Tema: PERT-CPM

INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
ECONÓMICAS II
Econ. Romel A. Rojas Melgarejo
TEMA :
Administración y Control de
Proyectos: PERT-CPM
UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTUNEZ DE
MAYOLO”
Departamento Académico de Economía y Contabilidad

Investigación de Operaciones II 2
HISTORIA DE LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
INTRODUCCIÓN
 Critical Path Method (CPM):
 La Compañía DuPont, desarrolló el método de la ruta crítica
(CPM) en 1957 para controlar el mantenimiento de proyectos
de sus plantas químicas.
 Los tiempos de las actividades son determinísticos y se
pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.
 Project Evaluation and Review Technique (PERT):
 Fue desarrollado en 1958 por la oficina naval de proyectos de
Estados Unidos para el programa de misiles POLARIS.
 Supone que el tiempo para realizar cada una de las
actividades es una variable aleatoria descrita por una
distribución de probabilidad
 Son idénticos en concepto y metodología.
MODELOS PERT / CPM PARA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS

 Un proyecto es cualquier empresa humana con un claro
principio y un claro final.
 Todos los proyectos grandes o pequeños tienen características
comunes:
 Una combinación de actividades.
 Una relación secuencial entre algunas de las actividades.
 Una preocupación por el tiempo.
 Una preocupación por los recursos.
 Cuando no se planifica detalladamente, se corre con el riesgo de
encarecer la obra por los incrementos de costos producidos por
atrasos innecesarios y falta de coordinación.
PLANIFICACIÓN DE PROYECTOS
INTRODUCCIÓN

 Proceso de Planear, Organizar, y Administrar Tareas y Recursos
para alcanzar un objetivo concreto, generalmente con
delimitaciones de Tiempo, Recursos o Costo.
 Triángulo del proyecto:
• TIEMPO: El tiempo para completar el proyecto, que se refleja
en la programación del mismo.
• DINERO: El presupuesto del proyecto, que se basa en el costo
de los recursos; personas, equipamiento y materiales
necesarios para realizar las tareas.
• ÁMBITO: Los objetivos y las tareas del proyecto, así como el
trabajo necesario para realizarlo.
GESTIÓN DE PROYECTOS

A veces el desarrollo de proyectos específicos hace que se
formen equipos de trabajo temporales, los cuales una vez
concluidos dejan de funcionar.
La GESTIÓN DE PROYECTOS contempla tres fases:
1. PLANIFICACIÓN,
2. PROGRAMACIÓN,
3. CONTROL.

 Para la organización de un proyecto se requiere:
 Tener un objetivo específico
 Conocer:
» La fecha de cumplimiento,
» Las actividades detalladas y sus costos asociados.
 Determinar los recursos necesarios, (personal, suministros
y equipos).
1.- PLANIFICACIÓN

 PROGRAMAR consiste en determinar las actividades
necesarias en secuencia, el tiempo necesario, materiales,
equipos, maquinarias y personal responsable que las
ejecutarán.
 Una herramienta sencilla muy utilizada es el Diagrama de
Gantt que refleja el cronograma de actividades que deben
ser ejecutadas en base al tiempo. A la izquierda de cada
barra se colocan las letras de las actividades que deben ser
concluidas previamente para que ésta se inicie.
2.- PROGRAMACIÓN

 Los Diagramas de Gantt muestran:
 Todas las actividades que deben ser ejecutadas,
 Su orden de ejecución,
 Los tiempos necesarios,
 Sus fecha de inicio y terminación.
 LA PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS SIRVE PARA:
a. Definir la relación de cada actividad con las otras y con todo el
proyecto,
b. Determinar la precedencia entre actividades,
c. Obliga a determinar tiempos reales y estimar costos para todas las
actividades,
d. Permite al Gerente del Proyecto a usar eficientemente los recursos:
personal, dinero y materiales, determinando los cuellos de botella
del proyecto.
2.- PROGRAMACIÓN

 El CONTROL DE PROYECTOS - como el control de cualquier
sistema de administración - implica el monitoreo cercano de
recursos, costos, calidad y presupuesto del mismo.
 CONTROL significa también usar un círculo de retroalimentación
para revisar el plan del proyecto y asignar mayores recursos
donde son necesarios para no atrasarlo.
 Actualmente existen sistemas computarizados que ayudan en
esta tarea como MS Project, Harvard Total Project Manager
(HTPM), Primavera, MacProject, Pertmaster, VisiSchedule, Time
Line, etc.2
3.- CONTROL

MODELOS PERT/CPM
Uno de los trabajos más desafiantes que puede asumirse es la
administración de un proyecto a gran escala que requiere coordinar
numerosas actividades en toda la organización.
Se debe considerar una diversidad de detalles al planear la forma de
coordinar todas estas actividades, al desarrollar un programa
realista y luego vigilar el progreso del proyecto.
Por fortuna, están disponibles dos técnicas de ciencia administrativa
muy relacionadas entre sí, PERT (siglas en inglés de técnica de
evaluación y revisión de programa) y CPM (siglas en inglés de
método de ruta crítica), para ayudar al administrador de proyecto a
cumplir con estas responsabilidades.

MODELOS PERT/CPM
PERT y CPM se han usado ampliamente para una diversidad de
proyectos, incluidos los siguientes tipos:
1. Construcción de una nueva planta.
2. Investigación y desarrollo de un nuevo producto.
3. Proyectos de exploración del espacio de NASA.
4. Producción de películas.
5. Construcción de barcos.
6. Proyectos patrocinados por el gobierno para el desarrollo de un
nuevo sistema de armamento.
7. Reubicación de una instalación importante.
8. Mantenimiento de un reactor nuclear.
9. Instalación de un sistema de información administrativo.
10.Conducción de una campaña publicitaria.

El método de la ruta crítica representa el plan de un proyecto en un
diagrama o red, que describe la secuencia e interrelación de sus
componentes, así como el análisis lógico y la manipulación de esta
red, para la determinación del mejor programa de operación.
El PERT-CPM expone la ruta crítica de un proyecto; es decir, las
actividades que son tareas que de tardarse más de lo programado,
atrasarán el proyecto total. Las actividades que no están en la ruta
crítica tienen una cierta cantidad de holgura asociada a sus
respectivos tiempos para retardos.
El PERT-CPM también considera los recursos necesarios para
completar las actividades y es una valiosa herramienta para
controlar y monitorear el proyecto.
MODELOS PERT/CPM

Para aplicar el PERT/CPM a un proyecto, se requiere
comprender los requisitos y estructura del mismo. El esfuerzo
que demande este conocimiento es de gran valor para su
comprensión. En particular, se deben contestar cuatro
preguntas:
1. ¿Cuáles son las actividades que el proyecto requiere?.
2. ¿Cuáles son los requisitos de secuenciación o de
restricciones de estas actividades?.
3. ¿Qué actividades pueden realizarse simultáneamente?.
4. ¿Cuáles son los tiempos estimados para cada actividad?.
MODELOS PERT/CPM

CASO DE ESTUDIO: EL PROYECTO DE THE RELIABLE CONSTRUCTION
CO.
The Reliable Construction Company acaba de hacer la oferta
ganadora de 5.4 millones de dólares para construir una nueva
planta para un fabricante importante. Éste necesita que la planta
inicie operaciones dentro de un año. Por lo tanto, el contrato
incluye las siguientes provisiones:
 Una pena de $ 300,000 si Reliable no ha terminado la
construcción para la fecha de vencimiento, dentro de 47
semanas.
 Para proporcionar un incentivo adicional para una construcción
veloz, se pagará un bono de $ 150,000 a Reliable si la planta se
termina en un plazo de 40 semanas.
MODELOS PERT/CPM

CASO DE ESTUDIO: EL PROYECTO DE THE RELIABLE CONSTRUCTION
CO.
Reliable asigna a David Perty, su mejor gerente de construcción para
asegurar que el proyecto permanezca dentro del calendario. Perty,
espera realizarlo a tiempo, pero duda que sea posible terminar
dentro de 40 semanas sin incurrir en costos excesivos, y decide
enfocar su planeación en cumplir con el plazo de 47 semanas; para
ello necesitará arreglar que varios equipos realicen las diversas
actividades de construcción en distintos momentos. En la tabla
siguiente se muestra la lista de las diversas actividades.
Para una actividad dada, sus predecesores inmediatos (tercera
columna) son las actividades que deben completarse a más tardar
en el tiempo de inicio de la actividad dada.
MODELOS PERT/CPM

TABLA 01: Lista de actividades para el proyecto Reliable Construction Co.
ACTIVIDAD DESCRIPCION DE LA ACTIVIDAD DURACION
ESTIMADA
PREDECESORES
A Excavar 2 semanas Ninguna
B Echar los cimientos 4 semanas A
C Realizar el muro de mampostería 10 semanas B
D Realizar el techo 6 semanas C
E Instalar la plomería exterior 4 semanas C
F Instalar la plomería interior 5 semanas E
G Aplanar paredes exteriores 7 semanas D
H Pintar el exterior 9 semanas E, G
I Hacer el trabajo eléctrico 7 semanas C
J Realizar el cubrimiento de la
pared
8 semanas F, I
K Instalar el piso 4 semanas J
L Pintar el interior 5 semanas J
M Instalar los acabados exteriores 2 semanas H
N Instalar los acabados interiores 6 semanas K, L
MODELOS PERT/CPM

TÉCNICAS DE GESTIÓN DE PROYECTOS: PERT - CPM
Por ejemplo, los conceptos superiores en esta columna indican que:
1. La excavación no necesita esperar a ninguna otra actividad.
2. La excavación debe terminarse antes de iniciar el
establecimiento de los cimientos.
3. Los cimientos deben terminarse antes de iniciar la realización del
muro de mampostería y demás. Cuando una actividad tiene más
de un predecesor inmediato, todas deben terminarse antes de
que la actividad pueda comenzar.
Para programar las actividades, se requiere una estimación del
tiempo que tomará cada actividad cuando se hace en forma normal.
Sumados estos tiempos se obtiene un total de 79 semanas, lo cual
supera con mucho la fecha de vencimiento del proyecto. Por
fortuna, algunas de las actividades se pueden hacer en paralelo, lo
cual reduce de manera sustancial el tiempo de terminación.

