El documento describe dos métodos para diseñar controladores digitales: indirecto y directo. Explica que el método directo diseña el controlador digital directamente en el dominio discreto utilizando la función de transferencia del proceso, mientras que el método indirecto primero diseña el controlador en el dominio continuo y luego lo transforma al dominio discreto. También presenta el concepto de lugar geométrico de las raíces y cómo se puede usar para analizar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado en función de la ganancia del controlador y el período de muest

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
DISEÑO DE
CONTROLADORES
DIGITALES



Existen dos formas generales de diseñar el
control de sistemas en tiempo discreto:
Indirecto: consiste en diseñar el
controlador digital en el dominio de
tiempo continuo, utilizando las técnicas
analógicas y luego transformando el
resultado del dominio continuo al dominio
discreto.
Directo: se diseña el controlador digital
en el dominio discreto directamente,
utilizando una función de transferencia
del proceso a controlar. Se utilizan
técnicas de diseño en el dominio .

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


La estrategia de diseño es definir las
características de la respuesta del
sistema en el tiempo o en frecuencia;
como el sobre paso máximo, el tiempo de
asentamiento, el tiempo de levantamiento
márgenes de fase o magnitud, etc. Estas
características determinan la ubicación
de los polos de la función de
transferencia z de lazo cerrado. Entonces
se determina el periodo de muestreo
teniendo en cuenta el teorema de
y los criterios de elección para que se
obtenga la función de transferencia
deseada.


El periodo de
muestreo es un
aspecto crítico en la
discretización de
compensadores
continuos. Como norma
general, cabe anotar
que interesa es un
periodo de muestreo
lo mas pequeño
posible, siempre que
no condicione al
sistema a dos
aspectos importantes:
su implementación y
los errores de
cuantificación. Los
criterios se basan en
los siguientes
aspectos:
75a25
ientoestablecimdetiempo:
20a10
ntolevantamiesubida,detiempo:
bandadeancho
40a20N2 B
r
s
r
s
s
r
r
r
r
s
B
s
s
N
t
N
t
T
N
t
N
t
T
BW
BWN
T
LAZO CERRADO
LAZO ABIERTO
gananciadecrucedefrecuencia:
80a04
2
Tg
g
ggs
N
N

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
OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
BIBLIOGRAFÍA WEB
ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering.
Primera Edición.
CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.

DISEÑO DIRECTO: BASADO
EN LA RESPUESTA EN EL
TIEMPO
0
*
)()()(
k
kTtkTxtx

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


Para el sistema mostrado la ecuación
característica es:
La cual es la misma que la encontrada
en el lugar geométrico de las
raíces en tiempo continuo (plano )
0)()(1 zHzG
CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en
muchos sistemas en tiempo discreto, la
ecuación característica puede tener
cualquiera de las dos siguientes formas
y
Para combinar esta dos formas en una,
definamos la ecuación característica
Donde:
o
0)()(1 zHzG 0)(1 zGH
0)(1 zF
)()()( zHzGzF )()( zGHzF




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Observe que es la función de
transferencia de lazo abierto. La
ecuación característica se puede escribir
de esta manera también:
Dado que es una cantidad compleja se
puede hallar la magnitud y el ángulo de
dicha cantidad, de esta manera:
1)(zF
1)(zF
0,1,2,...N),12(180)( NzF



Los valores de que satisfacen tanto las
condiciones de ángulo como de magnitud se
encuentran en las raíces de la ecuación
característica, es decir en los polos de la lazo
cerrado.
Una gráfica de los puntos en el plano complejo que
satisface solamente la condición de ángulo es el
lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la
ecuación característica que corresponden a un
valor dado de la ganancia pueden localizarse en el
lugar geométrico de las raíces mediante la
condición de magnitud.




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


Ahora se investigará los efectos de la
ganancia y el periodo de muestreo sobre
la estabilidad relativa de un sistema de
lazo cerrado.
Suponga el sistema de control siguiente
)(*
sG D ZOH
1
1
s
+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
Donde el controlador digital es de tipo integral, es
decir
Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores
del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2
seg), también se hallará el valor crítico de la
ganancia para cada uno de los casos. Finalmente
localizaremos los polos en lazo cerrado
correspondiente a para cada uno de los tres
casos.
11
)( 1
z
Kz
z
K
zGD




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En primera medida obtenemos la
de .
De esta manera:



La función de transferencia pulso de la
trayectoria directa es
La ecuación característica
Es decir
0
))(1(
)1(
1 T
T
ezz
eKz
0)(1 zG



T
T
phD
ez
e
z
Kz
sGsGZzGzG
1
1
)()()()(

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Para un periodo de muestreo T=0.5
seg
Observe ve que tiene polos
z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0
)6065,0)(1(
3935,0
)(
zz
Kz
zG
)(
)(
zB
zA
K



Entonces:
Diferenciando la ecuación en función
de z obtenemos
De allí que:
Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-
0.7788
z
zz
K
3935,0
)6065,0)(1(
6065,0
0
3935,0
6065,0
2
2
2
z
z
z
dz
dK




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Al reemplazar en la ecuación
de se obtiene un valor de ,
en tanto que al reemplazar el valor
de obtenemos un valor de
Como resultó positivo entonces, el
valor es un punto de ruptura
de salida real y el valor
es un punto de ruptura de entrada
real.



Para hallar el valor crítico de la
ganancia se obtiene mediante la
condición de la magnitud de la función
de transferencia pulso de la
trayectoria directa, así:
Kezz
ez
T
T
1
))(1(
)1(




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Para el caso de T=0.5 se obtiene
La ganancia crítica ocurre en z=-1, con
este valor se obtiene:
Con lo que K=8.165
Con un K=2 se obtienen dos polos
complejos conjugados en lazo cerrado
que son
)6065,0)(1(
3935,01
zz
z
K
)6065,01)(11(
)1(3935,01
K



6623.04098.0y6623.04098.0 21 jzjz
Gráfica del lugar de las raíces con
un T=0.5 seg



Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata