Este documento trata sobre sucesiones y series numéricas. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los enteros positivos y se denota como {an}. Presenta varios ejemplos de sucesiones y analiza sus términos y representaciones gráficas. También define conceptos como sucesión monótona, acotada, convergente y divergente. Por último, introduce las series numéricas como la sucesión de sumas parciales de una sucesión de números y define cuando una serie es convergente, divergente u oscilante.
Sucesiones y Series de Taylor
Sucesiones/Limite/Propiedades/Monotonía y convergencia/Propiedades/Series numéricas/Propiedades/Series notables: Geometrica , telescopica, serie p, serie de terminos no negativos/Criterios de Convergencia: comparación, comparación limite, de la razón o cociente, de la raíz, de raabe, de la integral/Problemas de aplicación
El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
El documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial en el plano R2. Define el conjunto R2, sumas y productos de vectores, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y coordenadas cartesianas. Explica cómo representar y calcular vectores, incluido el módulo y punto medio de un segmento.
Este documento presenta un proyecto de matemáticas sobre la resolución de ecuaciones de primer grado realizado por estudiantes de la Universidad Estatal de Milagro. El proyecto incluye la introducción, agradecimientos, explicación teórica sobre ecuaciones de primer grado y una serie de ejercicios resueltos como ejemplos. La conclusión señala que la identificación de las incógnitas y el contexto son fundamentales para la resolución correcta de este tipo de problemas.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos numéricos para ilustrar los pasos involucrados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Sucesiones y Series de Taylor
Sucesiones/Limite/Propiedades/Monotonía y convergencia/Propiedades/Series numéricas/Propiedades/Series notables: Geometrica , telescopica, serie p, serie de terminos no negativos/Criterios de Convergencia: comparación, comparación limite, de la razón o cociente, de la raíz, de raabe, de la integral/Problemas de aplicación
El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
Este documento proporciona una introducción a las sucesiones, incluyendo definiciones de términos como término general, monotonía, acotación y límite de una sucesión. Explica cómo calcular el término de una posición dada y analiza ejemplos de sucesiones convergentes, divergentes y sin límite. También cubre operaciones con sucesiones convergentes y casos de indeterminación al calcular límites.
El documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial en el plano R2. Define el conjunto R2, sumas y productos de vectores, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y coordenadas cartesianas. Explica cómo representar y calcular vectores, incluido el módulo y punto medio de un segmento.
Este documento presenta un proyecto de matemáticas sobre la resolución de ecuaciones de primer grado realizado por estudiantes de la Universidad Estatal de Milagro. El proyecto incluye la introducción, agradecimientos, explicación teórica sobre ecuaciones de primer grado y una serie de ejercicios resueltos como ejemplos. La conclusión señala que la identificación de las incógnitas y el contexto son fundamentales para la resolución correcta de este tipo de problemas.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cada método con ejemplos numéricos para ilustrar los pasos involucrados en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
presentacion ecuaciones enteras de primer grado con una incognitaguest2e0a0e
Este documento describe las características fundamentales de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que una ecuación es una igualdad con una o más cantidades desconocidas que solo es verdadera para valores determinados. Además, detalla las reglas básicas para trabajar con este tipo de ecuaciones, como sumar, restar, multiplicar o dividir los términos de una ecuación.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el espacio R3. Define R3 como el conjunto de todas las ternas de números reales y describe operaciones como suma y producto de vectores. Explica la diferencia entre vectores fijos y libres, y conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector. También cubre combinaciones lineales de vectores, bases y productos escalar y vectorial.
Reglas Básicas de las derivadas (Constante, función Lineal, Potencia, Suma)
Reglas Complementarias (Producto, Cociente y Cadena)
Cada regla tiene su demostración y algunos ejemplos
Binomio a cualquier potenica solucionado con Pascal y con binomio de newton, Factor común, Factor común por agrupación de términos, Diferencia de cuadrados, Suma y diferencia de cubos, Trinomio de la forma x^2+bx+c, Trinomio de la forma ax^2+bx+c, División sintética (Regla de Ruffini)
Este documento explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables. Primero define las inecuaciones lineales y sus componentes. Luego indica que para resolverlas se debe representar gráficamente la recta correspondiente a la ecuación lineal y marcar la región que satisfaga la desigualdad. También cubre casos especiales de rectas horizontales y verticales.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones de primer grado, incluyendo la definición de una ecuación, los términos primer miembro y segundo miembro, las propiedades de las ecuaciones, y los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. También describe cómo usar ecuaciones para resolver problemas, con un ejemplo de resolución de un problema paso a paso.
Este documento explica los conceptos de límites indeterminados e infinitos. Los límites indeterminados ocurren cuando el resultado es una indeterminación como 0/0, y se resuelven aplicando técnicas como la factorización. Los límites infinitos ocurren cuando la función crece o decrece sin límite, como en la función 1/(x-2) para x=2. Se proveen ejemplos para ilustrar ambos conceptos.
Este documento explica los pasos para calcular la matriz inversa. Primero, se debe verificar que la matriz sea cuadrada y tenga un determinante distinto de cero. Luego, los pasos incluyen: 1) calcular la matriz de menores complementarios, 2) obtener la matriz de adjuntos cambiando los signos en posiciones negativas, 3) trasponer la matriz de adjuntos, y 4) multiplicar la matriz trasponida por el inverso del determinante para obtener la matriz inversa. El documento provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos
1) El documento describe las superficies cónicas y secciones cónicas, incluyendo circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
2) Explica que una superficie cónica se obtiene al girar una recta alrededor de otra y cortarla con un plano, y define los tipos de secciones cónicas que resultan de cortes diferentes.