Con la información de la tabla anterior, se desarrollará respuestas a
las siguientes preguntas:
1. ¿Cómo se puede mostrar el proyecto en forma gráfica para
visualizar mejor el flujo de las actividades?.
2. ¿Cuál es el tiempo total que se requiere para terminar el
proyecto si no ocurren retrasos?.
3. ¿Cuándo deben iniciarse y terminarse las actividades individuales
(a más tardar) para cumplir con el tiempo de terminación de este
proyecto?.
4. ¿Cuándo pueden iniciar y terminar las actividades individuales
(lo más pronto posible) si no ocurren retrasos?.
5. ¿Cuáles son las actividades de cuello de botella críticas en las
que se debe evitar cualquier retraso para prevenir aplazar el
cumplimiento del proyecto?.

6. Para las demás actividades, ¿cuánto retraso puede tolerarse sin
que se atrase el cumplimiento del proyecto?.
7. Dadas las incertidumbres en la estimación precisa de las
duraciones de las actividades, ¿cuál es la probabilidad de
terminar el proyecto en la fecha límite (47 semanas)?.
8. Si se gasta dinero extra para acelerar el proyecto, ¿cuál es la
forma menos costosa de intentar cumplir con el plazo de
cumplimiento programado (40 semanas)?.
9. ¿Cómo se deben vigilar los costos continuos para tratar de
mantener el proyecto dentro del presupuesto?.
Al ser un usuario regular de PERT/CPM, el señor Perty sabe que esta
técnica le proporcionará una ayuda invaluable para responder estas
preguntas.

USO DE UNA RED PARA MOSTRAR EN FORMA
VISUAL UN PROYECTO
Las redes son valiosas para representar y ayudar a analizar muchos
tipos de problemas. Permiten mostrar las relaciones entre las
actividades y colocar todo en perspectiva.
Luego se utilizan para ayudar a analizar el proyecto y responder a
los tipos de preguntas que se plantearon anteriormente.
REDES DE PROYECTO
Una red que se utiliza para representar un proyecto se denomina
red de proyecto. Consiste en una cantidad de nodos (que se
muestran como pequeños círculos o rectángulos) y diversos
números de arcos (que se muestran como flechas) que llevan de
algún nodo a otro.

VISUAL UN PROYECTO
Las redes son valiosas para representar y ayudar a analizar muchos
tipos de problemas. Permiten mostrar las relaciones entre las
actividades y colocar todo en perspectiva.
Luego se utilizan para ayudar a analizar el proyecto y responder a
los tipos de preguntas que se plantearon anteriormente.
REDES DE PROYECTO
Una red que se utiliza para representar un proyecto se denomina
red de proyecto. Consiste en una cantidad de nodos (que se
muestran como pequeños círculos o rectángulos) y diversos
números de arcos (que se muestran como flechas) que llevan de
algún nodo a otro.

VISUAL UN PROYECTO
Como se indica en la tabla anterior, hay tres tipos de información
necesaria para describir un proyecto:
1. Información de actividad: dividir el proyecto en sus actividades
individuales (con el nivel de detalle que se desee).
2. Relaciones de precedencia: identificar el predecesor inmediato
para cada actividad.
3. Información de tiempo: estimar la duración de cada actividad.
La red de proyecto necesita comunicar toda esta información. Hay
dos tipos de redes de proyecto disponibles para hacer esto.
1. Red de proyecto de actividad en arco (AOA): cada actividad se
representa por un arco. Un nodo se utiliza para separar una
actividad (un arco continuo) de cada uno de sus predecesores
inmediatos (un arco entrante). La secuencia de los arcos muestra
las relaciones de precedencia entre las actividades.

VISUAL UN PROYECTO
2. Red de proyecto de actividad en nodo (AON): cada actividad está
representada por un nodo. Los arcos se utilizan sólo para
mostrar las relaciones de precedencia entre las actividades. En
particular, el nodo de cada actividad con predecesores
inmediatos tiene un arco que entra desde cada uno de estos
predecesores.
Las versiones originales de PERT y CPM utilizaron redes de proyecto
AOA, así que este fue el tipo convencional que se utilizó durante
algunos años.

VISUAL UN PROYECTO
Sin embargo, las redes de proyecto de AON tienen algunas ventajas
importantes sobre las redes de proyecto AOA para comunicar en
forma exacta la misma información:
1. Son considerablemente más fáciles de construir que las redes de
proyecto AOA.
2. Son más fáciles de entender que las redes de proyecto AOA por
usuarios inexpertos.
3. Son más fáciles de revisar que las redes de proyecto AOA cuando
hay cambios en el proyecto.
Por estas razones, las redes de proyecto AON se han vuelto cada vez
más populares entre los usuarios. Por lo tanto, ahora el enfoque se
centrará sólo en las redes de proyecto AON.

VISUAL UN PROYECTO
En la siguiente diapositiva se muestra la red de proyecto para el
proyecto de Reliable. Con respecto también a la cuarta columna de
la tabla mostrada anteriormente, observe cómo hay un arco que
lleva a cada actividad desde cada uno de sus predecesores
inmediatos. Como la actividad «A» no tiene predecesores
inmediatos, hay un arco que lleva del nodo de inicio a esta
actividad. En forma similar, como las actividades «M» y «N» no
tienen sucesores inmediatos, los arcos llevan de estas actividades al
nodo final. La red de proyecto muestra todas las relaciones
precedentes entre todas las actividades (más el inicio y el final del
proyecto). Con base en la tercera columna de la misma tabla, el
número a continuación del nodo de cada actividad registra su
duración estimada (en semanas).

VISUAL UN PROYECTO
J
C
L
F
K
M
N
8
Inicio A B
2
Terminación
5
6
4
4 10
E
I
D
H
G
7
4
5
6
7 9
2
CÓDIGO DE LA ACTIVIDAD
A Excavar
B Echar los cimientos
C Muro de mampostería
D Realizar el techo
E Instalar la plomería exterior
F Instalar la plomería interior
G Aplanar paredes exteriores
H Pintar el exterior
I Hacer el trabajo eléctrico
j Recubrimiento de la pared
K Instalar el piso
L Pintar el interior
M Acabados exteriores
N Acabados interiores
Figura 01: Red del proyecto de
Reliable Construction Co.

PROGRAMACIÓN DE UN PROYECTO CON PERT/CPM
Se mencionó que el gerente del proyecto Reliable Construction Co.,
quiere responder una serie de preguntas y por lo tanto utilizará el
método PERT/CPM como el mejor método para obtener respuestas.
Su primera pregunta ya se respondió con el gráfico anterior. Aquí
están cinco preguntas que se responderán en esta sección.
Pregunta 2: ¿cuál es el tiempo total que se requiere para completar
el proyecto si no ocurren retrasos?
Pregunta 3: ¿cuándo necesitan comenzar y terminar (a más tardar)
las actividades individuales para cumplir con el plazo de culminación
de este proyecto?
Pregunta 4: ¿cuándo pueden empezar y terminar (a más tardar) las
actividades individuales si no ocurren retrasos?

PROGRAMACIÓN DE UN PROYECTO CON PERT/CPM
Pregunta 5: ¿cuáles son las actividades críticas de cuello de botella
en las que se debe evitar cualquier retraso para prevenir la demora
de la terminación del proyecto?
Pregunta 6: para las demás actividades, ¿cuánto retraso se puede
tolerar sin que se demore la terminación del proyecto?
La red de proyecto en la figura presentada permite responder todas
estas preguntas al proporcionar dos piezas cruciales de información,
a saber, el orden en que ciertas actividades deben realizarse y la
duración (estimada) de cada actividad. Para comenzar la atención se
enfoca en las preguntas 2 y 5.

