Este documento describe las funciones trigonométricas, incluyendo su definición geométrica en términos de triángulos rectángulos, su importancia en física y otras aplicaciones, y sus definiciones analíticas como series infinitas y soluciones de ecuaciones diferenciales. También resume las seis funciones trigonométricas básicas, sus representaciones gráficas y funciones inversas.

1. Función trigonométrica
En matemáticas, Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de
las razones trigonométricas a todos los números reales.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica,
telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una
circunferencia de radio unidad de centro O.

Conceptos básicos
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo
asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de

2. razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).
Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones
diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras
funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron
comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1
− cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sin (sen)
Coseno cos
Tangente tan
Cotangente ctg (cot)
Secante sec
Cosecante csc (cosec)
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

3. Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario
que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
 La hipotenusa (h´´') es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
 El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α.
 El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es
igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran
entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones
trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

4. El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo
ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

5. Funciones trigonométricas de ángulos notables
0° 30° 45° 60° 90°
sen 0 1
cos 1 0
tan 0 1
Definición para un número real cualquiera
No es posible utilizar la definición dada anteriormente del seno o el coseno de α para valores de α menores o iguales
a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos
mida α radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará
entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las
funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P
perteneciente a la misma, siendo α el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el
origen con P.
Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores
obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón
trigonométrica. Si el valor de x esta fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un
número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x',

6. ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán
las mismas en ambos casos.
Representación gráfica
Definiciones analíticas
La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la
geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada
del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos
en radianes.)

7. El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las
funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:
Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a
saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.
Series de potencias
A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya
serie de Maclaurin viene dada por:
Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan
como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por
ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la

8. base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad
y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma.
Relación con la exponencial compleja
Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:
Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la
sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión
anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:
A partir de ecuaciones diferenciales
Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:
Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de
dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,
 la función seno es la única solución que satisface la condición inicial y
 la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial .

9. Dado que las funciones seno y coseno son linearmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este
método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además
esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar
las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.
Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador de
la segunda derivada.
La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal
satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface
esta ecuación diferencial.
Funciones trigonométricas inversas
Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
 Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho
valor.
La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real.
Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

10.  Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es
dicho valor.
Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:
 Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya
tangente es dicho valor.
A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de
serie es:
Generalizaciones

11.  Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas para una hipérbola equilatera.
Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones
hiperbólicas.
 Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano
complejo sólo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las
funciones elípticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.
Historia
Artículo principal: Historia de la trigonometría
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de
trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la función seno (sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las
funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550),
Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi,
Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste,
Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el
tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en
las llamadas "Fórmulas de Euler".
La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió
a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier
triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de
larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

12. Serie de Taylor
(Redirigido desde Serie de Maclaurin)
sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-
r, a+r) se define como la siguiente suma:

13. La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama
analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es
analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados
en la fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de McLaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
 La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
 Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

14.  Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación
posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se
puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se
puede desarrollar como serie de Laurent.
Definición
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales
o complejos a, es la serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como
donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y
(x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.
Historia
El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por
considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la
paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a

15. través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un
resultado trigonométrico finito.1 Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.2
En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.3
A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren
que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno,
coseno, tangente y arcotangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero recién en 1715 se presentó una
forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién
recibe su nombre.
Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las
series de Taylor en el siglo XVIII.
Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables
La función coseno. Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

16. Las dos imágenes de arriba puestas juntas.
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores
complejos de x.
[editar] Función exponencial y logaritmo natural
Serie geométrica
Teorema del binomio
para y cualquier complejo

17. Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia de un binomio. Este teorema
establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como o ) se
obtiene una tercera representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto
con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

18. (2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de
la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero),
y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no
aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

19. La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos,
en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Coeficiente binomial
Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como de forma sencilla:
Historia
Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji
alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó
los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así
estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien
por integración.
El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este
descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas
finitas.
Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este
descubrimiento.

20. El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fue
introducido por Michel Stifer en el siglo XVI.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio
Funciones trigonométricas
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
Funciones hiperbólicas

21. Función W de Lambert
Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del
binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.
Varias variables
La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:

22. donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de
segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:
Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:
donde es el gradiente y es la matriz hessiana. Otra forma:
Aplicaciones
Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el
comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

23. Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error,
teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos
relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y
suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.
Teorema de Taylor
La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea
verde discontinua).
En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad
en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas
de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido
mediante dicha estimación.
Caso de una variable

24. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio
cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que
es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:1
(1a)
O en forma compacta
(1b)
Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen
dos expresiones para que se mencionan a continuación:
(2a)
donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2
(2b)
Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se
expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R
muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

25. Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones
pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores
vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.
Caso de varias variables
El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN
centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en
cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :
Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:
para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de
derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).
Demostración
Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función o campo escalar, que
suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase . Sea r(t) una función vectorial

26. que va de , y definámosla como (de ahora en adelante, se omitirán las flechas de los vectores).
Pongamos r(t) = y Ahora hagamos g(t) = f[r(t)] y recordemos que . Notemos ahora que:
Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:
donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el producto
escalar que está dentro del paréntesis, luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces.
Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos g(t) en su serie de McLaurin:
y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes
hallada se evidencia que: Obsérvese que el primer
término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda y
compacta. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.
Demostración
La demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:

27. Un cálculo rutinario permite ver la derivada de esta función cumple que:
Se define ahora la función G como:
Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:
Y como:
Se obtiene finalmente que:
Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).
Teorema de Rolle

28. El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
 es una función continua definida en un intervalo cerrado
 es derivable sobre el intervalo abierto

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .
En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la
subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza
bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
Prueba
 Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], conjunto conexo es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el
intervalo imagen.
 La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es
cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
 Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los
dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el
interior del intervalo (corresponde al primer ejemplo).

29.  Sea c en (a, b) tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entoces el cociente (f(c) - f(x))
/ (c - x) es no negativo cuando x < c (porque su numerador es siempre no negativo y su denominador es positivo no nulo), y es
no positivo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c) es por definición el límite de este cociente
cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c-)positivo, tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto
este límite común es nulo, o sea f '(c) = 0.
La prueba es muy parecida si es el mínimo que está alcanzado en (a, b).
Otra forma
De manera similar se puede considerar la siguiente prueba. Se sabe que existen tres posibilidades: o bien la función que consideramos
es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es es mayor o menor mayor que en los extremos. Para el primer
caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).
Para el segundo caso se puede probar lo siguiente:
Consideramos A como el conjunto imagen de f. Sabemos que A es un compacto ya que es la imágen de una función continua en un
compacto y por lo tanto la función alcanza máximo evaluada en un punto x0 dentro del intervalo. Por ser la función derivable en (a,b),
la función es derivable también en x0.
Aproximamos entonces a la función en un entorno del punto x0 considerando la derivada de f, f'(x). Entonces tenemos que si la
derivada es positiva, entonces hay un entorno a la derecha de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a f(x0), lo cual es absurdo
por ser f(x0) = M el máximo del conjunto imagen.
De manera análoga, si la derivada fuera negativa tendríamos un entorno a la izquierda de x0 en donde los valores de f(x) son mayores a
f(x0), lo cual es absurdo por ser f(x0) = M el máximo del conjunto imagen.
La única posibilidad que resta es que la derivada sea nula, lo cual demuestra el teorema de Rolle.
Basta tomar g(x) = -f(x) y repetir la prueba para verificar que se verifica también cuando la función toma algún valor por debajo de los
valores funcionales de los extremos.

30. Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos
Artículo principal: Teorema del valor medio
Si:
 f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
 f es derivable sobre el intervalo (a, b)
Entonces: existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que :
Es decir que existe un punto en donde la tangente es paralela a la cuerda AB.

31. Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p·x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p·b - (f(a)
- p·a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en (a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.
Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)n/n! · f(n)(c), con f n veces derivable sobre (a, b).
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio
Teorema del valor medio
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de
Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos
consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no
se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio
puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
Enunciado para una variable

32. Para una función que cumpla la hipótesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al
menos algún punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual que la pendiente media de la curva en el intervalo
cerrado [a, b].
En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los
puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

33. Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y
continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras,
f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir
f '( c)=0.
Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten
deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:
Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez
conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente
en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:
Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del
Teorema de Rolle ya que:
Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

34. y así
como queríamos demostrar.
Forma integral del Teorema del valor medio
Para una función continua f(x) en el intervalo [a,b], existe un valor ξ en dicho intervalo, tal que1
Demostración Dado que la función f es continua en [a,b], posee un valor máximo en dicho intervalo para algún , que
llamaremos M = f(V) y también un valor mínimo en el mismo intervalo: m = f(v), para algún . Es decir
y . Si consideramos las áreas de los rectángulos con base b − a y altura M
ó m tendremos la siguiente desigualdad:
Lo que implica:

35. De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función f alcanza el valor de la integral , es
decir:
El teorema no especifíca como determinar ξ, pero resulta que f(ξ) coincide con el valor medio (promedio) de la función f en el
intervalo [a,b].
Enunciado para varias variables
Sea un conjunto abierto y convexo y una función real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:2
Donde:
, es la aplicación lineal que representa el jacobiano (gradiente).
Generalizaciones
No existe un análogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones . En este caso, sólo es posible establecer la
siguiente desigualdad en términos de la norma:

36. Función continua
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas
variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua
es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de
funciones reales de una variable real.
Funciones reales de una variable real
Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de
los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos",
como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

37. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se
escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.
Continuidad de una función en un punto
Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:

38. Otra manera más simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en xo si y sólo si . Cuando xo no
es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe
f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la
izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
1. existe el límite por la derecha:
2. existe el límite por la izquierda:
3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

39. 4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:
5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:
6. Existe f(x1):
7. El límite y el valor de la función coinciden:
La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

40. Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:
parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo
abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J
centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I
alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se
salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.
Continuidad lateral

41. Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto
son iguales. Es decir:
como en la figura.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son
iguales. Es decir:
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

42. Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)
Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:
Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:
Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]
Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la
derecha de a y continua por la izquierda de b:
Algunas funciones continuas importantes

43. Funciones seno y coseno.
Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos
dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno
solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

44. Funciones definidas por intervalos
Artículo principal: Función definida a trozos
Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:
 La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la
izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
 Otras funciones definidas por intervalos son:
Función escalón unitario
Función signo

45. Función racional
Artículo principal: Función racional
Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:
Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio
porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a
f(0)) la función será discontinua.
Teoremas sobre funciones continuas

46. Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.
1. Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces tal que f(c) = 0
3. Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces tal que f(c) = k
Teorema de Weierstrass
El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado
(de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar en términos de
conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos,
entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.
Enunciado
Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) [a,b] entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes
a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir , para cualquier
Demostración
Como f([a,b]) está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe
un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural.
Cómo M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un punto dn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Esto genera una sucesión
{dn} según vamos dando valores naturales a n. Cómo M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural.
Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.
Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente el punto dónde se asume el supremo
es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto Este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que

47. existe una subsucesión { }, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Cómo f es continua en el
conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f( )} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)} que converge a M,
entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f
asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo.
La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a
ésta.
Generalización del Teorema de Weierstrass
El teorema de Weierstrass también es válido para funciones escalares o vectoriales de varias variables. La imagen por un campo
continuo de un conjunto compacto es un conjunto compacto, siendo este un escalar vectorial compacto.
Si f:C -> Rq es una función continua en C ( C es compacto de Rp) entonces D = f(C) es un conjunto compacto de Rq
Derivada y continuidad
Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad
es una condiciòn necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.
[Mostrar] Demostración
Demostración
:

48. Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua.
Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en
x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano
verifican esto con probabilidad 1).Sobre estro consultar con Spivak en su Calculus.
Clase de continuidad
Una función , se dice:
 de clase si está definida en todo el dominio Ω junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.
 Una función continua aunque no diferenciable en todo el domino, se dice que es de clase .
 Una función es de clase si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Aunque muchas sí lo son, no toda función de este tipo
es analítica.
 Una función es de clase si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase .

49.  Una función generalizada se dice de clase si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase
.
Funciones continuas en espacios topológicos
Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:
f − 1(G) es un abierto de X, cualquiera que sea el abierto G de Y. Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en
un punto del dominio.
Con la misma notación, si , diremos que f es continua en x cuando se obtiene que f − 1(V) es un entorno de x, cualquiera que
sea el entorno V de f(x).
Es "inmediato" entonces comprobar que f es continua si y solo si es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea
continua en cada uno de los puntos de su dominio.
Teorema del valor intermedio
(Redirigido desde Teorema de Bolzano)
Para el teorema de cálculo diferencial, véase Teorema del valor medio.

50. Teorema de los valores intermedios.
En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un
teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es
continua en un intervalo, entonces toma todos los valores intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.
El teorema de los valores intermedios establece que:
Sea una función continua en un intervalo con . Entonces para cada tal que
, existe al menos un dentro de tal que .
La misma conclusión se obtiene para el caso en que .

51. Enunciados equivalentes
 Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un número entre f(a)y f(b), entonces existe un c ∈ [a,
b] tal que f(c) = u.
 Como consecuencia del teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.
o Si X y Y son espacios topológicos, f : X → Y es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo.
o Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
 Teorema de Bolzano: caso particular .
Historia
El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguían
el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea que las funciones continuas poseen la propiedad del valor
intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para
construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito
decimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor
intermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio,
por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de
infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en
tales definiciones.
El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores
intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la
propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).
Demostración
El TVI hace parte de los llamados «teoremas de existencia». A la pregunta: «¿Existe un real c tal que f(c)=u?», el teorema responde
afirmativamente: «Sí, existe.» Se impone entonces la pregunta: «¿Cuál es ese número real?». Varias demostraciones son posibles,
dependiendo de las premisas iniciales. La prueba siguiente utiliza la noción del supremo.

52. [Mostrar] Demostración utilizando el supremo
Teorema de Bolzano
Es frecuente (en algunos cursos de cálculo) demostrar independientemente el Teorema de Bolzano, y después servirse de él para
enunciar el TVI como un corolario. Enunciado:
Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces
existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0.
El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que como mínimo existe uno.
Si f(a) y f(b) no son del mismo signo, existe al menos un real c comprendido entre a y b tal que f(c) = 0 (pues 0 está comprendido entre
f(a) y f(b)).
Demostración con la topología
Es posible demostrar la propiedad en algunas líneas solamente, evocando nociones de la topología matemática. Tras esta aparente
simplicidad se encuentran resultados que hay que demostrar previamente, como el hecho que todo intervalo de ℝ es conexo,
demostraciones que son del mismo grado de dificultad que la del TVI.
Los conjuntos conexos de ℝ son los intervalos. Es el conjunto de partida. La imagen directa de un conexo por una función continua es un
conexo. De aquí se infiere que la imagen por f de [a,b] es un intervalo, lo cual demuestra el teorema.
Ejemplos de aplicación

53.  Demostrar que dos funciones continuas sobre un mismo intervalo toman el mismo valor en al menos un punto del intervalo.
Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo no vacío [a;b] de R, tales que g(a)-f(a) y g(b)-f(b) sean de signo contrario. Existe
al menos un real c comprendido entre a y b y tal que f(c) = g(c).
En efecto, sea φ = f - g. La función φ es continua, y el 0 está comprendido entre φ(a) y φ(b). Existe entonces al menos un real c
comprendido entre a y b y tal que φ(c) = 0, lo cual implica f(c) = g(c).
 En el caso particular donde g es la identidad sobre el intervalo [a;b] y donde f(a) > a y f(b) < b, se obtiene un teorema de punto fijo
(Teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 1).
 El problema se puede reformular como: «Demostrar que dos funciones se cortan en un punto» y aplicar el Teorema de Bolzano
definiendo la misma función f(x) - g(x).
 Demostrar que para todo polinomio P a coeficientes reales y de grado impar, existe al menos una raíz real, es decir un número real c tal
que P(c) = 0

54. En efecto, se puede suponer (sin pérdida de generalidad) que el coeficiente del término de mayor grado de P es igual a 1. Al ser de
grado impar, P(x) tiende a cuando x tiende a , y P(x) tiende a cuando x tiende a . Se deduce que existe un real a
tal que P(a) ≤ 0 y un real b tal que P(b) ≥ 0. Como la función polinómica P es continua, existe al menos un real c comprendido entre a
y b y tal que P(c) = 0.
Definición formal
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser
definida como una serie de potencias:
o como el límite de la sucesión:
Serie geométrica
Para sumas finitas, véase progresión geométrica.

55. En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.
Por ejemplo la serie
es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1/2.
Los ejemplos más generales de series con sumas finitas son las sucesiones geométricas. Las series geométricas, a pesar de su
apariencia simple, están presentes en el desarrollo temprano del cálculo y el estudio de la noción de convergencia.
Razón común
Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece
constante.