3) También cubre conceptos geométricos como lugares geométricos, potencia de un punto respecto a una circunferencia, eje radical de
Este documento define las inecuaciones y describe los pasos para resolverlas. Una inecuación contiene signos como <, >, ≤ o ≥ en lugar de =. Para resolver una inecuación, se quitan los paréntesis, se agrupan los términos de x a un lado y los independientes al otro, se efectúan las operaciones y se despeja la incógnita x. Esto resulta en un conjunto de soluciones.
El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, incluyendo el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. Describe cada método a través de procedimientos paso a paso y provee un ejemplo para ilustrar cada uno.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado y los pasos para resolverlas. Explica que una ecuación de primer grado contiene una incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para resolverlas son reducir términos semejantes, trasponer términos para ubicar la incógnita en un lado e igualar, y despejar la incógnita dividiendo por su coeficiente. Luego ilustra un ejemplo resolviendo la ecuación 2x - 3 = 53 siguiendo estos pasos.
Este documento describe cómo resolver sistemas de inecuaciones lineales de dos variables. Explica que se puede resolver graficando cada inecuación como una recta y encontrando la región de intersección que satisface ambas inecuaciones. Proporciona ejemplos detallados de cómo resolver inecuaciones individuales y sistemas de dos inecuaciones graficando las rectas correspondientes y evaluando puntos de prueba.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo el método de Gauss-Jordan transforma la matriz aumentada mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que proporciona el vector solución en la última columna. También presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando este método para resolver un sistema de ecuaciones derivado de un problema comercial.
Polinomios: operaciones: suma resta multiplicación división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Teorema del factor. Factorización de polinomios. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. Fracciones algebraicas.
Este documento presenta notas sobre sistemas de ecuaciones de un ingeniero. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. Cubre tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente (igualación, sustitución y reducción) y el método gráfico. También incluye ejemplos para ilustrar cada método.
Inecuaciones lineales en una y dos variablesJuliana Isola
Este documento resume los conceptos básicos de las inecuaciones. Explica que una inecuación contiene al menos una incógnita y que el conjunto de soluciones se representa mediante un intervalo real. También cubre cómo resolver inecuaciones lineales de una y dos variables, así como sistemas de inecuaciones de una y dos variables mediante el uso de gráficos.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Explica conceptos como orden, derivadas, soluciones particulares y generales. Incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas como separación de variables y ecuaciones exactas.
El documento introduce los conceptos de sucesiones y series numéricas. Explica que una sucesión está formada por una secuencia de números y que una serie es la suma de los términos de una sucesión. Describe propiedades importantes de las series como la convergencia y divergencia. Finalmente, presenta ejemplos de series especiales como la armónica y la geométrica.
El documento trata sobre series infinitas y criterios de convergencia. Explica conceptos como términos, sumas parciales y convergencia de series. Define series geométricas y explica que convergen cuando la razón r es menor que 1 y divergen cuando r es mayor o igual a 1. También lista propiedades de series convergentes y divergentes.
presentacion ecuaciones enteras de primer grado con una incognitaguest2e0a0e
Este documento describe las características fundamentales de las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica que una ecuación es una igualdad con una o más cantidades desconocidas que solo es verdadera para valores determinados. Además, detalla las reglas básicas para trabajar con este tipo de ecuaciones, como sumar, restar, multiplicar o dividir los términos de una ecuación.
El documento describe conceptos básicos de vectores en el espacio R3. Define R3 como el conjunto de todas las ternas de números reales y describe operaciones como suma y producto de vectores. Explica la diferencia entre vectores fijos y libres, y conceptos como módulo, dirección y sentido de un vector. También cubre combinaciones lineales de vectores, bases y productos escalar y vectorial.
Reglas Básicas de las derivadas (Constante, función Lineal, Potencia, Suma)
Reglas Complementarias (Producto, Cociente y Cadena)
Cada regla tiene su demostración y algunos ejemplos
Binomio a cualquier potenica solucionado con Pascal y con binomio de newton, Factor común, Factor común por agrupación de términos, Diferencia de cuadrados, Suma y diferencia de cubos, Trinomio de la forma x^2+bx+c, Trinomio de la forma ax^2+bx+c, División sintética (Regla de Ruffini)
Este documento explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables. Primero define las inecuaciones lineales y sus componentes. Luego indica que para resolverlas se debe representar gráficamente la recta correspondiente a la ecuación lineal y marcar la región que satisfaga la desigualdad. También cubre casos especiales de rectas horizontales y verticales.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones de primer grado, incluyendo la definición de una ecuación, los términos primer miembro y segundo miembro, las propiedades de las ecuaciones, y los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. También describe cómo usar ecuaciones para resolver problemas, con un ejemplo de resolución de un problema paso a paso.
Este documento explica los conceptos de límites indeterminados e infinitos. Los límites indeterminados ocurren cuando el resultado es una indeterminación como 0/0, y se resuelven aplicando técnicas como la factorización. Los límites infinitos ocurren cuando la función crece o decrece sin límite, como en la función 1/(x-2) para x=2. Se proveen ejemplos para ilustrar ambos conceptos.
Este documento explica los pasos para calcular la matriz inversa. Primero, se debe verificar que la matriz sea cuadrada y tenga un determinante distinto de cero. Luego, los pasos incluyen: 1) calcular la matriz de menores complementarios, 2) obtener la matriz de adjuntos cambiando los signos en posiciones negativas, 3) trasponer la matriz de adjuntos, y 4) multiplicar la matriz trasponida por el inverso del determinante para obtener la matriz inversa. El documento provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos
1) El documento describe las superficies cónicas y secciones cónicas, incluyendo circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
2) Explica que una superficie cónica se obtiene al girar una recta alrededor de otra y cortarla con un plano, y define los tipos de secciones cónicas que resultan de cortes diferentes.
3) También cubre conceptos geométricos como lugares geométricos, potencia de un punto respecto a una circunferencia, eje radical de
Este documento define las inecuaciones y describe los pasos para resolverlas. Una inecuación contiene signos como <, >, ≤ o ≥ en lugar de =. Para resolver una inecuación, se quitan los paréntesis, se agrupan los términos de x a un lado y los independientes al otro, se efectúan las operaciones y se despeja la incógnita x. Esto resulta en un conjunto de soluciones.
El documento explica diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, incluyendo el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. Describe cada método a través de procedimientos paso a paso y provee un ejemplo para ilustrar cada uno.
Este documento describe las ecuaciones de primer grado y los pasos para resolverlas. Explica que una ecuación de primer grado contiene una incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para resolverlas son reducir términos semejantes, trasponer términos para ubicar la incógnita en un lado e igualar, y despejar la incógnita dividiendo por su coeficiente. Luego ilustra un ejemplo resolviendo la ecuación 2x - 3 = 53 siguiendo estos pasos.
Este documento describe cómo resolver sistemas de inecuaciones lineales de dos variables. Explica que se puede resolver graficando cada inecuación como una recta y encontrando la región de intersección que satisface ambas inecuaciones. Proporciona ejemplos detallados de cómo resolver inecuaciones individuales y sistemas de dos inecuaciones graficando las rectas correspondientes y evaluando puntos de prueba.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo el método de Gauss-Jordan transforma la matriz aumentada mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que proporciona el vector solución en la última columna. También presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando este método para resolver un sistema de ecuaciones derivado de un problema comercial.
Polinomios: operaciones: suma resta multiplicación división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Teorema del factor. Factorización de polinomios. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. Fracciones algebraicas.
Este documento presenta notas sobre sistemas de ecuaciones de un ingeniero. Explica que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse simultáneamente. Cubre tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente (igualación, sustitución y reducción) y el método gráfico. También incluye ejemplos para ilustrar cada método.
Inecuaciones lineales en una y dos variablesJuliana Isola
Este documento resume los conceptos básicos de las inecuaciones. Explica que una inecuación contiene al menos una incógnita y que el conjunto de soluciones se representa mediante un intervalo real. También cubre cómo resolver inecuaciones lineales de una y dos variables, así como sistemas de inecuaciones de una y dos variables mediante el uso de gráficos.
El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Explica conceptos como orden, derivadas, soluciones particulares y generales. Incluye ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales y métodos para resolverlas como separación de variables y ecuaciones exactas.
El documento introduce los conceptos de sucesiones y series numéricas. Explica que una sucesión está formada por una secuencia de números y que una serie es la suma de los términos de una sucesión. Describe propiedades importantes de las series como la convergencia y divergencia. Finalmente, presenta ejemplos de series especiales como la armónica y la geométrica.
El documento trata sobre series infinitas y criterios de convergencia. Explica conceptos como términos, sumas parciales y convergencia de series. Define series geométricas y explica que convergen cuando la razón r es menor que 1 y divergen cuando r es mayor o igual a 1. También lista propiedades de series convergentes y divergentes.
(i) El documento explica los conceptos básicos de series infinitas, incluyendo definiciones de convergencia, divergencia y tipos de convergencia. También introduce series de potencias y series de Taylor.
(ii) Se proporcionan ejemplos de aplicación de series de Taylor para calcular integrales y límites.
(iii) Finalmente, se explica que una función es analítica si puede representarse mediante una serie de potencias y que esta representación tiene ventajas para derivar, integrar y aproximar funciones.
Series Infinitas, series de potencias y criterios de convergencia.Alejandro Aguirre
1) El documento presenta diferentes criterios para determinar la convergencia de series infinitas, incluyendo series de potencias, geométricas, p-series y alternadas.
2) Explica el concepto de suma infinita mediante un ejemplo de dividir una cuerda en segmentos más pequeños indefinidamente.
3) Describe criterios como el del término n-ésimo, comparación, raíz, d'Alembert y la integral de Maclaurin para analizar la convergencia de series.
Este documento presenta criterios para determinar si una serie compleja converge o diverge. Introduce el teorema del límite, que establece que una serie converge solo si el límite de sus términos es cero. También define series tipo p, que convergen si p es mayor que 1, y series alternantes, que convergen si el límite de sus términos es cero y cada término es menor que el siguiente. Finalmente, presenta criterios de comparación y razón para determinar la convergencia basados en comparar una serie con otra o en el límite de la razón entre t
1) El documento trata sobre series de funciones complejas, especialmente series de potencias y series de Laurent.
2) Las series de potencias complejas tienen un radio de convergencia R, y convergen dentro de un círculo centrado en el punto z0.
3) Cuando una función no es analítica en un punto, se puede hallar su representación mediante una serie de Laurent que contiene potencias positivas y negativas de z - z0.
Este documento explica cómo utilizar series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. Describe qué son las series de potencias, las equivalencias a utilizar, los pasos a seguir para expandir una ecuación diferencial en una serie de potencias y resolverla. Incluye dos ejemplos prácticos de resolución de ecuaciones diferenciales usando este método. Concluye que las series de potencias son una forma de hallar soluciones pero existen diversos métodos.