¿Cuánto tiempo debe tomar el proyecto? Antes se señaló que si se
suman las duraciones de todas las actividades da un gran total de 79
semanas. Sin embargo, ésta no es la respuesta a la pregunta porque
algunas de las actividades se pueden realizar en forma simultánea
(aproximadamente).
Lo que sí es relevante es la longitud de cada ruta a lo largo de la
red.
Una ruta a través de la red del proyecto es uno de los caminos que
siguen las flechas (arcos) desde el nodo inicial hasta el nodo final. La
longitud de ruta es la suma de las duraciones (estimadas) de las
actividades en la ruta.
DETERMINACIÓN DE LA RUTA CRITICA

Las seis rutas a través de la red del proyecto visto en la red anterior
se dan en la tabla siguiente, junto con los cálculos de sus
duraciones. Las duraciones de las rutas van desde 31 semanas hasta
44 semanas para la ruta más larga.
TABLA 02: Las rutas y las longitudes de ruta a través de la red de proyecto de Reliable Co.
RUTA DURACIÓN (SEMANAS)
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑫 → 𝑮 → 𝑯 → 𝑴
→ 𝑻𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟔 + 𝟕 + 𝟗 + 𝟐
= 𝟒𝟎 𝑺𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑯 → 𝑴
𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟒 + 𝟗 + 𝟐
= 𝟑𝟏 𝑺𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑭 → 𝑱 → 𝑵
𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟖 + 𝟒 + 𝟔
= 𝟒𝟑 𝑺𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑭 → 𝑱 → 𝑳 → 𝑵
𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟖 + 𝟓 + 𝟔
= 𝟒𝟒 𝑺𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑰 → 𝑱 → 𝑲 → 𝑵
𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟕 + 𝟖 + 𝟒 + 𝟔
= 𝟒𝟏 𝑺𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑰 → 𝑱 → 𝑳 → 𝑵
𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟕 + 𝟖 + 𝟓 + 𝟔
= 𝟒𝟐 𝑺𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔

Dadas estas duraciones de rutas, ¿cuál debe ser la duración de
proyecto (estimada)?.
En cualquier ruta, las actividades deben hacerse una después de la
otra sin ningún traslape. La duración del proyecto no puede ser
menor que la longitud de la ruta. Pero si puede ser mayor, debido a
que alguna actividad en la ruta con varios predecesores inmediatos
tendrá que esperar más tiempo para que un predecesor inmediato
fuera de la ruta termine, en comparación con uno que está en la
ruta.
Sin embargo, la duración del proyecto no será más larga que una
ruta en particular; es la ruta más larga a lo largo de la red del
proyecto. Las actividades en esta ruta pueden realizarse en forma
secuencial sin interrupción. (Sino, ésta no sería la más larga.)

Por lo tanto, el tiempo que se requiere para alcanzar el nodo final
iguala la longitud de esta ruta. Ésta es la conclusión clave.
La duración del proyecto (estimada) iguala la longitud de la ruta
más larga a través de la red del proyecto.
Esta ruta más larga se llama ruta crítica. (Si más de una ruta iguala a
la más larga, todas son rutas críticas.)
Así, para el proyecto de Reliable Construction Co., se tiene la Ruta
crítica:
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑭 → 𝑱 → 𝑳 → 𝑵 → 𝑻𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏
Duración de proyecto (estimada) = 44 semanas
Ahora se han respondido las preguntas 2 y 5 del señor Perty.

PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES INDIVIDUALES
La programación PERT/CPM comienza al abordar la pregunta 4:
¿cuándo pueden comenzar y terminar las actividades principales (lo
más pronto posible) si no ocurren retrasos?. El no tener retrasos
significa que:
1) La duración real de cada actividad resulta ser igual que su
duración estimada, y
2) Cada actividad comienza tan pronto como sus predecesores
inmediatos terminan.
Los tiempos de inicio y terminación de cada actividad, se llaman
tiempo de inicio más temprano «ES» y tiempo de terminación más
temprano «EF» de la actividad.
Donde: EF = ES + duración (estimada) de la actividad.

Se utilizará la regla de contar el número de periodos (semanas para
el proyecto de Reliable) a partir de cuando se inició el proyecto. Así,
Tiempo de inicio del proyecto = 0.
Dado que la actividad «A» inicia el proyecto Reliable, se tiene:
Actividad A: ES = 0
EF = 0 + duración (2 semanas)
EF = 2
La actividad «B» puede iniciar tan pronto como termina la
actividad «A», así:
Actividad B: ES = EF para la actividad A
ES = 2
EF = 6

Este cálculo de «ES» para la actividad «B» ilustra la primera regla
para obtener «ES».
Si una actividad tiene sólo un predecesor inmediato, entonces:
ES para la actividad = EF para el predecesor inmediato
Esta regla (más el cálculo de cada «EF») da de inmediato «ES» y
«EF» para la actividad «C», luego para las actividades «D», «E», «I»
y luego para las actividades «G», «F», también.
Por ejemplo,
Actividad G: ES = EF para la actividad D
ES = 22
EF = 29
Lo que significa que esta actividad (aplanar las paredes exteriores)
debe iniciar en 22 semanas y terminar 29 semanas después del
inicio del proyecto.

M
8
Inicio A
2
Terminación
5
6
4
4 10
7
4
5
6
7 9
2
ES = 0
EF = 2
ES = 2
EF = 6
ES = 6
EF = 16
B C
D
I
HG
E
F
J
L
K
N
ES = 16
EF = 23
ES = 16
EF = 22
ES = 16
EF = 20
ES = 22
EF = 29
ES = 20
EF = 25
Figura 02: Valores del «ES» y «EF» para las actividades iniciales que
tienen sólo un predecesor inmediato.

Ahora considere la actividad «H», que tiene dos predecesores
inmediatos, las actividades «G» y «E».
La actividad «H» debe esperar para iniciar hasta que ambas
actividades (G y E) estén terminadas, lo que da el siguiente cálculo.
Los predecesores inmediatos de la actividad «H»:
Actividad «G» tiene EF = 29
Actividad «E» tiene EF = 20
Mayor EF = 29
Por lo tanto,
ES para la actividad H = EF más largo anterior = 29
Este cálculo ilustra la regla general para obtener el tiempo de inicio
más temprano para cualquier actividad.

REGLA DEL TIEMPO DE INICIO MÁS TEMPRANO
El tiempo de inicio más temprano de una actividad es igual al más
largo de los tiempos de terminación más tempranos de sus
predecesores inmediatos. En símbolos:
ES = EF más largo de sus predecesores inmediatos
Cuando la actividad tiene sólo un predecesor inmediato, esta regla
se vuelve igual que la primera regla. Sin embargo, también permite
cualquier número mayor de los predecesores inmediatos. Aplicar
esta regla al resto de las actividades en la figura anterior y calcular
cada «EF» a partir del «ES», arroja un conjunto completo de valores
de «ES» y «EF» que se dan en la figura siguiente.

Figura 03: Valores del «ES» y del «EF» para todas las
actividades (más los nodos de inicio y terminación) del
proyecto Reliable Construction Co.
M
8
Inicio A
2
Terminación
5
6
4
4 10
7
4
5
6
7 9
2
ES = 0
EF = 2
ES = 2
EF = 6
ES = 6
EF = 16
B C
D
I
HG
E
F
J
L
K
N
ES = 16
EF = 23
ES = 16
EF = 22
ES = 16
EF = 20
ES = 22
EF = 29
ES = 20
EF = 25
ES = 25
EF = 33
ES = 33
EF = 38
ES = 38
EF = 44
ES = 33
EF = 37
ES = 29
EF = 38 ES = 38
EF = 40
ES = 44
EF = 440
0

La figura 03 también incluye valores del «ES» y «EF» para los nodos
de inicio y terminación; pues, estos nodos se tratan en forma
convencional como actividades artificiales que no requieren
tiempo. Para el nodo «inicio», ES = 0 = EF en forma automática. Para
el nodo «terminación», la regla de tiempo de inicio más temprano
se utiliza para calcular «ES» en la forma normal, como se ilustra a
continuación.
Predecesores inmediatos del nodo de terminación:
La actividad «M» tiene EF = 40
La actividad «N» tiene EF = 44
Por lo tanto,
ES para el nodo de terminación = EF más largo anterior = 44
EF para el nodo de terminación = 44 + 0 = 44

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LOS TIEMPOS MÁS TEMPRANOS
PARA TODAS LAS ACTIVIDADES:
1. Para cada actividad que empieza el proyecto, (incluido el nodo
de inicio), establezca su tiempo de inicio más temprano como
«ES = 0».
2. Para cada actividad cuyo valor de «ES» se acaba de obtener,
calcule su tiempo de terminación más temprano como EF = ES +
duración (estimada) de la actividad.
3. Para cada nueva actividad cuyos predecesores inmediatos ahora
tienen valores de «EF», obtenga «ES» al aplicar la regla del
tiempo de inicio más temprano. Luego aplique el paso 2 para
calcular su «EF».
4. Repita el paso «3» una y otra vez hasta que se haya obtenido
«EF» y «ES» de todas las actividades (incluido el primer nodo).

