El plano

República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Sede Barcelona
El Plano
Bachiller:
Rafael Aponte
C.I.: 27.226.785
Fecha, Marzo de 2019

Introducción
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética,
siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas.
Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación
de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de
la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras
debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras.
Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de
tierras.
Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes,
encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de
3’1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y
demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y
nociones básicas de semejanza de triángulos. También se tienen nociones
geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de
medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con
una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos,
semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización
conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no,
obviamente, como principio general. No se puede decir que la geometría fuese
el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la
resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También
hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos
casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron
algunas ideas sobre la demostración de este teorema…
Actualmente gracias a las muchas culturas y civilizaciones que
contribuyeron al avance de la geometria podemos decir que:
La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las
propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos,
poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de
problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos
instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.
Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de
posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación
con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es
útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría
descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello,
es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores; para
conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este
sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX
otro sistema axiomático, éste ya completo.
Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones,
axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos
objetos. Cuando se axiomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el
objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se
denominan modelos).
Esto significa que en adelante, las palabras “punto”, “recta” y “plano” deben de
perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano
como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y
axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de
importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los
axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su
comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo tradicional.

El Plano
En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y
contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría
junto con el punto y la recta.
Cuando se habla de un el plano de polina, se está hablando del objeto
geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un
número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en
plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una
representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son
especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño, ya que sirven
para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son
regularmente tridimensionales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
 Tres puntos no alineados.
 Una recta y un punto exterior a ella.
 Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura
delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de
una superficie infinita).
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda
determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto.
Mediante ese procedimiento, a todo punto del plano corresponden siempre
dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a
un par ordenado de números corresponde un único punto del plano.
Consecuentemente, el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los
puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de
números. En coordenadas polares, por un ángulo y una distancia. Esta
correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.
El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura
geométrica plana, expresada en unidades de medidas denominadas unidades
de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier
superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y
se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos.
Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando

no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la
magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Designación y Representación del Plano – Trazas del Plano
En diédrico, el plano se designa mediante una letra griega (α, β, ϕ …).
En este sistema, un plano no puede representarse por la proyección de sus
puntos (ya que un plano proyectado sobre otro también es un plano), sino que
se hace mediante sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas obtenidas
por la intersección del mismo con los planos de proyección H y V.
Las trazas de un plano se designan con las letras h y v (minúsculas) seguidas
de la letra griega que designa al plano en forma de subíndice. Las dos trazas
de un plano α son dos rectas, una perteneciente a V (vα) y otra a H (hα), que se
cortan en un punto de la LT. Ese punto es el denominado Vértice del plano.
Pertenencia de recta a plano
Sabemos que las trazas Hr y Vr de una recta r son los puntos de corte de la
recta con, respectivamente, los planos de proyección H y V. Y acabamos de
ver que la intersección de un plano α con el plano de proyección H es su traza
hα, y con el plano de proyección V es vα.
Puede deducirse que si la recta r pertenece al plano α, las trazas de r deben
estar obligatoriamente sobre las trazas de α, ya que todos los puntos de r
deben a su vez pertenecer a α.

Planos paralelos
Uno de los axiomas fundamentales de la geometría nos dice que cuando dos
planos paralelos son cortados por un tercero, se obtienen como intersección
dos rectas paralelas.
Si consideramos que las trazas son intersecciones con terceros planos (H y V)
podemos deducir que las trazas de planos paralelos también serán paralelas
dos a dos.

Formas de determinar un plano
Un axioma básico de la geometría dice que tres puntos no alineados en el
espacio determinan un único plano, y otro axioma manifiesta que dos puntos
determinan una única recta. Podemos definir un plano usando cualquiera de
estos conjuntos de datos:
Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto no perteneciente a ella.
Dos rectas que se cortan.
La figura siguiente muestra todos esos supuestos: A partir de 3 puntos no
alineados A, B y C se encuentra las rectas r (AB) y s (BC). Uniendo las trazas
horizontales y verticales de ambas rectas obtenemos las trazas del plano que
las contiene (y que por tanto también contiene a los tres puntos).
Rectas notables del plano
Se denominan rectas notables aquellas que cumplen ciertas condiciones
geométricas especiales. Son rec-tas notables de un plano las horizontales del
plano y las frontales de plano, así como las de máxima pendiente y máxima
inclinación.

