Este documento describe conceptos fundamentales sobre ángulos de inclinación, pendientes, paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Explica que la pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación y provee fórmulas para calcular la pendiente y ángulo entre dos puntos. También establece que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.
En el mundo se rigen diversos tipos de magnitudes físicas que tienen intensidad y una dirección , tenemos como ejemplo la fuerza y la velocidad , los vectores no ayudan a representarla de manera grafica todo estos tipos de magnitudes, y el algebra vectorial nos ayuda a manejarla y hacer calculo
Circunferencias tangentes exteriores a una recta y a una circunferencia, pasa...Antonio García
Hemos de resolver el caso de circunferencias que pasando por un punto o lugar determinado, son tangentes a dos elementos propuestos cuales son una recta y una circunferencia. Para resolver este problema clásico que se atribuye a Apolonio de Perga, hemos de echar mano de los conocimientos adquiridos sobre transformaciones geométricas, como son la inversión y la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y que aquí ejercen un papel prerponderante.
Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, ecuaciones cartesianas, transformaciones de ecuaciones, generalidades del álgebra vectorial, instituto politécnico santiago mariño
En el mundo se rigen diversos tipos de magnitudes físicas que tienen intensidad y una dirección , tenemos como ejemplo la fuerza y la velocidad , los vectores no ayudan a representarla de manera grafica todo estos tipos de magnitudes, y el algebra vectorial nos ayuda a manejarla y hacer calculo
Circunferencias tangentes exteriores a una recta y a una circunferencia, pasa...Antonio García
Hemos de resolver el caso de circunferencias que pasando por un punto o lugar determinado, son tangentes a dos elementos propuestos cuales son una recta y una circunferencia. Para resolver este problema clásico que se atribuye a Apolonio de Perga, hemos de echar mano de los conocimientos adquiridos sobre transformaciones geométricas, como son la inversión y la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y que aquí ejercen un papel prerponderante.
Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio, ecuaciones cartesianas, transformaciones de ecuaciones, generalidades del álgebra vectorial, instituto politécnico santiago mariño
T E C N O L O G I C O S U P E R I O R C O R D I L L E R A
1. TECNOLOGICO SUPERIOR CORDILLERA
ANALISIS II
Alexandra Guayasamín
Tercero “A”
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
Ángulo de inclinación
Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A.
La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180°
que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con
la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l.
Pendiente de una recta
Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La
notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q.
El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los
siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de
coordenadas rectangulares:
a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° .
b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° .
c) m =0, si q =0° .
d) m = ¥ , si = 90° .
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente:
Teorema
Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:
m= y1 – y2
x1 –x2
Siendo x1¹ x2
Ejemplo:
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(−6,−4) y B(8,3).
Solución
Al graficar los puntos dados, tenemos:
Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta:
m= y1 – y2 −4 −3 −7
x1 –x2 −6 –8 −14
Donde m=1/2
2. Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación:
q=arc tg m
q=arc tg (1/2)= arc tg(0.5)
q=26°33’ 54’’
Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90° .
Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,−5) y B(2,1).
RECTAS PAPALELAS
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta.
El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:
Con regla y escuadra
Con regla y compás
Teorema:
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
Propiedades del paralelismo
Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a si misma.
Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.
Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la primera
recta es paralela a la tercera.
3. Teorema
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
Hipótesis
Tesis
Demostración
(Por el método del absurdo)
Si a no fuera paralela a b , las rectas se cortarían en un punto R.
Por hipótesis, por el punto R pasarían dos rectas perpendiculares a la recta c.
y esto es absurdo ya que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a la misma.
RESTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.
Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.
4. El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:
Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.
Propiedades de la perpendicularidad
Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.
Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.
ANGULOS ENTRE RESCTAS
Si se tiene dos rectas o segmentos cualesquiera m y n , y una recta l que corta a ambas, se forman varios ángulos que se pueden apreciar
siguiente figura (cada uno de los ángulos se encuentra denotado por una letra del alfabeto griego):
A los pares de ángulos:
1) a y f; e y q; d y l; b y g se les llama ángulos correspondientes.
2) a y l; b y q se les llama ángulos alternos externos.
3) d y f; e y g se les llama ángulos alternos internos.
4) b y l; a y q se les llama ángulos conjugados externos.
5) d y g; e y f se les llama ángulos conjugados internos.
ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS
5. Sean l 1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las
0
rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b1 = b2 = q1 – q2 y a1 = a2 = 180
- b 1.
Se define el ANGULO entrel1 y l2 como
el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 .
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
b1 = q1 - q2 (1)
Fig. 4.14
El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
De la igualdad (1) se tiene:
tan b1 = tan (q1 - q2)
, (2)
También,
cot b1 = cot (q1 - q2)
, (3)
Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:
tan b1 , (2)’
cot b1 , (3)’
Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de
sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre
rectas, como la afirma el siguiente teorema.
TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)
Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces:
i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2
ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1
6. Demostración
En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones
fig. 4.15.
i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.
En efecto, como l1 ||l2, entonces los ángulos q1 y q2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tan q1 =
tanq2, es decir, m1 = m2 .
Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tanb1 = 0, y de aquí, b1 = q1 - q2 = 0, de donde
q1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.
ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot b1 = cot Sustituyendo
este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1. m2
= -1.
Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces y como m2=tanq2 y m1=tanq1 , se tiene
que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor
0
inclinación q1. Teniendo en cuenta que tanto q1 como q2 son ángulos positivos y menores que 180 , concluimos
0 0
que: q1 = 90 + q2, de donde q1 – q2 = 90 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares.
Observaciones
i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0
y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones
de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente
forma:
l1 || l2
l1 l2
Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición nece-
saria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es
decir, las rectas de ecuaciones
Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes