Trabajo realizado por el alumno de Estalmat de 1º de Veteranos, Aitor Jarit Cabanillas. Curso 2010-2011

1. Historia de las matemáticas: Egipto Aitor JaritCabanillas 5-3-2011

2. Índice: 1) Álgebra egipcia. 1.1) ¿Cómo resolvían ecuaciones lineales los egipcios? 1.2) ¿En qué consiste el método de "regula falsi"? ¿Hasta qué siglo se continuó utilizando? 1.3) Resolución de los problemas 24 y 30 del Papiro de Rhind. 1.4) Resolución de un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas de un problema del Papiro de Berlín.2) Geometría egipcia. 2.1) Cálculo de áreas. Necesidad de los agrimensores para recalcular las lindes de los campos tras la inundación anual del Nilo. 2.2) Cálculo de volúmenes de figuras geométricas muy básicas. 2.3) Resolución de los problemas 50 y 52 del Papiro de Rhind. 2.4) Resolución de los problemas 10 y 14 del Papiro de Moscú. 3) Trigonometría egipcia 3.1) Resolución del problema 56 del Papiro de Rhind.

3. 1.Álgebra El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades. Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números. Si bien la palabra "álgebra" viene del árabe sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos.

4. 1.1. Ecuaciones lineales en Egipto :1.2. Regula Falsi: Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón. La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi“ el cual se sigue utilizando en la actualidad. Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta. Resolviendo la siguiente ecuación por el método regula falsi x + 1 / 7 x = 24 . Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daría: 7 + 1/7 · 7 = 8 , y como nuestra solución es 24 , es decir, 8·3 , la solución es 21 = 3 · 7 , ya que 3 · (7 + 1/7 - 7) = 24.

5. 1.3.Problema 24 del papiro de Rhind: 24) Calcula el valor del aha si el aha y una séptima parte del aha es 19. x+x/7=19 Le damos a x un valor estimado de 7 y calcula 7 + 7/7 = 8. Entonces ahora para averiguar el valor real hay que encontrar un número N tal que al multiplicarlo por el resultado de aplicar el valor estimado nos de 19, es decir hay que dividir 19/8. El valor buscado entonces será 7*N 16 + 2 + 1 = 19 ---> 19/8 = 2 + 1/4 + 1/8. Este es el valor a multiplicar por 7 para obtener la x buscada. Entonces el valor buscado es 2 + 1/4 + 1/8 + 4 + 1/2 + 1/4 + 9 + 1/2 = 16 + 1/2 + 1/8

6. 1.3. Problema 30 papiro de Rhind: Resolver la ecuación x+2x/3+x/2+x/7=37 42x/42+28x/42+21x/42+6x/42=1554/42; 42x+28x+21x+6x=1554; 97x=1554; x=1554/97 x=16.02

7. 1.4. Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas del Papiro de Berlín: "El área de un cuadrado de 100 codos cuadrados es igual a la suma de la de otros 2 cuadrados más pequeños. El lado de uno de ellos es del otro. Averigua los lados de los cuadrados".y=1/2+x/4;Supón que uno de los cuadrados tiene lado 1 codo. El otro entonces será de 1/2 + 1/4 de codo. Las áreas son: para el primero 1 codo cuadrado y para el segundo el resultado de elevar al cuadrado 1/2 + 1/4 aplicando el método de multiplicación el resultado es: 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 = 1/2 + 1/16. Entonces la suma de las 2 áreas de los cuadrados es 1 + 1/2 + 1/16 de codo. La raíz cuadrada de esta suma es 1+1/4. Como la raíz cuadrada de 100 es 10 debemos encontrar un número N tal que al multiplicarlo por 1+1/4 nos de 100. Es decir hay que dividir 100 entre 1+ 1/4. El número buscado es 8. Entonces x = 8. Para calcular el otro cuadrado se multiplica 1/2 + 1/4. Entonces el otro cuadrado tendrá un lado de 6 codos.

8. 2.Geometría La Geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos. La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.

