Este documento trata sobre regresión lineal. Explica los conceptos clave como la ecuación de la recta de regresión, el criterio de mínimos cuadrados, la representación gráfica, los coeficientes de regresión y el coeficiente de determinación. También introduce brevemente la regresión múltiple y cómo se puede predecir una variable a partir de múltiples variables predictoras en lugar de una sola.

1. Tema 6: Regresión lineal.
1. Introducción.
2. La ecuación de la recta.
3. El criterio de mínimos cuadrados.
4. Representación gráfica.
5. Coeficientes de regresión estandarizados.
6. El coeficiente de determinación.
7. Introducción a la regresión múltiple.

2. Concepto
El establecimiento de una correlación entre dos
variables es importante, pero esto se considera un
primer paso para predecir una variable a partir de la
otra. (U otras, en el caso de la regresión múltiple.)
Claro está, si sabemos que la variable X está muy
relacionada con Y, ello quiere decir que podemos
predecir Y a partir de X. Estamos ya en el terreno de la
predicción. (Evidentemente si, X no está relacionada con
Y, X no sirve como predictor de Y.)
Nota: Emplearemos los términos “regresión” y “predicción” como casi sinónimos. (La
razón del uso del término “regresión” es antigua, y se ha mantenido como tal.)

3. Concepto (2)
rendimiento
inteligencia
El tema básico en regresión (con 2 variables) es
ajustar los puntos del diagrama de dispersión de
las variables X e Y. Para simplificar, nos centraremos
especialmente (por simplicidad) en el caso de que
la relación entre X e Y sea lineal.
Claro está, el tema ahora es cómo conseguir
cuál es la “mejor” línea que parece unir los
puntos. Necesitamos para ello un criterio. Si
bien hay otros criterios, el más empleado
comúnmente, y el que veremos aquí, es el
criterio de mínimos cuadrados.
Criterio de mínimos cuadrados: Es aquel que minimiza las distancias cuadráticas de los
puntos con la línea.

4. Repaso de la ecuación de una recta
rendimiento
inteligencia
Y=A+BX
A es la ordenada en el origen (es donde la recta
corta el eje Y)
B es la pendiente (observad que en el caso de
las relaciones positivas, B será positivo; en el
caso de las relación negativas, B será negativo;
si no hay relación, B será aproximadamente 0)
Si queremos predecir Y a partir de X, necesitamos calcular (en el caso de
relación lineal) la recta de regresión de Y sobre (a partir de) X.

5. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
Rendimiento(Y)
Inteligencia (X)
El criterio de mínimos cuadrados nos
proporciona un valor de A y uno de B, tal queY’
 
2
'
1
n
i i
i
Y Y

 sea mínimo

6. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
CI (X) Rendim (Y)
120 10
100 9
90 4
110 6
INTELIG
1301201101009080
RENDIM
11
10
9
8
7
6
5
4
3

7. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
La recta por mínimos
cuadrados es:
Y’=-8’5+0’15X
Observa....
-Cada unidad de CI hace aumentar
0’15 la nota.
-Aunque en este caso, lo siguiente no
tiene sentido, una persona con CI de
0, sacaría un -8.5
 
2
'
1
n
i i
i
Y Y

 es mínimo
Esa expresión vale 11.5 en
nuestro caso

8. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
Las fórmulas.... En puntuaciones directas
Nota: Tanto A como B se pueden obtener fácilmente en cualquier calculadora con
opción “LR” (Linear Regression)
2 2
XY nXY
B
X nX





Pendiente
Ordenada origen
A Y BX 

9. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
X Y XY X2
suj1 120 10 1200 14400
suj2 100 9 900 10000
suj3 90 4 360 8100
suj4 110 6 660 12100
4 SUMA SUMA
3120 44600
PROMEDIO PROMEDIO
105 7.25
N
4
2
3120 4 105 7'25
0'15
44600 4 105
B
  
 
 
7'25 0'15 105 8'5A    
Y’=-8’5+0’15X
Luego

10. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
Las fórmulas en puntuaciones diferenciales
Pendiente
Ordenada origen 0a  Fijaros que la media de X y la media de Y serán
0 en puntuación típicas
2
xy
b
x



IMPORTANTE: B=b
Es decir, la pendiente en puntuaciones
diferenciales es la MISMA que en
puntuaciones directas
Por tanto, la recta de regresión en puntuaciones diferenciales es en nuestro caso:
y’=0’15x

11. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
Las fórmulas en puntuaciones típicas
Pendiente
Ordenada origen
Al igual que en las puntuaciones diferenciales
Por tanto, la recta de regresión en puntuaciones típicas es en nuestro caso: zy’
=0’703zx
0a

2
x y x y
x
z z z z
b
z n

 
 
 