Este documento describe el método de las series para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Explica que cuando las soluciones de EDOs no pueden expresarse en términos de funciones elementales, se puede usar este método. Detalla los conceptos clave de series de Taylor y potencias, y los teoremas relacionados. También presenta dos métodos para obtener soluciones de EDOs lineales mediante series: diferenciaciones sucesivas y coeficientes indeterminados.
INTRODUCCIÓN
Las sucesiones y series son dos conceptos clave en matemáticas que se utilizan para describir patrones y relaciones en conjuntos de números. Una sucesión es una secuencia ordenada de números, mientras que una serie es la suma de una sucesión. Ambas son herramientas valiosas para entender y resolver problemas en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo matemáticas, cálculo, estadística y física.
Una sucesión puede ser finita o infinita, y se puede describir mediante una fórmula que determina cada término a partir de los anteriores. Por ejemplo, la sucesión 1, 2, 3, 4, 5 es una sucesión finita de números consecutivos. Por otro lado, la sucesión de Fibonacci, que se define como 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, es una sucesión infinita
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Por ejemplo, la serie de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, es la suma de estos números, es decir, 88. Las series pueden ser convergentes o divergentes, dependiendo de si la suma de los términos converge a un valor finito o no.
Las sucesiones y series son herramientas poderosas para describir y solucionar problemas matemáticos, y son esenciales en muchas áreas de la matemática y la ciencia. Por ejemplo, en cálculo, se utilizan las sucesiones y series para describir funciones y resolver problemas de optimización. En estadística, se utilizan para describir patrones y tendencias en datos y para estimar valores desconocidos.
Además, las sucesiones y series son fundamentales en la resolución de ecuaciones diferenciales y en la teoría de números. Por ejemplo, las series de Fourier se utilizan en la teoría de la señal y en la ingeniería electrónica para describir y analizar señales periódicas y no periódicas.
SUSECIONES
Definición de sucesión
Una sucesión, es una función f, cuyo dominio son casi todos los enteros positivos. Si el recorrido es un subconjunto de los números reales, se dice que la sucesión es real y si el recorrido es un subconjunto de los números complejos, se dice que la sucesión es compleja. El n-ésimo término de la sucesión se denotará por f(n) o an y la sucesión por { f(n) } o por { an } o por { bn }, es decir con letras minúsculas subindizadas.
Ejemplos
Sucesión Acotada:
Una sucesión {an} se dice acotada, si existe un número real positivo M, tal que |an| ≤ M, M > 0 para todo n, en otras palabras {an} se dice acotada, si existe M > 0, talque -M ≤ an ≤ M para todo n y M es una cota superior y -M, es una cota inferior, en otras palabras, {an} se dice acotada, si es acotada superiormente e inferiormente.
Sucesión monótona
tona Una sucesión {an} se dice monótona, si {an} es creciente o decreciente ( o estrictamente creciente o estrictamente decreciente
Sucesión creciente
Se dice que una sucesión {an} es creciente si an ≤ an+1 para todo n ≥ 1, con n número natural.
Para demostrar que una sucesión {an} es creciente, basta con verificar por ejemplo, que an+1
Este documento presenta información sobre sucesiones matemáticas y sumatorias. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de elementos que siguen una regla o ley de formación. Presenta ejemplos de diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, geométricas y especiales. También define la notación de sumatoria y presenta propiedades y ejemplos de cómo usarla para representar la suma de los términos de una sucesión.
El documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas. Define las funciones exponenciales como aquellas donde la variable independiente aparece en el exponente y tiene una constante como base. Explica que las funciones exponenciales son crecientes si la base es mayor que 1 y decrecientes si la base es menor que 1. También define las funciones logarítmicas y explica que son la función inversa de las funciones exponenciales. Por último, muestra ejemplos de ecuaciones exponenciales y cómo resolverlas.
Este documento explica conceptos fundamentales sobre operaciones con infinitos e infinitésimos. Explica que al operar con expresiones que tienden a infinito o cero, el resultado puede ser indeterminado y requiere realizar más operaciones. Proporciona ejemplos de operaciones y sus resultados. También cubre grados de infinitos, infinitésimos equivalentes, y la regla de L'Hôpital para calcular límites indeterminados.
El documento trata sobre el concepto de valor límite de una función. Explica diferentes tipos de límites como límites laterales, trigonométricos e infinitos. También presenta ejemplos de cálculo de límites y la importancia de racionalizar cuando hay radiciales en el numerador o denominador. Finalmente, indica que los límites se usan para modelar fenómenos como la propagación de una enfermedad contagiosa entre una población a lo largo del tiempo.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre series numéricas. En el primer ejercicio, se calculan las sumas de dos series. En el segundo, se analiza la convergencia de una serie y se encuentra una sucesión asintóticamente equivalente a sus sumas parciales. En ejercicios posteriores, se determina el carácter de varias series, se calcula el valor exacto de una serie geométrica y se estima el número de términos necesarios para aproximar otra serie con un error dado.
Este documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. Explica cómo determinar los coeficientes de una serie de Taylor para que coincida con una función dada, y analiza la convergencia de dichas series mediante el criterio del cociente. También presenta un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial lineal mediante el método de series de potencias.
1. El documento resume conceptos básicos de sistemas de control, incluyendo elementos de realimentación, representación en espacio de estado, matriz de transición de estado y métodos para resolver la ecuación de estado.
2. La matriz de transición de estado Φ(t) = eAt representa la evolución del sistema y permite calcular la respuesta natural x(t) = Φ(t)x(0) dado una condición inicial x(0).
3. Los métodos de diagonalización y realización de espacio de estado proporcionan formas canónicas para represent
Este documento introduce conceptos de análisis complejo como el estudio de funciones de variable compleja. Explica que una función compleja mapea números complejos de un dominio a otros en el plano complejo, aunque no se pueda graficar directamente. También define conceptos como límites, continuidad, derivadas y analiticidad para funciones complejas.
Este documento trata sobre intervalos y desigualdades en los números reales. Explica cómo ordenar números en una recta numérica, define intervalos y describe operaciones con ellos como unión e intersección. Luego, introduce desigualdades lineales y no lineales, resolviéndolas y explicando propiedades como cómo se mantienen al sumar, multiplicar o aplicar raíces los términos. Finalmente, cubre desigualdades con valor absoluto.
Este documento presenta una introducción a las sucesiones y series matemáticas. Explica que las sucesiones asignan un número a cada entero positivo n, llamado el n-ésimo término, y que las series suman los términos de una sucesión. Luego describe los tipos básicos de sucesiones como convergentes, divergentes y oscilantes, y las propiedades de cada una. Finalmente, introduce conceptos clave sobre series como sumas parciales y convergencia, y provee ejemplos como series geométricas, armónic
Este documento presenta información sobre series numéricas infinitas. Introduce conceptos como serie infinita, convergencia y divergencia de series, y tipos específicos de series como series geométricas y telescópicas. También explica criterios para determinar la convergencia o divergencia de series, como el criterio de la integral y el criterio de comparación ordinaria. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos conceptos.
TIA portal Bloques PLC Siemens______.pdfArmandoSarco
Bloques con Tia Portal, El sistema de automatización proporciona distintos tipos de bloques donde se guardarán tanto el programa como los datos
correspondientes. Dependiendo de la exigencia del proceso el programa estará estructurado en diferentes bloques.
Presentación Aislante térmico.pdf Transferencia de calorGerardoBracho3
Las aletas de transferencia de calor, también conocidas como superficies extendidas, son prolongaciones metálicas que se adhieren a una superficie sólida para aumentar su área superficial y, en consecuencia, mejorar la tasa de transferencia de calor entre la superficie y el fluido circundante.
Klohn Crippen Berger es una consultoría
especializada que presta servicios al
sector minero en estudios geotécnicos,
geoquímicos, hidrotécnicos y de
asesoramiento ambiental, reconocida por
su trayectoria, calidad y ética profesional.
2. Sucesiones Numéricas
• Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros
positivos.
En lugar de utilizar la notación funcional de costumbre f(n), una
sucesión se denota usualmente por el símbolo {an}.
𝑎 𝑛 = 3𝑛 + 2 𝑛 ≥ 1 1,5 2,8 3,11 4,14 …
𝑎1 = 5 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 + 25 𝑛 ≥ 2 1,5 2,30 3,55 4,80 …
3. • Analice los términos de cada una de las siguientes sucesiones y realice
una representación gráfica.
n
1
Sucesiones Numéricas
1,1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 …
4. • Analice los términos de cada una de las siguientes sucesiones y realice
una representación gráfica.
2n
Sucesiones Numéricas
1,3 2,4 3,5 4,6 …
5.
2
n
Cos 1, 1 2,0 3, −1 4, 0 5, 1 …
• Analice los términos de cada una de las siguientes sucesiones y realice
una representación gráfica.
Sucesiones Numéricas
6. 1
)1(
n (1,1)(2, −1)(3, 1)(4, −1) … .
• Analice los términos de cada una de las siguientes sucesiones y realice
una representación gráfica.
Sucesiones Numéricas
7.
2
2
1
n
n
(1,0)(2, 3 4)(3, 8 9)(4, 15 16) … .
• Analice los términos de cada una de las siguientes sucesiones y realice
una representación gráfica.
Sucesiones Numéricas
9. • Convergencia: Se dice que una sucesión {an} converge a un número L, si para todo
𝜀>0 existe un número entero positivo N tal que: |an-L|< 𝜀 siempre que n>N.
• (La vecindad de L contiene todos los elementos de la sucesión a partir del N)
• Cualquier vecindad de L contiene infinita cantidad de elementos de la sucesion
• Si {an} es una sucesión convergente la definición anterior significa que los números
an se pueden acercar arbitrariamente a L para n suficientemente grande. Indicamos
que una sucesión es convergente, escribiendo:
Cuando este límite no existe se dice entonces que la sucesión es divergente.
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿
Sucesiones Numéricas
Definiciones:
11. Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. Además el límite coincide
con el ínfimo del conjunto de los términos de la sucesión.
𝑎 𝑛 =
𝑛
𝑛+1
1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 … . .
𝑎 𝑛 < 𝑎 𝑛+1 𝑀𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1
= 1
Sucesiones Numéricas
Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, es único.
Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, no siempre es verdadero.
Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente. Además el límite coincide con el supremo
del conjunto de los términos de la sucesión.
𝑎 𝑛 < 1 𝐴𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Algunas propiedades:
14. Denominamos Serie a la sucesión de sumas 𝑠 𝑛 donde cada elemento es obtenido a partir
de la la suma de n elementos de una sucesión de números reales, {an} :
Series Numéricas
Definiciones:
𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 … 𝑠 𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘
Se dice que la serie 𝑠 𝑛 = 𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, divergente u oscilante según que la sucesión de sumas
parciales {sn} sea convergente, divergente u oscilante.