PROGRAMACIONES POSTERIORES QUE EVITAN EL RETRASO DEL
CUMPLIMIENTO DEL PROYECTO
Una vez calculados los tiempos de inicio y terminación más
tempranos para cada actividad, ahora se desea encontrar los
tiempos de inicio y terminación más lejanos que aún permitirían
terminar el proyecto en 44 semanas.
«El tiempo de inicio más lejano de una actividad es el tiempo más
largo en que puede iniciar, sin retrasar el cumplimiento del
proyecto, si se supone que no hay retrasos posteriores en el
proyecto. El tiempo de terminación más lejano tiene la definición
correspondiente con la terminación de la actividad.

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LOS TIEMPOS MÁS TEMPRANOS
En símbolos,
LS = Tiempo de inicio más lejano para una actividad en particular.
LF = Tiempo de terminación más lejano para una actividad en
particular;
Donde:
LS = LF – duración (estimada) de la actividad
Para encontrar «LF» se tiene la siguiente regla.

REGLA DEL TIEMPO DE TERMINACIÓN MÁS LEJANO
El tiempo de terminación más tardío de una actividad es igual al
más corto de los tiempos de inicio más lejanos de sus sucesores
inmediatos. En símbolos,
LF = LS más corto de los sucesores inmediatos
Como los sucesores inmediatos de una actividad no pueden iniciar
hasta que termine la actividad, esta regla dice que la actividad debe
terminar a tiempo para permitir que todos sus sucesores
inmediatos comiencen en sus tiempos de inicio más lejanos.
Por ejemplo, considere la actividad «M» en la figura 03. Su único
sucesor inmediato es el nodo de terminación. Este nodo se debe
alcanzar por el tiempo 44 para terminar el proyecto dentro de 44
semanas, así que se comienza por asignar valores a este nodo de la
siguiente forma.

Nodo de terminación: LF = su EF = 44
LS = 44 - 0 = 44
Ahora es posible aplicar la regla del tiempo de terminación más
lejano a la actividad «M».
Actividad M: LF = LS para el nodo de terminación = 44
LS = 44 – duración (2 semanas) = 42
Ya que la actividad «M» es el único sucesor inmediato de la
actividad «H», ahora es posible aplicar la regla del tiempo de
terminación más lejano a la última actividad.
Actividad H: LF = LS para actividad M = 42
LS = 42 – duración (9 semanas) = 33
El procedimiento es empezar con las actividades finales y trabajar hacia atrás en el
tiempo hacia las actividades iniciales. Así, en contraste con el paso hacia delante que
se utilizó para encontrar los tiempos de inicio y terminación mas tempranos, ahora se
da un paso hacia atrás a través de la red, como se resume más adelante

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LOS TIEMPOS MÁS LEJANOS
1. Para cada una de las actividades que en conjunto completan el
proyecto (incluido el nodo de terminación), establezca que su
tiempo de terminación más lejano «LF» sea igual al tiempo de
terminación más temprano del nodo final.
2. Para cada actividad cuyo valor de «LF» se acaba de obtener,
calcule su tiempo de inicio más lejano como LS = LF – duración
(estimada) de la actividad.
3. Para cada nueva actividad cuyos sucesores inmediatos ahora
tienen valores de «LS», obtenga su «LF» al aplicar la regla de
tiempo de terminación más lejano. Luego aplique el paso 2 para
calcular su «LS».
4. Repita el paso 3 una y otra vez hasta que se hayan obtenido «LF»
y «LS» para todas las actividades (incluido el nodo de inicio).

La figura 04 muestra los resultados de aplicar este procedimiento
hasta su conclusión. Por ejemplo, considere la actividad «C», que
tiene tres sucesores inmediatos.
Sucesores inmediatos de la actividad «C»:
La actividad D tiene LS = 20
La actividad E tiene LS = 16
La actividad I tiene LS = 18
LS más corto = 16
Por lo tanto,
LF para la actividad C = LS más corto anterior = 16

El señor Perty ahora sabe que el programa de la figura 04
representa su “programa de última oportunidad”. Incluso si una
actividad comienza y termina tan tarde como se indica en la figura,
todavía será posible evitar el retraso en la terminación del proyecto
más allá de 44 semanas en tanto no haya demoras posteriores en el
programa.
Si los tiempos de inicio y terminación de la figura 04 para una
actividad en particular son posteriores que los tiempos más
tempranos correspondientes en la figura 03, entonces esta actividad
tiene cierta holgura en el programa. La última parte del
procedimiento PERT/CPM para programar un proyecto es identificar
esta holgura y luego utilizar la información para encontrar la ruta
crítica. (Esto responderá las preguntas 5 y 6.)

M
8
Inicio A
2
Terminación
5
6
4
4 10
7
4
5
6
7 9
2
LS = 0
LF = 2
LS = 2
LF = 6
LS = 6
LF = 16
B C
D
I
HG
E
F
J
L
K
N
LS = 18
LF = 25
LS = 20
LF = 26
LS = 16
LF = 20
LS = 26
LF = 33
LS = 20
LF = 25
LS = 25
LF = 33
LS = 33
LF = 38
LS = 38
LF = 44
LS = 34
LF = 38
LS = 33
LF = 42 LS = 42
LF = 44
LS = 44
LF = 440
LS = 0
LF = 0
0
Figura 04: Tiempo de inicio más lejano (LS) y de terminación
más lejano (LF) para las actividades (más los nodos de inicio y
terminación) del proyecto de Reliable Construction Co.

IDENTIFICACIÓN DE HOLGURA EN EL PROGRAMA
Para identificar la holgura, es conveniente combinar los tiempos
más lejanos en la figura 04 y los tiempos más tempranos en la figura
03 en una sola figura. Por ejemplo, si es la actividad «M»,
mostramos la información para cada actividad de la siguiente forma:

Observe que «S» o «F» enfrente de cada paréntesis le recordará si
éstos son tiempos de inicio [S] o de terminación [F]. En la figura 05
se muestra esta información para el proyecto entero.
Esta figura facilita ver cuánta holgura tiene cada actividad.
La holgura para una actividad es la diferencia entre su tiempo de
terminación más lejano y su tiempo de terminación más temprano.
En símbolos:
Holgura = LF – EF
(Como LF – EF = LS – ES, en la realidad cualquier diferencia se puede
utilizar para calcular la holgura.)

M
8
Inicio A
2
Terminación
5
6
4
4 10
7
4
5
6
7 9
2
B C
D
I
HG
E
F
J
L
K
N
S = (20, 20)
F = (25, 25)
S = (25, 25)
F = (33, 33)
S = (33, 33)
F = (38, 38)
S = (38, 38)
F = (44, 44)
S = (33, 34)
F = (37, 38)
0
S = (0, 0)
F = (0, 0)
0
S = (0, 0)
F = (0, 0)
S = (16, 18)
F = (23, 25)
S = (6, 6)
F = (16, 16)
S = (16, 20)
F = (22, 26)
S = (22, 26)
F = (29, 33)
S = (29, 33)
F = (38, 42) S = (38, 42)
F = (40, 44)
S = (44, 44)
F = (44, 44)
S = (16, 16)
F = (20, 20)
S = (2, 2)
F = (6, 6)
Figura 05: ES y LS (en el paréntesis superior a un lado del
nodo) y EF y LF (en el paréntesis inferior a un lado del nodo)
para cada actividad del proyecto de Reliable Construction Co.

Por ejemplo, Holgura para la actividad M = 44 – 40 = 4
Esto indica que la actividad «M» se puede retrasar hasta 4 semanas
después del programa de los tiempos más tempranos sin retrasar la
terminación del proyecto en 44 semanas. Esto tiene sentido, ya que
el proyecto se termina en cuanto ambas actividades, «M» y «N»,
finalizan y el tiempo de terminación más temprano para la actividad
«N» (44) es de 4 semanas más tarde que para la actividad «N» (40).
Siempre y cuando la actividad «N» permanezca en tiempo, el
proyecto todavía terminará en 44 semanas si cualquier retraso en
comenzar la actividad «M» (tal vez debido a que las actividades
precedentes tomen más tiempo del esperado) y en realizarla no
acumula más de 4 semanas.

TABLA 03: Holgura para las actividades de Reliable
ACTIVIDAD HOLGURA (LF – EF) ¿ES RUTA CRITICA?
A 0 SI
B 0 SI
C 0 SI
D 4 NO
E 0 SI
F 0 SI
G 4 NO
H 4 NO
I 2 NO
J 0 SI
K 1 NO
L 0 SI
M 4 NO
N 0 SI
La tabla muestra la
holgura para cada una
de las actividades.
Note que algunas de
las actividades tienen
cero holgura, lo cual
indica que cualquier
retraso en ellas,
demorará la
terminación del
proyecto. Ésta es la
forma en que
PERT/CPM identifica la
ruta crítica.

Cada actividad con holgura cero está en una ruta crítica a través de
la red del proyecto, de tal forma que cualquier retraso a lo largo de
esta ruta demorará la terminación del proyecto.
Así, la ruta crítica es:
Inicio → A → B → C → E → F → J → L → N → Terminación
Tal como se encontró por un método distinto al inicio de la sección.
Esta ruta se resalta en la figura 05 por las flechas de color rojo. Las
actividades en esta ruta son las que el señor Perty debe supervisar
con especial cuidado para mantener el proyecto dentro del
programa.

