Sistemas Hiperestáticos (Teórica 11b - Método de las Deformaciones)

1. Hiperestáticos
Método de las Deformaciones
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. El “Método de las Fuerzas” fue
desarrollado durante el siglo XIX…
Consideraciones Preliminares
…y se aplicaba a los tipos de estructuras propias de la época: puentes metálicos, barras
articuladas, arcos y vigas continuas, de reducido grado de hiperestaticidad.
Con el siglo XX llega el uso del hormigón armado. Las barras constituidas con este material
poseen nudos que pueden considerarse rígidos y por lo tanto las piezas trabajan
fundamentalmente a flexión, por lo que el grado de hiperestaticidad de las mismas crece
notablemente y consecuentemente el Método de las Fuerzas resulta poco práctico
Además, con la aparición de los métodos de cálculo numérico a mediados del siglo pasado,
los Métodos de Compatibilidad quedaron totalmente obsoletos.
En la actualidad, el Método de las Deformaciones (dado que las incógnitas que se plantean
son los movimientos de los nudos), del Equilibrio (porque las ecuaciones que se plantean
son de equilibrio) o de la Rigidez (ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones
que se plantean son de rigidez) constituye la forma práctica de cálculo de estructuras.

3. El “Método de las Fuerzas” fue
desarrollado durante el siglo XIX…
Consideraciones Preliminares
Básicamente, este método consiste en identificar el número de movimientos incógnita que
determinan la deformación de la estructura, satisfaciendo a priori las condiciones de
compatibilidad de movimientos en los nudos de la estructura.
El número de incógnitas del problema es, pues, igual al grado de indeterminación cinemática
del problema (los giros y desplazamientos de los nudos).
Imponiendo ahora las condiciones de compatibilidad en las piezas individuales, éstas están
cinemáticamente determinadas; por lo tanto se pueden calcular, en función de las incógnitas
cinemáticas, los esfuerzos que actúan sobre las barras, y en particular los valores de los
extremos de piezas.
Las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos proporcionan el número
necesario de ecuaciones para resolver las incógnitas cinemáticas.

4. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Ejemplo de Aplicación
…considerando además de las
cargas P y q, una variación de
temperatura de valor t y un
desplazamiento del vínculo C de
valor (; )
q
P
L1 L2
h
A B
C
El método propone fijar los nudos
tanto angular como linealmente,
analizando el efecto que tienen las
cargas externas sobre la estructura;
para luego imponer pequeños
desplazamientos a las estructuras
para cada una de las restricciones
impuestas y calcular su efecto sobre
los esfuerzos internos.

5. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Finalmente, aplicando el principio
de superposición, se determina el
efecto conjunto. Por cada
componente de desplazamiento
desconocida se establece una
ecuación de equilibrio.
Formando un sistema de
ecuaciones que permite determinar
dichas deformaciones y mediante
las mismas obtener los esfuerzos en
la estructura.
Ejemplo de Aplicación
q
P
L1 L2
h
A B
C

6. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas. En este ejercicio utilizaremos:
Ejemplo de Aplicación
L
P
M
L
P
Mb
L
P
Ma
P
Rb
P
Ra













8
1
1
8
1
;
8
1
2
1
;
2
1
Barra doblemente empotrada
cargada con una carga P en L/2

7. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas. En este ejercicio utilizaremos:
Barra doblemente empotrada
cargada con una carga uniforme
2
2
2
24
1
12
;
12
2
;
2
L
q
M
L
q
Mb
L
q
Ma
L
q
Rb
L
q
Ra










Ejemplo de Aplicación

8. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas. En este ejercicio utilizaremos:
Barra doblemente empotrada
con un desplazamiento L0 en A
0
2
0
2
0
3
0
3
6
6
12
12
L
L
J
E
Mb
L
L
J
E
Ma
L
L
J
E
Rb
L
L
J
E
Ra
















Ejemplo de Aplicación

9. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas. En este ejercicio utilizaremos:
Ejemplo de Aplicación
Barra doblemente empotrada
con un giro  en A




















L
J
E
Mb
L
J
E
Ma
L
J
E
Rb
L
J
E
Ra
2
4
6
6
2
2

10. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas. En este ejercicio utilizaremos:
Ejemplo de Aplicación
Barra articulada - empotrada
con un desplazamiento L0 en A
0
2
0
3
0
3
3
3
3
L
L
J
E
Mb
L
L
J
E
Rb
L
L
J
E
Ra