56. El comportamiento de los términos depende de la razón común r:
 Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
 Si o los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie
no tiene suma. La serie diverge.
 Si r es igual a uno, todos los términos de la serie son iguales. La serie diverge.
 Si r es igual a menos uno, los términos alternan su valor. La suma de los términos oscila; es un tipo distinto de divergencia
(véase por ejemplo la serie de Grandi).
Suma
Ilustración de una suma autosimilar.
La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las
cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La
suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Formula
Para , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:

57. donde a es el primer término de la serie y r la razón común.
Demostración
 Ejemplo:
Dada la suma de la serie geométrica:
La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:
Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Restándolas, se obtiene:
, por lo que .
Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.
Convergencia

58. La serie geométrica real de término inicial no nulo y de razón es convergente si y solamente si | r | < 1. En tal caso, su
suma vale:
Número complejo
Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje
vertical.

59. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad
imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la
física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su
utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La
propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier
ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan
todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de
ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran
importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la
inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o
análisis complejo.
Origen
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para
resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial,
geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y
sistemático de los números complejos.
Definición

60. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes
operaciones:
 Suma
 Producto por escalar
 Multiplicación
 Igualdad
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
 Resta
 División

61. Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina
número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .
Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si
identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C
forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números
reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
Unidad imaginaria
Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o
unidad imaginaria, definido como
De donde se deduce inmediatamente que,
Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado
Valor absoluto o módulo de un número complejo
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

62. Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de
Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ
+ isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto
para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al
que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas.
Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.
Argumento
El argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente
expresión:
donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

63. O también: Siendo:
la función signo.
Conjugado de un número complejo
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son
conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

64. Con este número se cumplen las propiedades:
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
Representaciones
Representación binómica
Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; a + bi es la
expresión binomial del punto.
Un número complejo se representa en forma binomial como:

65. La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:
Representación polar
El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; r(cos ϕ + isin ϕ) o reiϕ es la expresión polar del punto.
En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

66. Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:
Sacamos factor común r:
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento
respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial
se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Según la Fórmula de Euler, vemos que:
No obstante, el ángulo ϕ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:
Por esto, generalmente restringimos ϕ al intervalo [-π, π) y a éste ϕ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos
φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.
Operaciones en forma polar

67. La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
División:
Potenciación:
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo
Serie de Laurent
En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de
potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos
donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl
Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el
año 1843.
Definición

68. Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma:
donde .
Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):
Donde:
y
Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:
cuyo dominio es el conjunto de puntos en sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona D;
inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.
Propiedades
Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar
dentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es
estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto
entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).

69. Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y
están dados por:
para n = 0,1,2,... y para n = 1,2,...
(la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).
Convergencia
Si suponemos : es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existe un radio
interior r y un radio exterior R de tal forma que:
 La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como
para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.
 Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.
 Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser
holomorfa continua.
Singularidades
La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de
singularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent,
tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo de
singularidad es:
1. Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es evitable

70. 2. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo
3. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es una singularidad esencial
Serie de Laurent
En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de
potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos
donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl
Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el
año 1843.
Definición
Una serie de Laurent centrada alrededor de un punto es una serie de la forma:
donde .
Podemos demostrar que esta serie es convergente dentro del conjunto (posiblemente nulo, Ø):
Donde:
y
Toda serie de Laurent tiene vinculada una función de la forma:

71. cuyo dominio es el conjunto de puntos en sobre el cual es convergente. Esta función es analítica dentro de una corona D;
inversamente, toda función en una corona es igual a una única serie de Laurent.
Propiedades
Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular c y un camino de integración γ. El camino de integración debe estar
dentro de un disco donde f(z) es una función holomorfa (a veces se usa como sinónimo el término función analítica, aunque no es
estrictamente correcto, dado que una función analítica es técnicamente aquella que admite desarrollo en serie de potencias en cierto
entorno de un punto, lo que ocurre es que en ℂ toda función holomorfa es también analítica).
Los coeficientes de una serie de Laurent en una función analítica se pueden encontrar por medio de la fórmula integral de Cauchy y
están dados por:
para n = 0,1,2,... y para n = 1,2,...
(la sucesión de constantes están definidas por un camino de integración en la generalización de la integral de Cauchy).
Convergencia
Si suponemos : es una serie de Laurent con coeficientes an y un centro complejo c. Entonces existe un radio
interior r y un radio exterior R de tal forma que:
 La serie de Laurent es convergente en la corona abierta A := {z : r < |z − c| < R}, tanto para potencias de grado positivo como
para potencias de grado negativo y esta convergencia define una función holomorfa f(z) en la corona abierta.