𝑆𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 lim
𝑛→∞
𝑠 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑦 𝑠𝑢 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒:
lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 = 𝐿 =
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 = +∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 = +∞
El carácter de una serie no se altera si se suprimen un número finito de sumandos
lim
𝑛→∞
𝑘=1
𝑛
𝑎 𝑘 = −∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑘=1
∞
𝑎 𝑘 = −∞
16. Si 𝑞 < 1 entonces a + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2
+ 𝑎𝑞3
+ ⋯ = 𝑛=0
∞
𝑎𝑞 𝑛
=
𝑎
1−𝑞
Si 𝑞 > 1 𝑜 𝑞 = 1 entonces 𝑛=0
∞
𝑞 𝑛
es divergente.
Si 𝑞 = −1 la serie es oscilante (diverge) 𝑛=0
∞
𝑞 𝑛
= −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
Ejemplo: 𝑛=0
∞ 1
2
𝑛
𝑞 =
1
2
→ 𝑛=0
∞ 1
2
𝑛
=
1
1−1 2
= 2
Series Numéricas
Serie geométrica:
17.
1 1n n
n
1
1
n n
𝑠 𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ ⋯ +
1
𝑛
≥1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+ ⋯ +
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+ ⋯ +→ ∞
Series Numéricas
Propiedades de las series:
Si una serie converge entonces su termino general tiende a cero: 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
Condición necesaria de convergencia (no suficiente). Ej: diverge.
Lo contrario no siempre es verdad. Ej (serie armónica):
La serie armónica es divergente a pesar de que el limite lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0.
1
1
n
n
≠ 0
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 … … .
18.
1111
·)·()(
n
n
n
nn
n
n
n
n lamlbaentoncesmbyla
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 3
1
6
𝑘
− 2
1
5
𝑘
= 3
1
6
𝑘
− 2
1
5
𝑘
= 3
1
6
1 −
1
6
− 2
1
5
1 −
1
5
=
1
10
La serie llamada serie armónica generalizada.
1
1
n n
Para 𝛼 > 1 usaremos el criterio de la integral:
1
∞
1
𝑛 𝛼
𝑦
1
∞
1
𝑥 𝛼
𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Series Numéricas
Propiedades de las series:
Para 𝛼 = 1 es la serie armónica diverge.
Para 0 < 𝛼 < 1, > 𝑛=1
∞ 1
𝑛
la suma es siempre mayor que la serie armónica, diverge.
1
1
n n
1
∞
1
𝑥 𝛼
𝑑𝑥 =
1
1 − 𝛼
−1 =
1
𝛼 − 1
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 → 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
19. 𝑛
𝑛 + 200
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 19
𝑛!
𝑛 + 200
ln(𝑛)
2 𝑛
ln(𝑛)
2 𝑛 <
𝑛
𝑛3 =
1
𝑛2 → 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos no Negativos
Si se verifica que: 0 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝑏 𝑛 entonces:
1n
nb
1n
naSi diverge entonces también diverge
1n
na
1n
nbSi converge entonces también converge.
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
→
𝑛
𝑛 + 200
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
1
𝑛
<
𝑛
𝑛 + 200
→
𝑛!
𝑛 + 200
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑛
𝑛 + 200
<
𝑛!
𝑛 + 200
20. 𝑛
𝑛2 + 2𝑛 + 3
𝑛
𝑛2 + 2𝑛 + 3
1
𝑛
→ 1 > 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
3𝑛 + 1
𝑛3 − 4
3𝑛 + 1
𝑛3 − 4
1
𝑛2
→ 3 > 0 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos no Negativos
l
b
a
n
n
n
lim
1n
na
1n
nbSean y dos series con términos positivos tales que:
lyl 0Si las dos series convergen o divergen simultáneamente:
0l
1n
nb
1n
naSi y la serie converge, entonces también converge
1n
nbl
1n
naSi y la serie diverge, entonces también diverge
21. Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos no Negativos Criterio de la raíz:
1n
na lan
n
n
limSea una serie con términos positivos tal que 10 lSi la serie es convergente
1lSi la serie es divergente 1lSi el criterio no decide
l
a
a
n
n
n
1
lim
1n
naSea una serie de términos positivos tal que 1lSi la serie es convergente
1lSi la serie es divergente 1lSi el criterio no decide
23. 𝑓 𝑘 =
1
1+𝑘2 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. 𝑠5 = 𝑎6 + 𝑎7 + ⋯ <
5
∞
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
∞
5
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑡𝑔(5) ≅ 0.1974
Series Numéricas
Propiedades de las series: Error de aproximación para la suma de una serie.
Si 𝑠 𝑛 la suma n de una serie de términos positivos. Usamos 𝑠 𝑛 para aproximar a la suma s de la serie, entonces el
error de aproximación será:
𝐸 𝑛 = 𝑠 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 + 𝑎 𝑛+2 + ⋯ <
𝑛
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 𝑘 = 𝑎 𝑘
Siempre que f(x) sea continua y no creciente en 𝑛, ∞ .
𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
𝑘=1
∞
1
1 + 𝑘2
𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 5 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
𝑠10 = 𝑎11 + 𝑎12 + ⋯ <
10
∞
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥
∞
10
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑡𝑔(10) ≅ 0.09967
24. Se verifica que la serie alternada es convergente.
0...321 aaa
0;...)1(
1
321
n
n
n
n
aaaaa
1
)1(
n
n
n
a
Series Numéricas
Propiedades de las series: Series de Términos Arbitrarios(Series alternadas)
Criterio de Leibniz:
Modelo de serie alternada:
Sea {an} una sucesión monótona decreciente de números no negativos, es decir,
Y además, convergente a cero. lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
por lo tanto converge.
