Tarea3 08 sol+maqpapel

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad Politécnica de Valencia
INGENIERÍA DE CONTROL I
2008-9
___________________________________________________________________________________________
P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail pedro@aii.upv.es
J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail jvroig@aii.upv.es
Tarea 3. Diseño control máquina de papel (entrega 4/12/08)
La caja de distribución de una máquina de papel se ha modelado experimentalmente,
obteniéndose la matriz de transferencia:
( )( )
( )( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
+
−
++
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
p
f
sss
e
sss
e
v
h
s
s
73.02
11.0
71.0
086.0
92.1
129.0
83.02
1245.0
2.0
1.0
Existe una fuga constante de material de entrada, w, que no se puede medir.
Se pide:
1. Considerando los pares nivel/presión y velocidad/flujo, diseña sendos reguladores
que consigan, en ambos bucles de control, amortiguamiento 0.5 y test ≤ π seg, sin
error estacionario, independientemente, como si no hubiera interacción entre
variables.
2. Determina el comportamiento real del sistema acoplado, con estos reguladores.
3. Se discretiza el modelo con un periodo de muestreo de T = 0.1s. Sin tener en
cuenta retardos, obtener una realización mínima y una reducida de 4º orden.
4. Incluyendo retardos, diseña un control centralizado, por realimentación del estado,
para conseguir los mismos polos que en el diseño hecho en 1) (introduce acción
integral).
a. Con el modelo de realización mínima.
b. Con el sistema reducido.
5. Diseña un observador del estado (del sistema reducido) y de la perturbación e
implementa un control por realimentación de la salida y con prealimentación.
6. Diseña un control óptimo con respecto al índice:
( )∑
∞
=
+++++=
0
2
,2
2
,1
2222
02.0101.05.0
k
kkkkkk eaeafpvhJ
suponiendo que se mide el estado y la salida. eai son los errores acumulados de
cada salida. Compara las respuestas a escalón en referencias de ambas salidas.
7. Realiza el diseño para conseguir las prestaciones previstas en 1), habiendo hecho
previamente un desacoplamiento:
a. con prealimentación dinámica.
b. por realimentación del estado.

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Solución
1. Diseño de control feedback descentralizado.
Utilizando la herramienta sisotool de MATLAB podemos diseñar reguladores que
cumplan con las especificaciones del control. Así obtenemos:
- Para la fdt ( ) ( )
( ) 92.1
129.0
12
+
−
==
ssp
sh
sg el regulador ( )
s
s
sK
58.3
6261.41
+
−= .
- Para la fdt ( ) ( )
( ) 71.0
086.0
21
+
==
ssf
sv
sg el regulador ( )
s
s
sK
182.1
8072.202
+
= .
2. Simulación del control feedback descentralizado.
El esquema de SIMULINK de dicho control es el mostrado en la siguiente Figura 2, y
su evolución se muestra en la Figura 1.
Salida v
Salida h
Ref_v
Ref_h
f
p
h
v
Máquina
Papel
20.8072(s+1.182)
s
K2
-4.6261(s+3.58)
s
K1
Entradas (f&p)
Figura 2: Control feedback descentralizado.
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
velocidad
Control feedback descentralizado
0 5 10 15 20 25
-1
0
1
2
3
Tiempo (seg)
nivel
Figura 1: Salidas con control feedback descentralizado.

