Este documento describe un generador síncrono conectado a un bus infinito y proporciona las ecuaciones que lo modelan. Se pide realizar varias tareas relacionadas con el modelado y control del generador, incluyendo la obtención de un modelo de estado no lineal y su linealización, así como el diseño de controladores integrales por realimentación de estado para el sistema linealizado que sitúen los polos en -10.

1. Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad Politécnica de Valencia
INGENIERÍA DE CONTROL I
2009-10
P. Albertos. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 79570 e-mail pedro@aii.upv.es
J.V. Roig. Dept. Ingeniería de Sistemas y Automática. UPV. Ext.: 75768 e-mail jvroig@aii.upv.es
Tarea 4. Generador Sincrónico (entrega 17-12-09)
Un generador sincrónico conectado a un bus infinito, como el de la figura, puede
representarse por las ecuaciones:
         
       tEttEtE
ttEtDtPtM
qq
q




cos
sin
32
1


Donde:
 δ es el ángulo en radianes,
 Eq es la tensión generada,
 P es la potencia mecánica aplicada,
 E es tensión de excitación,
 05.0D es el coeficiente de amortiguamiento,
 02.0M es el coeficiente de inercia,
 5 es una constante de tiempo, y
 21  , 5.22  , 5.13  son parámetros constantes.
Considerando P y E como entradas y, δ y Eq como salidas, se pide:
1. Realizar un simulador (SIMULINK) del generador sincrónico.
2. Obtener un modelo de estado del sistema completo.
3. Obtener un modelo linealizado aproximado, alrededor del punto de equilibrio
formado por: 20
P y 50
E .
4. Diseñar un control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado
aproximado, que sitúe todos los polos en −10; e implementarlo en SIMULINK
suponiendo el estado accesible.
5. Linealizar exactamente el sistema mediante una realimentación del estado.
6. Diseñar del control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado
exactamente que sitúe todos los polos del sistema en −10; e implementarlo en
SIMULINK suponiendo el estado accesible.
7. Comparar las respuestas de ambos controles para los mismos cambios en las
referencias. Comentar los resultados.
E Eq
P
G
δ

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Solución
1. Simulador del generador síncrono implementado en SIMULINK.
2. Modelo en espacio de estado del sistema no lineal:
Tomando la velocidad angular como:   , las variables de estado serán:
 T
qEx 
Y las ecuaciones de estado del sistema no lineal serán las siguientes:
 
 
 
 
 
        
      
 uxf
tEttE
ttEtDtP
M
t
tE
t
t
tx
q
q
q
,
cos
1
sin
1
32
1 







































3. Modelo linealizado alrededor del punto de de equilibrio para 20
P y 50
E .
En primer lugar, determinamos el valor todas las variables en el punto de equilibrio.
Teniendo en cuenta que en el punto de equilibrio las derivadas son nulas, se cumple:






00
3
0
2
00
1
0
cos0
sin0
EE
EP
q
q


3
Eq
2
vel_ang
1
ang
n3
n3
n2
n2
n1
n1
d
coef_amort
cos
Trigonometric
Function1
sin
Trigonometric
Function
Product9
Product8
Product7
Product4
Product10
Product1
1
s
Integrator2
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
1/tau
1/tau
1/M
1/M
2
E
1
P

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Para resolver este sistema de ecuaciones despejamos las funciones seno y coseno, y
aplicamos la relación trigonométrica de un ángulo:
   
2
3
00
2
2
0
1
0
2020
3
00
20
0
1
0
0
cossin1
cos,sin







 
























EE
E
P
EE
E
P
q
q
q
q
Operando se llega a una ecuación de 4º orden:
          
      099110025
02
203040
202
3
202
3
2
1
202
1
300
2
2
1
402
2
2
1


qqq
qqq
EEE
PEEEEE 
De las cuatro soluciones de esta ecuación:  0.2986j0.0475,5431.12.5520,0
qE ;
las complejas no pueden ser, y de las otras dos será la que nos dé el mismo ángulo con
las dos expresiones:














 


















4365.25431.1:Para
4026.05520.2:Para
acos
7050.05431.1:Para
4026.05520.2:Para
asin
00
00
3
00
20
00
00
0
1
0
0









q
qq
q
q
q
E
EEE
E
E
E
P
La solución es, por tanto: 5520.20
qE Voltios y 4026.00
 radianes.
A continuación, linealizamos las ecuaciones de estado del modelo no lineal alrededor
del punto de funcionamiento determinado, y obtenemos:
 
 
 
 
 
 
 
 
     tutxtx
tE
tP
M
tE
t
t
MM
D
E
M
tE
t
t
q
q
q































































































2.00
050
00
5.001176.0
18.395.28.234
010
1
0
0
1
00
0sin
sincos
010
203
01001


















Completamos el modelo con las ecuaciones de salida, que serán directamente las
variables de estado  t y  tEq :
 
 
 
 
 
 



























tE
t
t
tE
t
ty
q
q



100
001

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4. Control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado aproximado:
Con el modelo linealizado (A, B, C) determinado en el apartado anterior, construimos un
sistema ampliado que incluya la integral de los errores entre las salidas y sus respectivas
referencias:
               txCtrtytrtetvdttetv   
 