Horizontales y Frontales de un plano
En apartados anteriores, hemos visto que en las rectas horizontales la
proyección vertical es paralela a la LT y no existe traza horizontal (es impropia).
Si la recta horizontal r pertenece al plano α, su traza Vr estará sobre vα (como
acabamos de ver). Para que se cumpla que r no tenga traza horizontal, su
proyección horizontal r1 debe ser paralela a la traza horizontal del plano hα.
Análogamente, en las rectas frontales s del plano α la proyección horizontal es
paralela a la LT (característi-ca común de las rectas frontales) y, al ser su traza
vertical impropia (en el infinito), su proyección vertical s2 es para-lela a la traza
vertical del plano vα.

Líneas de Máxima Pendiente (lmp) y de Máxima Inclinación del Plano (lmi)
La línea de máxima pendiente (lmp) de un plano es aquella que forma el
mayor ángulo posible con el plano de proyección horizontal H. Puede
comprobarse en la construcción que su proyección horizontal r1 es
perpendicular a la traza horizontal hα del plano.

La línea de máxima inclinación (lmi) del plano es aquella que forma el mayor
ángulo posible con el plano de proyección vertical V. Su proyección vertical r2
es perpendicular a la traza vertical vα del plano.
Hay hay infinitas lmp y lmi en un mismo plano, pero un plano puede quedar
definido inequívocamente úni-camente por un punto y por una lmp ó una lmi,
conociendo la relación geométrica de perpendicularidad mencionada entre las
proyecciones de éstas y las trazas del plano.
Alfabeto del plano
El Alfabeto del plano es la relación de posibles posiciones que un plano puede
tomar en el espacio con respecto a los planos de proyección, a los bisectores y
a la LT.
Planos Proyectantes
Los planos proyectantes son planos perpendiculares a los planos de
proyección H y V, así que una de sus trazas es perpendicular a la LT.

El plano proyectante horizontal (a la izquierda) es perpendicular al plano de
proyección H, y su traza verti-cal es perpendicular a la LT. El plano proyectante
vertical (a la derecha) es perpendicular al plano de proyección V, y su traza
horizontal es perpendicular a la LT.
Los planos proyectantes tienen una posición muy cómoda para realizar
construcciones auxiliares, ya que todo lo que contienen se proyecta horizontal
o verticalmente (dependiendo de a qué planos sean perpendiculares)
directamente sobre una de sus trazas. Más adelante veremos que uno de los
procedimientos habituales para resol-ver construcciones es convertir planos
oblicuos en proyectantes mediante alguna de las transformaciones que se
verán también en este bloque (giros, abatimientos, cambios de planos…).
Planos paralelos a los planos de proyección: Plano Horizontal y Plano
Frontal
Los planos paralelos a los de proyección son casos particulares de planos
proyectantes. Solo tienen una traza.
El plano paralelo al plano de proyección horizontal (a la izquierda) se denomina
plano horizontal. Como no corta a H, no tiene traza horizontal, y su traza
vertical es paralela a la LT. El plano paralelo al plano vertical de pro-yección (a

la derecha) se denomina plano frontal. Como no corta a V, no tiene traza
vertical, y su traza horizontal es paralela a la LT.
Planos de perfil
El plano de perfil es perpendicular a la LT y, por tanto, también lo es a H y a V
(también se denomina plano doblemente proyectante). Sus trazas coinciden en
el papel en una misma perpendicular a la LT. Para representar cualquier figura
contenida en él, es necesaria una vista de perfil auxiliar, tal y como vimos que
ocurría con las rectas de perfil.
Planos perpendiculares al Primer Bisector
En los planos perpendiculares al primer bisector las dos trazas forman el
mismo ángulo con LT (esto puede justificarse mediante construcciones de
perpendicularidad entre recta y plano, pero esto se verá más adelante en este
mismo capítulo).

