bueno aqui pueden ver la primera clase de el curso de econometria I, que corresponde al capitulo acerca de : modelo de regresión lineal simple.

1. 11.. MMOODDEELLOO DDEE RREEGGRREESSIIÓÓNN SSIIMMPPLLEE
1
ECONOMETRIA

2. ESQUEMA
1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN.
2. EL MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
3. EL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN
4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
2

3. 1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN
• Sea la función de densidad conjunta normal bivariada
ì
é
æ
s
f x y
x x ö
y y æ
s
- r - m ÷ ÷ø
-m
exp 1
( , ) 1
• Funciones de densidad de probabilidad marginal:
ü
3
ïþ
ïý ü
ïî ïí ì
ö
÷ ÷ø
æ
s
f x x
- - m
ç çè
( ) 1
ps
=
2
exp 1
2
2
x
x
x
ïþ
ïý ü
ïî
ïí ì
ö
÷ ÷
ø
æ
s
ç ç
è
-m
exp -
1
( ) 1
ps
=
2
2
2
y
y
y
y
f y
ïþ
ïý
ïî
ïí
ù
ú ú
û
ê ê
ë
ö
÷ ÷
ø
æ
s
ç ç
è
- m
ö
+ ÷ ÷
ø
ç ç
è
- m
÷ ÷ø
ç çè
ö
ç çè æ
s
- r
-
ps s - r
=
2 2
2 2
2
2(1 )
2 1
y
y
y
y
x
x
x
x
x y

4. 1. FUNCIÓN DE DENSIDAD NORMAL Y REGRESIÓN
• La función de densidad condicional de Y dado X:
f y x = f x y
( | ) ( , )
f x
( | ) 1 exp 1
x
f y x y x
• Media y Varianza Condicionales:
4
( )
ïþ
ïý ü
ïî
ïí ì
ù
úû
é
êë
ö
÷ ÷ø
æ
ç çè
-m
s
s
- m + r
s - r
-
ps -r
=
2
y
2 2 2 2 ( )
2 (1 )
2 (1 )
x
y
y y
y
y
y
s
r + ÷ ÷ø
æ
s
s
E ( Y | x ) ( x ) x = a + b
x y y | x y | x
x
x
x
x y
x
s
ö
ç çè
m
s
-m = m - r
s
= m + r
Var ( Y | x ) = (1 - r 2 ) s 2 º s
2
y Y |
x

5. 2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
• El Modelo de regresión simple:
– y=variable dependiente, regresando, explicada, variable del lado
izquierdo (left-hand-side variable).
– x = variable independiente, regresor, explicativa, variables del lado
derecho (right-hand-side variable).
• Término de perturbación: u º y - E( y | x)
5
y = E( y | x )+ u

6. 2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
A
·
B
·
C
6
( i i ) i E Y X X 1 2 = b +b

7. 2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
7
• Las relaciones entre las variables x e y pueden ser: positivas o
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4
X
Y
Relación poblacional positiva entre Y y X
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4
X
Y
Relación poblacional negativa entre Y y X
negativas

8. 2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
CAUSALIDAD EN EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
• Es importante tener en cuenta que un modelo de regresión no
implica la existencia de causalidad entre las variables.
• La causalidad - si existiera - estará determinada por la teoría
económica y reforzada por pruebas estadísticas adecuadas.
8
y = E( y | x) + u x = E(x | y) + u

9. 2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
• La teoría económica analiza las relaciones entre variables a través
de modelos. Las relaciones pueden ser uniecuacionales o
multiecuacionales, bivariadas o multivariadas.
• Además, las relaciones económicas pueden modelarse como
relaciones determinísticas o relaciones estocásticas.
donde g(Y) es la función esperanza condicional o regresión.
9
(1) C = f (Y) C Y 1 2 (2) = b + b
(3) C = g(Y) + u (4) C = b1 + b2Y + u

10. 10
2. MODELO DE REGRESIÓN SIMPLE
• Ejemplo: la relación lineal entre consumo e ingreso no es exacta.
Ello, explica que las relaciones entre variables económicas sea
estocástica (presencia de u).

