Intensidad del Campo Electrico

1. El campo eléctrico
Clase 3
30/Septiembre/2014

2. El campo eléctrico
 La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra carga es un ejemplo
de acción a distancia, semejante a la fuerza gravitatoria ejercida por una
masa sobre otra.
 La idea de acción a distancia presenta un problema conceptual difícil.
 Para evitar el problema de la acción a distancia se introduce el concepto
del campo eléctrico.
 Una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo
ejerce una fuerza sobre la otra carga

3. El campo eléctrico
+
+
-
F1
q2
F2
F3
F = F1 + F2 + F3
q0
q1 q3
Una pequeña carga testigo
o de prueba) 푞0 en las
proximidades de un sistema
de cargas 푞1, 푞2 푦 푞3 ……..
Experimenta una Fuerza F
proporcional a 푞0. La
relación 퐹/푞0 es el campo
eléctrico E en esa posición

4. El campo eléctrico
 Por lo tanto en la siguiente figura se muestra una serie de cargas
puntuales, 푞1, 푞2 푦 푞3 dispuestas arbitrariamente en el espacio. Estas cargas
producen un campo eléctrico E en cualquier punto del espacio. Si
situamos una pequeña carga testigo o de prueba 푞0 en algún punto
próximo, esta experimentara la acción de una fuerza debido a las otras
cargas. La fuerza resultante ejercida sobre 푞0 es la suma vectorial de las
fuerzas individuales ejercidas sobre 푞0 por cada una de las otras cargas del
sistema.

5. El campo eléctrico
 Como cada una de estas fuerzas es proporcional a 푞0. Por lo tanto el
campo eléctrico 퐸 en un punto se define por esta fuerza dividida por 푞0:
  0
F
E q
q
0
Pequeña

Definición del Campo Electrico

6. El campo eléctrico
 La unidad del SI del campo eléctrico es el newton por coulomb 푁/퐶 . En
la siguiente tabla se presentan algunos campos eléctricos de la
naturaleza.
푬, 푵/푪
En los cables domésticos 10−2
En las ondas de radio 10−1
En la atmosfera 102
En la luz solar 103
Bajo una nube tormentosa 104
En la descarga de un relámpago 104
En un tubo de rayos X 106

7. El campo eléctrico
푬, 푵/푪
En el electrón de un átomo de
hidrogeno
6 × 1011
En la superficie de un núcleo de
uranio
6 × 1021

8. El campo eléctrico
 Es decir el campo eléctrico es un vector que describe la condición en el
espacio creada por el sistema de cargas puntuales. Desplazando la carga
testigo o de prueba 푞0 de un punto a otro, podemos determinar E en todos
los puntos del espacio (excepto el ocupado por una carga 푞). El campo
eléctrico E es, por lo tanto, una función vectorial de la posición. La fuerza
ejercida sobre una carga testigo o de prueba 푞0 en cualquier punto está
relacionada con el campo eléctrico en dicho punto por:
F  q0E

9. El campo eléctrico
 El campo eléctrico debido a una sola carga puntual 푞푖 en la posición 푟
puede calcularse a partir de la ley de Coulomb. Si situamos una pequeña
carga testigo o de prueba positiva 푞0 푒푛 á푙푔푢푛 푝푢푛푡표 P la distancia 푟푖,푝 de la
carga 푞푖 , la fuerza que actúa sobre ellas es:
kq q
0
,0 ,0
2
,
0
i
i i
i
r
r
F 

10. El campo eléctrico
 El campo eléctrico en el punto P debido a la carga 푞푖 es por lo tanto:
E r
,0
kq
i

i i
2
,0
r
i
Ley de coulomb para el
campo E creado por una
carga puntual
+
푟푖,푝
Punto del campo
Punto de la Fuente
푟푖,푝
퐸 푖,푝
푞푖
El campo eléctrico E en un punto P debido
a la carga 푞푖 colocada en un punto i

11. El campo eléctrico
 En donde 푟 푖,푝 es un vector unitario que apunta desde el punto de la fuente
i al punto de observación del campo o punto del campo P. El campo
eléctrico resultante debido a una distribución de cargas puntuales se
determina sumando los campos originados por cada carga
separadamente:
kq
i
 