Planos perpendiculares al Segundo Bisector
Los planos perpendiculares al segundo bisector tienen sus dos trazas
solapadas, formando ángulos suple-mentarios con la LT.
Planos que pasan por la Línea de Tierra
Los planos que pasan por la LT tienen sus dos trazas coincidentes con ella, así
que se necesita un punto au-xiliar que pertenezca al plano para terminar de
definirlo. Además del punto, a su pie se hace una indicación espe-cial mediante
dos marcas paralelas por debajo de la LT.

Planos paralelos a la LT
Los planos paralelos a la LT tienen sus dos trazas paralelas a ella.
Representación De Planos
Un plano puede estar definido por tres puntos,por recta y un punto, por dos
rectas paralelas o por dos rectas que se cortan.
La forma mas habitual de representar un plano en diédrica es mediante dos
rectas que se cortan, particular mente cuando esas rectas son las
intersecciones del plano con los planos de proyección V y H.
En la figura anterior se ha dibujado un plano P (transparente) que corta al plano
V según la recta AB y al plano H según la recta CD. AB y CD son las trazas del
plano P son los planos V y H respectivamente , ambas rectas se cortan en un
mismo punto E de la linea de tierra.
1º plano:
Una vez hecho el abatimiento del plano V sobre el plano H para poder hacer la
representación sobre el papel del dibujo , la recta AB queda definida por su
proyección vertical a'-b' y por su proyección horizontal a-b, coincidente con la
linea de tierra. La recta CD queda definida por su proyección horizontal c-d.
Ambas rectas se cortan en el punto e'-e de la linea de tierra.

una simplificado de la representación anterior seria:
-2º plano:
Es necesario tener presente que la traza vertical P' es una recta contenida en
la linea de tierra el plano V, de proyecciones r'-r. con la proyección horizontal r
coincidente con la linea de tierra , y que la traza horizontal P es una recta
contenida en el plano H, de proyecciones s'-s, con las proyección vertical s'
coincidente con la linea de tierra.
-3º plano:
Un punto situado en una traza vertical P' del plano como A, tiene su proyección
vertical a' sobre P' y la proyección horizontal a en la linea de tierra . Un punto
situado en la traza horizontal P del plano , como C, tiene su proyección
horizontal c sobre P y la proyección vertical c' en la linea de tierra.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y
otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de
las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes,
(y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los
cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las
coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y",
respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano
cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: p(x,y)
TRAZAS DEL PLANO
Las Trazas de un plano son dos (2) líneas rectas que resultan de la
intersección de un Plano α con cada uno de los Planos de Proyección.
La Traza Vertical TV α, es pues una recta Frontal cuyo Vuelo es igual a cero.
La Traza Horizontal TH α, es pues una recta Horizontal cuya Cota es igual a
cero.

Las Trazas son rectas que pertenecen tanto al plano α como al los Planos de
Proyección Vertical y Horizontal.
Las Trazas Vertical y Horizontal de cualquier plano se cortan en un mismo
punto sobre la Línea de Tierra. A excepción de: el Plano Paralelo a la Línea de
Tierra, el Plano Horizontal y el Plano Frontal Cada una de las Trazas del plano,
se forman con dos (2) puntos de Trazas de dos (2) rectas del plano. Ejemplo:
La Traza Vertical del plano se forma con dos (2) puntos de Traza
Vertical (Vv) de dos (2) rectas del plano.
La Traza Horizontal del plano se forma con dos (2) puntos de Traza
Horizontal (Hh) de dos (2) rectas del plano.
NOMENCLATURA
TV: La Traza Vertical.
TH: La Traza Horizontal.
V: Traza Vertical de una recta.
H: Traza Horizontal de una recta.
TRAZAS DE LAS RECTAS
Las trazas son los puntos donde la recta atraviesa los planos de proyección,
generando un punto de intersección entre el plano de proyección y la recta.
Cuando una recta atraviesa un Plano de Proyección Vertical se produce una

