Este documento presenta los conceptos de integrales de línea y el teorema de Green para campos vectoriales y escalares. Incluye 20 ejercicios para practicar el cálculo de integrales de línea directamente y usando el teorema de Green para diferentes curvas y campos. También incluye un dato curioso sobre el cálculo de una integral de línea alrededor de un círculo.

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 03
CICLO 02-2014
“INTEGRALES DE LINEA Y TEOREMA DE GREEN”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
Instructores de Célula: Jorge Gálvez, Gustavo Avelar, Carlos Alarcón.
INTEGRALES DE LINEA.
Un poco de Teoría.
1. Dar la definición de la integral de línea y de la integral de superficie de un campo vectorial y de un campo escalar.
2. Si es un campo de fuerza. ¿Qué Significa ∫ ?
3. Si sabemos que ∫ es independiente de la trayectoria, ¿qué podemos decir respecto de F?
4. Si un campo vectorial es conservativo. Señale la o las afirmaciones verdaderas.
a) ∫ : C es una curva cerrada.
b) ( )
c) , para algún campo escalar .
d) ( )
5. Si tiene derivadas continuas parciales sobre y C es cualquier circulo, muestre que ∫

2. Ejercicios.
1. Verificar que la longitud de la circunferencia de un circulo de radio k es 2πk.
2. Considere la hélice con ecuaciones paramétricas ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]. Verifique que su longitud es: √ .
3. Calcular las integrales de línea del campo vectorial dado sobre las curvas indicadas:
i) ( ) ( ) ( ) a lo largo de la parábola desde el punto (-2,4) hasta el punto (1,1). Resp. .
ii) ( ) ( ) sobre el segmento de recta desde el punto (0,0,0) hasta el punto (1,2,4). Resp. .
4. Calcular la integral ∫( ) ( ) sobre las aristas del triangulo en el plano XY de vértices (0,0), (3,0) y (3,2). Resp. 12.
5. Calcular la misma integral del ejercicio anterior pero sobre la circunferencia de radio 4 centrada en el origen. Resp. 64π.
6. Dado el campo vectorial: ( ) , calcular la integral de línea sobre la circunferencia , recorrida en sentido positivo. Resp. 0.
7. Si ( ) y C es el segmento que une los puntos (-1,-1) hasta el punto (2,-1). Halle ∫ .
8. Considere el campo vectorial ( ) . Calcule la integral de línea a lo largo de la circunferencia orientada positivamente. ¿Es el campo conservativo? Explique. Podría aplicarse el teorema de Green para calcular la integral de línea que usted calculó. Explique.
9. Considere C el perímetro del cuadrado unitario orientado en el sentido positivo, con vértices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1). Hallar ∫ .
10. Usando la definición de integral de línea calcule ∫ donde ( ) y C es el circulo , orientado positivamente.

3. 11. Si ( ) y C es el segmento que une el punto inicial (-1,-1,- 1) con el punto final (1,1,1). Hallar ∫ .
12. Sea ( ) ( ) ( ) ( ) , y C la curva que se obtiene al intersecar la superficie con el plano . Calcular ∫ .
13. Verificar que el área limitada por la elipse , es:
14. Considere la siguiente integral de línea ∫( ) ( ) ( ) . Verifique que la integral no depende de la trayectoria elegida.
15. Sea ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) y sea C la curva que une los puntos: A=(2,2,1) con B=(3,1,e) calcular ∫ .
16. Calcular ∫ , donde C es la elipse , recorrida en sentido antihorario.
17. Calcular ∫( ) , donde C es la circunferencia cuya parametrización es: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ].
18. Calcular ∫ , donde C es la hélice cuya parametrización es la siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
19. Determine el trabajo que realiza el campo de fuerza ( ) , al mover una particula desde (1,0,0) hasta (0,π/2,3) a lo largo de:
a) Una recta.
b) La hélice ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
20. Evaluar la integral de línea ∫ , siendo:
a) √ ̂ √ ̂ , siendo la parábola entre los puntos ( ) ( )
b) ( ) ̂ ( ) ̂ (√ ) ̂ , donde es el segmento de recta entre los puntos ( ) ( )

4. TEOREMA DE GREEN.
1. Usando el teorema de Green evalúe ∫ ( ) , donde C es la circunferencia .
2. Probar el teorema de Green sobre el cuadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2) y (0,2) con el campo vectorial ( ) ( ) ( ) .
3. Use el teorema de Green para calcular ∫ , donde C es una curva simple orientada positivamente consistiendo en el segmento que va desde (-2,0) hasta (2,0) y en la parte inferior de la circunferencia .
4. Utilizando el teorema de Green calcular el área del cuadrilátero determinado por los puntos (0,0), (5,1), (4,5) y (0,3). Resp. .
5. Sea C la curva cerrada descrita por el par de graficas: ( ) ( ) [ ]. Orientada en sentido positivo. Calcular la integral siguiente directamente utilizando el teorema de Green: ∫( ) . Resp. .
6. Utilizar el teorema de teorema de Green para calcular el área del cuadrilátero determinado por los puntos (0,0), (5,2), (3,4) y (0,3). Resp. .
7. Sea la frontera del triángulo con vértices (0,0), (1,2) y (0,2). Calcular ∮ . Use el método tradicional (recorriendo la curva en sentido horario y antihorario) y el teorema de Green.
8. Evaluar la integral ∮( ) ( ) , donde es la frontera de la región entre los círculos
9. ∫ ( ) ̂ ̂, siendo la región formada por el circulo entre los puntos ( ) (√ √ ) y los segmentos de recta de (√ √ ) ( ) y de ( ) ( )
10. Sea C la curva cerrada y orientada positivamente descrita de la manera siguiente: el segmento , entre , el arco √ en el primer cuadrante, el segmento entre , el arco √ en el primer cuadrante. Calcular la integral siguiente directamente y utilizando el teorema de Green:

5. ∫ . Resp. 2log2.
DATO CURIOSO
Consideremos la integral: ∫
donde: ( ) ̂ ̂
y ( ) ̂ ̂
Como y es un circulo, cabe esperar que la integral de línea tendrá el valor de . Sin embargo, por integración directa resulta ser:
∫
¿Cuál es el resultado correcto y por qué?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
Si ( ) Donde v es función de t y k(t) representa la energía cinética. Demuestre que si , entonces: ∫ ( ) ( ).
Un hombre de 160 libras de peso sube con una lata de 25 libras de pintura por una escalera helicoidal que rodea un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies de alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas; ¿Cuánto trabajo realiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?