11. Para el pórtico de la figura hallar
los valores de los momentos de
empotramiento…
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas. En este ejercicio utilizaremos:
Ejemplo de Aplicación
Barra articulada - empotrada
con un giro  en A















L
J
E
Mb
L
J
E
Rb
L
J
E
Ra
3
3
3
2
2

12. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Procedemos a fijar angularmente el
nudo 1 de forma tal que no pueda
rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema será
1 = 0. En consecuencia el sistema
fundamental resultante será el que se
muestra en la figura y estará
conformado por una barra empotrada-
articulada (barra horizontal A1), y dos
barras empotrada-empotrada (barra
vertical 1C y barra horizontal 1B).
q
P
L1 L2
h
A B
C
1

13. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Una vez hecho esto, analizaremos el
efecto que tienen las cargas externas
(q y P) sobre este sistema
fundamental; para luego imponer
pequeños desplazamientos a las
estructuras para cada una de las
restricciones impuestas (en este caso
la rotación del nodo 1) y calcular su
efecto sobre los esfuerzos internos.
Aplicando el principio de
superposición, se determina el efecto
conjunto.
q
P
L1 L2
h
A B
C
1

14. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la figura, las cargas
exteriores deformarán a las barras 1B y 1C de
acuerdo con el siguiente esquema…
…por lo tanto, de tablas, el momento en el
vínculo B y en nodo 1 debido a la acción de las
cargas exteriores serán: 12
2
0
)
,
(
1
0
)
,
(
1
L
q
M
M P
q
B
P
q
B



q
P
L1 L2
h
A B
C
1
con: 2
L
L 
M0
1B(q, P) M0
B1(q, P)

15. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
…mientras que, de tablas, el momento en el vínculo C y en
nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores serán:
8
0
)
,
(
1
0
)
,
(
1
H
P
M
M P
q
C
P
q
C



q
P
L1 L2
h
A B
C
1
con: h
H 
M0
1B(q, P) M0
B1(q, P)
M0
1C(q, P)
M0
C1(q, P)
0
)
,
(
1
0
)
,
(
1
0
)
,
(
1 P
q
C
P
q
B
P
q M
M
M 


8
12
2
2
0
)
,
(
1
h
P
L
q
M P
q 






16. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1C (para un valor de  incógnita):
L1 L2
h
A 1 B

C
L
J
E
C

 




4
1
1C
mC1
con: h
L 
L
J
E
mC






2
1
4EJ
L 6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
1
C

17. 6EJ
L2
4EJ
L
1 B
6EJ
L2
2EJ
L
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra 1B (para
un valor de  incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B

C
L
J
E
B

 




4
1
1C
mB1
mC1
1B
con: 2
L
L  L
J
E
mB






2
1

18. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la
barra A1 (para un valor
de  incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B

C
L
J
E
A

 




3
1
1C
mB1
mC1
1B
1A
1
A
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2


 

 C
B
A
M 1
1
1
0
11 




















 
h
L
L
J
E
M
M
4
4
3
2
1
1
11
0
11
con: 1
L
L 

19. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
de las cargas exteriores y los
giros del nodo 1 deberán ser
nulos:
Y obtenemos el valor del giro del nodo 1:
0
1
11
0
1 

 


M
M P

















 
h
L
L
J
E
h
P
L
q
M
M P
4
4
3
8
12
2
1
2
2
1
11
0
1



20. Calculamos ahora los momentos
de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B

C
1C
mC1
1B
1A
mB1
q
P
L1 L2
h
A B
C
1
M0
1B(q, P) M0
B1(q, P)
M0
1C(q, P)
M0
C1(q, P)
+
 
 













1
0
,
1
0
1
0
,
1
0
C
P
q
C
C
B
P
q
B
B
m
M
M
m
M
M

21. Hallemos ahora los efectos de un incremento
de temperatura (de valor t)
Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma
la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental
resultante será la que se muestra en la figura:
coeficiente de dilatación
libre de un prisma () que
mide el alargamiento o
acortamiento por unidad
de longitud, cuando la
temperatura varía 1 °C.
El efecto resultante será una variación
de longitud (L)
 
 
 




























1
1
1
1
1
2
1
L
t
L
H
t
L
L
t
L
A
C
B





C
1
1
L1 L2
h
A
1 B
A’
1’
ΔL1A + 1

22. Hallemos ahora los efectos de un incremento
de temperatura (de valor t)
C
1
1
L1 L2
h
A
1 B
A’
1’
ΔL1A + 1
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1C (para un valor  = 1):
L
J
E
m
m C
C










6
1
1
m’1Cδ
m’C1δ
con: h
h
L 

 1

12EJ
L3
12EJ
L3
6EJ
L2
6EJ
L2

23. Hallemos ahora los efectos de un incremento
de temperatura (de valor t)
C
1
1
L1 L2
h
A
1 B
A’
1’
ΔL1A + 1
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1B (para un valor  = 1):
L
J
E
m
m B
B










6
1
1
m’1Cδ
m’C1δ
con: 2
1
2 L
L
L 

 
m’1Bδ
m’B1δ
12EJ
L3
12EJ
L3
6EJ
L2
6EJ
L2

24. Hallemos ahora los efectos de un incremento
de temperatura (de valor t)
C
1
1
L1 L2
h
A
1 B
A’
1’
ΔL1A + 1
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
A1 (para un valor  = 1):
2
1
3
L
J
E
m A







m’1Cδ
m’C1δ
con: 1
1
1 L
L
L
L A 



m’1Bδ
m’B1δ
1
A 3EJ
L2
3EJ
L3
3EJ
L3
m’1Aδ


 B
C
A
t m
m
m
M 1
1
1
0
1






 

25. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1C (para un valor de ‘ incógnita):
L1 L2
h
A 1 B
‘
C
L
J
E
C

 






4
1
1C’
mC1’
con: h
L 
L
J
E
mC








2
1
4EJ
L 6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
1
C

26. 6EJ
L2
4EJ
L
1 B
6EJ
L2
2EJ
L
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
…en tanto que para la barra 1B (para
un valor de ‘ incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B
‘
C
L
J
E
B

 






4
1
1C’
mB1’
mC1’
1B’
con: 2
L
L  L
J
E
mB








2
1

27. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la
barra A1 (para un valor
de ‘ incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B
‘
C
L
J
E
A

 






3
1
1C’
mB1’
mC1’
1B’
A1’
1
A
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2


 

 C
B
A
M 1
1
1
0
11 






















 
h
L
L
J
E
M
M
4
4
3
2
1
1
11
0
11
con: 1
L
L 

28. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
de las cargas de origen térmico
y los giros del nodo 1 deberán
ser nulos:
Y obtenemos el valor del giro del nodo 1:
0
1
11
0
1 


 
 

M
M t
1
11
0
1




 

M
M t

29. Calculamos ahora los momentos
de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B

C
1C’
mC1’
1B’
A1’
mB1’
+


















1
1
1
1
C
C
C
B
B
B
m
m
M
m
m
M
L1 L2
h
A 1 B
A’
1’
ΔL1A + 1
m’1C
m’1B
m’B1
m’1A
C
1
1
m’C1

30. C
L1 L2
h
A 1 B

Hallemos ahora los efectos de un giro del
empotramiento C (de valor )
Procedemos a fijar angularmente el
nudo 1 de forma tal que no pueda
rotar. De esta forma la única restricción
impuesta al sistema será 1 = 0. En
consecuencia el sistema fundamental
resultante será la que se muestra en la
figura:
El esquema sería el que se
presenta en la figura, y su
efecto será para la barra 1C
(para un valor de   ):
L
J
E
m C








2
1
con: h
L 
L
J
E
mC








4
1
m’’1C
m’’C1
4EJ
L
6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L 1
C

31. 4EJ
L 6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
1
C
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1C (para un valor de “ incógnita):
L1 L2
h
A 1 B
“
C
L
J
E
C

 








4
1
1C”
mC1”
con: h
L 
L
J
E
mC










2
1

32. 6EJ
L2
4EJ
L
1 B
6EJ
L2
2EJ
L
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
…en tanto que para la barra 1B (para
un valor de “ incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B
“
C
L
J
E
B

 








4
1
1C”
mB1”
mC1”
1B
con: 2
L
L  L
J
E
mB










2
1

33. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la
barra A1 (para un valor
de “ incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B
“
C
L
J
E
A

 