Traza Vertical (V), cuya Proyección Vertical ocupa el mismo lugar que el punto
real, la Proyección Horizontal de la Traza Vertical tiene vuelo igual a cero
(0).Cuando una recta atraviesa un Plano de Proyección Horizontal se produce
una Traza Horizontal (H), cuya Proyección Horizontal ocupa el mismo lugar que
el punto real, la Proyección Vertical de la Traza Horizontal tiene cota igual a
cero (0).
Como muestra el gráfico.
Luego de ubicadas las trazas debemos ubicar dos puntos arbitrarios, para
poder hallar que cuadrantes atraviesa la recta. Los cuadrantes que la recta
atraviesa se determinan por los signos de las coordenadas de los dos puntos
que conforman la recta (AB) y los signos de las coordenadas de los dos puntos
arbitrarios.

NOMENCLATURA
V= Traza Vertical de una recta.
H= Traza Horizontal de una recta.
L= Traza Lateral de una recta.
las trazas tienen las tres proyecciones como cualquier punto en el espacio.
V= Vv, Vh, Vl
H=Hv, Hh, Hl
L= Lv, Lh, Ll

CUADRANTES QUE ATRAVIESA LA RECTA.
Son los mismos que se usan para el punto.
Los CUADRANTES: Son las cuatro zonas en que los planos principales de
proyección, al considerarse la extensión infinita de ellos, dividen todo el espacio
que nos rodea
Las Rectas Notables atraviesan dos (2) cuadrantes a excepción de la Recta de
Perfil.
La Recta Oblicua atraviesa tres (3) cuadrantes.
POSICIONES PARTICULARES DEL PLANO
Plano Horizontal: es un Plano paralelo al Plano Horizontal de Proyección.
Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal,
se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Horizontal del Plano y en su
Proyección Vertical se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del
Plano α.
En este Plano α sólo distinguimos una Traza Vertical (TV α), la cual es paralela
a la Línea de Tierra y cuyo ángulo α= 0º con el Plano Horizontal de Proyección.
El ángulo β= 90º
La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa la Cota del
Plano Horizontal α.

Plano Frontal: es un Plano paralelo al Plano Vertical de Proyección. Como
consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá
en Verdadero Tamaño en la Proyección Vertical del Plano y en su Proyección
Horizontal se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano β.
En este Plano β sólo distinguimos una Traza Horizontal (TH β), la cual es
paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo β = 0º con el Plano Vertical de
Proyección. El ángulo α = 90º
La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del
Plano Vertical β

.
Plano de Perfil: es un Plano perpendicular a los Planos Vertical y Horizontal
de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el
Plano de Perfil, se verá confundido sobre las líneas de las Trazas Vertical y
Horizontal del Plano ε. se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Lateral
del Plano.
En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y
TH ε), las cuales son perpendiculares a la Línea de Tierra y cuyos ángulos α =
90º y β = 90º.
La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del
Plano Vertical β.

Plano Proyectante Vertical (de Canto): es un Plano perpendicular al Plano
Vertical de Proyección. El valor del ángulo α oscila entre 0º y 90º. El ángulo β =
90º.
TH ε).
Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se
verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los
elemento dibujado sobre el Plano Horizontal se ven pero no están en
Verdadero Tamaño.

Plano Proyectante Horizontal (de Pie): es un Plano perpendicular al Plano
Horizontal de Proyección. El valor del ángulo β oscila entre 0º y 90º. El ángulo
α= 90º.
TH ε).
Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal,
se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y
los elemento dibujado sobre el Plano Vertical se ven pero no están en
Verdadero Tamaño.

Plano Paralelo a la Línea de Tierra: se reconoce como su nombre lo indica
por ser paralelo a la Línea de Tierra.
Sus Trazas siempre son paralelas a la Línea de Tierra (TV ε y TH ε).

Plano Cualquiera (Oblicuo): es aquel cuya posición en el espacio no se
someta a ninguna relación notable con los Planos de Proyección.
Las magnitudes de los ángulos α y β alcanzan valores cualquiera, la posición
con respecto a la LT es siempre oblicua, por lo que debe cumplir la relación
180º > α + β <>90.
Las figuras planas.
El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas, abarca a los
polígonos en general — tanto regulares como irregulares — como así también
al círculo, que puede ser considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
 Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los polígonos
regulares;
 Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
 Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos regulares e
irregulares.