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El sistema equivalente en bucle cerrado (sin tener en cuenta los retardos) de este
esquema lo podemos obtener con las siguientes instrucciones:
>> s = tf('s');
>> g11 = 0.1245/((s+2)*(s+0.83));
>> g12 = -0.129/(s+1.92);
>> g21 = 0.086/(s+0.71);
>> g22 = 0.11/((s+2)*(s+0.73));
>> G = [g11 g12; g21 g22]; %matriz de transferencia sin retardos
>> K1 = -4.6261*(s+3.58)/s;
>> K2 = 20.8072*(s+1.182)/s;
>> K = [K1 0;0 K2]; %regulador desacoplado
>> Gs = series(K, G, [2 1], [1 2]); %conexión regulador-proceso
>> H1 = eye(2); %realimentación unitaria
>> Gc = feedback(Gs, H1); %Cerrar el bucle
Para determinar el comportamiento del sistema real con estos reguladores podemos
calcular los polos de la realización mínimo del sistema equivalente ya calculado con la
siguiente instrucción:
>> pc = pole(minreal(ss(Gc)))
12 states removed.
pc =
-0.4099 + 0.9406i
-0.4099 - 0.9406i
-1.7798 + 1.2124i
-1.7798 - 1.2124i
-0.7112
-1.1534
-2.4084
-1.9239
3. Modelo discretizado con T = 0.1s. Sin tener en cuenta retardos, obtener una realización
mínima y una reducida de 4º orden.
Con las siguientes instrucciones de MATLAB, podemos discretizar la matriz de
transferencia sin retardos y obtener la realización mínima y reducida:
>> T = 0.1;
>> Gd = c2d(G, T, 'zoh'); %Matriz de transferencia discreta
Transfer function from input 1 to output...
0.0005669 z + 0.0005159
#1: --------------------------
z^3 - 1.739 z^2 + 0.7535 z
0.008302
#2: ----------------
z^3 - 0.9315 z^2
Transfer function from input 2 to output...
-0.01174
#1: ----------
z - 0.8253
0.0005026 z + 0.0004589
#2: -----------------------
z^2 - 1.748 z + 0.7611
>> SYSm = minreal(ss(Gd)); %Realización mínima 6 v.e.
a =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 1.739 -0.7535 0 0 0 0

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x2 1 0 0 0 0 0
x3 0 0 0.9315 0 0 0
x4 0 0 0 0.8253 0 0
x5 0 0 0 0 1.748 -0.7611
x6 0 0 0 0 1 0
b =
u1 u2
x1 0.03125 0
x2 0 0
x3 0.125 0
x4 0 0.125
x5 0 0.03125
x6 0 0
c =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 0.01814 0.01651 0 -0.0939 0 0
y2 0 0 0.06641 0 0.01608 0.01468
d =
u1 u2
y1 0 0
y2 0 0
Sampling time: 0.1
Discrete-time model.
>> SYSr = balred(SYSm,4); %Realización reducida de 4º orden
a =
x1 x2 x3 x4
x1 0.9281 -0.008598 0.001795 0.01681
x2 -0.01835 0.8604 -0.03425 -0.004856
x3 -0.0349 -0.07803 0.8871 -0.008276
x4 -0.04047 0.04588 -0.0278 0.8159
b =
u1 u2
x1 -0.1383 -0.02999
x2 0.02833 -0.1432
x3 -0.02983 -0.04511
x4 -0.04884 0.02865
c =
x1 x2 x3 x4
y1 -0.01416 0.07964 0.04624 0.0464
y2 -0.07034 -0.01638 0.07233 -0.02404
d =
u1 u2
y1 0 0
y2 0 0
Sampling time: 0.1
Discrete-time model.
4. Incluyendo retardos, diseñar un control por realimentación del estado, para conseguir
los mismos polos que en el diseño hecho en 1) (introduce acción integral).
En primer lugar discretizamos los polos continuos obtenidos en el apartado 2) para
conocer los polos que debemos asignar:
>> pd=exp(T*pc)
pd =
0.9556 + 0.0901i