IMPORTANTE: Como veremos, la
pendiente en puntuaciones
típicas COINCIDE con el índice
de correlación de Pearson

12. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
OUTPUT DEL ORDENADOR
Resumen del modelob
.703a .495 .242 2.398
Modelo
1
R R cuadrado
R cuadrado
corregida
Error típ. de la
estimación
Variables predictoras: (Constante), INTELIGa.
Variable dependiente: RENDIMb.
Coeficientesa
-8.500 11.324 -.751 .531
.150 .107 .703 1.399 .297
(Constante)
INTELIG
Modelo
1
B Error típ.
Coeficientes no
estandarizados
Beta
Coeficientes
estandarizad
os
t Sig.
Variable dependiente: RENDIMa.
Ord. y pendiente
(punt.directas)
Ord. y pendiente
(punt.típicas)
Observad que el índice de corr.Pearson coincide con la pendiente expresada en
puntuaciones típicas.

13. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
2
xy
B b
x
 


Sabemos que
Y por el tema anterior
2
2
x
x
s
n

Y por el tema de
variabilidad
xy
xy
s
n

 xy
xy
x y
s
r
s s


y
22 2 2
xy xy x y y
xy
x x x
xy
s r s s sxy nB b r
xx s s s
n
 
      


Se deduce que

14. Cálculo de la ecuación de regresión lineal (de Y sobre X)
En definitiva,
y
xy
x
s
B b r
s
  
1
1
y
xy xy xy
x
s
b r r r
s

    
y
y
xy
x
s
A Y r X
s
   
Evidentemente, la ordenada en el origen de la recta de regresión de Y sobre
X será 0 para puntuaciones diferenciales y típicas (dado que las medias para
las respectivas puntuaciones tanto en X como en Y serán 0 en tales casos).

15. Los errores de predicción en la recta de regresión de Y sobre X
iYPuntuaciones observadas
Puntuaciones predichas
iY 
Error de predicción
con la recta de
regresión de Y sobre X
2
2
( )
y
Y Y
s
n



La cuestión ahora en cuánto se reduce la varianza al emplear la recta de
regresión de Y sobre X (es decir, teniendo X como predictor) en comparación
con el caso en que no tuviéramos la recta de regresión
i iY Y

16. Los errores de predicción en la recta de regresión de Y sobre X
2
2
( )
y
Y Y
s
n



Si no tuviéramos el predictor X, ¿qué puntuación prediríamos para las
puntuaciones de Y?
En tal caso, dado el criterio de mínimos cuadrados, si tenemos datos en Y y
carecemos de datos en X, nuestra mejor estimación de Y será su media
Recordemos que la media minimiza el sumatorio de las diferencias
Cuadráticas
Y
2
( )Y Y es mínimo
Si empleamos la media como predictor, la varianza de las predicciones será

17. Los errores de predicción en la recta de regresión de Y sobre X
Pero si tenemos un predictor X, la varianza será
2
2
.
( )i i
y x
Y Y
s
n



Esta es la varianza de Y no explicada por X
Se puede demostrar que
2 2 2
. (1 )y x y xys s r 
Que despejando sale
2
.2
2
1 y x
xy
y
s
r
s
 

18. ¿Cuán buena es la predicción de la recta de regresión? El coeficiente de
determinación como índice de la bondad de ajuste de nuestro modelo (la
recta de regresión)
2
.2
2
1 y x
xy
y
s
r
s
 Acabamos de mostrar que
2
xyr Es el llamado coeficiente de determinación y permite conocer cuán
bueno es el ajuste de la recta de regresión (o en general del modelo
lineal). Está acotado entre 0 y 1.
Si todos los puntos del diagrama de dispersión están sobre la recta (con pendiente
diferente de 0), entonces será 0, y el coeficiente de determinación será 1
2
.y xs
Cuanto más se alejen los puntos de la recta de regresión, mayor será el valor de
el valor del coeficiente de determinación será menor y menor.
2
.y xs

19. El coeficiente de determinación y la proporción de varianza
asociada/explicada/común (1)
( )i i i iY Y Y Y   
Empecemos con una tautología
Esta expresión indica que la puntuación observada por el sujeto i-ésimo es igual a la
puntuación predicha para dicho sujeto más un error de predicción.
Se puede demostrar que las puntuaciones predichas y los errores de predicción son
independientes, con lo que podemos señalar
2 2 2
' .y y y xs s s 
2
ys
2
'ys
2
.y xs
Varianza total de Y
Varianza de las puntuaciones de Y predichas por el predictor X
Varianza de los errores de predicción (varianza no explicada por X)

20. El coeficiente de determinación y la proporción de varianza
asociada/explicada/común (2)
2 2 2
' .y y y xs s s De la transparencia anterior, tenemos
Y sabíamos que
2
.2
2
1 y x
xy
y
s
r
s
 