Líneas y puntos en los polígonos.
En los polígonos regulares, se consideran las
propiedades geométricas de las siguientes líneas y
puntos:
 El perímetro — que está formado por la
continuidad, o la suma, de todos sus lados.
 La diagonal — que es la línea que une dos
ángulos no consecutivos.
 El centro — que es el punto que se
encuentra a una misma distancia de todos
sus vértices.
 El radio — que es la línea que une
el centrocon uno de sus vértices; por lo
cual un polígono regular tiene tantos radios
como ángulos.
 El apotema — que es la
línea perpendicularque une el centro con
cualquiera de sus lados; por lo cual un
polígono regular tiene tantos apotemas
como lados.
Líneas y puntos en el círculo.
El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los
efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.
En el círculo se consideran las propiedades
geométricas de las siguientes líneas y puntos:
 La circunferencia — que lo delimita, y que es el
equivalente al perímetro.
 El centro — es el punto del cual equidistan
todos los puntos de la circunferencia.
 El radio — es la medida de distancia entre el
centro y la circunferencia, es el equivalente al
radio de los polígonos regulares, y también al

apotema.
 El diámetro — que es la línea que pasando por
el centro une dos puntos opuestos de la
circunferencia, y por lo tanto mide el doble del
radio, es el equivalente a la diagonal.
 La secante — que es la línea que incluye dos
puntos de la circunferencia, sin pasar por el
centro. El tramo entre esos puntos, es
la cuerda.
 La tangente — que es la una línea recta que
toca solamente un punto de la circunferencia.
 El arco — que es el tramo de la circunferencia
comprendido entre dos puntos distintos de la
misma.
 La flecha — que es la una línea perpendicular
al punto medio de la secante, que lo une con la
circunferencia.
 El sector — que es la superficie comprendida
entre dos radios y el arco que delimitan.
Los ángulos en los polígonos.
En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores — que son los que se
forman en el vértice entre los lados.
Los ángulos centrales — que son los que se
forman con vértice en el centro del polígono, y
cuyos lados son los radios que unen ese
centro a dos vértices consecutivos. Por lo
tanto, un polígono regular tiene tantos
ángulos centrales, todos iguales, como lados.

Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden
formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un
polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.
 Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.
 Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
 Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
 Ángulo central del exágono: 360° ÷ 6 = 60°.
 Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
 Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.
Polígonos inscriptos y circunscriptos.
Se dice que un polígono está inscripto en un
círculo, cuando todos los vérticescoinciden
con puntos de su circunsferencia.
Se dice que un polígono está circunscriptoen
un círculo, cuando los puntos medios de
todos sus lados coinciden con puntos de su
circunsferencia.
Construcción de polígonos mediante el compás.
Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los
polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para
construir graficamente diversos polígonos.
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de
circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede
ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados
están constituídos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada
por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.

El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se
basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué
puntos de la circunsferencia deben situarse para que el polígono resulte
inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los
ángulos centrales del polígono que se desea construir.
Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un
círculo, manteniendo el radio (abertura del
compás) empleado para trazar el círculo, se
determina un punto de la circunferencia
(preferiblemente en la vertical inferior de su
centro), y centrando en ese punto se traza un
arco con extremos en la circunsferencia.
Los puntos de intersección (A y B) determinan un
lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando
la medida de ese segmento con el compás y
trasladándola sobre la parte superior de la
circunferencia, se determinará el vértice (C) de
unión de los otros dos lados.
Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo,
se traza una recta que pasando por el centro
llegue a la circunsferencia en sus extremos
(diámetro AB).
Con una abertura del compás mayor a la
empleada para trazar el círculo, centrando en los
puntos extremos del diámetro, se marcan puntos
en la circunferencia; lo que determinará dos
nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una
recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular
al anterior; cuyos puntos de contacto con la
circunferencia serán los vértices del cuadrado
inscripto.
Como el cuadrado inscripto queda en posición
transversal, puede trazarse otro con los lados en
posición horizontal y vertical, simplemente
trazando las medianas del cuadrado anterior, para
determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo
cuadrado inscripto en el mismo círculo.