72.  Fuera de la corona, la serie de Laurent es divergente.
 Para el disco existe al menos un punto en la frontera interior y otro en la frontera exterior para los cuales no puede ser
holomorfa continua.
Singularidades
La serie de Laurent es muy importante en el análisis complejo, especialmente para investigar el comportamiento de funciones cerca de
singularidades, pues permite saber qué tipos de singularidades tiene una función. Así, si expandimos una función en serie de Laurent,
tomando como centro una singularidad y como radio interior cero, la cantidad de coeficientes negativos en la serie indicará que tipo de
singularidad es:
1. Si la serie no tiene términos negativos, la singularidad es evitable
2. Si la serie tiene finitos términos negativos, la singularidad es un polo
3. Si la serie tiene infinitos términos negativos, la singularidad es una singularidad esencial
4.Polinomios de Bernoulli
5. En matemáticas, los polinomios de Bernoulli Bn(x) se definen mediante la función generatriz:
6.
7. Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la función zeta de Riemann y de la función zeta de
Hurwitz. Los números de Bernoulli Bn son los términos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., Bn = Bn(0).
8. La identidad nos permite dar una forma cerrada de la suma
9.
10. Expresión explícita de polinomios de menor grado
11.
12.
13.

73. 14.
15.
16.
17. .
Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación
del tipo ó .2 3 4
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo
tanto,
Guillaume de l'Hôpital
[editar] Demostración

74. El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración
rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son
diferenciables en c.
 Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
 Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
[editar] Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las
funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales
f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
[editar] Aplicación sencilla

75. [editar] Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:
[editar] Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones
algebraicas:
[editar] Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:
De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la
regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

76. [editar] Indeterminaciones no cocientes
A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.
 Tipo
Matriz jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más
interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa
la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma
de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá
componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente,

77. dada una aplicación cualquiera continua es decir se dirá que es diferenciable si existe una
aplicación lineal tal que:
(1)
[editar] Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar en este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un
vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la
"matriz" jacobiana como:
Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el
gradiente.
[editar] Función vectorial
Supongamos es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función
está determinada por m funciones escalares reales:
Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de éstas m funciones pueden ser organizadas en una
matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

78. Esta matriz es notada de diversas maneras:
Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi, para i = 1,...,m.
Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita
por JF(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:
para x cerca de p. O con mayor precisión:
[editar] Ejemplos
Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:

79. es:
No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3 → R4, cuyas componentes son:
Aplicando la definición de matriz jacobiana:

80. [editar] Determinante jacobiano
Si m = n, entonces F es una función que va de un espacio n-dimensional a otro. En este caso la matriz jacobiana es cuadrada y
podemos calcular su determinante, conocido como el determinante jacobiano o simplemente jacobiano.
El determinante jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el comportamiento de F cerca de ese punto. Para
empezar, una función F es invertible cerca de p si el determinante jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del
determinante en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.
[editar] Ejemplos
Ejemplo 1. El determinante jacobiano de la función F : R3 → R3 definida como:
es:
El teorema de la función inversa garantiza que la función es localmente invertible en todo el dominio excepto quizá donde x1 = 0 ó x2 =
0 (es decir, los valores para los que el determinante se hace cero). Si imaginamos un objeto pequeño centrado en el punto (1,1,1) y le
aplicamos F, tendremos un objeto aproximadamente 40 veces más voluminoso que el original.
Ejemplo 2. Cambiando un poco la función anterior por ésta:

81. El determinante jacobiano quedará:
En este caso existen más valores que anulan al determinante. Por un lado , y por otro:
con k = 0,1,2...
[editar] Invertibilidad y jacobiano
Una propiedad interesante del jacobiano es que cuando éste es diferente de cero en el entorno de un punto dado, entonces el teorema de
la función inversa garantiza que la función admite una función inversa alrededor de dicho punto.
El teorema anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la función tiene por jacobiano
que se anula en el punto , aunque alrededor de ese punto la función sigue teniendo inversa aún cuando el
jacobiano es nulo en el origen.