11. 3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
Definición
• Denominado término estocástico.
• La palabra estocástico proviene del griego stokhos que
significa objetivo o blanco de una ruleta:
– Una relación estocástica es una relación que no siempre
da en el blanco.
– Así, el término de perturbación mide los errores o fallas de
la relación determinística:
11
u Y X 1 2 = -b -b

12. 3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
• La presencia del término de perturbación se justifica por los
siguientes argumentos (no mutuamente excluyentes):
– Omisión de la influencia de eventos sistemáticos, muy
importantes y poco importantes para la relación.
– Omisión de la influencia de innumerables eventos no
sistemáticos, muy importantes y poco importantes para la
relación.
– Error de medida de las variables utilizadas.
– Aleatoriedad del comportamiento humano ante situaciones
similares.
12

13. 3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
– Omisión de variables explicativas: se excluyen variables que
no se pueden medir.
– Agregación de variables micro-económicas. Relaciones
individuales pueden tener distintos parámetros.
– Incorrecta especificación del modelo en términos de su
estructura: común en datos de series de tiempo, la variable
endógena puede depender de sus valores pasados.
– Incorrecta especificación funcional: relaciones lineales vs.
no lineales.
13

14. 14
1
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
Y
Y X 1 2 = b +b
b 1
X X 1 X2 X3 X4
Suponga que una variable Y es una función lineal de otra variable X,
con parámetros desconocidos β1 y β2 que vamos a desear estimar.

15. 15
2
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
Y
b 1
X X 1 X2 X3 X4
Y X 1 2 = b +b
Suponga que se cuenta con una muestra de 4 observaciones para las
variables X e Y.

16. 16
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
Q1
Q2
Q3
Q4
3
Y
b 1
X X 1 X2 X3 X4
Y X 1 2 = b +b
Si la relación entre X e Y fuera exacta, las observaciones estarían en
la línea recta y no habría problema de obtener los valores exactos de
los parámetros poblacionales β1 y β2.

17. 17
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
P4
P3 P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4
4
Y
b 1
X X 1 X2 X3 X4
Y X 1 2 = b +b
En la práctica, muchas relaciones no son exactas y los valores
observados de Y son distintas de los valores que tomaría se
estuvieran en la línea recta (P vs. Q)

18. 18
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
P4
P3 P2
P1
Q1
Q2
Q3
Q4
5
Y
b 1
X X 1 X2 X3 X4
Y X 1 2 = b +b
Así, el término de perturbación permite justificar tal divergencia y por
ello el modelo estadístico puede escribirse como Y = b 1 + b 2X + u,
donde u es el término de perturbación.

19. 19
3. TÉRMINO DE PERTURBACIÓN O ERROR
P4
Q4 u1
P3 P2
P1
Q1
Q2
Q3
6
Y
b 1
1 2 1 b +b X
X X 1 X2 X3 X4
Y X 1 2 = b +b
Cada valor de Y tiene un componente no estocástico, b 1 + b 2X, y un
componente u. Por ejemplo, la primera observación tiene estos dos
componentes.

20. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• SC1:
– Linealidad de la esperanza condicional. ¿Término de perturbación
aditivo? Sí.
– Regresores Adecuados.
– Parámetros Constantes.
• SC2: Supuesto de Regresión
• SC3: Rango Completo por columnas (no multicolinealidad).
• SC4: Ausencia de relación estadística entre X y perturbaciones.
• SC5: Perturbaciones esféricas: Homocedasticidad y No Autocorrelación.
20

21. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC1: LINEALIDAD DE LA ESPERANZA CONDICIONAL
1. Lineal en parámetros y variables: en general para k
variables:
y = b x + b x + b x + + b
x +
u
k k

1 1 11 2 12 3 13 1 1
y = b x + b x + b x + + b
x +
u
2 1 21 2 22 3 23 2 2
n n n n k nk n
Notación matricial:
21
y = Xb + u
k k
y = b x + b x + b x + 
+ b
x +
u


1 1 2 2 3 3
( 1)
u
1
2
u
x x 
x
x x 
x
   
x x x
b
b
u
n n ( 1)
1
2
k
11 12 1
21 22 2
ù
ú ú ú ú
û
k
1 2 ( )
( 1)
y
1
2
ù
ú ú ú ú
û
é
+
ê ê ê ê
ë
ù
ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê
ë
é
=
ê ê ê ê
ë
´ ´ ´ ´
ù
ú ú ú ú
û
é
ê ê ê ê
ë
n n nk n k k k n n
y
y
 


b

22. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• Coeficientes de la Regresión y Efectos Marginales
• Interpretación de los parámetros
22
Tabla 1: Interpretación de los coeficientes del modelo de regresión
X Log(X)
Efecto Marginal
Y Cambio en el nivel de Y ante un
cambio en una unidad de X
Cambio en el nivel de Y ante un
cambio porcentual de X
(Modelo Semilog)
Semi-elasticidad de Y ante X Elasticidad de Y ante X
Log(Y) Cambio porcentual de Y ante un
cambio en una unidad de X
(Modelo Semilog)
Cambio porcentual de Y ante un
cambio porcentual de X: ()
(Modelo Doble log)

23. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
2. Regresores adecuados: el modelo especificado es el “verdadero”
• No se omiten variables importantes.
• No se incluyen variables redundantes.
3. Los parámetros son constantes:
• Para la muestra analizada: individuos o tiempo.
• Al menos que fluctúen (poco) alrededor de un valor constante.
• No hay cambio estructural o de régimen (series de tiempo), cualidades
(corte transversal).
23

24. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC2: SUPUESTO DE REGRESIÓN:
• MEDIA INCONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN IGUAL
A CERO:
– Regresores son fijos en muestreo repetido.
– Regresores son variables aleatorias y con distribución totalmente
independiente del término de perturbación.
• MEDIA CONDICIONAL DEL TÉRMINO DE PERTURBACIÓN DADO X
ES IGUAL A CERO:
– Regresores son variables aleatorias y con distribución independiente en
media del término de perturbación.
24
E( u ) , i , ,n i = 0 =1 E( u ) =0
E( u X ) , i , ,n i = 0 =1

25. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC3: RANGO COMPLETO POR COLUMNAS DE X
– No es posible que n<k
• El número de observaciones es mayor al número de
regresores: n > k (variación de los regresores).
– Columnas linealmente independientes
• No existen relaciones lineales exactas entre regresores:
Ausencia de Colinealidad o Multicolinealidad.
– Implicancias:
• X’X es positivo definida
• la inversa de (X’X) existe!
25

26. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
26
Diversas relaciones posibles Una única relación posible
Y
X
·
·
Y
X
·
n<k n=k

27. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC4: AUSENCIA DE RELACIÓN ESTADÍSTICA ENTRE
REGRESORES Y PERTURBACIONES:
Se presentan dos casos:
– Regresores Fijos en muestras repetidas (no estocásticos).
– Regresores Estocásticos:
• Independencia total.
• Independencia en media.
• Ausencia de relación lineal contemporánea.
27

28. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• Independencia Total de las perturbaciones y regresores.
( ) ( ) ( ) i =1,n "j =1,,K i ij i ij f u ,X = f u f X
• Independencia en media de las perturbaciones.
Si se cumple SC2 , entonces :
28
( i ij ) ( i ) E u | X = E u
i =1,n "j =1,,K
( ) = 0 i E u ( ) = 0 i ij E u | X

29. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
• Ausencia de relación lineal contemporánea entre perturbaciones
y regresores.
Cov( X ,u ) = 0 i j i i =1,n "j =1,,K
( ) = 0 i E u
Si , entonces :
29
Cov( X ,u ) = E( X u ) = 0 i =1,,n "k = 1,,K ik i ik i

30. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
SC5: PERTURBACIONES ESFÉRICAS
– Homocedasticidad:
• Supuesto sobre el segundo momento condicional.
• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):
30
E [ u2 | X ] =s 2 i "i =1,,n
Var( u | X ) E[( u E[ u | X ]) | X ]
= -
E [ u | X ]
i i i "i =1,,n
2 2
2
= =s
i

31. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
– No autocorrelación:
• Si se cumple SC2 y SC3:
Cov[ u ,u ] | X = E( [ u - E( u )][u -
E( u )] | X )
i j i i j j "i ¹ j
Cov[ u ,u | X ] E( u u | X )
• En series de tiempo: ausencia de correlación serial.
31
E [ u u | X ] = 0 i j "i ¹ j
= = 0
i j i j

32. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
– Perturbaciones Esféricas: Notación matricial
• La matriz de segundos momentos es proporcional a la identidad.
• Si se cumple SC2 y SC4 (al menos independencia en media):
32
E [ uu'| X ] In =s 2
n Var( u ) = E [ uu'| X ] =s 2I

33. 4. LOS SUPUESTOS CLÁSICOS
ui
uj
33
a b
b
a
ui
uj