E E r
p i p i p
, , 2
r
i i i ,
p
Campo electrico E debido a un sistema de cargas puntuales

12. Problemas
 Problema 1
 Una carga de 4휇퐶 esta en el origen. ¿Cual es el valor y dirección del
campo eléctrico sobre el eje 푥 en (a) 푥 = 6푚 y (b) 푥 = −10푚? (c) Hacer un
esquema de la función 퐸푥 respecto a 푥 tanto para valores positivos como
negativos de 푥. (Recuérdese que 퐸푥 es negativo cuando E señala en el
sentido negativo de las 푥.

13. Problemas
 Solución
 Expresamos el campo eléctrico en un punto 푃 situado a una distancia 푥
desde una carga 푞
kq
E x r
 Evaluamos esta expresión para 푥 = 6푚
 Inciso a
,0
2 ( ) P
x

 
 8.99  10 9  2 / 2
 4


 

   
2
6
6
6 999 /
N m C C
E m i
m
E m 
N C i

14. Problemas
 Solución Inciso b
 Evaluamos esta expresión para 푥 = −10푚
 
 8.99  10 9  2 / 2
 4


  
 
 
   
2
10
10
10 360 /
N m C C
E m i
m
E m  
N C i

15. Problemas
 Solución Inciso c
 En el siguiente gráfico se trazó el campo Eléctrico, utilizando Excel con
diferentes valores del E con Excel.

16. Problemas
 Problema 2
 Dos cargas puntuales, cada una de ellas de +4휇퐶, están sobre el eje 푥,
una en el origen y la otra en 푥 = 8푚. Hallar el campo eléctrico sobre el eje
푥 en (a) 푥 = −2푚, (b) 푥 = 2푚, (c)푥 = 6푚 y 푑 푥 = 10푚. (e) ¿En que punto del
eje 푥 es cero el campo eléctrico? (f) Hacer un esquema de 퐸푥 en función
de 푥.

17. Problemas
 Solución
 Sea q la que representa las cargas de +4휇퐶 y utilizamos la ley de Coulomb
para encontrar el 퐸 debido a una carga puntual y el principio de
superposición de campos para encontrar el campo eléctrico en los lugares
especificados.

18. Problemas
 Solución
 Tomando en cuenta que 푞1 = 푞2, utilizamos la ley de Coulomb y el principio
de superposición para expresar el campo eléctrico debido a las cargas
dadas en un punto P a una distancia x del origen, tenemos que:
1 2
   
q q q p q p
, , 2 2
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
 
1 2
q p q p
1 , 2
1 2
2,  
8
considerando que
1 1
( )
8
kq kq
E x E x E x r r
x m x
q q
E x kq r r
x m x


 
   
    

19. Problemas
 Solución Inciso a
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 푥 = −2푚 .
Tenemos que: 푟1,푝 = 푥 = −2푚 y 푟2,푝 = 푎 − 푥 = 8m − −2m = 10m
 Considerando
 
1 1
E m N m C i i
 
 
  
 
2
 
2 2
( 2 ) 36,000 /
2 8 2
( 2 ) 9360 /
m m m
E m N C i
 
      
      
  
푃
푞1
푥 = 0푚
푞2
푥 = 8푚
푥 = −2푚
+ +
푎 = 8푚

20. Problemas
 Solución Inciso b
+ +
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 푥 = 2푚. Tenemos
que:
 Tenemos que: 푟1,푝 = 푥 = 2푚 y 푟2,푝 = 푎 − 푥 = 8m − 2m = 6m
 
1 1
E m N m C i i
 
 
  
 
 
2
2 2
(2 ) 36,000 /
2 8 2
(2 ) 8000 /
m m m
E m N C i
 
     
    

푃
푞1
푥 = 0푚
푞2
푥 = 8푚
푎 = 8푚
푥 = 2푚

21. Problemas
 Solución Inciso c
+ +
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 푥 = 6푚. Tenemos
que:
 Tenemos que: 푟1,푝 = 푥 = 6푚 y 푟2,푝 = 푎 − 푥 = 8m − 6m = 2m
 
1 1
E m N m C i i
 
 
  
 
2
 
2 2
(6 ) 36,000 /
6 8 6
(6 ) 8000 /
m m m
E m N C i
 
     
    
 
푃
푞1
푥 = 0푚
푞2
푥 = 8푚
푎 = 8푚
푥 = 6푚

22. Problemas
 Solución Inciso d
+ +
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 푥 = 10푚 .
Tenemos que:
 Tenemos que: 푟1,푝 = 푥 = 10푚 y 푟2,푝 = 푥 − 푎 = 10m − 8m = 2m
 
1 1
E m N m C i i
 
 
 
 
 
2
2 2
(10 ) 36,000 /
10 10 8
(10 ) 9350 /
m m m
E m N C i
 
   
    

푃
푞1
푥 = 0푚
푞2
푥 = 8푚
푎 = 8푚
푥 = 10푚

23. Problemas
 Solución Inciso e
 Considerando por simetría que
 
E (2 m ) 8000 N /
C i
y
E m N C i
 

(6 )  
8000 / }
E m
 (4 ) 
0
퐸2푚 = 8푘푁/퐶
퐸4푚 = 0 푁/퐶
퐸2푚 퐸6푚
퐸6푚 = −8kN/C

24. Problemas
 Solución Inciso f
 Usando Excel y
graficando los
valores de 퐸푥 en
función de 푥
tenemos:

25. Problemas
 Problema 3
 Cuando se coloca una carga testigo o de prueba 푞0 = 2푛퐶 en el origen,
experimenta la acción de una fuerza de 8 × 10−4푁 en la dirección positiva
del eje de las 푦. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? (b) ¿Cuál
sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de −4푛퐶 situada en el
origen? (c) Si esta fuerza debida a una carga situada sobre el eje 푦 en 푦 =
3푚, ¿cual será el valor de dicha carga?

26. Problemas
 Solución Inciso a
 Podemos encontrar el campo eléctrico en el origen a partir de la
definición y la fuerza sobre una carga considerando que 퐹 = 푞퐸. Además
podremos aplicar la ley de Coulomb para encontrar el valor de la carga
colocada en 푦 = 3 푐푚.
 Aplicamos la definición del campo eléctrico y obtenemos:
 
 
 
4
F N j
E   
kN C j
q nC
0
8 10
400 /
2

27. Problemas
 Solución Inciso b
 Expresamos y evaluamos la fuerza sobre un cuerpo cargado en un campo
eléctrico
F  qE  4nC400kN / C j  1.60mN  j

28. Problemas
 Solución Inciso c
 Aplicamos la ley de Coulomb y obtenemos
 
 
   
j mN j
  
kq nC
2
2
 9 2 2
 
4
1.60
0.03
1.60 0.03
40
8.99 10 / 4
m
mN m
q nC
N m C nC

   
    
 

29. Problemas
 Problema 4
 Una carga puntual 푄1 = 25푛퐶 esta en el punto 푃1 4, −2,7 y una carga 푄2 =
60푛퐶 está en 푃2 −3,4, −2 . a) Si 휖 = 휖표, encontrar E en el punto 푃3 1,2,3 . b)
¿En qué punto sobre el eje 푦 퐸푥 = 0?

30. Problemas
 Solución
 Una carga puntual 푄1 = 25푛퐶 esta en el punto 푃1 4, −2,7 y una carga 푄2 =
60푛퐶 está en 푃2 −3,4, −2 .
 a) Si 휖 = 휖표, encontramos E en el punto 푃3 1,2,3 . Este campo debe ser
퐸 =
1
4휋휖표
푄1푉13
푉13
+
푄2푉23
푉23
퐸 푟 =
푄1
4휋휖표 푟 − 푟1
2 푎1 +
푄2
4휋휖표 푟 − 푟2
2 푎2 + ⋯ … … . . +
푄푛
4휋휖표 푟 − 푟푛
2 푎푛

31. Problemas
 Solución
퐸 =
10−9
4휋휖표
 Donde 푉13 = −3푖 + 4푗 − 4푘 푦 푉23 = 4푖 − 2푗 + 5푘. También tenemos que 푉13 =
41 푦 푉23 = 45
25푉13
푉13
3 +
60푉23
푉3
23