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1
ln 𝑛
𝑛
𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 lim
𝑛→∞
ln 𝑛
𝑛
= 0
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 2
3𝑛+1
𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 lim
𝑛→∞
2
3𝑛+1
= 0 → converge.
25. Series Numéricas
Propiedades de las series: Error de aproximación para la suma de una serie.
Si 𝑠 𝑛 la suma n de una serie de términos alternantes 𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 𝑎 𝑛 . Usamos 𝑠 𝑛 para aproximar a la suma s de la
serie.
𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑠1 − 𝑎2 𝑠3 = 𝑠2 + 𝑎3 𝑠4 = 𝑠3 − 𝑎4 …
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑠1, 𝑠3, 𝑠5, … 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑠 𝑠2, 𝑠4, 𝑠6, … 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
𝐶𝑜𝑚𝑜 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 0
𝑠1, 𝑠3, 𝑠5, … → 𝑆′′
𝑠2, 𝑠4, 𝑠6, … → 𝑆′
𝑆′ − 𝑆′′ ≤ 𝑠 𝑛+1 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 → 0
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 1: 𝑆′
= 𝑆′′
= 𝑆
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑜𝑛 2: 𝑆𝑖 𝑆 ≅ 𝑠 𝑛 → 𝑆 − 𝑠 𝑛 ≤ 𝑠 𝑛+1 − 𝑠 𝑛 = 𝑎 𝑛+1
𝐸𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜.
26. Series Numéricas
Propiedades de las series: Error de aproximación para la suma de una serie.
Usaremos la suma 𝑠9 para aproximar la suma 𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 1
𝑛
. La serie converge porque es alternante y lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0
𝐸 ≤ 𝑎10 =
1
10
= 0,316 𝐸20 ≤ 𝑎21 =
1
21
= 0,218
Si 𝑠 𝑛 la suma n de una serie de términos alternantes 𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 𝑎 𝑛 . Usamos 𝑠 𝑛 para aproximar a la suma s de la
serie.
27. Series Numéricas
Propiedades de las series: Criterio del cociente absoluto.
Para una serie 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 el límite lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝜌 nos dice: Si 𝜌 < 1 la serie converge.
Si 𝜌 > 1 la serie diverge.
Si 𝜌 = 1 el criterio no dice nada.
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛+1
𝑛
2 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛
2 𝑛
2 𝑛+1
=
1
2
→ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
28. Series Numéricas
Propiedades de las series: Convergencia absoluta.
1n
na
1n
naLa serie es absolutamente convergente si la serie es convergente.
1n
naSi es absolutamente convergente, entonces la serie es convergente.
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑛=1
∞
1
𝑛2
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛2
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
29. Series Numéricas
Propiedades de las series: Convergencia condicional.
1n
na
1n
na
1n
naSi la serie diverge y la serie es convergente es condicionalmente convergente.
𝒏=𝟏
∞
(−1) 𝑛 1
𝑛𝑙𝑛 𝑛
es una serie convergente porque es alternante y lim
𝑛→∞
1
𝑛 𝑙𝑛 𝑛
= 0.
Pero la serie: 1
∞ 1
𝑛 𝑙𝑛𝑛
diverge por el criterio de la integral 𝒏=𝟏
∞
(−1) 𝑛 1
𝑛𝑙𝑛 𝑛
es condicionalmente convergente.
𝑛=1
∞
(−1) 𝑛
1
𝑛
𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
𝑛=1
∞
1
𝑛
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒.
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑛=1
∞
(−1) 𝑛1
𝑛
es condicionalmente convergente.
30. Propiedades de las series: Serie de potencias
Las series de potencias es un caso especial de las series de funciones, es decir series que dependen de dos variables: una
pertenece a los enteros positivos y la otra a los números reales f(x, n) .
𝒇 𝒙, 𝒏 =
𝒏=𝟏
∞
sin(𝑛𝑥)
𝑛
es una serie de funciones 𝑓 𝑥, 𝑛 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛(𝑥 − 1) 𝑛
es una serie de potencias
La suma de la serie es una función de x Para estas series se plantean dos problemas principales:
1. Para que valores de x la serie converge (region de convergencia)
2. Cual es la función suma de la serie (en la región de convergencia).
Ejemplo: La serie geométrica 𝑛=1
∞
𝑎𝑥 𝑛
= 𝑎 + 𝑎𝑥1
+ 𝑎𝑥2
+ ⋯ Región de convergencia: Converge para −1 < 𝑥 < 1
Suma de la serie:
𝑎
1−𝑥
= 𝑓 𝑥 función.
Series de potencias
31. Propiedades de las series: Serie de potencias
Las series de potencias es un caso especial de las series de funciones, es decir series que dependen de dos variables: una
pertenece a los enteros positivos y la otra a los números reales f(x, n) .
Series de potencias
La serie 𝑛=1
∞
𝑥 𝑛
/3 𝑛
= 𝑛=1
∞ 𝑥
3
𝑛
Converge para −1 <
𝑥
3
< 1 − 3 < 𝑥 < 3 Region de convergencia.
Suma de la serie:
𝑥 3
1− 𝑥 3
=
𝑥
3−𝑥
= 𝑓 𝑥
𝑳𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆
𝑛=1
∞
(𝑥 + 1) 𝑛
𝑛!
𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ρ = lim
𝑛→∞
(𝑥 + 1) 𝑛+1
(𝑛 + 1)!