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0.9556 - 0.0901i
0.8308 + 0.1012i
0.8308 - 0.1012i
0.9313
0.8911
0.7860
0.8250
a. Con el modelo de la realización mínima.
A la matriz de transferencia discreta Gd(z) le añadimos los retardos, obtenemos su
realización mínima (que tendrá 8 variables de estado: las 6 que tenía la realización
mínima más los dos retardos que hemos añadidos).
>> Gd(1,1) = Gd(1,1)*tf(1,[1 0],T); %Se añade 1 retardo a g11
>> Gd(2,1) = Gd(2,1)*tf(1,[1 0 0],T); %Se añaden 2 retardos a g21
>> SYSmr = minreal(ss(Gd)); %realización mínima 8 v.e.
Para incluir la acción integral en la realimentación del estado, añadimos el error
acumulado como variable de estado (ea1 y ea2):
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )kr
I
ku
D
B
kea
kx
IC
A
kea
kx
kxa ⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=+
00
1
1
1
>> Aa =[SYSmr.A zeros(8,2); -SYSmr.C eye(2)]; %Matriz A ampliada
>> Ba = [SYSmr.B; -SYSmr.D]; %Matriz B ampliada
El sistema ampliado tendrá 10 variables de estado; podemos asignar los 8 polos que
tendría el sistema discreto equivalente del apartado 1), y por ejemplo 2 polos en 0.
>> Ka = place(Aa, Ba, [pd' 0 0]);
El esquema de SIMULINK de dicho control se muestra en la Figura 3 y su evolución en
la Figura 4.
ea1
ea2
xa
x
y1
y2
ea
ref_y2
ref_y1 Modelo
Mínimo
K*u
Ka
y(n)=Cx(n)+Du(n)
x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)
Discrete State-Space
Modelo mínimo
z-1
1-z-1
Discrete Filter1
z-1
1-z-1
Discrete Filter
em
Figura 3: Realimentación del estado con control integral.

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b. Con el modelo del sistema reducido.
De la realización mínima con retardos obtenemos una realización reducida de 6º orden
(4 variables de estado de la realización reducida inicial más 2 de los retardos).
>> SYS4b = balred(SYSmr, 6);
De forma similar al apartado anterior, incluimos el error acumulado de cada salida como
variable de estado adicional en un sistema ampliado para el cual calculamos la
realimentación del estado que asigne 6 de los polos que tiene el sistema discreto
equivalente del apartado 1):
>> Aa2 = [SYS4b.A zeros(6,2); -SYS4b.C eye(2)]; % A ampliada
>> Ba2 = [SYS4b.B; -SYS4b.D]; % B ampliada
>> Ka2 = place(Aa2, Ba2 , pd);
Con un esquema de SIMULINK similar al de la Figura 3 anterior pero realimentando
sólo 6 variables de estado, se obtiene la evolución de las salidas mostrada en la Figura 5.
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
velocidad
Control centralizado+control integral (Sistema mínimo)
0 5 10 15 20 25
-1
0
1
2
3
Tiempo (seg)
nivel
Figura 4: Salidas con realimentación del estado + control integral.

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5. Diseño de observador del estado (del sistema reducido) y de la perturbación, y diseño
del control por realimentación de la salida y con prealimentación.
Al sistema discreto reducido con retardos incluidos (SYS4b) le añadimos la
perturbación, w; (consiste en cambiar la entrada f por f – w).
( ) ( ) [ ]
( )
( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅=+
kw
ku
FBkxAkx 1
>> Ap = SYS4b.A;
>> F = -SYS4b.B(:,1);
>> Bp = [SYS4b.B F]; %añadimos la entrada: w = -u1
>> Cp = SYS4b.C;
>> Dp = [SYS4b.D -SYS4b.D(:,1)]
>> SYS5 = ss(Ap, Bp, Cp, Dp);
Para estimar la perturbación, la añadimos como una variable de estado más al sistema a
observar, y diseñamos un observador de orden completo para dicho sistema:
( )
( )
( )
( )
( )
( )ku
B
kw
kxFA
kw
kx
kxp ⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
=+
0101
1
1
>> A5p = [SYS5.A SYS5.B(:,3); zeros(1,6) 1];
>> B5p = [SYS5.B(:,1:2); zeros(1,2)];
>> C5p = [SYS5.C zeros(2,1)];
>> D5p = SYS5.D(:,1:2)
>> S5p = ss(A5p, B5p, C5p, D5p);
>> K0 = place(S5p.A',(S5p.C*S5p.A)',[0 0 0.1 0.2 0.3 0.25 0.21])';
Si se conoce la perturbación, se puede compensar su efecto sobre la salida mediante una
prealimentación estática:
( ) ( )
FBPre
kwPreku
⋅−=
⋅=
−1
ˆ
Figura 5: Salidas con realimentación del estado + control integral.
0 5 10 15 20 25
0
1
2
3
4
velocidad
Control centralizado+control integral (Sistema reducido)
0 5 10 15 20 25
-1
0
1
2
3
Tiempo (seg)
nivel