3
1
1C”
mB1”
mC1”
1B
1A”
1
A
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2


 

 




 


 C
B
A
M 1
1
1
0
11





















 
h
L
L
J
E
M
M
4
4
3
2
1
1
11
0
11
con: 1
L
L 

34. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
de las cargas debidas a la
rotación del vínculo y los giros
del nodo 1 deberán ser nulos:
…donde:
0
1
11
0
1 



 


 M
M

 C
m
M 1
0
1



y obtenemos el valor del giro del nodo 1: 1
11
1






 


M
m C

35. Calculamos ahora los momentos
de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B

C
1C”
mC1”
1B”
1A”
mB1”
+






















1
1
1
C
C
C
B
B
m
m
M
m
M
C
L1 L2
h
A 1 B

m’’1C
m’’C1

36. Finalmente hallemos los valores que se
producen cuando sucede un asentamiento del
vínculo C (de valor )
Procedemos a fijar angularmente el
nudo 1 de forma tal que no pueda
rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema será
1=0. En consecuencia el sistema
fundamental resultante será la que se
muestra en la figura:
C
L1 L2
h
A
1
B

1’
C’
1
1
C El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
A1 (para un valor  = 1):
2
1
1
3
L
J
E
m A









con: 1
L
L 
A
3EJ
L3
3EJ
L3
1
3EJ
L2
m’’’1A

37. Finalmente hallemos los valores que se
producen cuando sucede un asentamiento del
vínculo C de valor 
C
L1 L2
h
A
1
B

1’
C’
1
1
C
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1B (para un valor  = 1):
2
1
1
1
6
L
J
E
m
m B
B














con: 2
L
L 
m’’’1A
12EJ
L3
12EJ
L3
6EJ
L2
6EJ
L2
B
1
m’’’1B
m’’’B1

38. 12EJ
L3
12EJ
L3
6EJ
L2
6EJ
L2
Finalmente hallemos los valores que se
producen cuando sucede un asentamiento del
vínculo C de valor 
C
L1 L2
h
A
1
B

1’
C’
1
1
C
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1C (para un valor  = C):
2
1
1
6
L
J
E
m
m C
C
C














con: h
L 
m’’’1A
m’’’1B
m’’’B1
m’’’1C
m’’’C1



 B
C
A m
m
m
M 1
1
1
0
1















39. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
1C (para un valor de  ’” incógnita):
L1 L2
h
A 1 B
 ’”
C
L
J
E
C

 










4
1
1C”’
mC1”’
con: h
L 
L
J
E
mC












2
1
4EJ
L 6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
1
C

40. 6EJ
L2
4EJ
L
1 B
6EJ
L2
2EJ
L
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra 1B (para
un valor de  ’” incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B
 ’”
C
L
J
E
B

 










4
1
1C”’
mB1”’
mC1”’
1B
con: 2
L
L  L
J
E
mB












2
1

41. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la
barra A1 (para un valor
de  ’” incógnita), será:
L1 L2
h
A 1 B
 ’”
C
L
J
E
A

 










3
1
1C”’
mB1”’
mC1”’
1B”’
1A”’
1
A
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2


 

 







 


 C
B
A
M 1
1
1
0
11























 
h
L
L
J
E
M
M
4
4
3
2
1
1
11
0
11
con: 1
L
L 

42. Planteamos las ecuaciones
de compatibilidad
Como el sistema se encuentra
en equilibrio, los momentos
generados por la combinación
de las cargas debidas al
desplazamiento del vínculo y
los giros del nodo 1 deberán
ser nulos:
…donde:
0
1
11
0
1 




 


 M
M
y obtenemos el valor del giro del nodo 1: 1
11
0
1





 


M
M



 B
C
A m
m
m
M 1
1
1
0
1














43. Calculamos ahora los momentos
de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B

C
1C”’
mC1”’
1B”’
1A”’
mB1”
’
+
































1
1
1
1
C
C
C
B
B
B
m
m
M
m
m
M
C
L1 L2
h
A
1
B

1’
C’
1
1
C
m’’’1A
m’’’1B
m’’’B1
m’’’1C
m’’’C1


























C
C
C
C
C
B
B
B
B
B
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
0
0
…y para una combinación
de exceso de vínculos, ΔT, y
desplazamiento de vínculos
será:

44. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

45. Muchas Gracias