USO DE LA COMPUTADORA PARA RESPONDER ESTAS PREGUNTAS
Si usted prefiere utilizar una hoja de cálculo para hacer el trabajo que se
requiere para responder estas preguntas, se muestra cómo se puede
hacer.
Se necesita ingresar las ecuaciones apropiadas en las diversas celdas
aplicando la lógica que se ha descrito. Las ecuaciones en la columna E
están basadas directamente en la regla del tiempo de inicio más
temprano. En la columna F se utiliza la fórmula EF = ES + duración de la
actividad, donde la duración de todas las actividades está dada en tiempo
(D4:D17). En forma similar, la columna G utiliza la fórmula LS = LF –
Duración de la actividad. En la columna H se aplica en forma directa la
regla del tiempo de terminación más lejano. En la columna I se utiliza la
fórmula Holgura = LF – EF.
En la columna J se responde Sí, si la holgura es = 0 y No, en cualquier otro
caso.

El cuadro anterior muestra como emplear las hojas de calculo para
desarrollar el programa para el proyecto de Reliable Co.

Las ecuaciones en el cuadro inferior muestran cómo desarrollar el
programa para el proyecto de Reliable Co. en una hoja de cálculo.

MANEJO DE DURACIONES INCIERTAS DE LAS
ACTIVIDADES – MÉTODO PERT
Pregunta 7: dadas las incertidumbres en el cálculo de las duraciones
de actividades, ¿cuál es la probabilidad de completar el proyecto en
la fecha límite (47 semanas)?
Recuerde que Reliable incurrirá en una pena muy grande (300 000
dólares) si no cumple con el plazo límite. Por lo tanto, el señor Perty
necesita conocer la probabilidad de cumplir con dicha condición.
Si dicha probabilidad no es muy elevada, necesitará considerar
medidas costosas (uso de tiempo extra, etc.) para abreviar la
duración de algunas de las actividades.
La versión original de PERT tomó en cuenta esta incertidumbre al
utilizar tres tipos de estimación de cuánto durará una actividad para
obtener información básica acerca de su distribución de
probabilidad, como se describe más adelante.

ADMINISTRACIÓN Y CONTROL DE PROYECTOS – PERT CPM
Hasta el momento se ha usado un tiempo determinístico para la
duración de cada actividad. Esto equivale a tener una predicción
perfecta sobre cada una de ellas. Es claro que es una mala
suposición.
Aún en las mejores circunstancias de planeación, habrán factores
que intervienen que causarán desviaciones del plan original. PERT
se desarrolló con el fin de poder incluir la incertidumbre en las
estimaciones de tiempo.
Existen semejanzas entre el método CPM y el método PERT, como
ya se menciono inicialmente; por lo mismo, todo lo dicho para el
análisis CPM es valido también para el método PERT.

La novedad respecto al análisis CPM es que, es esta se considera
tiempos determinísticos para las actividades, mientras que el
método PERT considera dicha duración como una variable aleatoria
que debemos estimar.
El algoritmo PERT requiere de tres estimaciones de tiempo de un
proyecto, en vez de un solo tiempo como en el método CPM visto
anteriormente.
Al aplicar el enfoque de tres estimaciones de PERT, se tiene:
Tiempo más probable (m) = Estimación del valor más probable de la
duración. El mejor tiempo estimado requerido para el cumplimiento
de la actividad, en circunstancias normales

MÉTODO DE TRES ESTIMACIONES DE PERT
Tiempo optimista (o) = Se refiere al tiempo más corto (mínimo
razonable) en que una actividad puede terminarse, si todo avanza
de manera ideal.
Tiempo pesimista (p) = Tiempo más largo (máximo) en que la tarea
puede terminarse, dentro de lo razonable, si se encuentra con
retardos significativos.
Así, los tiempos optimistas y pesimistas tienen la intención de estar
en los extremos de lo que es posible, mientras que el tiempo más
probable brinda el punto más alto de distribución de la
probabilidad. PERT supone que la forma de la distribución de la
probabilidad es del tipo beta con el fin de calcular la media y la
varianza de la distribución de probabilidad.

Como se ilustra, la distribución beta proporciona una forma
razonable de repartir los tiempos de actividad, incluido el tener dos
extremos «o y p» y un solo punto más elevado «m» que
corresponde a las definiciones de los tres tiempos estimados.
Figura 06: Modelo de la distribución de probabilidad de la duración
de una actividad para el enfoque de tres estimaciones de PERT.
pmo0
Tiempo transcurrido
Distribución Beta

Así, si la actividad se fuera a realizar en diversas ocasiones y la
duración registrada cada vez, «μ» fuera esencialmente el promedio
de estas duraciones y «𝝈 𝟐» sería una medición de la variabilidad de
estas duraciones. Si «𝝈 𝟐
= 𝟎», entonces todas las duraciones serían
exactamente las mismas (sin variabilidad) mientras que un valor
grande de «𝝈 𝟐
» indica una gran variabilidad en las duraciones.
La desviación estándar (la raíz cuadrada de «𝝈 𝟐») también ayuda a
medir la variabilidad. Muchas de las duraciones se extenderían a lo
largo del intervalo entre 𝝁 − 𝝈 𝒚 𝝁 + 𝝈 , pero algunas estarían
más allá de «μ» que éste.

Sin embargo, para la mayoría de las distribuciones de probabilidad
como la beta, todas las duraciones se encontrarían en esencia
dentro del intervalo entre entre 𝝁 − 𝟑𝝈 𝒚 𝝁 + 𝟑𝝈 . En otras
palabras, la distribución entre las duraciones más cortas y las más
largas (esencialmente 𝒑 − 𝒐 sería aproximadamente de entre 𝟔𝝈.
Por lo tanto, una fórmula aproximada para «𝝈 𝟐» es:
𝝈 𝟐 =
𝒑 − 𝒐
𝟔
𝟐
En forma similar, una fórmula aproximada para «μ» es:
𝝁 =
𝒐 + 𝟒𝒎 + 𝒑
𝟔
En forma intuitiva, esta fórmula coloca la mayor parte del peso en la
estimación más probable y luego pequeños pesos iguales en las
otras dos.

TABLA 04: Valor esperado y varianza de cada actividad para el proyecto Reliable Co.
ACTIVIDAD «o» «m» «p» Media Varianza
A 1 2 3 2 𝟏
𝟐
B 2 𝟑 𝟏
𝟐
8 4 1
C 6 9 18 10 4
D 4 𝟓 𝟏
𝟐
10 6 1
E 1 𝟒 𝟏
𝟐
5 4 𝟏
𝟐
F 4 4 10 5 1
G 5 𝟔 𝟏
𝟐
11 7 1
H 5 8 17 9 4
I 3 𝟕 𝟏
𝟐
9 7 1
J 3 9 9 8 1
K 4 4 4 4 0
L 1 𝟓 𝟏
𝟐
7 5 1
M 1 2 3 2 𝟏
𝟐
N 5 𝟓 𝟏
𝟐
9 6 𝟏
𝟐

Por ejemplo, las tres tiempos estimados para la actividad «C» son:
Actividad C: o = 6; m = 9; p = 18
Por lo tanto, al aplicar las fórmulas anteriores, la media y la varianza
de la duración de esta actividad son aproximadamente:
𝝈 𝟐
=
𝟏𝟖 − 𝟔
𝟔
𝟐
= 𝟒
En forma similar, una fórmula aproximada para «μ» es:
𝝁 =
𝟔 + 𝟒 𝟗 + 𝟏𝟖
𝟔
= 𝟏𝟎
El valor de «μ» no es igual que «m». Esto no es raro (duraciones
mucho más altas, impulsa la media hacia arriba), pero por lo general
está al menos relativamente cerca de m.

Las dos últimas columnas de la tabla anterior muestran la media y la
varianza aproximada de la duración de cada actividad. En este
ejemplo, todas las medias resultan ser iguales a la duración
estimada obtenida en la tabla inicial (diapositiva 18). Por lo tanto, si
la duración de todas las actividades fuera igual a sus medias, la
duración del proyecto aún sería 44 semanas, o 3 semanas antes de
la fecha límite.
Sin embargo, esta información no es muy reconfortante para el
señor Perty. Él sabe que las duraciones fluctúan alrededor de sus
medias. En consecuencia, es inevitable que la duración de algunas
actividades sea mayor a la media, tal vez incluso tan larga como la
estimación pesimista, lo cual podría retrasar mucho el proyecto.