𝑛!
(𝑥 + 1) 𝑛 =
𝑥 + 1
𝑛 + 1
→ 0 para cualquier x.
Región de convergencia −∞ < 𝑥 < +∞
𝐿𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
𝑛=1
∞
𝑛! 𝑥 + 1 𝑛
𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ρ = lim
𝑛→∞
𝑛 + 1 ! (𝑥 + 1) 𝑛+1
(𝑛)! 𝑥 + 1 𝑛
= 𝑥 + 1 𝑛 + 1 → 0 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = −1
32. Propiedades de las series: Serie de potencias
Series de potencias
Las regiones de convergencia suelen ser: Un intervalo (abierto, cerrado o semicerrado)
Todo el eje real
Algunas veces convergen en un solo punto
33. entonces para todo x en el interior de I:
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑛=0
∞ 𝑑 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑑𝑥
= 𝑛=1
∞
𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
para todo x en el interior de I:
0
𝑥
𝑆 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑛=0
∞
0
𝑥
𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Estas nuevas series convergen en el interior del intervalo I
Series de potencias
Propiedades de las series: Derivación e integración:
Si la función S(x) es la suma de una serie de potencias 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ en un intervalo I
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ −1,1
1
1 + 𝑥
=
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑥 𝑛
→
𝑑
𝑑𝑥
1
1 + 𝑥
= −
1
1 + 𝑥 2
=
𝑛=1
∞
−1 𝑛
𝑛 𝑥 𝑛−1
1
1 + 𝑥 2 =
𝑛=1
∞
−1 𝑛−1 𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 1 < 𝑥 < 1
34. entonces para todo x en el interior de I:
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑛=0
∞ 𝑑 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑑𝑥
= 𝑛=1
∞
𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
para todo x en el interior de I:
0
𝑥
𝑆 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑛=0
∞
0
𝑥
𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Estas nuevas series convergen en el interior del intervalo I
Series de potencias
Propiedades de las series: Derivación e integración:
Si la función S(x) es la suma de una serie de potencias 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ en un intervalo I
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ −1,1
1
1 + 𝑥
=
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑥 𝑛
→
0
𝑥
𝑑𝑡
1 + 𝑡
= ln 1 + 𝑥 =
𝑛=0
∞
0
𝑥
−1 𝑛
𝑡 𝑛
𝑑𝑡
= 𝑥 −
1
2
𝑥2
+
1
3
𝑥3
+ ⋯ =
𝑛=0
∞
−1 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 − 1 < 𝑥 < 1
35. entonces para todo x en el interior de I:
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑛=0
∞ 𝑑 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
𝑑𝑥
= 𝑛=1
∞
𝑛𝑎 𝑛 𝑥 𝑛−1
para todo x en el interior de I:
0
𝑥
𝑆 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑛=0
∞
0
𝑥
𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 =
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Estas nuevas series convergen en el interior del intervalo I
Series de potencias
Propiedades de las series: Derivación e integración:
Si la función S(x) es la suma de una serie de potencias 𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2
+ ⋯ en un intervalo I
𝑆 𝑥 =
𝑛=0
∞
𝑥 𝑛
𝑛!
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑥 𝑆′
𝑥 =
𝑛=1
∞
𝑛𝑥 𝑛−1
𝑛!
=
𝑛=1
∞
𝑥 𝑛−1
(𝑛 − 1)!
=
𝑛=0
∞
𝑥 𝑛
𝑛!
= 𝑆(𝑥)
𝑆′
𝑥 = 𝑆 𝑥 →
𝑑𝑆
𝑑𝑥
= 𝑆 →
𝑑𝑆
𝑆
= 𝑑𝑥 → 𝑙𝑛𝑆 = 𝑥 → 𝑆 = 𝑒 𝑥
37. Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin
𝑐1 =
𝑓′(𝑎)
1!
𝑐2 =
𝑓′′(𝑎)
2!
𝑐3 =
𝑓′′′(𝑎)
3!
𝑐4 =
𝑓′ 𝑣(𝑎)
4!
𝑐 𝑛 =
𝑓 𝑛(𝑎)
𝑛!
Con estas constantes se construye la serie a continuación que es una representación única para f(x) en base a que las
derivadas tienen un solo valor:
𝑓 𝑥 =
𝑛=0
∞
𝑓 𝑛(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎) 𝑛
𝑓 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)2+𝑐3(𝑥 − 𝑎)3+ ⋯ =
𝑛=0
∞
𝑐 𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼
38. Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin
Si escribimos una cierta cantidad de términos de la serie como aproximación de la función, entonces el error de la aproximación
será la suma de los términos restantes:
Para estimar este error se demuestra que existe un punto c en la vecindad de a para el cual el resto es igual a:
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎) 𝑘 + 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑅 𝑛 =
𝑓 𝑛+1
(𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑎) 𝑛+1 Diremos entonces que la serie converge a la función f(x) si el residuo tiende a cero.
39. Series de potencias
Series de Taylor y de Maclaurin Serie de Taylor de una función:
Si a=0 la serie se denomina serie de Maclaurin:
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎) 𝑘
+ 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Donde c es interior de la región de convergencia.
𝑘=0
𝑛
𝑓 𝑘(0)
𝑘!
(𝑥) 𝑘 + 𝑅 𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑅 𝑛 =
𝑓 𝑛+1 (𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥 − 𝑎) 𝑛+1
𝑅 𝑛 =
𝑓 𝑛+1 (𝑐)
(𝑛 + 1)!
(𝑥) 𝑛+1