32. Problemas
 Solución
 En consecuencia tenemos que
퐸 =
10−9
4휋휖0
25 × −3푖 + 4푗 − 4푘
41 41 1/2 +
60 × 4푖 − 4푗 + 5푘
45 45 1/2
퐸 = 4.58푖 − 0.15푗 + 5.51푘

33. Problemas
 Solución
 Tenemos que el 푃3 푒푠 푎ℎ표푟푎 0, 푦, 0 , por lo tanto el 푉13 = −4푖 + 푦 + 2 푗 − 7푘 y
푉23 = 3푖 + 푦 − 4 푗 + 2푘. Tambien tenemos que
 푉13 = 65 + (푦 + 2)2 푦 푉23 = 13 + 푦 − 4 2
 Por lo tanto la componente de 푥 del 퐸 en el nuevo 푃3 푒푠
 퐸푥 =
10−9
4휋휖표
25× −4
65+ 푦+2 2 3/2 +
60×3
13+ 푦−4 2 3/2

34. Problemas
 Solución
 Considerando que 퐸푥 = 0 y simplificando la expresión del lado izquierdo
llegamos a la siguiente expresión cuadrática:
 0.48푦2 + 13.92푦 + 73.10 = 0
 La cual toma los valores de 푦 = −6.89, −22.11

35. Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
 Si ahora se visualiza una región del espacio con un enorme número de
cargas separadas por distancias diminutas.
 Esto realmente no es una limitación ya que nuestros resultados finales,
como ingenieros en comunicaciones, casi siempre están en términos de la
corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico,
o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún
fenómeno macroscópico a gran escala. En raras ocasiones es necesario
conocer una corriente electrón por electrón.
 La densidad de carga volumétrica se simboliza con 휌푣, cuyas unidades son
coulomb por metro cúbico 퐶/푚3

36. Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
 La pequeña cantidad de carga Δ푄 en un volumen pequeño Δ푣 es:
 Δ푄 = 휌푣Δ푣
 Y se puede definir matemáticamente mediante la utilización de un
proceso de limite
 휌푣 = lim
Δ푣→0
Δ푄
Δ푣
 La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por
integración sobre todo el volumen
 푄 = 푣표푙 휌푣푑푣

37. Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
 La diferencial 푑푣 significa una integración a través de todo el volumen e
implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con
un solo símbolo de integración.

38. Problema
 Una densidad volumétrica de carga uniforme de 0.2휇퐶/푚3 esta en una
concha esférica que se extiende de 푟 = 3푐푚 푎 푟 = 5푐푚.
 Si 휌푣 = 0 en cualquier otra parte, encontrar: a) la carga total presente en la
concha, y b) el valor de 푟1 si la mitad de la carga total está en la región
3푐푚 < 푟 < 푟1

39. Problema
 Solución
 Inciso a
 Sin embargo para encontrar la carga total presente en la concha tenemos
que:
 El volumen será 푟2푠푒푛휃푑푟푑휃푑∅
2휋
 푄 = 0
휋
0
0.05
0.03
0.2 푟2푠푒푛휃푑푟푑휃푑∅ = 4휋 0.2
0.05
푟3
3 0.03
⟹
 푄 = 8.21 × 10−5휇퐶 = 82.1푝퐶

40. Problema
 Solución
 Inciso b
 Para encontrar el valor de 푟1 si la mitad de la carga total está en la región
3푐푚 < 푟 < 푟1, 푡푒푛푒푚표푠 푞푢푒:
 El volumen será 푟2푠푒푛휃푑푟푑휃푑∅
2휋
 푄 = 0
휋
0
푟1 0.2 푟2푠푒푛휃푑푟푑휃푑∅ = 4휋 0.2
0.03
푟1
푟3
3 0.03
⟹
 Si consideramos que la mitad de la carga es
 푄 =
8.21×10−5휇퐶
2
= 4.105 × 10−5퐶

41. Problema
 Solución
 Inciso b
 4.105 × 10−5퐶 = 4휋 0.2
푟1
푟3
3 0.03
⟹
 푟1 =
3×4.105×10−5
0.2×4휋
+ 0.03 3
1/3
= 4.24푐푚