Este documento presenta una tarea de control de un generador sincrónico. Se pide discretizar el modelo continuo del generador incluyendo retardos en la medida del ángulo, obtener una realización mínima del sistema discreto, analizar posibilidades de desacoplamiento, diseñar un observador de orden reducido y tiempo mínimo, implementar un control integral por realimentación del estado observado, y diseñar un control óptimo. Se proporcionan detalles sobre cómo abordar cada punto utilizando Matlab.

1. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad Politécnica de Valencia
INGENIERÍA DE CONTROL I
2007-8
__________________________________________________________________________________________________
P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail pedro@aii.upv.es
J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail jvroig@aii.upv.es
Tarea 3. Control de un generador sincrónico
Considerar el siguiente modelo continuo para el generador sincrónico:
( )
( )
( )
( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
−
+
−
++=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
sE
sP
ss
sss
sE
s
q
4.0
15.0
4.0
05.0
4.0
06.0
1304
76
2δ
Además la medida del ángulo δ(t) presenta un retardo de 0.1 seg.
Se pide:
a. Obtener la matriz de transferencia discreta, con T = 0.05 seg, que incluya los retardos
en la medida del ángulo.
b. Obtener una realización mínima del sistema discreto.
c. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento del sistema discreto mediante
prealimentación dinámica.
d. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento mediante realimentación del
estado del sistema discreto.
e. Diseñar un observador de orden reducido y de tiempo mínimo.
f. Implementar un control integral por realimentación del estado observado que sea lo
más rápido posible.
g. Diseñar un control óptimo con el siguiente índice de costes:
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
0 20
01
10
010
k
TT
kukukykyJ
Solución.
a. Obtener la matriz de transferencia discreta, con T = 0.05 seg, que incluya los
retardos en la medida del ángulo.
Los retardos, si son múltiplos del periodo de muestreo, se reducen a multiplicar por el
operador 1−
z . Por lo tanto, discretizaremos la matriz de transferencia, sin retardo, y
después aplicaremos un factor 2
2/ −
⇒= zTτ . Utilizaremos Matlab®
:
1. Definimos )(sG
g11=tf(76,[1 4 130]); g12=tf(-0.06,[1 0.4]); g21=tf(-0.05,[1 0.4]); g22=tf(0.15,[1 0.4]);
G=[g11,g12;g21,g22]

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2. Discretizamos el sistema sin retardo, manteniendo la respuesta a un escalón (“zoh”)
T=0.05; Gz=c2d(G,T,'zoh')
Podriamos haber utilizado cualquier otro procedimiento de discretización, como
Euler, bilineal, … Obtendríamos discretizaciones ligeramente distintas, válidas para
pequeños periodos de muestreo. En este caso es:
0.08662 z + 0.08098
g11(z)=: ----------------------
z^2 - 1.532 z + 0.8187
-0.002475
g21(z)= ----------
z - 0.9802
-0.00297
g12(z)= ----------
z - 0.9802
0.007425
g22(z)= ----------
z - 0.9802
3. Para incluir el retardo, multiplicamos por el operador ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
0T)0],0[1tf(1,
2R .
R2(1,1)= tf(1,[1 0 0],T); R2(1,2)=0;R2(2,1)=0;R2(2,2)=1;
siendo
Grz=R2* Gz,
b. Obtener una realización mínima del sistema discreto.
Pasamos la representación al espacio de estados:
S=ss(Grz);
y obtenemos una realización mínima:
Sm=minreal(S)
Podemos comprobar si la realización es correcta viendo los polos de ambos sistemas:
pole(Grz)
eig(Sm.a)

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c. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento del sistema discreto mediante
prealimentación dinámica.
Para poder hacer un desacoplamiento dinámico debemos anteponer un sistema dinámico
cuya matriz de transferencia sea realizable y estable y que, premultiplicada por Grz de una
matriz diagonal.
Las dos opciones más usadas son
1. Se premultiplica la matriz inversa de Grz (si existe) por una matriz diagonal F de
forma que el producto sea realizable.
D(z)=Grz-1
.F(z)
2. Se descompone Grz en una matriz diagonal R post-multiplicada por una matriz
polinomial A (cuya inversa siempre es realizable)
D(z)=A-1
; Grz(z)=R(z) . A(z)
En ambos casos, como se hace una cancelación de los ceros del sistema inicial, el sistema
debe ser de fase mínima.
Resolvemos el tema hallando los ceros de transmisión de S, es decir, los ceros de Grz:
zero(Sm)
zero(Grz)
que están dentro del círculo unidad y el desacoplamiento será posible. El cálculo concreto
de las matrices F, R o A, no puede hacerse con Matlab. Ha de utilizarse tratamiento
simbólico o, en este caso, hacerlo manualmente.
d. Analizar la posibilidad de realizar un desacoplamiento del sistema discreto mediante
realimentación del estado.
Las matrices del sistema de orden mínimo son: Sm: (Am,Bm,Cm,Dm)
Am=Sm.a; Bm=Sm.b;Cm=Sm.c;Dm=Sm.d;
Calcularemos la condición de Gilbert:
CB1=Cm(1,:)*Bm;
CB1= 10-16
*[-.4 0], que es prácticamente nulo.
Igual pasa con CAB1= Cm(1,:)*Am*Bm
En cambio,

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CA2B1=Cm(1,:)*Am*Am*Bm = [0.0866 -0.003] ≠ 0;
Por otra parte
CB2=Cm(2,:)*Bm= [-0.0025 0.0074] ≠ 0;
Analicemos el rango de la matriz:
J=[CA2B1;CB2];
Como rango de J=2, es de rango completo, el sistema es desacoplable mediante una
realimentación Kg del estado y una prealimentación Fg
La matriz Kg Kg=-inv(J)*Ag
Ag1=Cm(1,:)*Am; Ag2=Cm(2,:)*Am;
Ag=[Ag1;Ag2];
Ji=inv(J);
Kg=-Ji*Ag
e. Diseñar un observador de orden reducido y de tiempo mínimo.
Comprobamos que el sistema es observable:
Om=obsv(Am,Cm);
rank(Om)
que es completo (=6), luego es observable.
Tenemos dos salidas y seis estados. Realizaremos una transformación del estado de forma
que las dos primeras variables de estado sean las salidas, es decir, con una matriz T, de
rengo completo, cuyas primeras filas sean Cm.
El proceso de diseño será el descrito en las notas de clase (ver figura), asignando los
cuatro polos del observador de orden reducido, (A22-KoA12), en el origen.

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h. Implementar un control integral por realimentación del estado observado que sea lo
más rápido posible.
En este caso, tenemos acceso a todo el estado. Ampliaríamos el sistema con sendos
integradores del error (diferencia de las dos referencias y las dos salidas):
kk
kk
r
I
u
B
v
x
IC
A
v
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
0
0
0
1
; [ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
v
x
kku i
y calculamos las matrices K y Ki para asignar los ocho polos próximos al origen.
i. Diseñar un control óptimo con el siguiente índice de costes:
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
0 20
01
10
010
k
TT
kukukykyJ
El diseño es directo, utilizando el comando lqry de Matlab.