaciones cúbicas numéricamente hasta la formulación de la fórmula de Cardano para cúbicas en el siglo XVI y el surgimiento de los números complejos para poder tomar raíces cuadradas de números negativos.

1. y el origen de los
números complejos

2. En el s. XIII (1225), Leonardo Pisano (Fibonacci) ya resolvía
ecuaciones cúbicas, por métodos numéricos (dividiendo por
la regla de Ruffinni o método de Horner, ¡s. XIX!).
Así, en un desafío, encontró para la ecuación
x3 + 2x2 + 10x = ((x + 2)x + 10)x = 20
la solución aproximada:
x = 10 22I 7II 42III 33IV 4V 40VI ≅ 1.36880810785322…
coincidente hasta el 10º decimal con el verdadero valor
x = 1.36880810782137…

3. Fórmula de Cardano para las cúbicas
(Debida a Scipione del Ferro, Tartaglia, … principios del siglo XVI)
x3 + ax2 + bx + c = 0

4. ¿Cómo dedujeron esta ecuación?
Con una idea sorprendente, haciendo y = u + v.
Esto da margen para elegir adecuadamente los valores de u y v.
y3 + py = q ⇒ (u + v)3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + p(u + v) = q
⇒ u3 + 3uv(u + v)+ v3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q
Escogiendo u y v de forma que 3uv = -p, queda u3 + v3 = q. Podemos resolver este sistema
de ecuaciones en u y v despejando v en la primera y sustituyendo en la segunda:
Dada la simetría del sistema, un signo corresponde a u3 y otro a v3, y por tanto

6. x3 - 15x = 4 p = -15, q = 4 (4 es una solución obvia)
¡Raíces cuadradas de números negativos!

8. Números complejos
i es la unidad imaginaria
a = Re(z) (parte real de z)
b = Im(z) (parte imaginaria de z)
Si b = 0, se trata de un número real.
Si a = 0, y b ≠ 0, se trata de un número
imaginario puro.