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La acción de control, por tanto estará formada por una prealimentación de la
perturbación estimada más la realimentación (Ka2) del estado observado que ya hemos
diseñado en el apartado 4b) y que incluía también la acción integral.
El esquema de SIMULINK de este control lo podemos ver en la Figura 7, y la evolución
de las salidas en la Figura 6.
0 5 10 15 20 25
-1
0
1
2
3
4
velocidad
Prealimentación+Realimentacion estado observado+Control integral (Sistema reducido)
0 5 10 15 20 25
-1
0
1
2
3
Tiempo (seg)
nivel
Figura 6: Salidas con prealimentación+realimentación salida con control integral.
Figura 7: Prealimentación más realimentación salida con control integral.
xp_e
x_e
w_e
ea
xa
w
ref_y2
ref_y1
Salidas
K*u
Pre
y(n)=Cx(n)+Du(n)
x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)
Observador
Actualizado
K*u
Ka2
y(n)=Cx(n)+Du(n)
x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)
Discrete State-Space
Modelo reducido
con perturbación
z-1
1-z-1
Discrete Filter1
z-1
1-z-1
Discrete Filter
em
em

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6. Control óptimo.
En primer lugar expresaremos el índice en forma matricial, y lo adaptaremos para poder
aplicar la ecuación de Ricatti, teniendo en cuenta que en el estado del sistema ampliado
del apartado 4) hemos incluido el error acumulado como variable de estado.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅=
0
0
0
0
0
0
0
02.00
002.0
1.00
010
5.00
01
k
T
aa
T
a
k
T
ea
k
ea
TT
y
TT
k
ea
TT
y
T
k
TTT
kuRkukxQkxJ
kuRku
kea
kx
Q
Q
keakxJ
keaQkeakuRkukxCQCkxJ
keaQkeakuRkukyQkyJ
keakeakukukykyJ
Para el sistema reducido y ampliado del apartado 4b) diseñamos una realimentación del
estado óptima para el sistema ampliado con el comando dlqr de MATLAB:
Qy = [1 0; 0 0.5]; %poderación de las salidas.
R = [10 0; 0 0.1]; %ponderación de las entradas
Qea = 0.02*[1 0; 0 1]; %ponderación del error acumulado
Q = C'*Qy*C; %ponderación del estado x
Qa = [Q zeros(6,2); zeros(2,6), Qea]; %ponderación del est ampliado
Kopt = dlqr(Aa2, Ba2, Qa, R);
El esquema de SIMULINK es el mismo utilizado en el apartado 4b) de la Figura 3, pero
sustituyendo la matriz de realimentación del estado por Kopt. La evolución de las
salidas con este control es la mostrada en la Figura 8.
0 10 20 30 40 50 60 70
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
velocidad
Control óptimo (Sistema reducido)
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Tiempo (seg)
nivel
Figura 8: Salidas con control óptimo.

