Este documento describe el problema del flujo máximo en redes. 1) El objetivo es encontrar la cantidad máxima de flujo que puede pasar a través de una red desde un nodo origen hasta un nodo destino sin exceder la capacidad de los arcos. 2) Se presentan ejemplos para ilustrar cómo aplicar el algoritmo de flujo máximo para encontrar el flujo máximo y su distribución en cada arco. 3) Adicionalmente, se provee información sobre cómo modelar este problema matemáticamente y los pasos generales del algoritmo.

1. Optimización de RedesUnidad 5
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
5.4 PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO
Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida de destino en una red
Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que
conectan nodos intermedios, cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida. La capacidad no debe
ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.
Considere una red con un nodo de entrada o fuente y un nodo de salida o antifuente.El problema del flujo
máximo pregunta: ¿Cual es la cantidad máxima de vehículos, liquido, peatones o llamadas telefónicas que
pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de tiempo?
Este tipo de problemas intenta conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma óptima, aunque dicho
flujo está limitado por restricciones diversas tales como condiciones de la carpeta asfáltica diámetros de
tubería, etc.
Al límite máximo de flujo de una rama se le denominará capacidad de flujo.
Se requiere transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final(pozo)
FUENTE
DESTINO
Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar solución a los PROBLEMAS DE
FLUJO MÁXIMO
Observación:
1.- Se debe considerar una red dirigida
2.- Tiene una fuente y un destino (pozo)
3.- Los otros nodos son de trasbordo
4.- Capacidad de los arcos
5.- El objetivo es determinar el patrón factible de flujo a través de la red que maximice el flujo total desde la
fuente a su destino.
PASOS DEL ALGORITMO
1.- Encontrar un camino que vaya del Origen al Destino y que tenga capacidad Mayor a cero en el sentido
deseado.
2.-Encontrar la rama de menor capacidad (Pf) del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envío
de dicha capacidad (Pf).
3.-Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad de Pf en las ramas involucradas y aumentar dicha
cantidad en el sentido contrario.
4.- Repetir el procedimiento desde el paso 1
227

2. Optimización de RedesUnidad 5
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
Ejemplo. Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite
alcanzar un nivel de 15,000 vehículos por hora en la hora pico.
Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vías, un grupo de ingenieros ha
propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas
importantes.
La red propuesta incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías.
1. ¿Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máximo de 15,000 v/h de norte a sur?
2. ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que permite la red cada hora?
3. ¿Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama?
SOLUCIÓN Empezamos buscar la mayor capacidad o mayor número de alguno de los caminos que vaya del
origen (nodo 1) al destino (nodo 7)
#
1
2
3
4
5
Ruta del nodo 1 al nodo 7
1-4-6-7
1-3-5-7
1-2-5-7
1-3-6-7
1-3-6-5-7
Unidades que se pueden mover
5
3
3
2
1
La tabla muestra las 5 rutas que se utilizaran para mostrar el algoritmo, donde la primera muestra la mayor
cantidad de unidades que pueden moverse [5] a través de esta ruta, en la primera gráfica se muestra con un
mismo color la ruta (1-4-6-7) y la segunda gráfica incluye el movimiento de las unidades a lo largo de esta ruta
de tal manera que cuando salen de un nodo estas se restan y cuando entran al otro se suman indicándolo
sobre el mismo arco.Cuando un arco ha sido utilizado en toda su capacidad como el caso de los arcos (1,4) y
(4,6) ya no podrán ser considerados como parte de alguna ruta, por lo que se indicarán en forma punteada
para no tomarlos en cuenta.
Sobre la ruta (1-3-5-7) se pueden desplazar 3 unidades al igual que la ruta (1-2-5-7)
228

3. Optimización de RedesUnidad 5
3
0
1
0
3
3
2
2
3
0
1
3
0
3
3
1
0
3
6
SUR
1
3
2
3
0
7
0
3
0
6
SUR NORTE
5
1
SUR
2
2
2
1
6
0
3
1
5
5
3
5
5
1
2
3
0
7
6
0
5
4
c
0
3
2
0
2
5
4
7
0
2
2
6
1
5
6
5
3
1
7
1
0
SUR
0
2
0
3
3
5
5
3
2
2
NORTE
0
6
7
7
4
En la ruta (1-3-6-7) solo se pueden mover [2]unidades
2
3
3
5
2
0
0
2
0
3
5
1
2
3
5
4
2
0
3
3
3
1
NORTE
5
0
2
2
7
7
0
5
5
5
2
5
NORTE
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
0
La última ruta a utilizar es (1-3-6-5-7) donde solo podemos mover [1] unidad y con esto no hay más para llegar
al nodo 7 por lo que el algoritmo termina y la gráfica final muestra solo las rutas que serán utilizadas aplicando
la condición de equilibrio para cada nodo donde la cantidad de flujo que entra es igual al flujo que sale.
0
3
NORTE
2
5
3
1
0
3
1
6
0
5
1
2
3
6
SUR
1
2
6
7
4
0
3
3
6
0
5
7
0
3
0
0
1
5
3
2
0
5
4
1
NORTE
7
3
2
2
7
0
5
0
2
5
3
2
2
1
3
2
SUR
7
0
5
4
0
0
La solución se observa en el total de flujo que llega al nodo final, para este caso igual a 14 unidades.
3
3
2
5
3
1
NORTE
6
1
7
7
3
SUR
7
3
6
5
5
4
Algunas técnicas para este algoritmo inician con encontrar la rama en la ruta seleccionada con la capacidad de
flujo más pequeña y luego disminuir la capacidad en la dirección del flujo de todas las ramas en este camino en
la cantidad C y aumentar la capacidad en la dirección contraria de todas las ramas de este camino en la
cantidad C. el algoritmo es similar al anterior puesto que nos lleva al mismo resultado, no importando que la
ruta que se haya seleccionado no sea primero la de mayor flujo de la red.
Ejemplo 2. La compañía de estatal de petróleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar
petróleo desde su refinería (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. Una parte de la red de
oleoductos es la siguiente:
229