Para trazar un exágono inscripto en un círculo, se
fija un punto sobre la circunferencia, y con la
misma abertura del compás, se marcan puntos
haciendo centro primero en ese punto y luego
sucesivamente en los nuevos puntos.
Ello determinará que se marquen sobre la
circunferencia los seis puntos que corresponden a
los vértices del exágono.
Cálculo de la superficie de las figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa corrientemente en
geometría con el nombre de área. Ella se expresa en unidades de medida de
superficie, que se basan en la figura del cuadrado; por lo cual se llaman
metros, decímetros o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético de cálculo de la
medida de la superficie comprendida en las figuras geométricas planas, es el
estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo
lado sea una parte del cuadrado original, resulta fácil
apreciar que la cantidad de cuadrados menores — que
pueden considerarse como unidad de medida — es
igual a la multiplicación del número de cuadrados
contenidos en dos de los lados del cuadrado
originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado original,
y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la superficie del cuadro
puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA

En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento
permite establecer que el procedimiento de cálculo
de su superficie es igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una
derivación de las anteriores, atendiendo a que la
diagonal de rectángulos lo divide en dos triángulos; por
lo cual la superficie de todo triángulo es igual a la
mitad de la del polígono que resultaría de duplicarlo
tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8
= 40 ÷ 2 = 20.
Si se observa un trapecio, se percibe que cada
una de sus diagonales lo convierte en la suma de
dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma
de las superficies de uno de los dos pares de
triángulos que se forman al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados paralelos, y
base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la base mayor resulta ser la
base de uno de los triángulos, y la base menor resulta ser la base del otro; en
tanto que la altura del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede
obtenerse la suma de ambas superficies en una única operación, sumando
ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando por la altura: 9 + 6
= 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.

Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los polígonos regulares
se detecta la siguiente propiedad fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado
de sus radios los divide en tantos triángulos
como lados posean; cuyas alturas son
iguales al apotema del polígono, y cuyas
bases sumadas son iguales al perímetro del
polígono.
En consecuencia, la superficie de un polígono
regular será igual a la suma de las superficies de
los triángulos que lo forman. Extendiendo la
fórmula de cálculo de la superficie del triángulo, se
deduce:
Superficie del círculo.
Considerando el círculo como un polígono regular cuyos lados son cada uno de
los puntos que componen su circunferencia, ésta resulta ser su perímetro; y el
radio es a la vez el apotema respecto de cada uno de esos puntos.
La circunferencia es una línea difícil de medir; pero puede calcularse a partir de
la medida del radio, aplicando la propiedad fundamental del círculo.
La propiedad fundamental del círculo, consiste en que existe una
relación permanente entre su radio y la medida de su circunferencia,
que es un valor constante de 3,1416; el cual se designa con la letra

griega PI.
En consecuencia, aplicando al círculo la regla general para el cálculo de la
superficie de un polígono regular, se concluye:
Superficie de los polígonos irregulares.
Cualquier polígono irregular, puede
descomponerse en triágulos, mediante el trazado
de sus diagonales; o complementando éstas con
perpendiculares desde un vértice a una diagonal.
Por lo tanto, conociendo la medida de las líneas
que conformen las bases y alturas de esos
triángulos, será posible calcular su superficie; y
sumarla para obtener la superficie total del
polígono irregular.

Conclusión
La necesidad de la enseñanza de la geometría en la escuela responde al papel
que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento geométrico
es indispensable para desenvolverse y en cuestiones como para orientarse
reflexivamente en el espacio o como para hacer estimaciones sobre formas,
distancia, también para hacer operaciones y cálculos relativos a la distribución
de objetos en el espació.
La geometría no es tan difícil como se ve
solo es cuestión de
poner atención
en lo que queramos saber.

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