9. 2.1. Cálculo de áreas y su necesidad: Para calcular el área de algunas figuras como: Triángulo: Se basaban en la representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión: área = altura × base/2, y partían de este conocimiento para el cálculo de otras superficies como la del trapecio Círculo: El sistema empleado era sustraer 1/9 del diámetro y calcular la superficie del cuadrado correspondiente , lo que da un valor para π de 3'1605,cuando el resto de los pueblos de la época usaban valor 3. Con el cálculo de áreas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre geometría: "medición de la tierra“.

10. 2.2 Cálculo de volúmenes: Los escribas calcularon los volúmenes que les interesaban, como la pirámide, tronco de pirámide y cilindro. Pirámide. No se posee ningún ejemplo del cálculo del volumen de la pirámide, pero sí pruebas de que lo calculaban: hay un problema sobre el cálculo del ángulo de inclinación de una pendiente, un texto sobre el cálculo del número exacto de ladrillos necesarios para construir una pirámide, y el hecho de calcular el volumen del tronco de pirámide. Cilindro Los escribas necesitaban conocer la capacidad de los recipientes empleados en los almacenes, en su mayoría casi cilíndricos, tanto para llevar la contabilidad de lo almacenado como para pagar a los obreros y artesanos o cobrar los impuestos.El volumen dado es el área del círculo de la base multiplicado por la altura del recipiente.

11. 2.3.Resolución del problema 50 del papiro de Rhind: Calcular el área de un campo circular cuyo diámetro es 9 jet. Calculamos el área como si fuera igual a la de un cuadrado de lado 9. Según ellos se resta al diámetro 1/9 del mismo(, que es 1. La diferencia es 8(9-1/9=8). Ahora multiplica 8 veces 8, que da 64. Este es el área del círculo. Se utiliza la fórmula A=(d-1/9d)2 que comparándola con la real que esA=( pi*d2 )/4 se obtiene un valor de pi de 3’1605

12. 2.3.Resolución del problema 52 del papiro de Rhind: ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de 20 jet de lado, 6 jet de base y 4 jet en su línea de sección? Se suma su base a su segmento de corte; se obtiene 10. Se toma la mitad de 10, que es 5, para formar un rectángulo. Se multiplica a continuación 20 veces 5 y el resultado, 100, es el área buscada. Podríamos definir ese triángulo truncado como un trapecio isósceles formado por una recta paralela a la base a partir de la que se construye el rectángulo.

13. 2.4.Resolución del problema 10 del papiro de Moscú: Calcular el área de una superficie que en principio parece un cesto de diámetro 4,5“ Podríamos utilizar la fórmula anterior que utilizaban para áreas modificándola para el cesto así podríamos emplear: [(1-1/9)^2]*(4.5*2)*4.5 entonces el resultado sería de 32 unidades del que podemos deducir que la figura podría ser uan semiesfera de 4.5 de diámetro.

14. 2.4.Resolución del problema 14 del papiro de Moscú: Calcular el área de la figura, que parece ser un trapecio isósceles. (Realmente se refiere a un tronco de pirámide cuadrangular) En la parte superior aparece un 2, en la inferior un 4 y dentro de la figura un 56 y un 6. El desarrollo es el siguiente: At=Área total A=Área de la base mayor A’=Área de la base menor P=Perímetro mayor P’=Perímetro menor Ap= apotema del tronco At=[(P+P’)/2]*Ap+A+A’; AT=92

15. 3.Trigonometría: La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es la medicion de los triángulos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

16. 3.1.Resolución del problema 56 del papiro de Rhind: ¿Cuál es el seqt de una pirámide de 250 cubits de alturay 360 cubits de lado en la base? Primero calculamos 1/2 de 360 que es 180, multiplicamos 250 hasta obtener 180 que es 0.72=36/50 o mas manejable 1/2 + 1/5 + 1/50, como un cubit son 7 palmos multiplicamos lo anterior por siete y nos da 5+1/25 palmos por codo y ése es el seqt o pendiente de las caras laterales que coincide con la cotangente del ángulo.

17. FIN