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7. Control desacoplado.
El desacoplamiento lo podemos realizar de dos formas:
- Mediante una prealimentación dinámica, a partir de un modelo de matriz de
transferencia.
- Mediante una realimentación del estado, a partir de un modelo en espacio de
estados.
a. Desacoplamiento con prealimentación dinámica.
Para el modelo de matriz de transferencia continua sin retardos G(s), diseñamos una
prealimentación dinámica que consiga desacoplar el sistema con los pares nivel/presión
(y1/u2) y velocidad/flujo(y2/u1).
Una posibilidad es descomponer la matriz de transferencia del sistema en una matriz
diagonal D(s) (formado por el denominador común de cada fila), y otra matriz H(s)
cuya inversa sea realizable y que utilizaremos para desacoplar:
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )sHsD
sss
sss
sG ⋅=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
+
−
++
=
73.02
11.0
71.0
086.0
92.1
129.0
83.02
1245.0
( ) ( )( )( )
( )( )( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+++
+++
=
0
71.073.02
1
92.183.02
1
0
sss
sss
sD
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−+
+++
=
83.02129.092.11245.0
71.011.073.02086.0
sss
sss
sH
El sistema desacoplado ( ) ( ) ( )sDsHsG =⋅
−1
, está compuesto por dos f.d.t.
independientes, para las cuales utilizando la herramienta sisotool de MATLAB
podemos diseñar sus respectivos reguladores que cumplan con las especificaciones del
control. Así obtenemos:
- Para la fdt ( )sd12 el regulador: ( ) ( )( )
( )96.2991.10
83.0131.4717.3
73.46 2
2
12
++
+++
=
sss
sss
sKd
- Para la fdt ( )sd21 el regulador: ( ) ( )( )
( )11.6841.16
71.0696.2217.3
47.114 2
2
21
++
+++
=
sss
sss
sKd
El sistema equivalente en bucle cerrado, de este control por desacoplamiento por
prealimentación dinámica y su simulación lo podemos obtener con las siguientes
instrucciones:
>> Ds = [0 1/((s+2)*(s+0.83)*(s+1.92));
1/((s+0.71)*(s+2)*(s+0.73)) 0];
>> Hs = [0.086*(s+2)*(s+0.73) 0.11*(s+0.71);
0.1245*(s+1.92) -0.129*(s+2)*(s+0.83)];
>> Grd = inv(Hs);
>> Kd12 = 46.73*(s^2+3.71*s+4.13)*(s+0.83)/(s*(s^2+10.91*s+29.96));
>> Kd21 = 114.47*(s^2+3.21*s+2.7)*(s+0.71)/(s*(s^2+16.41*s+68.11));

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>> Kd = [0 Kd12; Kd21 0];
>> Gs = zpk(minreal(G*Grd*Kd), 0.01);
>> H1 = eye(2); %realimentación unitaria
>> Gc = feedback(Gs, H1); %Cerrar el bucle
>> step(Gc);
El esquema de SIMULINK de este control se puede ver en la y la evolución de las
salidas en la.
b. Desacoplamiento por realimentación del estado.
El desacoplamiento por realimentación del estado lo aplicaremos al modelo discreto
reducido del apartado 4b (SYS4b).
En primer lugar calculamos la condición de Gilbert para cada salida:
>> J1 = SYS4b.C(1,:)*SYS4b.A^0*SYS4b.B = [-0.0000 -0.0117]
>> J2 = SYS4b.C(2,:)*SYS4b.A^0*SYS4b.B = 1e-3 *[-0.0000 0.5024]
Ambos filas son no nulas y la matriz J es invertible:
Salida v
Salida h
Ref_v
Ref_h
f
p
h
v
Máquina
Papel
mat(Kd21.nu
2mat(Kd21.de
Kd21
mat(Kd12.nu
2mat(Kd12.de
Kd1
r1
r2
u1
u2
H(s)^-1
Figura 10: Control por desacoplamiento por prealimentación dinámica.
0 5 10 15 20 25
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
velocidad
Control Desacoplado por Prealimentación
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiempo (seg)
nivel
Figura 9: Salidas con control por desacoplamiento por prealimentación.

2008-9
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>> J = [J1; J2];
>> rank(J) = 2
Por tanto el sistema es desacoplable mediante una realimentación del estado y una
prealimentación: ( ) ( ) ( )krFkxKdesku ⋅+⋅= , que se obtienen de la siguiente forma:
>> At = [SYS4b.C(1,:)*SYS4b.A^1; SYS4b.C(2,:)*SYS4b.A^1];
>> Kdes = -inv(J)*At;
Kdes =
1.0e+008 *
2.6295 -0.8365 -3.2218 0.3190 5.4074 -0.8875
-0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000
>> F = inv(J);
F =
1.0e+009 *
-0.1852 -4.3256
-0.0000 0.0000
El sistema equivalente en bucle cerrado tendrá un polo en 0 (1 retardo) en cada uno de
los bucles desacoplados:
>> Ad = SYS4b.A+SYS4b.B*Kdes;
>> Bd = SYS4b.B*F;
>> SYS7b = ss(Ad, Bd, SYS4b.C, SYS4b.D, T);
>> Gd7b = minreal(tf(SYS7b), 0.01);
( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z
zsbGd
1
0
0
1
7

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