Este documento describe diferentes técnicas de conteo como combinaciones, permutaciones y diagramas de árbol. Explica el principio multiplicativo y aditivo para entender el uso de estas técnicas. Incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para resolver problemas que involucran el conteo de eventos.

1. Técnicas de enumeración o conteo.
Las técnicas de enumeración o conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones
y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar
que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en
que ocurre un evento determinado.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio
multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de
ellos.
Principio de la multiplicación
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer
paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o
formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr
maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad
debe ser llevado a efecto, uno tras otro.
Ejemplos:
1) Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede
construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o
block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe,
adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por
último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras
tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

2. 2) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar
de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible
repetir letras y números, b. No es posible repetir letras y números, c. Cuántas
de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por
el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra
D seguida de la G.
Solución:
a. Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75, 760,000 placas para automóvil que es
posible diseñar
b. 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000 placas para automóvil
c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil
d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer
elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero
c veces,... (m = a + b + c +... = n) son los distintos grupos que
pueden formarse con esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

3. Ejemplos:
1) Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis
banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.
Solución:
n = 6 banderines
X1 = 2 banderines rojos
X2 = 3 banderines verdes
X3 = 1 banderín morado
6P2, 3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes
3) ¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un
terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?
Solución:
n = 9 árboles
X1 = 2 nogal
X2 = 4 manzanos
X3 = 3 ciruelos
9P2, 4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los árboles
Permutaciones sin repetición:
Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas
formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única
diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.
El número de estas permutaciones será:
Ejemplo: ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene
15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13... = 20, 922, 789, 888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería
solamente:

4. 16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
Ejemplo: ¿de cuántas formas pueden sentarse cuatro amigos A, B, C y D en un
banco del parque?
Se trata de una permutación (sin repetición) de cuatro elementos:
TOTAL = P4 = 4! = 24 formas distintas.
Combinación con repetición
Las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en
que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado,
permitiendo que las selecciones puedan repetirse.
De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un
multiconjunto cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.
Ejemplo
¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a
4 niños?
Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto,
Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D).
Una posible forma de repartir los caramelos sería: dar 2
caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 3 a Daniel.
Dado que no importa el orden en que se reparten,
podemos representar esta selección como
 AABBBCCDDD
Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar
1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9
restantes se los damos a Daniel. Esta repartición la

5. representamos como
 ADDDDDDDDDD
De manera inversa, cualquier serie de 10 letras A, B, C, D
corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por
ejemplo, la serie AABBBBBDDDcorresponde a:
 Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto,
ninguno a Carlos y 3 a Daniel.
De esta forma, por el principio de la biyección, el número
de formas en que se puede repartir los caramelos es igual
al número de series de 10 letras (sin tomar en cuenta el
orden) A, B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a
un multiconjunto con 10 elementos, por lo que concluimos
que el número total de formas de repartir los caramelos
es .
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas.
¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4...
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y
2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una
botella del mismo tipo.

6. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN
Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos
tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos
distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que
dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación.
Se representa por Cm, n. (n≤m).
Ejemplos: 1
a). Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza
del la universidad, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que
consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b).si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres,
¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c).¿cuántos de los grupos
de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?
Solución:
A).n=14, r=5
14C5=14!/(14–5)!5!=14!/ 9!5!
= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!
= 2002 grupos
B) Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos
que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.
n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5
En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres
8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)
= (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)
= 8 x7 x 6 x 5 /2!
= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5
personas
C). En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más
Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres
= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126 grupos

7. Ejemplo: 2
Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas, a). ¿Cuántas
maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.)¿Cuántas maneras tiene
si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?, c.)¿Cuántas maneras tiene
si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, d).¿Cuántas maneras tiene si
debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas?
Solución:
a. n = 12, r = 9
12C9 = 12! / (12 – 9)!9!
= 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3!
= 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra manera, el alumno
puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen
b). 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que
están las dos primeras preguntas
c). 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que está
una de las tres primeras preguntas
d). En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas
3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las
preguntas a contestar
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos
los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la
probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del
espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un
diagrama de árbol. Ejemplo: Si Juan tiene 3 pantalones y 2 camisas basta
multiplicar 3x2=6 y son 6 posibilidades de que se pueda vestir.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados
del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los
pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en
los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama
para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una
de estas ramas se conoce como rama de primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo
del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,
según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un
posible final del experimento (nudo final).

8. Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener
el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de
primera generación y que la suma de probabilidades de las ramas de cada
nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean
mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las
probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas), el ejemplo de
alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se trata de ramas
separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un
alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
 La 1ª con el 50% de estudiantes.
 La 2ª con el 25% de estudiantes.
 La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en
cada facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

9. ¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
Pero también podría ser lo contrario.

10. Bibliografia
1. http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rbol.
2. http://estructurasdiscretasunerg.blogspot.com/2010/04/combinacio
nes.html.
3. http://www.amolasmates.es/cuarto_eso/tecnicas_de_recuento/com
binatoria_archivos/per_marco.htm.
4. http://www.vitutor.com/pro/1/a_r.html.
5. http://www.monografias.com/trabajos93/tecnicas-conteo/tecnicas-
conteo.shtml.

11. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
ÁREA: TECNOLOGIA
PROGRAMA: INGENIERIA MECANICA
BACHILLERES:
GARCIA YEFRYC.I: 22.608.592
C.I:
C.I:
PROFESORA: ZULEY MEDINA
SANTA ANA DE CORO; MARZO 2014