Para revisar el peor escenario, Perty reexamina la red del proyecto y
la duración de cada actividad igualada con los tiempos pesimistas.
TABLA 05: Rutas y sus duraciones a través de la red de proyecto de Reliable
cuando la duración de cada actividad iguala a su estimación pesimista
RUTA DURACIÓN (SEMANAS)
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑫 → 𝑮 → 𝑯 → 𝑴
3+𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟕 + 𝟑 = 𝟕𝟎
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑯 → 𝑴
3+𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟓 + 𝟕 + 𝟑 = 𝟓𝟒
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑭 → 𝑱 → 𝑵
3+𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟓 + 𝟏𝟎 + 𝟗 + 𝟒 + 𝟗 = 𝟔𝟔
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑬 → 𝑭 → 𝑱 → 𝑳 → 𝑵
3+𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟓 + 𝟏𝟎 + 𝟗 + 𝟕 + 𝟗 = 𝟔𝟗
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑰 → 𝑱 → 𝑲 → 𝑵
3+𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟗 + 𝟗 + 𝟒 + 𝟗 = 𝟔𝟎
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐 𝑨 → 𝑩 → 𝑪 → 𝑰 → 𝑱 → 𝑳 → 𝑵
3+𝟖 + 𝟏𝟖 + 𝟗 + 𝟗 + 𝟕 + 𝟗 = 𝟔𝟑

Dado este grave peor escenario (aunque poco probable), Perty sabe
que no esta está seguro de cumplir con las 47 semanas. ¿Pero cuál
es la probabilidad de que esto suceda?. PERT/CPM hace tres
aproximaciones de simplificación para ayudar a calcular esta
probabilidad:
Para calcular la probabilidad de que la duración del proyecto no sea
mayor a 47 semanas, es necesario obtener la siguiente información
acerca de la distribución de probabilidad de la duración del
proyecto.
Distribución de probabilidad de la duración del proyecto
1. ¿Cuál es la media (denotada por 𝝁 𝒑) de esta distribución?
2. ¿Cuál es la varianza (denotada por 𝝈 𝒑
𝟐
) de esta distribución?
3. ¿Cuál es la forma de esta distribución?

Recuerde que la duración del proyecto es igual a la duración de la
ruta más larga a través de la red del proyecto. Sin embargo, casi
cualquiera de las seis rutas enlistadas en la tabla 05 pueden resultar
ser la más larga (y por lo tanto la ruta crítica), dependiendo de lo
que resulte ser la duración de cada actividad entre sus estimaciones
optimistas y pesimistas. Como tratar con todas estas rutas sería
complicado, PERT/CPM se enfoca sólo en la siguiente ruta.
«La ruta crítica media es la trayectoria a través de la red del
proyecto que sería crítica si la duración de cada actividad fuera igual
a su media».
Así, la ruta crítica media es:
Inicio → A → B → C → E → F → J → L → N → Terminación

Aproximación de la simplificación 1:
Suponga que la ruta crítica media resulte ser la ruta más larga a
través de la red de proyecto. Esta sólo es una aproximación burda
porque la suposición en ocasiones no concuerda con el caso usual,
en el que algunas de las duraciones de las actividades no igualan a
sus medias. Por fortuna, cuando la suposición ya no se mantiene, es
común que la ruta más larga verdadera no sea mucho más larga que
la ruta crítica media (como se ilustra en la tabla 05).
Aunque esta aproximación permite calcular «𝝁 𝒑», se necesita una
aproximación más para obtener «𝝈 𝒑
𝟐
».

Aproximación de la simplificación 2:
Suponga que las duraciones de las actividades en la ruta crítica
media son estadísticamente independientes. Así, las tres
estimaciones de la duración de una actividad nunca cambiarían
luego de conocer las duraciones de algunas de las otras actividades.
Esta suposición debe mantenerse si las actividades se realizan
realmente independientes una de la otra. Sin embargo, la
suposición se vuelve sólo una aproximación burda si las
circunstancias que causan que la duración de una actividad se
desvíe de su media, también tienden a ocasionar desviaciones
similares en algunas otras actividades.
Ahora se tiene un método simple para calcular «𝝁 𝒑» y «𝝈 𝒑
𝟐».

Cálculo de «𝝁 𝒑» y «𝝈 𝒑
𝟐»:
 Debido a la simplificación de la aproximación 1, la media de la
distribución de probabilidad de la duración de un proyecto es
aproximadamente:
𝝁 𝒑 = Suma de las medias de las duraciones de las actividades en
la ruta crítica media.
 Debido a ambas simplificaciones de las aproximaciones 1 y 2, la
varianza de la distribución de probabilidad de la duración de un
proyecto es aproximadamente:
𝝈 𝒑
𝟐
= Suma de las varianzas de las duraciones de las actividades
en la ruta crítica media.

Como las medias y varianzas de las duraciones de las actividades
del proyecto Reliable ya se dieron en la tabla 04, sólo registramos
los valores de las actividades de la ruta crítica media, como se
muestra en la tabla 06. Así resulta:
TABLA 06: Cálculo de 𝝁 𝒑 y 𝝈 𝒑
𝟐 para el proyecto Reliable
Actividades en la ruta critica media Media Varianza
A 2 𝟏
𝟐
B 4 1
C 10 4
E 4 𝟏
𝟐
F 5 1
J 8 1
L 5 1
N 6 𝟏
𝟐
Duración del proyecto 𝝁 𝒑 = 𝟒𝟒 𝝈 𝒑
𝟐 = 𝟗

Ahora sólo se necesita la aproximación para la forma de la
distribución de probabilidad de la duración del proyecto.
Aproximación de simplificación 3:
suponga que la forma de la distribución de probabilidad de la
duración del proyecto es la normal, que tiene forma de campana y
se ilustra en la figura 08. Al utilizar las aproximaciones de
simplificación 1 y 2, hay cierta teoría estadística (una versión del
teorema de límite central) que justifica esta suposición como una
aproximación razonable si el número de actividades en la ruta crítica
media no es demasiado pequeño (por decir algo, de al menos
cinco). La aproximación se vuelve mejor conforme el número de
actividades se incrementa.

FIGURA 08: Las tres aproximaciones de simplificación llevan a la
distribución de probabilidad de la duración del proyecto Reliable
aproximada a la distribución normal que se muestra aquí. El área
sombreada es la porción de la distribución que cumple con el plazo
límite de 47 semanas.
47
Plazo limite
44
Media
𝝈 𝒑
𝟐
= 𝟗
𝒅 − 𝝁 𝒑
𝝈 𝒑
=
𝟒𝟕 − 𝟒𝟒
𝟑
= 𝟏

APROXIMACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE CUMPLIR CON EL PLAZO
LÍMITE: Sea,
 d = Plazo límite del proyecto = 47 semanas
 𝑷(𝑻 ≤ 𝒅) = probabilidad de que la duración del proyecto «T» no
exceda el plazo límite (dadas las tres aproximaciones de
simplificación).
Para encontrar 𝑷(𝑻 ≤ 𝒅), primero calcule la desviación estándar de
la duración del proyecto como:
𝝈 𝒑 = 𝝈 𝒑
𝟐
= 𝟗 = 𝟑
Y luego calcule el Número de desviaciones estándar por el cual «d»
excede a «𝝁 𝒑»:
𝒅 − 𝝁 𝒑
𝝈 𝒑
=
𝟒𝟕 − 𝟒𝟒
𝟑
= 𝟏

Finalmente, utilice este último número para leer el valor
correspondiente de 𝑷(𝑻 ≤ 𝒅) en la tabla para la distribución
normal.
Advertencia: esta 𝑷(𝑻 ≤ 𝒅) es sólo una aproximación de la
probabilidad verdadera de cumplir con el plazo límite del proyecto.
Más aún, debido a la aproximación de simplificación 1, por lo
general sobreestima la verdadera probabilidad de alguna manera.
Por lo tanto, el gerente de proyecto debe ver a 𝑷(𝑻 ≤ 𝒅) como un
parámetro que proporciona una guía aproximada de las mejores
probabilidades de cumplir con un plazo límite sin tomar nuevas
medidas costosas para tratar de reducir la duración de algunas
actividades.

HOJA DE CALCULO PARA EL MODELO PERT
Figura 09: Uso de hojas de calculo de excel para el procedimiento
PERT/CPM y calcular 𝑷(𝑻 ≤ 𝒅), para el proyecto Reliable.

𝑷 𝑻 ≤ 𝒅 = 𝟎. 𝟖𝟒 es quizá una aproximación optimista, por lo que
Perty está algo preocupado de tener sólo una oportunidad de
alrededor de 80% de cumplir con el plazo límite si sigue el plan
actual. Por lo tanto, más que tomar un riesgo significativo de que la
compañía incurra en la pena por tardanza de $ 300,000, decide
investigar cuánto costaría reducir la duración del proyecto a
aproximadamente 40 semanas. Si el intercambio tiempo-costo por
esto resulta favorable, Reliable podría estar en posibilidad de ganar
el bono de $ 150,000 dólares por terminar en 40 semanas.
Pregunta 8: si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto,
¿cuál es la forma menos cara de intentar cumplir con el tiempo de
cumplimiento objetivo (40 semanas)?.
CONSIDERACIÓN DEL INTERCAMBIO TIEMPO-COSTO

El método CPM proporciona un procedimiento excelente que utiliza
la programación lineal para investigar esos intercambios de
tiempo-costo, así que emplearemos este método de nuevo para
responder la pregunta 8. A continuación se mencionan algunos
antecedentes.
INTERCAMBIOS DE TIEMPO-COSTO PARA ACTIVIDADES
INDIVIDUALES: El primer concepto clave para este método es el de
intervención.
La intervención de una actividad implica tomar medidas costosas
especiales para reducir la duración de una actividad por debajo de
su valor normal. Podrían incluir: uso de tiempo extra, contratación
de ayuda temporal adicional, uso de materiales especiales para
ahorrar tiempo, obtención de equipo especial y otros.