4. Optimización de RedesUnidad 5
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
Como puede observase las capacidades de flujo son variables como resultado de los diversos diámetros de los
ductos capacidades en miles de galones por hora.La empresa desea abastecer el almacén 7 ¡Cual es el flujo
máximo con el cual puede abastecerlo.
Cuando un arco tiene flujo en ambas direcciones estas solo toman la dirección de la ruta que se está
recorriendo y el sentido opuesto automáticamente desaparece al igual que el flujo en ese sentido.
2
Salida del
tráfico
3
3
5
5
2
6
Fuente de
tráfico
3
3 22
2
1
2
6
3 1
4
0
Salida del
tráfico
7
2
2
3
3
6
2
Fuente de
tráfico
0
7
0
3 1
0 4 2
0 2 3
3
5
2
3
2
1
Fuente de
tráfico
3
0
3 22
2
3
6 5
1
0
6
5
0
3
2
3 22
1
5
0
2
6
Salida del
tráfico
6 5
1
0
6 5
0
7
1
3
0
0 1
3 4 2
2
Salida del
tráfico
2
3
1
Fuente de
tráfico
3
0
3 20
2
3
5
2
3
0
4
Ruta 1-4-3-5-7 mover 3 unidades
3
2
6 3
2
7
1
3
0
0 1
3 4 2
2
Salida del
tráfico
2
3
0
4
1
3
0
2
2
3 0
3
3
5
2
3
Fuente de
tráfico
3
2
6 3
2
7
1
0
0 1
3 4 2
Ruta 1-2-3-6-7 mover 2unidades
230

5. Optimización de RedesUnidad 5
2
Salida del
tráfico
2
3
5
2
1
Fuente de
tráfico
3
0
2
3 0
2
3
0
3
0
4
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
2
6 3
2
7
1
3
0
0 1
3 4 2
4
Salida del
tráfico
2
1
3
0
Fuente de
tráfico
5
0
2
2
3 0
1
5
3
0
2
2
2
6 3
2
7
1
3
0
0 1
3 4 2
4
Salida del
tráfico
2
1
1
2
3
3
7
2
5
0
3
1
Fuente de
tráfico
5
0
2
3 0
2
2
Fuente de
tráfico
0
0
2
6 2
1
0 0
4 4 2
3
4 2 1
Salida del
tráfico
0
5
0
2
3 0
2
2
5
3
0
2
Ruta 1-2-5-7 mover 2 unidades
2
2
6 2
3
7
1
3
0
0 0
1 4 2
4
Salida del
tráfico
2
1
0
2
1
2
0
2
2
3 0
3
Ruta 1-4-6-7 mover 1 unidad
2
5
0
3
Fuente de
tráfico
5
2
6 2
3
7
1
0
0 0
4 4 2
Ruta 1-4-7 mover 2 unidades
231

6. Optimización de RedesUnidad 5
4
Salida del
tráfico
2
1
2
0
5
3
0
2
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
2
1
3
0
2
6 2
3
7
2
0
Fuente de
tráfico
5
3
2
6
4
4
2
0
2
5
3
Salida del
tráfico
1
3
2
6
3
7
1
3
6
Fuente de
tráfico
5
2
2
4
Solución 10 unidades hasta nodo 7
Definición del problema
Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.
Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de red son depositados.
Existen n-2 nodos (numerados del 2, 3, …, n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.
La capacidad Cij para la dirección opuesta.
El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de
los arcos.
El problema consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total que puede circular a través de la red en
una unidad de tiempo.El único requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o destino) la
relación de equilibrio debe cumplirse:
FLUJO QUE SALE = FLUJO QUE ENTRA
Dichos términos formales, siendo f = flujo,
n = destino,
I = origen
Maximizar f
Sujeto a:
= Capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos.
El algoritmo de flujo máximo se fundamenta en pasos de sentido común: Encontrar un camino que inicie en la
fuente y concluya en la antifuente, que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para
todas las ramas que integran el camino o ruta.
Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depósitos y que sigan teniendo capacidad
mayor a cero para todas las ramas en el sentido de flujo.
232

7. Optimización de RedesUnidad 5
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
Encontrar el flujo Máximo de las Siguientes Redes
UN CONJUNTO DE VÍAS RÁPIDAS TIENE LAS SIGUIENTES CAPACIDADES (MILES DE VEHÍCULOS/HORA).
Red dirigida
4
2
0
4
2
5
6
2
3
2
3
1
0
0
2
0
4
3
6
6
3
0
3
0
3
2
Red no dirigida
3
A
8
0
D
1
9
4
4
5
2
C
F
1
B
7
E
4
Red dirigida
233
6