2 2 2
. ´2
2 2
y y x y
xy
y y
s s s
r
s s

 luego
En definitiva, el coeficiente de determinación mide la proporción de la varianza
de Y que está asociada/explicada por el predictor X

21. Introducción a la regresión lineal múltiple (1)
Hemos visto el caso de un predictor (X) y una variable predicha (Y), y obtenido la recta
de regresión de Y sobre X por el procedimiento de mínimos cuadrados.
Dada la naturaleza del comportamiento humano, en el que cada conducta observada
puede ser influida por diferentes variables, resulta más “ecológico” examinar no ya
cuán bueno es un predictor X para predecir Y, sino más bien tendremos varios
predictores X1, X2, ...., para predecir Y (o si se quiere, varios predictores, X2, X3,...., para
predecir X1). Es el caso de la regresión múltiple.
'Y A BX Hasta ahora teníamos
Ahora tendremos k predictores:
1 2 2 3 3' ... k kX A B X B X B X    
1X
“criterio”, variable a
predecir, variable
“dependiente”
2 3, ,...X X
Variables
predictoras

22. Introducción a la regresión lineal múltiple (2)
1 2 2 3 3' ... k kX A B X B X B X    
Es importante que os deis cuenta que las ponderaciones B2, B3, ..., son
análogas a las que vimos en el caso de la recta de regresión.
Tales coeficientes representan cuán importante es la respectiva variable predictora
en la ecuación de regresión.
Al igual que ocurría en la recta de regresión (fijaros que el caso de 1 predictor es un
caso particular de la regresión múltiple), A representa el lugar donde el hiperplano de
regresión múltiple corta el eje de la variable predicha.
Por simplicidad, y dado que normalmente todo el proceso se hace mediante
ordenador, no veremos las fórmulas (ver el texto de Botella y otros, en el que
está todo bien explicado)...pero ahora veremos unas puntualizaciones.
1.3
2 12.3
2.3
s
B r
s
Por ejemplo
y
xy
x
s
B r
s
 
Recta
regresión

23. Introducción a la regresión lineal múltiple (3)
1 2 2 3 3' ... k kX A B X B X B X    
En puntuaciones directas, la ecuación de regresión es la que sabemos
En puntuaciones diferenciales, recordad que A valía 0 en la recta de regresión; lo
mismo se aplica en la ecuación de regresión.
1 2 2 3 3' ... k kx b x b x b x   
Y aplicando la misma lógica, el valor de los pesos es el mismo que el que
teníamos en puntuaciones directas
2 2b B 3 3b B etcétera

24. Introducción a la regresión lineal múltiple (4)
Datos (N=5)
Rendim Ansied Neurot
9 3 5
3 12 15
6 8 8
2 9 7
7 7 6
Resumen del modelo
.904a .817 .634 1.744
Modelo
1
R R cuadrado
R cuadrado
corregida
Error típ. de la
estimación
Variables predictoras: (Constante), NEURO, ANSIEa.
1.23 0'904R 
'
1
1.23
1
2
2
2
x
x
s
R
s

Como en el caso de 1 predictor:
Coeficientesa
11.288 2.221 5.082 .037
-1.139 .510 -1.293 -2.233 .155
.365 .421 .502 .868 .477
(Constante)
ANSIED
NEUROT
Modelo
1
B Error típ.
Coeficientes no
estandarizados
Beta
Coeficientes
estandarizad
os
t Sig.
Variable dependiente: RENDIMa.

25. El modelo lineal general
El modelo lineal general subyace a buena parte de las
pruebas estadísticas que se efectúan en psicología y en
otras ciencias sociales.
Por decir unas pocas
-Análisis de regresión (ya vistos)
-Análisis de Varianza (se verán 2º cuatrimestre)
-Pruebas t (se verán 2º cuatrimestre)
-Análisis de covarianza
-Análisis de conglomerados (cluster analysis)
-Análisis factorial
-Escalamiento multidimensional
-Correlación canónica
-Análisis discriminante
y más....

26. El modelo lineal general (2)
Claramente, los análisis de regresión que hemos visto
son un caso particular del modelo lineal general, en el
caso de 2 variables: una actúa como predictor y una
variable predicha.
0 1 1Y B B X e  
Observado = Predicho + Error estimación
'Y A BX 
( ')Y A BX Y Y   
O si se quiere expresar así
Y A BX e  
en términos generales

27. El modelo lineal general (3)
La expresión general es
0 1 1 ... k kY B B X B X e    
Y: Variable dependiente
X1, X2, ..., variables independientes (predictoras de Y)
e: error aleatorio
B1, B2, ..., son los pesos que determinan la contribución de cada
variable independiente.
El caso en el modelo lineal general es que en la parte izquierda de la ecuación podemos
tener no sólo una variable dependiente, sino varias.