La compresión de un proyecto se refiere a intervenir en cierta
cantidad de actividades para reducir la duración del proyecto por
debajo de su valor normal.
El método de intercambios de tiempo-costo CPM implica
determinar cuánto (si debe hacerse) es necesario intervenir en cada
actividad para reducir la duración del proyecto hasta un valor
deseado.
Los datos necesarios para determinar cuánto intervenir en una
actividad en particular se dan por la gráfica de tiempo-costo para la
actividad (figura 10). Observe los dos puntos clave en esta gráfica
etiquetados como normal y compresión.

Costo de la
actividad
Costo de la
compresión
Costo
Normal
Compresión
máxima
posible
Normal
Duración de
la actividad
Tiempo de compresión Tiempo Normal
FIGURA 10: Gráfica típica de tiempo-costo para una actividad.
El punto normal muestra el tiempo
(duración) y costo de la actividad cuando
se opera en forma normal. El punto de
compresión muestra el tiempo y el costo
de la actividad cuando se le hace una
intervención completa; es decir, se
acelera por completo sin ahorrar costos
para reducir su duración lo más posible.

Esta aproximación de simplificación reduce la recopilación de datos
necesaria para calcular el tiempo y costo para sólo dos situaciones:
condiciones normales (para obtener el punto normal) y una
compresión completa (para obtener el punto de intervención).
Por medio de este enfoque, Perty y su personal desarrollan los
datos para cada una de las actividades del proyecto Reliable. Por
ejemplo, para la actividad «recubrimiento en la pared» si se
agregan dos empleados temporales y se utiliza tiempo extra,
permitiría reducir su duración de 08 semanas a 06 semanas, que es
el mínimo posible. Asimismo, estiman el costo de intervenir por
completo la actividad en esta forma y lo compara con el costo de
seguir el programa normal de 08 semanas, como se muestra.

Actividad J (colocar el recubrimiento de pared)
Punto normal: Tiempo = 8 semanas, costo = $ 430,000.
Punto de intervención: Tiempo = 6 semanas, costo = $ 490,000.
Reducción máxima en tiempo = 8 – 6 = 2 semanas
Costo de intervención por semana que se ahorra
=
$𝟒𝟗𝟎, 𝟎𝟎𝟎 − $𝟒𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝟐
= $𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎
Para determinar con exactitud donde y cuanto comprimir los
tiempos de actividad, debemos tener información sobre que tanto
puede ser comprimida cada actividad y su respectivo costo; lo que
se muestra en la tabla 08 para todas las actividades.

TABLA 07: Datos de intercambio tiempo-costo para las actividades del
proyecto Reliable
ACTIVIDAD
TIEMPO (SEMANAS) COSTO
REDUCCION
MAXIMA DE
TIEMPO 𝑴𝒊
COSTO DE
COMPRESIÓN POR
UNIDAD DE TIEMPO
𝑲𝒊 =
𝑪𝒊
′
− 𝑪𝒊
𝑴𝒊
NORMAL COMPRESION NORMAL 𝑪𝒊
COMPRENSION
𝑪𝒊
′
A 2 1 $ 180,000 $ 280,000 1 $ 100,000
B 4 2 $ 320,000 $ 420,000 2 $ 50,000
C 10 7 $ 620,000 $ 860,000 3 $ 80,000
D 6 4 $ 260,000 $ 340,000 2 $ 40,000
E 4 3 $ 410,000 $ 570,000 1 $ 160,000
F 5 3 $ 180,000 $ 260,000 2 $ 40,000
G 7 4 $ 900,000 $ 1,020,000 3 $ 40,000
H 9 6 $ 200,000 $ 380,000 3 $ 60,000
I 7 5 $ 210,000 $ 270,000 2 $ 30,000
J 8 6 $ 430,000 $ 490,000 2 $ 30,000
K 4 3 $ 160,000 $ 200,000 1 $ 40,000
L 5 3 $ 150,000 $ 350,000 2 $ 50,000
M 2 1 $ 100,000 $ 200,000 1 $ 100,000
N 6 3 $ 330,000 $ 510,000 3 $ 60,000

¿Qué actividades se deben intervenir?, Si se suman las columnas
de costo normal y de costo de intervención de la tabla, resulta:
Suma de costos normales = $ 4.55 millones.
Suma de costos de intervención = $ 6.15 millones.
Recuerde; la compañía recibirá $ 5.4 millones por hacer el proyecto.
(excluye el bono de $ 150,000 por terminar en 40 semanas y la pena
de $ 300,000 de no terminar en el plazo de 47 semanas.). Este pago
debe cubrir diversos costos y proporcionar una utilidad razonable
para la compañía; lo cual será razonable siempre y cuando el costo
total de las actividades se mantengan muy cercanos al nivel normal
de $ 4.55 millones.

El problema: ¿cuál es la forma menos onerosa de intervenir algunas
actividades para reducir la duración del proyecto al nivel
especificado (40 semanas)?.
Es necesario hacer un análisis de CMg, que utiliza la última columna
de la tabla 07 para determinar la forma menos costosa de reducir la
duración del proyecto una semana cada vez. Esto es posible
enlistando todas las rutas a través de la red del proyecto y la
duración actual de cada una.
Como la cuarta ruta que se enlista en la tabla 08 tiene la mayor
longitud (44 semanas), la única forma de reducir la duración del
proyecto una semana es disminuir la duración de las actividades en
esta ruta en particular por ese periodo.

TABLA 08: Tabla inicial para comenzar el análisis de costo marginal
del proyecto de Reliable
ACTIVIDAD
QUE SE
INTERVENDRA
COSTO
DE LA
COMPRESIÓN
POR SEMANA
Longitud de la ruta
ABCDGHM
ABCEHM
ABCEFJKN
ABCEFJLN
ABCIJKN
ABCIJLN
40 31 43 44 41 42
Comparando el costo de compresión por semana ahorrado (última
columna de la tabla 07), el costo menor es de $ 30,000 por la
actividad «J». Por lo tanto, el primer cambio es intervenir la
actividad «J» lo suficiente para reducir su duración en una semana.

Este cambio resulta de reducir la duración de cada ruta que incluya
la actividad «J» (la 3ª, 4ª, 5ª, y 6ª ruta en la tabla 08) por una
semana, como se muestra en la segunda fila de la tabla 09.
TABLA 09: Tabla final para realizar el análisis de costo marginal del
proyecto de Reliable
ACTIVIDAD
QUE SE
INTERVENDRA
COSTO
DE
COMPRESIÓN
POR SEMANA
Longitud de la ruta
ABCDGHM
ABCEHM
ABCEFJKN
ABCEFJLN
ABCIJKN
ABCIJLN
40 31 43 44 41 42
J $ 30,000 40 31 42 43 40 41
J $ 30,000 40 31 41 42 39 40
F $ 40,000 40 31 40 41 39 40
F $ 40,000 40 31 39 40 39 40

Como la 4ª ruta todavía es la más larga (43 semanas) se repite el
proceso para encontrar la actividad menos costosa de reducir en
esta ruta. De nuevo es «J», (la tabla 07 indica una reducción máxima
de 02 semanas para esta actividad). Esta segunda reducción de una
semana para «J» lleva a la tercera fila de la tabla 09.
La 4ª ruta aun es la más larga (42 semanas), pero «J» ya no se
puede acortar más. Entre las otras actividades en esta ruta, la «F»
es ahora la menos costosa de reducir ($ 40,000 por semana - última
columna de la tabla 07). Por lo tanto, «F» se reduce en una semana
para obtener la cuarta fila de la tabla 09 y luego (como se permite
una reducción máxima de dos semanas) se abrevia por otra semana
para obtener la última fila de esta tabla.

M
8
Inicio A
2
Terminación
5
6
4
4 10
7
4
5
6
7 9
2
B C
D
I
HG
E
F
J
L
K
N
S = (20, 20)
F = (23, 23)
S = (23, 23)
F = (29, 29)
S = (29, 29)
F = (34, 34)
S = (34, 34)
F = (40, 40)
S = (29, 30)
F = (33, 34)
0
S = (0, 0)
F = (0, 0)
0
S = (0, 0)
F = (2, 2)
S = (16, 18)
F = (23, 23)
S = (6, 6)
F = (16, 16)
S = (16, 16)
F = (22, 22)
S = (22, 22)
F = (29, 29)
S = (29, 29)
F = (38, 38) S = (38, 38)
F = (40, 40)
S = (40, 40)
F = (40, 40)
S = (16, 16)
F = (20, 20)
S = (2, 2)
F = (6, 6)
FIGURA 11: Red de proyecto en caso de una compresión
total de las actividades «J» y «F» (todas demás actividades
en forma normal) para el proyecto de Reliable.