 
 
 

   tr
I
tu
aB
B
tx
aA
C
A
tv
tx
tx aa 

























0
00
0




El control por realimentación del estado para este sistema ampliado:    txKtu aa  ,
que incluye la acción integral, se puede diseñar mediante el comando place de
MATLAB.
>> Aa = [ A zeros(3,2); -C zeros(2,2)];
>> Ba = [ B; -D];
>> Ka = place(Aa, Ba, [-10 -10 -10.001 -10.002 -10.001])









0500.50005050.9705878.0
00059.207837.05501.03053.1
aK
El control diseñado para el sistema linealizado aproximado se puede aplicar al sistema
original no lineal, siempre que nos encontremos en un entorno próximo al punto de
funcionamiento.
El esquema de SIMULINK que implementa este control, suponiendo que todo el estado
es medible sería:
x
v
xa
vel_ang
ref_ang
ref_Eq
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
U x
Generador
Sincrónico
Ka* u
Gain
Eq
Demux
Angulo

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5. Linealización exacta mediante una realimentación del estado.
Si expresamos en modelo no lineal del generador síncrono, obtenido en el apartado 2, de
la siguiente forma:
 
 
 
 
 
     
   
 
 





















































tu
tu
M
txtx
M
txtxtxD
tx
tx
tx
tx
tx
2
1
1332
1312
2
3
2
1
1
0
0
1
00
cos
sin







   
 
 
      
    
      
 

































tu
G
M
txtxtxf
txtxf
txtxtxf
tx
tx
txtx

  




1
0
0
1
,,
,
,,
321
312
3211
3
2
21
Aplicando la realimentación no lineal:            tutxtxtxfGtu L 
321
1
,, , se
obtiene el sistema linealizado exactamente (Ale, Ble):
 
 
 
 
 
 
 
 tu
tx
tx
tx
tx
tx
tx
tx L












































10
01
00
000
000
010
3
2
1
3
2
1




6. Control integral por realimentación del estado para el sistema linealizado exactamente:
Como el modelo linealizado exactamente (Ale, Ble, Cle) determinado en el apartado
anterior, está desacoplado y ya dispone de integradores de las salidas, como se puede
demostrar al obtener su matriz de transferencia:
>> Ale = [ 0 1 0; 0 0 0; 0 0 0];
>> Ble = [0 0; 1 0; 0 1];
>> SYSlr = ss(Ale, Ble, C, D);
>> Glr = tf(SYSlr)
 











s
ssGlr
1
0
0
1
2
El sistema está desacoplado y ambos bucles disponen de un integrador, por lo que el
control integral se puede diseñar ajustando la ganancia de la prealimentación, sin
necesidad de añadir otro integrador.
Si diseñamos un control por realimentación del estado para situar los polos en la
posición deseada, se observa este desacoplamiento:
>> Kle = place(Ale, Ble, [-10 -10 -10.000001])







1000
020100
leK

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Los dos primeros estados se realimentan sobre la primera entrada para controlar la
primera salida (y1 = x1), y el tercer estado se realimenta sobre la segunda entrada para
controlar la segunda salida (y2 = x3).
También se podría diseñar la realimentación del estado por separado para cada bucle,
dando el mismo resultado:
>> Kle1 = acker(Ale(1:2, 1:2), Ble(1:2, 1), [-10 -10])
>> Kle2 = acker(Ale(3, 3), Ble(3, 2), [-10])
>> Kle = [Kle1 0; 0 0 Kle2]
Para conseguir el seguimiento, simplemente hay que ajustar la ganancia de la
prealimentación para conseguir una ganancia estática en bucle cerrado unitaria.
       
      32
211
3,33,3
2,11,11,1
2
1
xKrefKtu
xKxKrefKtu
leyleL
leleyleL


El esquema de SIMULINK que implementa este control, suponiendo que todo el estado
es medible sería:
7. Comparación de los dos controles:
En ambas simulaciones se parte del sistema en reposo y se aplican los siguientes
cambios en las referencias:
- La referencia del ángulo  cambia de 4026.00
 a 1.00
 radianes en el
instante 2 seg.
- La referencia de qE cambia de 552.20
qE a 20
qE voltios en el instante 4 seg.
Las evoluciones de los estados es más suave con el control no lineal que con el control
lineal que presenta una mayor sobreoscilación. Sin embargo, la evolución de las señales
de control es más brusca con el control no lineal, que con el control lineal.
Ul
vel_ang
K*u
inv(G)
x
f 1
f 2
Subsystem
Ref_ang
Ref_Eq
K*u
Kle(2,3)
K*u
Kle(1,1)
K*u
Kle
U x
Generador
Sincrónico
Eq
Entradas
Demux
Demux
Angulo

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En las siguientes gráficas se pueden observar estas señales.
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
P(t)
Entradas (verde: control lineal, rojo: control no lineal)
0 1 2 3 4 5 6
0
50
100
150
E(t)
Tiempo (seg)
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
(t)
Estados (verde: control lineal, rojo: control no lineal)
0 1 2 3 4 5 6
-2
0
2
4
(t)
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
6
Eq
(t)
Tiempo (seg)