El documento presenta un resumen del problema del área en cálculo. Explica que los griegos usaron el método del agotamiento para calcular áreas dividiendo figuras en triángulos y sumando sus áreas. También desarrollaron técnicas para aproximar el área de figuras curvas como círculos inscribiendo polígonos con más lados y haciendo que su área se aproxime a la figura curva. Finalmente, el problema del área es fundamental en el cálculo integral, el cual permite calcular volúmenes, longitudes, fuer

1. Presentación preliminar
del cálculo
El cálculo es más dinámico que las matemáticas que se han estudiado con
anterioridad. Estudia el cambio y el movimiento; trata de cantidades que se
aproximan a otras cantidades. Aquí se dará una vista a vuelo de pájaro con
el Problema del área antes de empezar su estudio intensivo.
Hacemos que
disminuya el ancho
de los rectángulos
y, en seguida,
calculamos el área
A como el límite de
estas sumas de
áreas de
rectángulos.
Figura 9.
5
En esta infografía se usaron dibujos hechos con
OpenOffice Draw ya que las imágenes que se
copiaron del libro original eran de poca calidad visual.
La plantilla de la infografía original fue modificada
para adecuarse a las necesidades del tema.
Los antiguos griegos
hallaron áreas
aplicando el “método
del agotamiento”.
Hallaban el área de
cualquier polígono
dividiéndolo en
triángulos y sumando
sus áreas. Figura 1.
Problema del
área
El método griego
consistia en inscribir
polígonos en la figura
y hacer que el
número de lados de
los polígonos
inscritos aumentara.
Figura 2 a la 6.
Área de una
figura curva
(círculo)
Si An es el área del
polígono inscrito con
n lados; al aumentar
n, se ve que An se
aproxima al área del
círculo. El área del
círculo es
Área de una
figura curva
(círculo)
Los griegos no
conocian el concepto
de límites pero
Eudoxo (siglo v a. C.)
por razonamiento
indirecto usó el
agotamiento para
probar que el área del
círculo es A = 
Área de una
figura curva
(círculo)
Se utiliza una idea
semejante para hallar
áreas de regiones del
tipo que se muestra
en la figura 7.
Área de una
curva y = x^2
Una aproximación del
área deseada A por
medio de rectángulos
se muestra en las
figuras 8 a 9.
Área de una
curva y = x^2
El problema del área es el problema central de la rama del
cálculo conocida como cálculo integral. Las técnicas para hallar
áreas también nos permitirán calcular el volúmen de un sólido, la
longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una
presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo
realizado al bombear agua hacia fuera de un tanque.
Resumen
A3
A4 A5
A1
A2
A3
A4
A5
0 1
(1,1)
A
A6 A8
Figura 1
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5
Figura 2
Figura 5
Figura 8
Figura 6
Figura 4Figura 3
r
2
y
x
Figura 7
y
x
0
(1,1)
Figura 9
(1,1)y
0 1
x
6
7
43
1 2