La ruta más larga (un empate entre la 1ª, 4ª y 6ª ruta) ahora tiene la
duración deseada de 40 semanas, así que no es necesario hacer
más compresiones. El costo total de una compresión en las
actividades «J» y «F» para bajar a la duración del proyecto de 40
semanas se calcula al sumar los costos en la segunda columna de la
tabla 09, un total de $ 140,000.
En la figura 11 se muestra la red de proyecto que resulta. Se puede
observar que reducir las duraciones de las actividades «F» y «J» a
sus tiempos de intervención ha llevado ahora a tener tres rutas
críticas a través de la red. La razón es que, como se encontró antes a
partir de la última fila de la tabla 09, las tres rutas empatan en ser la
más larga, cada una con una duración de 40 semanas.

En términos generales, es necesario contar con la siguiente
información:
1. Costo de la actividad en el tiempo de actividad normal o
esperado.
2. Tiempo para completar la actividad con compresión máxima (es
decir, tiempo de actividad mas corto posible).
3. Costo de la actividad con compresión máxima.
Sean:
𝒕𝒊 = tiempo esperado de la actividad «i».
𝒕′
𝒊
= tiempo esperado de la actividad «i» con compresión máxima.

𝑴𝒊 = reducción máxima posible del tiempo de la actividad «i»
debido a la compresión
Con 𝒕𝒊 y 𝒕′
𝒊
podemos calcular 𝑴𝒊:
𝑴𝒊 = 𝒕𝒊 − 𝒕′
𝒊
Luego, sea 𝑪𝒊 el costo de la actividad «i» en el tiempo normal o
esperado y 𝑪′
𝒊
el costo de la actividad «i» con compresión máxima.
Por tanto, por unidad de tiempo, el costo de compresión 𝑲𝒊 de cada
actividad es:
𝑲𝒊 =
𝑪𝒊
′
− 𝑪𝒊
𝑴𝒊

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA LA COMPRESIÓN
Veremos como se puede usar la «PL» para resolver el problema de
compresión de una red. Con el PERT/CPM, sabemos que cuando
una actividad empieza en su tiempo de inicio mas temprano:
Tiempo de terminación = ES + duración (estimada) de la actividad.
Pero, si existe Holgura asociada a una actividad, entonces esta no
inicia en su «ES». En este caso podemos tener:
Tiempo de terminación > ES + duración (estimada) de la actividad.
Como no conocemos previamente si una actividad se iniciara en su
«ES», emplearemos la siguiente desigualdad para demostrar la
relación general entre el tiempo de terminación, el «ES» y la
duración de cada actividad.
𝑻𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒄𝒊ó𝒏 ≥ 𝑬𝑺 + 𝑫𝒖𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅

Considere la actividad «A», cuyo tiempo esperado es de 02
semanas. Sea:
𝒙 𝑨 = 𝐓𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 𝐝𝐞 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐚𝐜𝐭𝐢𝐯𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐀, y
𝒚 𝑨 = 𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐝𝐞 𝐭𝐢𝐞𝐦𝐩𝐨 𝐞𝐧 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐚 𝐚𝐜𝐭𝐢𝐯𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐀 𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐚.
Si asumimos que el proyecto se inicia en el tiempo «0» el tiempo de
inicio mas temprano «ES» de la actividad «A» es «0». Como el
tiempo de la actividad «A» se reduce en 𝒀 𝑨 , su tiempo de
terminación debe satisfacer la relación:
𝒙 𝑨 ≥ 𝟎 + 𝟐 − 𝒚 𝑨
Trasladando 𝒚 𝑨 al lado izquierdo:
𝒙 𝑨 + 𝒚 𝑨 ≥ 𝟐

En general, sean:
𝒙𝒊= el tiempo de terminación de la actividad «i»; i=A,B,C,D,E,…
𝒚𝒊 = la cantidad en la que el tiempo de la actividad «i» es
comprimido; i=A,B,C,D,E,…
Siguiendo el paso hacia adelante del procedimiento PERT/CPM
vemos que el «ES» de la actividad «B», es 𝒙 𝑨, el tiempo de
terminación de la actividad «A». Por lo tanto, la restricción
correspondiente al tiempo de terminación de la actividad «B», es:
𝒙 𝑩 ≥ 𝒙 𝑨 + 𝟒 − 𝒚 𝑩 o 𝒙 𝑩 + 𝒚 𝑩 − 𝒙 𝑨 ≥ 𝟒
Asimismo, se obtiene la restricción para el tiempo de terminación
de la actividad «C»:
𝒙 𝑪 ≥ 𝒙 𝑩 + (𝟏𝟎 − 𝒚 𝑪) o 𝒙 𝑪 + 𝒚 𝑪 − 𝒙 𝑩 ≥ 𝟏𝟎

Del mismo modo para las demás actividades:
𝒙 𝑫 ≥ 𝒙 𝑪 + (𝟔 − 𝒚 𝑫) o 𝒙 𝑫 + 𝒚 𝑫 − 𝒙 𝑪 ≥ 𝟔
𝒙 𝑬 ≥ 𝒙 𝑪 + (𝟒 − 𝒚 𝑬) o 𝒙 𝑬 + 𝒚 𝑬 − 𝒙 𝑪 ≥ 𝟒
𝒙 𝑰 ≥ 𝒙 𝑪 + (𝟕 − 𝒚 𝑰) o 𝒙 𝑰 + 𝒚 𝑰 − 𝒙 𝑪 ≥ 𝟕
𝒙 𝑭 ≥ 𝒙 𝑬 + (𝟓 − 𝒚 𝑭) o 𝒙 𝑭 + 𝒚 𝑭 − 𝒙 𝑬 ≥ 𝟓
𝒙 𝑮 ≥ 𝒙 𝑫 + (𝟕 − 𝒚 𝑮) o 𝒙 𝑮 + 𝒚 𝑮 − 𝒙 𝑫 ≥ 𝟕
Pero, el tiempo de terminación mas temprano de la actividad «J» es
igual al «mayor» de los tiempos de terminación de las actividades
«I» y «F». Del mismo modo el tiempo de terminación mas
temprano de la actividad «H» es igual al «mayor» de los tiempos de
terminación de las actividades «E» y «G».

Para la actividad «J» debemos plantear dos restricciones por cada
una de las actividades que la precede. Así tenemos:
𝒙 𝑱 + 𝒚 𝑱 − 𝒙 𝑰 ≥ 𝟖 y 𝒙 𝑱 + 𝒚 𝑱 − 𝒙 𝑭 ≥ 𝟖
En forma similar para la actividad «H» tenemos:
𝒙 𝑯 + 𝒚 𝑯 − 𝒙 𝑬 ≥ 𝟗 y 𝒙 𝑯 + 𝒚 𝑯 − 𝒙 𝑮 ≥ 𝟗
Luego para la actividad «L» tenemos: 𝒙 𝑳 + 𝒚 𝑳 − 𝒙 𝑱 ≥ 𝟓
Luego para la actividad «K» tenemos: 𝒙 𝑲 + 𝒚 𝑲 − 𝒙 𝑱 ≥ 𝟒
Luego para la actividad «M» tenemos: 𝒙 𝑴 + 𝒚 𝑴 − 𝒙 𝑯 ≥ 𝟖

Luego para la actividad «N» tenemos:
𝒙 𝑵 + 𝒚 𝑵 − 𝒙 𝑳 ≥ 𝟔 y 𝒙 𝑵 + 𝒚 𝑵 − 𝒙 𝑲 ≥ 𝟔
Dado que tenemos dos actividades llegan al nodo «Terminación»,
formularemos la restricción del siguiente modo:
𝒙 𝑻 − 𝒙 𝑵 ≥ 𝟎 y 𝒙 𝑻 − 𝒙 𝑴 ≥ 𝟎
Asimismo, establecemos las restricciones de los tiempos de
compresión máximas de cada una de las actividades:
𝒚 𝑨 ≤ 𝟏; 𝒚 𝑩 ≤ 𝟐; 𝒚 𝑪 ≤ 𝟑; 𝒚 𝑫 ≤ 𝟐; 𝒚 𝑬 ≤ 𝟏; 𝒚 𝑭 ≤ 𝟐; 𝒚 𝑮 ≤ 𝟑
𝒚 𝑯 ≤ 𝟑; 𝒚 𝑰 ≤ 𝟐; 𝒚 𝑱 ≤ 𝟐; 𝒚 𝑲 ≤ 𝟏; 𝒚 𝑳 ≤ 𝟐; 𝒚 𝑴 ≤ 𝟏; 𝒚 𝑵 ≤ 𝟑

Dado que el objetivo es determinar la compresión máxima que nos
permita no incurrir en costos muy elevados, determinamos la
función objetivo del modelo:
𝑴𝒊𝒏 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑨 + 𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑩 + 𝟖𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑪 + 𝟒𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑫
+ 𝟏𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑬 + 𝟒𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑭 + 𝟒𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑮 + 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑯
+ 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑰 + 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑱 + 𝟒𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑲 + 𝟓𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑳
+ 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑴 + 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝒚 𝑵

Tema: PERT-CPM

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